2.4.2圆的一般方程同步练习2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019）选择性必修第一册

2.4.2　圆的一般方程（同步练习） 一、选择题 1.若x2＋y2－x＋y－2m＝0是一个圆的方程，则实数m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 2.若点P(1,1)在圆x2＋y2＋x－y＋k＝0的外部，则实数k的取值范围是(　　) A.(－2，＋∞) B. C. D.(－2,2) 3.当圆C：x2＋y2－4x－2my＋2m＝0的面积最小时，m的值为(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 4.已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1,0)，则圆C的圆心的轨迹是(　　) A.点 B.直线 C.线段 D.圆 5.当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆取得最大面积时，直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α等于(　　) A. B. C. D. 6.圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0关于直线x－y－1＝0对称的圆的方程是x2＋y2－4x＋3＝0，则a的值为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 7.(多选)圆x2＋y2－4x－1＝0(　　) A.关于点(2,0)对称 B.关于直线y＝0对称 C.关于直线x＋3y－2＝0对称 D.关于直线x－y＋2＝0对称 8.(多选)如果圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在到原点的距离为的点，那么实数a的值可以是(　　) A.－2 B.0 C.1 D.3 二、填空题 9.过三点O(0,0)，M(1,1)，N(4,2)的圆的一般方程为___________________ 10.已知△ABC的顶点A(0,0)，B(4,0)，且AC边上的中线BD的长为3，则顶点C的轨迹方程是______________ 11.已知点A(1,2)在圆x2＋y2＋2x＋3y＋m＝0外部，则实数m的取值范围是________ 12.已知圆C经过点(4,2)，(1,3)和(5,1)，则圆C与两坐标轴的四个截距之和为________ 三、解答题 13.若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆． (1)求实数m的取值范围；(2)写出圆心坐标和半径． 14.已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)． (1)求△ABC的外接圆的一般方程；(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上，求a的值． 15.点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP的中点M的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程． 参考答案及解析： 一、选择题 1.C 解析：根据题意，得(－1)2＋12－4×(－2m)>0，所以m>－. 2.C 解析：因为点P(1,1)在圆x2＋y2＋x－y＋k＝0的外部，所以需满足解得－2<k<. 3.D 解析：由圆C：x2＋y2－4x－2my＋2m＝0，得圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－m)2＝m2－2m＋4，从而对于圆C的半径r有r2＝m2－2m＋4＝(m－1)2＋3≥3，所以当m＝1时，r2取得最小值，此时圆C的面积最小． 4.D 解析：∵圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1,0)，∴(1－a)2＋(0－b)2＝1， ∴(a－1)2＋b2＝1，∴圆C的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心，1为半径的圆． 5.C 解析：x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0化为标准方程为2＋(y＋1)2＝1－k2，所以当k＝0时圆的半径最大，面积也最大，此时直线的斜率为－1，故倾斜角为. 6.C 解析：由于圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0的圆心为M，圆x2＋y2－4x＋3＝0的圆心为N(2,0)，又两圆关于直线x－y－1＝0对称，故有×1＝－1，解得a＝2. 7.ABC 解析:x2＋y2－4x－1＝0⇒(x－2)2＋y2＝5，即圆心的坐标为(2,0)． A项，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2,0)是圆心，故正确； B项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线y＝0过圆心，故正确； C项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x＋3y－2＝0过圆心，故正确； D项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x－y＋2＝0不过圆心，故不正确． 8.ACD　解析：圆(x－a)2＋(y－a)2＝8的圆心(a，a)到原点的距离为|a|，半径r＝2，由圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在点到原点的距离为，得2－≤|a|≤2＋，所以1≤|a|≤3，解得1≤a≤3或－3≤a≤－1.故选ACD. 二、填空题 9.答案：x2＋y2－8x＋6y＝0 解析：设过三点O(0,0)，M(1,1)，N(4,2)的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则解得 故所求圆的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0. 10.答案：(x－8)2＋y2＝36(y≠0) 解析：设C(x，y)(y≠0)，则D. ∵B(4,0)，且AC边上的中线BD长为3，∴2＋2＝9，即(x－8)2＋y2＝36(y≠0)． 11.答案：　 解析：由点A(1,2)在圆x2＋y2＋2x＋3y＋m＝0的外部．得1＋4＋2＋6＋m>0，解得m>－13． 又由4＋9－4m>0得m<，所以－13<m<． 12.答案：－2 解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将(4,2)，(1,3)，(5,1)代入方程中， 得解得所以圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0. 令x＝0，则y2＋4y－20＝0，由根与系数的关系得y1＋y2＝－4；令y＝0，则x2－2x－20＝0， 由根与系数的关系得x1＋x2＝2，故圆C与两坐标轴的四个截距之和为y1＋y2＋x1＋x2＝－4＋2＝－2. 三、解答题 13.解：(1)由表示圆的充要条件，得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0， 解得m<，即实数m的取值范围为. (2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝. 14.解：(1)设△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意，得解得 即△ABC的外接圆的一般方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0. (2)由(1)知，△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0， 易知M的一个坐标为(2,2)，即a＝2， 又点M(a,2)在△ABC的外接圆上，∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0， 即a2－8a＋12＝0，解得a＝6，综上，a＝2或6. 15.解：(1)设线段AP的中点M(x，y)，由中点坐标公式，得点P的坐标为(2x－2,2y)． ∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4， 故线段AP的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1. (2)设线段PQ的中点N(x，y)， 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|. 设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ， ∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， ∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4， 故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$