精品解析：山东省淄博市临淄区正阳清北实验学校2024-2025学年高二上学期第一次月考检测数学试卷

绝密★启用前 高二数学月考检测 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在一段时间内，甲去某地的概率是，乙去此地的概率是，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有人去此地的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相互独立事件同时发生的概率乘法公式，（法一）至少有1人去此地包含甲去乙不去、甲不去乙去、甲去乙去三种情况，由此即可求出结果；（法二）它的对立事件是两个人都不去此地，做出两个人都不去此地的概率，再根据对立事件的概率得到结果． 【详解】解：（法一）设“甲去某地”为事件A，“乙去某地”为事件B， 则至少有一人去此地的概率为 ； （法二）所求事件的概率； 故选：C． 2. 如图，在平行六面体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的线性运算求解即可. 【详解】因为M为与的交点，所以M是与的中点， 所以. 故选：D. 3. 抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据互斥事件、和事件的知识求得正确答案. 【详解】依题意，是互斥事件， 则事件A或事件B至少有一个发生的概率为. 故选：B 4. 一只猴子任意敲击电脑键盘上的0到9这十个数字键，则它敲击两次（每次只敲击一个数字键）得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出敲击两次得到的两个数字恰好都是3的倍数的情况数，再求出敲击两次得到的两个数字的情况数，再根据概率的计算公式即可求解. 【详解】解：0到9这十个数字是的倍数的有， 故它敲击两次得到的两个数字恰好都是3的倍数有种情况, 它敲击两次得到的两个数字有种情况, 故它敲击两次得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为. 故选：B. 5. 设，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的关系列等式求解x，y的值，再运用向量加法的坐标表示公式，结合向量的模计算得出结果. 【详解】向量，且， ∴，解得， ∴， ∴， 故选：B 6. 设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】列出从5个点选3个点的所有情况，再列出3点共线的情况，用古典概型的概率计算公式运算即可. 【详解】如图，从5个点中任取3个有 共种不同取法， 3点共线只有与共2种情况， 由古典概型的概率计算公式知， 取到3点共线的概率为. 故选：A 【点晴】本题主要考查古典概型的概率计算问题，采用列举法，考查学生数学运算能力，是一道容易题. 7. 已知非零向量，，且、、不共面，若，则（ ） A. B. C. 8 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得存在，使得，进而列式求解即可. 【详解】因为，则存在，使得， 即， 则，解得，， 所以. 故选：B. 8. 在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果. 详解：以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,所以, 因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选C. 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知事件，，且，，则下列结论正确的是（ ） A. 如果，那么， B. 如果与互斥，那么， C. 如果与相互独立，那么， D. 如果与相互独立，那么， 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项在前提下，计算出，，即可判断；B选项在与互斥前提下，计算出，，即可判断；C、D选项在与相互独立前提下，计算出，， ，，即可判断. 【详解】解：A选项：如果，那么，，故A选项错误； B选项：如果与互斥，那么，，故B选项正确； C选项：如果与相互独立，那么，，故C选项错误； D选项：如果与相互独立，那么，，故D选项正确. 故选：BD. 【点睛】本题考查在包含关系，互斥关系，相互独立的前提下的和事件与积事件的概率，是基础题. 10. 已知平面，是两个不重合的平面，其法向量分别为，，给出下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用空间位置关系的向量证明逐项判断即可. 【详解】对于AB，由，得，A正确，B错误； 对于CD，由，得，则，C正确，D错误. 故选：AC 11. 如图，棱长为的正方体中，，分别为，的中点，则（ ） A. 直线与底面所成角为 B. 平面与底面夹角的余弦值为 C. 直线与直线的距离为 D. 直线与平面的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法分别求出线面角，面面角，平行线间距离及线面距离. 【详解】 如图所示，以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴， 则，，，，，， A选项：，平面的法向量， 设直线与底面所成的角为， 则， 直线与底面所成的角不为，故A错误； B选项：，， 设平面的法向量，则，令，则 设平面与底面的夹角为， 则， 平面与底面夹角的余弦值为，故B正确； C选项，， 直线与直线的距离为：，故C正确； D选项，，平面，平面， 又，平面的法向量， 直线与平面的距离为：，故D正确； 故选：BCD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 有一个正12面体,12个面上分别写有1～12这12个整数,投掷这个12面体一次,则向上一面的数字是2的倍数或3的倍数的概率为___. 