2024-2025学年人教版九年级上册数学期中考试冲刺讲义第10讲：期中复习（一）

2024年秋季初中数学专属讲义 课题：期中复习（一） 学生姓名：*** 授课教师：*老师 2024年 月 日 学科网（北京）股份有限公司 适用学科 初中数学 适用年级 九年级 适用版本 人教版 课时时长（分钟） 120 知识点 垂径定理与圆周角定理 教学目标 1. 掌握圆中弧中点与垂径定理构造 2. 掌握弧中点与角平分线构造 3. 掌握圆综合计算 教学重点 圆综合证明与计算 教学难点 圆中基本性质的综合使用 【课堂笔记】 一、垂径定理（BC，OC，OB，AB，AC这五条线段，知二求三） 2、 弧中点条件 已知AB为⊙0直径，M为弧AC中点， 证明：①BM平分∠ABC或∠ABC的补角； ②若OM交AC于D，则OM∥BC，OD＝BC； ③过M作AB的垂线交AB于N，证明：MN＝AC； ④直线AM，BC交于点P，证明：BP＝AB. 重要的数学思想方法有： ①构造思想：如：①构建矩形转化线段； ②构造垂径定理板型：弦长一半、弦心距、半径； ③构造勾股定理板型． ④方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题 专题一：弧中点与垂径定理 【例题精讲】 【例1】已知，AB是⊙O的直径，C是BG弧中点，CD⊥AB于D。BG交CD、AC于E、F。 求证：（1）CD=BG 求证：（2）BE=EF=CE 求证：（3）GF=2DE 【例2】如图，在圆O中AB为直径，且∠CAD=∠DAB （1）求证：OD∥AC （2）若AD=，AB=13，求AC的长 【牛刀小试】 【练1】如图，AB为⊙O的直径，AC、BC为⊙O的弦，弦BD平分∠ABC，交AC于点E，弦DF⊥AB垂足为点G，交AC于点H. （1）证明：AH=DH； （2）若AG=2，DG=4，求BC的长. 【练2】如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，AD=CD （1） 若∠CAB=40°，求∠CAD的度数 （2） 若CB=4，AD=3,求⊙O半径 【例题精讲】 【例3】如图，在圆O中，A为BC优弧中点，连接AO （1） 求证：AO⊥BC （2） 过B点作BM∥AO交CA的延长线与点M，若CM=16，OA=5，求BM的长 【例4】如图，以△ABC的边AB为直径的半圆与其他两边AC，BC交于点D，E为DB劣弧中点 （1） 求证AC=AB （2） 若BC=6，AB=8，求CD的长 【牛刀小试】 【练3】如图，△ABC中，AB=AC，AB为圆O直径，圆O分别交AC，BC于点D，E，连接DE，AE （1） 求证：∠CED=2∠CAE （2） 若DE=15，AE=20，求CD的长 【练4】如图，圆O经过A，B，C三点，AB=AC，点P为弧AB中点，BC=45，圆的半径为25 （1） 求AB的长 （2） 连接PA，求PA的长 专题二：弧中点与邻补四边形 【例题精讲】 【例1】等边△ABC的外接圆为圆O，D为圆上任意一点，连接CD、BD、AD （1） 当D在优弧AB上时，探究AD、CD、BD的线段关系 （2） 当D在劣弧AB上时，探究AD、CD、BD的线段关系 【例2】如图，直径AB、CD互相垂直，P为上一动点，连PC、PA、PD、PB. （1）求证：PC+PD=PA；（2）求证： 【例3】如图，⊙O的内接△ABC的外角∠ACB的平分线交⊙0于E，EF⊥BD于F （1）探索EO与AB的位置关系，并予以证明； （2）当△ABC的形状发生改变时，的值是否发生改变？若不变，请求出该值：若改变，请求出其变化范围 【牛刀小试】 【练1】如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC＝∠CPB＝60° (1) 判断△ABC的形状并证明你结论 (2) 若PB＝4，PA＝6，求出AB和PC的长 【练2】已知A,C,E为圆上的点，且CA=CE （1） 求证OC⊥AE （2） 过点C作CD⊥AB于点D，AB为直径 ①求证AE=2CD ②若BD=1，AE=4，求AC的长 【练3】如图，⊙O为△ABD的外接圆，E为△ABD的内心，DE的延长线交⊙O于C (1) 如图1，求证：CE＝AC (2) 如图2，AB为⊙O的直径，AB＝10，AD＝8 ① 求S△ADE ② 求的值 课后作业 1. 如图，⊙O为△ABC的外接圆，AB为直径，F是⊙O上一点，，CD⊥AB于D，连AF交CD于E. （1）求证：AF=2CD；（2）若CD=4，⊙O的半径为5，求AE的长. 2. 已知，△ABC内接于⊙O，AC为⊙O的直径，点D为优弧的中点. （1）如图1，连接OD，求证：AB∥OD； （2）如图2，过点D作DE⊥AC，垂足为E．若AE=3，BC=8，求⊙O的半径. 3. 如图，⊙O为△ABC的外接圆，弦CP平分△ABC的外角∠BCQ，∠ACB=120°，求的值 4. 如图，A，B为⊙O上的点，D为AB的中点，C在AD上，且∠ACB＝120°，DE⊥BC于E，若AC＝DE，则的值为__________ 5. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙0上(AC＞BC)，点I是△ABC的内心，CI的延长线交⊙O于点D. （1）求∠ACD的度数； （2)求证：DA=DI； （3)若CI=，ID=，求BC的长. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$