3.3.2 抛物线的简单几何性质第2课时 直线与抛物线的位置关系课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.3 抛物线 1 3.3.2 抛物线的简单几何性质 第2课时 直线与抛物线的位置关系 2 【学习目标】 1.由直线与抛物线的方程，利用代数方法解决与直线和抛物线位置关系有关的问题. 2.能初步运用抛物线定义、标准方程和几何性质解决一些综合问题. 3 知识点一 直线与抛物线的位置关系 设直线,抛物线 ,将直线方程与抛物线方程联立,整 理成关于的方程 . （1）若 ,则有 判别式 位置关系 交点情况 直线与抛物线______ __________ 直线与抛物线______ __________ 直线与抛物线______ __________ 相交 两个交点 相切 一个交点 相离 没有交点 （2）若 ,则直线与抛物线有______交点,此时直线与抛物线的对称轴 _____________. 一个 平行或重合 课 前 预 习 4 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）若一条直线与抛物线只有一个公共点,则二者一定相切.( ) × [解析] 直线与抛物线只有一个公共点,除了相切的情况外,还有直线与抛物线的对 称轴平行或重合的情况. （2）“直线与抛物线有一个交点”是“直线与抛物线相切”的必要不充分条件.( ) √ 课 前 预 习 5 知识点二 弦长公式 若直线（斜率为且）与抛物线交于, 两 点,则____________________________ _ __________________________. （1）若直线过抛物线的焦点,则___________,___, _____. （2）若直线过抛物线的焦点且垂直于轴,则 ____. （3）若直线过抛物线的焦点且直线的倾斜角为 ,则 _____. 课 前 预 习 6 探究点一 直线与抛物线的位置关系 例1 已知抛物线，过点的直线的斜率为，当 取何值 时，与 有一个公共点，有两个公共点，无公共点？ 解：由题知直线的方程为，将 代入整理得 . 当时，把代入，得 ， 所以直线与抛物线只有一个公共点 . 课 中 探 究 7 当时， ， 由，得，所以当或时，，与 无公共点； 当时，，与 只有一个公共点； 当且时，，与 有两个公共点. 综上，当或时，与 无公共点； 当或时，与 只有一个公共点； 当或时，与 有两个公共点. 课 中 探 究 8 变式 已知点和抛物线，求过点且与抛物线 有且仅有一个 公共点的直线 的方程． 解：当直线的斜率不存在时，由直线过点可知，直线的方程为 . 由得，此时直线与抛物线只有一个公共点． 若直线 的斜率存在，则设直线的方程为，由消去 ，得 . 当时，得，即，可知此时直线 与抛物线交于点； 当时，判别式,由得 ，可知此时直线与抛物线 有且仅有一个公共点，直线的方程为 ，即. 综上，直线的方程为或或 . 课 中 探 究 9 ［素养小结］ 当直线与抛物线有两个交点时，设直线方程的方法如下： 若抛物线的方程为，则设直线的方程为 ； 若抛物线的方程为，则设直线的方程为 . 课 中 探 究 10 探究点二 与抛物线有关的弦长、中点弦问题 例2 已知抛物线的焦点为，直线与交于， 两点. （1）若的倾斜角为且过点，求 ； 解：设, . 因为的倾斜角为，，所以直线的方程为 . 由可得 ， 则，所以 . 课 中 探 究 11 （2）若线段的中点坐标为，求 的方程. 解： 由,均在抛物线上，得, ， 所以 . 因为线段的中点坐标为，所以 ， 所以，所以的斜率为， 所以 的方程为，即 . 课 中 探 究 12 变式（1） 设点为平面直角坐标系内的一个动点， 为坐标原 点，点到定点的距离比到轴的距离大 . ①求点 的轨迹方程； 解：过点作轴的垂线且垂足为，则，由题意知 ， ，化简得.故点的轨迹方程为 . 课 中 探 究 13 ②若直线与点的轨迹交于，两点，且，求实数 的 值． 解： 设，，由消去化简得 ， ， ，，又， ， . 课 中 探 究 14 （2）已知抛物线，过点作一条直线交抛物线于， 两点，试求 弦 中点的轨迹方程． 解： 设弦的中点为，并设，，的坐标分别为， ， ． 当直线的斜率不存在时，易得． 当直线的斜率存在时， ，由题意得 ，得，又 ，所以 . 因为，即,所以，即 ， 所以 ． 又点的坐标满足上式，故弦中点的轨迹方程为 . 课 中 探 究 15 ［素养小结］ “中点弦”问题的两种解题策略 （1）点差法：将两个交点的坐标代入抛物线的方程，作差，由 求斜率， 再由点斜式求解. （2）传统法：设直线方程，并与抛物线的方程联立，消去（或）得关于 （或 ）的一元二次方程，由根与系数的关系，得两根之和即为中点纵（或横） 坐标的2倍，进而求解. 课 中 探 究 16 探究点三 抛物线的综合问题 例3 设点，动圆经过点且和直线相切，记动圆的圆心 的轨迹 为曲线 . （1）求曲线 的方程； 解：由题意知点到的距离与到直线的距离相等，故曲线是以 为焦 点的抛物线,设抛物线的方程为，则，得， 故曲线 的方程为 . 课 中 探 究 17 （2）已知点，过的直线交于,两点，直线，与 的另一个交 点分别为,，记直线，的斜率分别为,，求证： 为定值. 证明：由题意设,,,,, . 设直线的方程为,，由 可得，，则 . 