【答案】 【解析】 【分析】列出所有基本事件和满足题意的情况，根据古典概率公式即可得到答案. 【详解】据题意所有的基本事件数为12,其中2或3的倍数有：2,3,4,6,8,9,10,12,共8个. 故所求的概率为. 故答案为： 13. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是____． 【答案】 【解析】 【分析】 设向量在向量上的投影向量是，由题意可得，求得实数的值，即可得解. 【详解】设向量在向量上的投影向量是， 由题意可得，即，解得， 因此，向量在向量上的投影向量是. 故答案为：. 14. 已知，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】由求解，再排除与共线时的值即可得答案. 【详解】因为与的夹角为钝角， ，解得， 由题意得与不共线，则，解得， 的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共76分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 2023年上海书展于8月16日至22日在上海展览中心举办.展会上随机抽取了50名观众，调查他们每个月用在阅读上的时长，得到如图所示的频率分布直方图： （1）求x值，并估计这50名观众每个月阅读时长的平均数； （2）用分层抽样的方法从这两组观众中随机抽取6名观众，再若从这6名观众中随机抽取2人参加抽奖活动，求所抽取的2人恰好都在这组的概率. 【答案】（1），平均数为； （2） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出，再求出阅读时长的平均数. （2）求出抽取的6名观众中，区间内的人数，再利用列举法求出古典概率即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图得：，解得， 阅读时长在区间内的频率分别为， 所以阅读时长的平均数. 【小问2详解】 由频率分布直方图，得数据在两组内的频率比为， 则在内抽取人，记为，在内抽取 人，记为， 从这名志愿者中随机抽取人的不同结果如下： ，共15个， 其中抽取的人都在内的有，共6个， 所以所抽取2人都在内的概率． 16. 平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱，且，为中点，为中点，设，，. （1）用向量，，表示向量； （2）求线段的长度. （3）求直线与直线的夹角. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的几何体，利用空间向量的线性运算即可求解. （2）由（1）的结论，利用空间向量数量积的运算律求出模长. （3）利用向量夹角公式求出线线角. 【小问1详解】 由于为中点，为中点， ，，， 所以 【小问2详解】 平行六面体的底面是边长为2的正方形，，且， 则，，，而， 于是 ，则， 所以线段PM长为. 【小问3详解】 由（2）知，，，又，， ，设直线与直线的夹角为， 因此， 所以直线与直线的夹角为. 17. 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响. （1）求甲、乙各射击一次均击中目标的概率； （2）求甲射击4次，恰有3次连续击中目标的概率； （3）若乙在射击中出现连续2次未击中目标就会被终止射击，求乙恰好射击4次后被终止射击的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由于两人射击是否击中目标相互之间没有影响，所以由相互独立事件的概率公式求解即可； （2）记事件表示“甲第次射击击中目标”，并记“甲射击4次，恰有3次连续击中目标”为事件C，则，且与是互斥事件，再由独立事件和互斥事件的概率求解即可； （3）记事件表示“乙第次射击击中目标”，事件D表示“乙在第4次射击后被终止射击”，则，且与是互斥事件，再利用由独立事件和互斥事件的概率求解即可. 【小问1详解】 用事件A表示“甲击中目标”，事件B表示“乙击中目标”. 依题意知，事件A和事件B相互独立， 因此甲、乙各射击一次均击中目标的概率为. 【小问2详解】 用事件表示“甲第次射击击中目标”，并记“甲射击4次，恰有3次连续击中目标”为事件C，则，且与是互斥事件. 由于，，，之间相互独立， 所以与（i，，且）之间也相互独立. 由于， 所以， 故 . 所以甲射击4次，恰有3次连续击中目标的概率为. 【小问3详解】 用事件表示“乙第次射击击中目标”，事件D表示“乙在第4次射击后被终止射击”， 则，且与是互斥事件. 由于，，，之间相互独立， 所以与（i，，且）之间也相互独立. 因为， 所以， 故 . 所以乙恰好射击4次后被终止射击的概率为. 18. 如图，且，，且，且，平面，. （1）若为的中点，为的中点，求证：平面； （2）求点到线段的距离； （3）求到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向，再利用空间位置关系的向量证明推理即得. （2）利用空间点到直线的距离公式计算即可. （3）求出平面的法向量，再利用向量法求出点到平面的距离. 【小问1详解】 由，平面，得直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，令，得， 显然，即，而直线平面， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）知， 所以点到直线有距离. 【小问3详解】 由（1）知，，，． 设平面的法向量为，则，令，得． 所以到平面的距离. 