第十一章 三角形数学活动----平面镶嵌课件-2024-2025学年人教版数学八年级上册

数学活动 平 面 镶 嵌 3 千变万化 1 几何艺术 4 学无止境 2 小设计师 1 几何艺术 Part one 图片展示 几何艺术 小设计师 千变万化 学无止境 这些图片有什么共同特点？ 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接， 数学视角 几何艺术 小设计师 千变万化 学无止境 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接， 数学视角 彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片。 不重叠 关键 无空隙 几何艺术 小设计师 千变万化 学无止境 数学视角 用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖， 每个拼接点处各个角的和为360°. 拼接在一起的边有什么特点？ 这就是多边形的平面镶嵌。 几何艺术 小设计师 千变万化 学无止境 2 小设计师 Part two 学校想买瓷砖装饰活动室的地面，商店旺季断货 ，现只有以下几种瓷砖出售，如果只买一种，你会买哪一种瓷砖来装饰地面呢？开始你的设计吧！ 同种正多边形的镶嵌 正三角形 正方形 正五边形 正六边形 活动一 几何艺术 小设计师 千变万化 学无止境 学校想买瓷砖装饰活动室的地面，商店旺季断货 ，现只有以下几种瓷砖出售，如果只买一种，你会买哪一种瓷砖来装饰地面呢？开始你的设计吧！ 同种正多边形的镶嵌 正三角形 正方形 正五边形 正六边形 活动一 几何艺术 小设计师 千变万化 学无止境 60° 60° 60° 60° 60° 60° 同种正多边形的镶嵌 边长相同的正三角形可以进行平面镶嵌。 几何艺术 小设计师 千变万化 学无止境 90° 同种正多边形的镶嵌 边长相同的正四边形可以进行平面镶嵌。 几何艺术 小设计师 千变万化 学无止境 120 ° 120 ° 120 ° 同种正多边形的镶嵌 边长相同的正六边形可以进行平面镶嵌。 几何艺术 小设计师 千变万化 学无止境 同种正多边形的镶嵌 正五边形不可以进行平面镶嵌。 几何艺术 小设计师 千变万化 学无止境 店主拿出厂家正在研发的艺术瓷砖图册，如果只从这些瓷砖中预定一种，可以直接铺贴活动室的地面吗？ 不能！ 同种正多边形的镶嵌 正七边形 正八边形 正十边形 正十二边形 120 ° 120 ° 120 ° 180 ° 180 ° 活动一 几何艺术 小设计师 千变万化 学无止境 同种正多边形的镶嵌 同种正多边形镶嵌的条件： 正多边形的每个内角都能整除360度。 几何艺术 小设计师 千变万化 学无止境 3 千变万化 Part three 活动二 两种正多边形的镶嵌 为了使铺贴效果更漂亮，学校决定买两种瓷砖（边长相等）来装饰活动室，你会买哪两种瓷砖呢？把你的设计展示给大家看看！ 正三角形 正方形 正五边形 正六边形 正七边形 正八边形 正十边形 正十二边形 教学分析 教学设计 千变万化 学无止境 活动二 两种正多边形的镶嵌 为了使铺贴效果更漂亮，学校决定买两种瓷砖（边长相等）来装饰活动室，你会买哪两种瓷砖呢？把你的设计展示给大家看看！ 正三角形 正方形 正五边形 正六边形 正七边形 正八边形 正十边形 正十二边形 教学分析 教学设计 千变万化 学无止境 你能用两种正多边形镶嵌成平面图形吗？（边长相等） 两种正多边形的镶嵌 135 ° 135 ° 90 ° 教学分析 教学设计 千变万化 学无止境 两种正多边形的镶嵌 你能用两种正多边形镶嵌成平面图形吗？（边长相等） 120 ° 120 ° 60 ° 60 ° 教学分析 教学设计 千变万化 学无止境 多种正多边形的镶嵌 你能用两种正多边形镶嵌成平面图形吗？（边长相等） 120 ° 60 ° 60 ° 60 ° 60 ° 教学分析 教学设计 千变万化 学无止境 两种正多边形的镶嵌 你能用两种正多边形镶嵌成平面图形吗？（边长相等） 60 ° 60 ° 90 ° 60 ° 90 ° 60 ° 90 ° 90 ° 60 ° 60 ° 教学分析 教学设计 千变万化 学无止境 两种正多边形的镶嵌 你能用两种正多边形镶嵌成平面图形吗？（边长相等） 教学分析 教学设计 千变万化 学无止境 你能用两种正多边形镶嵌成平面图形吗？（边长相等） 两种正多边形的镶嵌 60 ° 150 ° 150 ° 教学分析 教学设计 千变万化 学无止境 两种正多边形的镶嵌 设两种正多边形的内角分别为α、β，两种正多边形的个数分别为x 、y. 关于x、y的方程αx+βy=360°要有正整数解. 两种正多边形（边长相等）镶嵌的条件： 要能延展下去，铺满平面. 