由斜率公式可得,.直线 的方程为 ，代入抛物线方程可得 ， ,则，所以 . 课 中 探 究 18 直线的方程为，代入抛物线方程 可得 ，,则，所以 ， 故，所以，即 为定值. 课 中 探 究 19 变式 [2024·辽宁六校高二期中] 已知是抛物线 上 位于第一象限的一点，且到 的焦点的距离为5. （1）求抛物线 的方程； 解：由题可知,解得,所以抛物线的方程为 . 课 中 探 究 20 （2）设,为上异于的两点，且直线与的斜率之积为 ,证明：直线 过定点. 证明：由（1）知，,且,解得,所以. 设 ,,则,同理可得， ,则 ,即 . 当直线的斜率存在时，直线的方程为 ,整理得 ，所以, 即,所以直线 过定点 ； 课 中 探 究 21 当直线的斜率不存在时，,可得 , 则，所以直线的方程为，也过点 . 综上，直线过定点 . 课 中 探 究 22 ［素养小结］ 与抛物线有关的综合问题，体现在最值、定点和定值方面，解决这类问题的方 法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等，解决这些问题的关键是代换 和转化. 课 中 探 究 23 1.直线与抛物线公共点的个数，等价于直线方程、抛物线方程联立得到的方程 组解的个数.注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况. 2.直线与抛物线的相交弦问题共有两类：一类是过焦点的弦，一类是不过焦点 的弦.解决弦的问题，大多涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦所在直线的斜率.常 用的办法是将直线方程与抛物线方程联立，转化为关于或 的一元二次方程， 然后利用根与系数的关系，这样避免求交点，尤其是弦的中点问题，还应注意 “点差法”的运用. 备 课 素 材 24 3.直线与抛物线相交所得弦的长 弦长公式:,其中和 分别是直线方程与抛物线方程联立后得到 的方程中的二次项系数和判别式,为直线 的斜率. 当代入消元消掉的是时,得到 ,此时弦长公式相应地变为 . 备 课 素 材 25 1.直线与抛物线交点个数的判断方法 设直线,抛物线: ,将直线方程与抛物线方程联立整 理成关于的方程 的形式. ①若 , 则当 时,直线与抛物线相交,有两个交点; 当 时,直线与抛物线相切,有一个交点; 当 时,直线与抛物线相离,无交点. ②若 ,则直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对 称轴重合,因此直线与抛物线有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件. 备 用 习 题 26 例1 已知直线,抛物线,当为何值时,直线与抛物线 满 足下列条件？ ①有一个公共点; ②有两个公共点; ③没有公共点. 备 用 习 题 27 解：由 消去,整理得 . 当时,方程（*）只有一个解,为,此时 . 当时,方程（*）为一元二次方程, . 当,即且时,直线与抛物线有两个公共点,此时直线与抛物线 相交; 当,即时,直线与抛物线有一个公共点,此时直线与抛物线 相切; 当,即时,直线与抛物线没有公共点,此时直线与抛物线 相离. 综上所述,①当或时,直线与抛物线有一个公共点;②当且 时,直线与抛物线有两个公共点;③当时,直线与抛物线 没有公共点. 备 用 习 题 28 2.应用抛物线性质解题的常用技巧 （1）抛物线的中点弦问题用点差法比较简便. （2）轴对称问题,一是抓住以两对称点为端点的连线的中点在对称轴上,二是抓 住两点连线的斜率与对称轴的斜率的关系. （3）在直线和抛物线的综合题中,经常遇到求定值、过定点问题.解决这类问题 的方法很多,如斜率法、方程法、向量法、参数法等.解决这类问题的关键是代换 和转化. （4）圆锥曲线中的定点、定值问题,常选择一个参数来表示要研究问题中的几 何量,通过运算找到定点、定值,说明与参数无关,也常用特值法找定点、定值. 备 用 习 题 29 例2 已知抛物线的焦点为，直线与抛物线 交于 ， 两点. （1）若，求 的面积； 解：抛物线的焦点为，当时，直线 ， 由可得 . 设，，则， ， . 点到直线的距离 ， 的面积 . 备 用 习 题 30 （2）若抛物线上存在两个不同的点，关于直线对称，求 的取值范围. 解： 连接， 点，关于直线对称， 直线的斜率为 ， 可设直线的方程为 . 由可得 ， 由，可得 . 设，，则 ， ， 故线段的中点为 备 用 习 题 31 点，关于直线 对称， 线段的中点在直线 上， ，得 ，.综上， 的取值范围为 . 备 用 习 题 例3 已知抛物线的焦点为，点在上，且 的最小值 为1. （1）求 的方程. 解：设，则，又 ,所以 ， 则的最小值为，所以，得，所以的方程为 . 备 用 习 题 33 （2）过点的直线与相交于，两点，过点的直线与 相交 于，两点，且，不重合，判断直线 是否过定点？若过定点，求出该定 点的坐标；若不过定点，请说明理由. 解： 因为，不重合，所以直线，， 的斜率必然存在. 设，，. 直线 的斜率 ，可得. 直线 的斜率 ，可得. 备 用 习 题 34 由，可得 . 因为直线的斜率 ， 所以直线的方程为 . 故直线过定点 . 备 用 习 题 35 $$