19. 如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M，N分别是，的中点，点在线段上，且. （1）证明：； （2）当取何值时，直线与平面所成角最小? （3）是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明如下： 因为，，则，即， 如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系， 则， 可得，， 即，， 又因为，可得， 所以无论取何值，. （2） （3）存在，点为上靠近的四等分点 【解析】 【分析】（1）建系标点，利用空间向量证明线线垂直； （2）求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角，结合二次函数分析求解； （3）假设存在，利用空间向量处理面面夹角，列式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知：， 设平面的一个法向量为，则， 取，则，可得， 可得， 令，则， 所以当，即时，取得最小值，此时. 【小问3详解】 假设存在，易知平面的一个法向量为 因，， 设是平面的一个法向量，则， 令，可得，可得， 则， 化简得，解得或， 因为，可得， 所以存在点使平面与平面所成二面角正弦值为，点为上靠近的四等分点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 高二数学月考检测 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在一段时间内，甲去某地的概率是，乙去此地的概率是，假定两人的行动相互之间没有影响，那么在这段时间内至少有人去此地的概率是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在平行六面体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 3. 抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 一只猴子任意敲击电脑键盘上的0到9这十个数字键，则它敲击两次（每次只敲击一个数字键）得到的两个数字恰好都是3的倍数的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 设，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 6. 设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知非零向量，，且、、不共面，若，则（ ） A. B. C. 8 D. 13 8. 在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知事件，，且，，则下列结论正确的是（ ） A. 如果，那么， B. 如果与互斥，那么， C. 如果与相互独立，那么， D. 如果与相互独立，那么， 10. 已知平面，是两个不重合的平面，其法向量分别为，，给出下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 如图，棱长为的正方体中，，分别为，的中点，则（ ） A. 直线与底面所成的角为 B. 平面与底面夹角的余弦值为 C. 直线与直线的距离为 D. 直线与平面的距离为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 有一个正12面体,12个面上分别写有1～12这12个整数,投掷这个12面体一次,则向上一面的数字是2的倍数或3的倍数的概率为___. 13. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是____． 14. 已知，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是_________. 四、解答题：本题共5小题，共76分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 2023年上海书展于8月16日至22日在上海展览中心举办.展会上随机抽取了50名观众，调查他们每个月用在阅读上的时长，得到如图所示的频率分布直方图： （1）求x的值，并估计这50名观众每个月阅读时长的平均数； （2）用分层抽样的方法从这两组观众中随机抽取6名观众，再若从这6名观众中随机抽取2人参加抽奖活动，求所抽取的2人恰好都在这组的概率. 16. 平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱，且，为中点，为中点，设，，. （1）用向量，，表示向量； （2）求线段的长度. （3）求直线与直线的夹角. 17. 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响. （1）求甲、乙各射击一次均击中目标的概率； （2）求甲射击4次，恰有3次连续击中目标的概率； （3）若乙在射击中出现连续2次未击中目标就会被终止射击，求乙恰好射击4次后被终止射击的概率. 18. 如图，且，，且，且，平面，. （1）若为的中点，为的中点，求证：平面； （2）求点到线段的距离； （3）求到平面的距离. 19. 如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，M，N分别是，的中点，点在线段上，且. （1）证明：； （2）当取何值时，直线与平面所成角最小? （3）是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正弦值为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $