3.1.2 椭圆的简单几何性质第2课时 直线与椭圆的位置关系课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.1 椭圆 1 3.1.2 椭圆的简单几何性质 第2课时 直线与椭圆的位置关系 2 【学习目标】 1.由直线与椭圆的方程,利用代数方法解决直线与椭圆位置关系的相关问题. 2.能灵活运用椭圆的相关知识解决一些生活中的问题. 3 知识点一 直线与椭圆的位置关系 直线与椭圆 的位置关系的判断方法： 由消去，得到一个关于 的一元二次方程. 直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数与 的取值的关系如下表 所示： 位置关系 解的个数 的取值 相交 ___ ______ 相切 ___ ______ 相离 ___ ______ 2 1 0 课 前 预 习 4 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）已知椭圆与点,则过点 可作出该椭圆的一条 切线.( ) × [解析] 易知点在椭圆的内部,因此过点 作不出椭 圆的切线. （2）直线与椭圆 的位置关系是相交.( ) √ [解析] 易知直线恒过点 ,此点为椭圆的右顶点,且直线斜率存在, 故直线与椭圆相交. 课 前 预 习 5 知识点二 中点弦 解决椭圆中点弦问题的方法: （1）根与系数的关系法:联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数, 利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. （2）点差法:利用弦的端点在椭圆上,坐标满足方程,将端点坐标分别代入椭圆方 程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系. 已知椭圆上两点,, 的中 点为,则有两式相减得 ,整理得 ,即直线的斜率 . 课 前 预 习 6 探究点一 直线与椭圆的位置关系 例1 已知直线，椭圆.试问当取何值时，直线 与 椭圆 解：由得 ， . （1）相交； 当直线与椭圆相交时，，则 ，解得 . 课 中 探 究 7 （2）相切； 解： 当直线与椭圆相切时，，则，解得 . （3）相离. 解： 当直线与椭圆相离时，，则，解得 或 . 课 中 探 究 8 变式（1） 直线与椭圆只有一个交点，则 的值为 ( ) C A. B. C. D. [解析] 由消去并整理得 ，因为直线 与椭圆只有一个交点，所以 ， 得，所以 ．故选C. 课 中 探 究 9 （2）若直线与焦点在轴上的椭圆 恒有两个公共 点,则实数 的取值范围是______. [解析] 直线恒过定点 ,要使直线与椭圆恒有两个公共点,则定点在 椭圆内,,又, 椭圆的焦点在轴上, , . 课 中 探 究 10 ［素养小结］ 1.判断直线与椭圆的位置关系时，由直线方程与椭圆方程构成方程组，消去方 程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则 直线与椭圆相交； 直线与椭圆相切； 直线与椭圆相离. 2.除联立椭圆方程与直线方程由判别式符号判断它们的交点个数外，还可利用 直线的某些特征，如过定点等，把“直线与椭圆的位置关系”转化为“点与椭圆的 位置关系”判断. 课 中 探 究 11 探究点二 中点弦问题 例2 已知点是直线被椭圆所截得的弦的中点，求直线 的方 程. 解：方法一:由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为 , 直线与椭圆的两交点分别为, ,椭圆的方程可化为 . 将直线方程与椭圆方程联立,消去 化简得 , 所以,解得, 所以直线的方程为 ,即 . 课 中 探 究 12 方法二:设直线与椭圆的交点为,,则 , ,两式相减,得 . 因为,,所以,即直线的斜率,所以直线 的 方程为，即 . 课 中 探 究 13 变式（1） 已知椭圆 的一条弦所在直线的方程是 ，弦的中点坐标是 ，则椭圆的离心率是( ) C A. B. C. D. [解析] 设直线与椭圆相交于， 两点，弦的中点 坐标是，则，，直线的斜率 . 由得， ， ，故椭圆的离心率 .故选C. 课 中 探 究 14 （2）直线被椭圆截得的弦的中点与椭圆中心 的连 线 的斜率为__． [解析] 设直线与椭圆的交点坐标为, ， 则，可得,. 因为, 在椭圆上，所以两式相减得 ，整理得 ，即，所以 . 课 中 探 究 15 ［素养小结］ （1）涉及弦的中点，可以使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程， 两式相减即得弦的中点坐标与斜率的关系式. （2）与弦中点有关的问题有平行弦的中点轨迹、过定点且被定点平分的弦所在 的直线方程等. 