2024-2025学年人教版九年级上册数学期中考试冲刺讲义第9讲：圆周角与圆心角

2024年秋季初中数学专属讲义 课题：圆心角与圆周角 学生姓名：*** 授课教师：*老师 2024年 月 日 学科网（北京）股份有限公司 适用学科 初中数学 适用年级 九年级 适用版本 人教版 课时时长（分钟） 120 知识点 圆心角与圆周角 教学目标 1. 掌握圆中角度转化 2. 掌握三角形的外接圆 3. 掌握圆综合计算 教学重点 1. 掌握垂径定理 2. 掌握圆周角定理 教学难点 圆中基本性质的综合使用 【课堂笔记】 一、圆心角定理 示意图 圆心角定理 圆心角定理 推论1 推论2 顶点在圆心，并且两边都与圆相交，我们把这样的角叫做圆心角． 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 在同圆或等圆中，如果两条弧相等．那么它们所对的圆心角相等，把对的弦相等． 在同圆或等圆中，如果两条弦相等那么它们所对的圆心角相等．(圆心角)所对的弧相等． 圆是以＿＿＿＿为对称中心的＿＿＿＿图形．实际上，圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形＿＿＿＿，这种性质叫做圆的旋转不变性．圆即是＿＿＿＿图形，又是＿＿＿＿图形． 如上图，若下列三个等式：①∠AOB＝∠COD；②AB＝CD；③中有一个等式成立，则其它两个等式也成立．一般的，用“知一推二”来记忆圆心角定理及其推论． 注意：由②得①③时，要确定弦所对的是优弧、劣弧还是半圆． 二、圆周角定理 示意图 圆周角的定义 圆周角定理 推论1 推论2 顶点在圆上，并且两边都与圆相交．我们把这样的角叫做圆周角． 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧长也相等． 半圆或直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 同一条弧所对的圆周角有＿＿＿＿个．如上图，我们可以得到：∠AOB＝＿＿＿∠ACB． 三、圆内接四边形 示意图 圆内接多边形 性质 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆． 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆． 圆内接四边形的对角互补 如图，∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°． 专题一：圆中弧、弦、角的转化 【例题精讲】 【例1】下列命题正确的是（ ） A相等圆心角所对的弧相等 B等弧对等弦 C在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等 D相等的圆心角所对的弦相等 【例2】已知弧AB、弧CD是同一圆中的两段劣弧，且弧AB＝2弧CD，则弦AB与CD的关系是（ ） A AB＝2CD B AB＜2CD C AB＞2CD D 无法判断 【例3】在⊙O中，P为直径AB上一动点，C、D为两半圆上的两动点，CD交AB于H，则以下说法：（1）若弧AC＝弧AD，则∠APC＝∠APD；（2）若PC＝PD，则∠APC＝∠APD；（3）若∠APC＝∠APD，则CH＝HD。其中正确的个数是（ ） A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 【牛刀小试】 【练1】关于圆的性质有以下四个判断：①垂直于弦的直径平分弦，②平分弦的直径垂直于弦，③在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等，④在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，则四个判断中正确的是（　　） A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 【练2】如图，AB为直径，CD是弦，AB⊥CD. (1) P是弧CAD上一点(不与C、D重合)，求证：∠CPD＝∠COB . (2)点P’在劣弧CD上(不与C、D重合)时，∠CP’D与∠COB有什么数量关系?请证明你的结论. 【练3】如图，△ABC内接于⊙O、AD⊥BC，D为垂足，E是BC中点，求证：∠EAO＝∠EAD. 【例题精讲】 【练1】如图，A，B，C，D是⊙O上四点，且AB＝DC，求证：AD∥BC. 【例2】在圆O中，M，N分别为OA，OB的中点，CM⊥OA，ND⊥OB，求证：弧AC=弧BD 【牛刀小试】 【练2】如图，⊙O的弦AB和弦CD相交于点E，AB＝CD，求证：AD＝CB 【练2】如图，AB为圆O直径，C为OA中点，F为OB中点，CD⊥OA，EF⊥OB，E、D都在圆O上 （1） 求证：弧AD=弧DE=弧BE （2） 求证：AE=2EF 专题二：圆中的角度计算 【例题精讲】 【例1】（1）如图1，点A、B、C在⊙O上，AC∥OB，∠BAO=25°，则∠BOC的度数为 图3 图2 图1 （2）如图2，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，∠A=42°，∠APD=77°，则∠B的大小是 （3）如图3，△ABC内接于⊙O，若∠A=α，则∠OBC等于 （用α表示） 【例2】（1）如图4，⊙O的直径AB垂直于弦CD，∠CAB=36°，则∠BCD的大小是 （2）如图5，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD=30°，则∠BAD为 （3）如图6，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED=20°，则∠BCD的度数为 图5 图6 图4 【例3】（1）如图1，⊙O中，若∠AOB＝100°，则∠C＝ ，∠D＝ . 图1 图2 图3 （2）如图2四边形ABCD是圆内接四边形，AB是圆的直径，若∠BAC=20°，则∠ADC等于 （3）如图3，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝CD，A为中点，∠BDC＝60°，则∠ADB等于 【牛刀小试】 【练1】如图4，B、C是⊙A上的两点，AB的垂直平分线与⊙A交于E、F两点，与线段AC交于D点．若∠BFC=20°，则∠DBC=（　　） 图5 图4 【练2】如图5，A，B，C，D是⊙O上的四个点，B是弧AC的中点，M是半径OD上任意一点．若∠BDC=40°，则∠AMB的度数不可能是（　　） 【练3】如图，AB为⊙O的直径，C，D，E是⊙O上的三点，则∠1＋∠2的度数＝ . 【练4】如图，A，B，C，D，E是同一圆上顺次的五点，∠CAD＝80°，则∠ABC＋∠AED等于 . 【练5】如图，PAB、PCD是⊙O的两条割线，PAB经过圆心O，若弧AC＝弧CD，∠P＝30°，则∠BDC的度数是 . 【练6】如图，A、B、C、D为⊙O上四点，AB、DC交于点AD、BC交于E点，若∠E＝40°，∠F＝30°， 则∠A的度数为 . 【练7】如图，AB是⊙O的直径，C，D，E是⊙O上的点，若＝，∠E＝70°，求∠ABC的度数. 【练8】如图，在⊙O中，半径OA与弦BD垂直，点C在⊙O上，∠AOB＝80° (1) 若点C在优弧BD上，求∠ACD的大小 (2) 若点C在劣弧BD上，直接写出∠ACD的大小 专题三：构造直径与内接四边形 【例题精讲】 【例1】如图，△ADE为等腰三角形，以AD为直径构造圆O交AE于点B，交DE于点C （1） 求证：BC=BE （2） 求证：B为AE中点 【例2】如图，已知在△ABC中，AB＞AC，∠A的外角平分线交△ABC的外接圆于点E，过E作EF⊥AB，垂足为F， （1）求证：弧EC=弧EB （2）求证：AB－AC＝2AF 【牛刀小试】 【练1】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC=5，CD=3，AB=，则⊙O的直径为 【练2】如图，AB，BC为圆O的弦，D为弧AC中点，DE⊥BC （1）若∠ABC=100°，求∠DBC的度数 （2）求证：AB+CE=BE 专题四：三角形的外接圆 【例题精讲】 【例1】（1）如图1，△ABC中，AB＝AC，BC＝,S△ABC＝3．则△ABC外接圆的半径R的值为 ． （2）如图2，△ABC中，BC＝，∠BAC＝60°，则△ABC的外接圆的半径R的值为 ． （3）如图3，△ABC中，BC＝，∠BAC＝135°，则△ABC的外接圆的半径R的值为 ． （4）如图4，△ABC中，BC＝，∠BAC＝45°，则△ABC的外接圆的半径R的值为 ． （5）△ABC中，BC＝16，AB＝AC＝．则△ABC的外接圆的半径R的值为 ． 【牛刀小试】 【练1】（1）若AB是⊙O的直径，AC、AD是弦，AB=2，AC=，AD=1，则∠CAD= (2)圆的弦长恰好等于该圆的半径，则这条弦所对的圆周角是 度. (3)△ABC内接于⊙O，∠AOB＝100°， 则∠ACB＝ 度. 【练2】如图，△ABC的外接圆O的半径为1，点D、E分别是AB、AC的中点，BF为AC边上的高，若，探究线段BF与线段DE的数量关系 课后作业 1. 已知点A，B，C在⊙O上，则下列命题为真命题的是（　　） A．若半径OB平分弦AC，则四边形OABC是平行四边形 B．若四边形OABC是平行四边形，则∠ABC＝120° C．若∠ABC＝120°，则弦AC平分半径OB D．若弦AC平分半径OB，则半径OB平分弦AC 2. 如图，在⊙O中，点C为弧AB的中点．若∠ADC＝α（α为锐角）则∠APB＝ 3. 如图，已知△ABC的三个顶点都在⊙O上，过圈心O作BC的垂线交⊙O于P、Q，交BC于D， QP、CA的延长线交于点E，求证:∠BAO＝∠E. 4. 如图，在△ABC 中，BC=cm，AB=AC，∠BAC=120°． ①尺规作图：作△ABC的外接圆（只需作出图形，并保留作图痕迹） ②求它的外接圆半径 5. 如图，在⊙O中，，．（1）求的度数；（2）求⊙O的周长． 6. 如图，Rt△ABE内接于⊙O，半径OD垂直于AB，垂足为C，连接CE．若AB＝8，CD＝2，则△BCE的面积是 ． 7. 如图，在⊙O中，半径OA⊥弦BC于点H，点D在优弧BC上 （1）若∠AOB=50°，求∠ADC的度数； （2）若BC=8，AH=2，求⊙O的半径． 8. 如图，过等腰△ABC 三边的中点 D、F、G 作⊙O，并与两腰AB、 AC 分别相交于点 H、E，若∠B=72°，则∠BDH= 9. 已知 AB 是⊙O的直径，C 是⊙O上一点，弦CD平分∠ACB (1) 判断△ABD 的形状并加以证明 (2) 若 AC＝6，BC＝8，AI平分∠CAB交CD于I ①求证：AD=ID=BD ②求CI的长 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$