教学分析 教学设计 千变万化 学无止境 你还能用其它的两种正多边形（边长相等）镶嵌成平面图形吗？ 你能用三种正多边形（边长相等）镶嵌成漂亮的平面图形吗？ 课后挑战： 多种正多边形的镶嵌 教学分析 教学设计 千变万化 学无止境 同种任意多边形的镶嵌 地砖厂有一些废弃的大理石边角料，如果把它们裁成形状、大小相同的任意三角形能用来镶嵌墙面吗？（要进行平面镶嵌） 活动三 教学分析 教学设计 千变万化 学无止境 同种任意多边形的镶嵌 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 ∠1+∠2+∠3=180° 2(∠1+∠2+∠3)=360° 在拼接点处每个角各出现2次，这些角之和是三角形内角和的2　　倍即360°。 6 拼接在一起的两条边长度相等。 教学分析 教学设计 千变万化 学无止境 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 　　形状、大小相同的任意三角形可以进行平面镶嵌。 同种任意多边形的镶嵌 教学分析 教学设计 千变万化 学无止境 如果把这些大理石裁成形状、大小相同的任意四边形能用来镶嵌墙面吗？（要进行平面镶嵌） 同种任意多边形的镶嵌 教学分析 教学设计 千变万化 学无止境 ∠1+∠2+∠3+∠4=360° 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 　　形状、大小相同的任意四边形可以进行平面镶嵌。 同种任意多边形的镶嵌 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 教学分析 教学设计 千变万化 学无止境 如果把这些大理石裁成形状、大小相同的任意五边形、六边形、七边形……能用来镶嵌墙面吗？（要进行平面镶嵌） 同种任意多边形的镶嵌 不能 教学分析 教学设计 千变万化 学无止境 4 学无止境 Part four 所有形状、大小相同的五边形都不能用来镶嵌墙面吗？（平面镶嵌） 同种特殊多边形的镶嵌 不一定 几何艺术 小设计师 千变万化 学无止境 1900年,Hilbert在巴黎数学家大会上提出了23个最重要的问题供二十世纪的数学家们去研究,这就是著名的“希尔伯特23个问题”。其中第18个问题:  如何用全等多面体构造空间?由莱因哈特（1928）凭借出色的平面几何功底与直觉, 发现了5类不同的五边形平面镶嵌方式,开启了新的研究方向。 同种特殊多边形的镶嵌 还有其它类型形状、大小相同的五边形能镶嵌成平面吗？ 几何艺术 小设计师 千变万化 学无止境 之后，不断有数学家发现新的五边形平面镶嵌方式， 其中一位只受过高中教育的50多岁家庭主妇马乔里·赖斯,在《科学美国人》杂志中了解到这一问题，并引起了浓厚的兴趣，经过不断的涂涂画画研究，于1977年前发现了4类新的五边形平面镶嵌方式。 同种特殊多边形的镶嵌 还有其它类型形状、大小相同的五边形能镶嵌成平面吗？ 几何艺术 小设计师 千变万化 学无止境 同种特殊多边形的镶嵌 还有其它类型形状、大小相同的五边形能镶嵌成平面吗？ 2015年美国华盛顿大学研究团队发现了一种新的五边形平面镶嵌方式，这一发现是运用计算机程序运算得出的。 几何艺术 小设计师 千变万化 学无止境 同种特殊多边形的镶嵌 还有其它类型形状、大小相同的五边形能镶嵌成平面吗？ 至此，我们已经发现了15类形状、大小相同的五边形能镶嵌成平面。是否还有第16类能平面镶嵌的五边形存在，期待大家的研究发现！ 几何艺术 小设计师 千变万化 学无止境 同种特殊多边形的镶嵌 还有形状、大小相同的其它多边形能镶嵌成平面吗？ 1918年莱因哈特证明：能够镶嵌平面的凸六边形仅有三类：(b=e, B+C+D=360°), (b=e, d=f, B+C+E=360°), (a=f, b=c, d=e, B=D=F=120°)。 七边形及更多边的多边形平面镶嵌已证明不存在。 几何艺术 小设计师 千变万化 学无止境 神奇的平面镶嵌 几何艺术 小设计师 千变万化 学无止境 神奇的平面镶嵌 我们研究平面镶嵌有什么意义呢？ 建筑图案设计，艺术作品创作，最大限度利用空间摆放，化学中优化晶体结构，生物细胞膜结构研究等，都有平面镶嵌理论的身影。 几何艺术 小设计师 千变万化 学无止境 小结反思 通过今天的学习： 你学到了什么知识？ 你还有哪些收获？ 你还有哪些疑问？ 几何艺术 小设计师 千变万化 学无止境 课堂延伸 1.你还能用两种正多边形（边长相等）镶嵌成其它的平面图形吗？你能用三种正多边形（边长相等）镶嵌成漂亮的平面图形吗？请展示出来。 必做作业： 2.写一篇关于平面镶嵌的数学小论文。 选做作业： 阅读《如何看待美国数学家发现可无缝密铺五边形》。 观看《探秘伊斯兰文化的复杂几何图形》。 完成一张关于平面镶嵌的思维导图。 几何艺术 小设计师 千变万化 学无止境 谢谢您的聆听 $$