课 中 探 究 16 探究点三 生活中的椭圆问题 例3 油液在运输过程中不仅会对底部产生压力，同时会对侧壁产生压力，因为 弧形所能承受的压力会比其他形状的压力大，所以油罐车的油罐截面是椭圆.已 知某油罐车罐体长9米，截面椭圆的长轴长为2.4米，短轴长为1.6米，当静止状 态下所装汽油的高（到油罐最底部的垂直距离）为1.2米时，此时的油面面积为 _ ____平方米.（保留根式） 课 中 探 究 17 [解析] 依题意画出油罐的截面图，建立如图所示的平面直角坐标系，则 ，，所以椭圆的方程为，下顶点 . 设油面与第一象限交于，则，所以，可得 ， 所以油面的面积为 （平方米）. 课 中 探 究 18 变式1 如图①，广东韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩 深、塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的 瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关 “三区融合”的重要使命.韶州大桥的桥塔外形近似为椭圆，示意图如图②所示， 若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点， 米，桥塔最 高点 距桥面110米，则此椭圆的离心率为( ) 课 中 探 究 19 ① ② A. B. C. D. √ 课 中 探 究 20 [解析] 建立平面直角坐标系，如图所示.设椭圆方程为 ，令，得 ，解 得，依题意可得所以 所以，即，所以离心率 ．故选D. 课 中 探 究 21 变式2 [2024·河北保定高二期中] 某休闲广场呈椭圆形，在该椭圆的两个焦 点及中心处分别安装有三盏景观灯，，（在中心处），其中灯位于灯 的正东处.小王沿着该休闲广场的边沿散步，在散步的过程中，他与灯 的 最短距离为.当小王行走到点处时，他与灯，的距离之比为 ，则此 时他与灯的距离为_______ . 课 中 探 究 22 [解析] 以点为原点，所在直线为 轴建立如图所示 的平面直角坐标系，设椭圆的方程为 ，且，由小王与灯 的最短距离为，得 ，又因为，则,. 由于点与灯，的距离之比为 ，可设点与灯，的距离分别 为，， ，由椭圆的定义可知，解得， 即，. 在 中，由余弦定理可得 ， 因为为的中点，所以 ，可得 ，即 ，所以 此时小王与灯的距离为 . 课 中 探 究 23 ［素养小结］ 解决生活中的椭圆问题，先要从题目中找到椭圆中涉及的基本量，再结合椭圆 定义及其简单几何性质求解. 1.直线与椭圆的综合问题,经常要借助于一元二次方程根与系数的关系来解决弦 长、弦中点、斜率等问题. 2.椭圆既是一个轴对称图形,又是一个中心对称图形.椭圆的对称性在解决直线与 椭圆的位置关系以及一些有关面积的计算问题时,往往能起到化繁为简的作用. 3.有关椭圆的中点弦问题,通常采用“点差法”求解,通过“点差”易得弦所在直线的 斜率与弦中点坐标间的关系. 备 课 素 材 24 1.直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题,实际上是研究它们的方程组成 的方程组是否有实数解或实数解的个数问题,此时要注意分类讨论思想和数形结 合思想的应用. 例1 已知椭圆，直线 ，椭圆上是否存在一点到 直线 的距离最小?若存在，求出最小距离；若不存在，请说明理由. 解：设直线平行于直线，则可设直线的方程为 ， 由消去整理得 ， 由，得，解得或 . 易知当时，直线与椭圆的交点到直线 的距离最小， 且最小距离 . 备 用 习 题 25 2.与椭圆有关的中点、弦长问题常结合根与系数的关系、点差法、弦长公式等 加以解决. 例2 （多选题）已知椭圆的右焦点为，过点 的直线交椭圆于,两点．若的中点坐标为 ，则( ) ABD A.直线的方程为 B. C.椭圆的标准方程为 D.椭圆的离心率为 备 用 习 题 26 [解析] 因为直线过点和点，所以直线的方程为 ， 代入椭圆方程，消去，得 ， 所以的中点的横坐标为，即，又 ，所以 ,，所以椭圆的离心率为，椭圆 的标准方程为 ．故A，B，D正确，C错误.故选 . 备 用 习 题 27 3.生活中的椭圆问题 例3 如图所示，船上两根高为的桅杆，相距，一条 长的 绳子两端系在桅杆的顶上，并按如图所示的方式绷紧．假设绳子位于两根桅杆 所在的平面内，求绳子与甲板接触点到桅杆的距离（精确到 ）. 备 用 习 题 28 解：连接，以的中点为原点，所在直线为 轴， 建立如图所示的平面直角坐标系，由题意知 ，所以在以, 为焦点的椭圆上，且 ， ， 所以， ，所以 ， 所以椭圆方程为 . 由题可知，，则 ，可得 （正值舍去），所以 ， 所以到桅杆的距离约为 . 备 用 习 题 29 $$