2024-2025学年人教版九年级上册数学期中考试冲刺讲义第8讲：圆与垂径定理

2024年秋季初中数学专属讲义 课题：圆与垂径定理 学生姓名：*** 授课教师：*老师 2024年 月 日 学科网（北京）股份有限公司 适用学科 初中数学 适用年级 九年级 适用版本 人教版 课时时长（分钟） 120 知识点 圆的基本性质 教学目标 1.圆的认识 2.掌握垂径定理的证明与计算 3.掌握垂径定理的最值 教学重点 1. 掌握垂径定理的证明与计算 教学难点 圆中基本性质的综合使用 【课堂笔记】 一、垂径定理 示意图 垂径定理 推论 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 如图，是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥，则AM＝，，． 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 如图，是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，＜CD，与CD交于点M，AM＝，则CD⊥，，． 圆是＿＿＿图形，它有＿＿＿对称轴，每一条过＿＿＿的直线都是它的对称轴． 垂径定理“知二求三”： 结合垂径定理和勾股定理易得：半径r、弦a、弦心距d的关系式： 专题一：圆的基本概念 【例题精讲】 【例1】（1）下列说法中，正确的是 （填序号） ①直径是弦，弦是直径 ②半圆周是弧 ③圆上的点到圆心的距离都相等 ④同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长 ⑤长度相等的弧是等弧． ⑥半径相等的两个圆是等圆 【例2】半径为5的圆的一条弦长不可能是(　 ) A. 3 B. 5 C. 10 D. 12 【牛刀小试】 【练1】已知P是⊙O内部一点，经过点P作圆的直径，则可作直径的数量为（ ） A.1条 B.2条 C.3条 D.1条或无数条 【练2】P为平面内一点，P点到圆心最大距离为9，最小距离为3，则该圆的半径= 【例题精讲】 【例1】(1)如图，AB,CD为⊙O的两条弦，AB=CD，求证：∠C=∠A （2）如图，在圆O中，CD为⊙O的弦，AB是直线CD上两点，AC=BD，求证OC=OD （3）如图，△ABC的顶点都在⊙O上，点O是圆心，点D，E分别在边AC，AB上 ①求证：CO⊥AB ②若∠DOE=120°，求证：AE=BE 【牛刀小试】 【练1】AB为圆O直径，CD为圆O的弦，求证 【练2】AB为圆O直径，D、E为圆上两点，且2DE=AB，∠A=55°，求∠B的度数 【练3】如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，CO的延长线交AB于点D，求证：∠DOA=∠DAC 专题二：垂径定理的证明与计算 【例题精讲】 【例1】下列说法错误的是( ) A. 垂直于弦的直径平分弦 B. 垂直于弦的直径平分弦所对的弧 C. 平分弦的直径平分弦所对的弧 D. 平分弧的直径垂直平分弧所对的弦 【例2】如图，AB为圆O的弦，C为弧AB中点，OC交AB于点D，AE为直径，请写出五个关系下图中正确的结论 【牛刀小试】 【练1】如图，在⊙O中，AB＝AC，P、Q分别为AB、AC的中点，过P、Q两点作弦DE。 求证：DP＝EQ。 【练2】如图，AB和CD分别是⊙ O上的两条弦，过点O分别作ON⊥CD于点 N，OM⊥AB 于点M，若ON=AB，证明：OM=CD． 【例题精讲】 【例3】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD=8，OP=3 则BP= ；AC= 。 【例4】“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何”此问题的实质就是解决下面的问题：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1，AB=10，求CD的长”．根据题意可得CD的长为 ． 【例5】已知弧AB＝弧AC，圆心O到BC的距离为3cm，圆半径为7cm，求AB。 【牛刀小试】 【练3】如图，残破的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D，AB＝24 cm，CD＝8 cm，则圆的半径为___________cm 【练4】已知：⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，求AC的长。 【练5】如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D，已知AB＝2CD，AB到圆心的距离OM＝CD， (1)求证：AC＝BD； (2)若AB＝2CD，大圆的半径与小圆的半径． 【例题精讲】 【例6】小英家的圆镜子被打破了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是 【例7】在下列网格线中，使用无刻度直尺画出过A、B、C三点的圆O的圆心 【牛刀小试】 【练6】如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点 A、B、C，请在网格图中进行下列操作： ①利用网格确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出点 D 坐标为 ； ②连接 AD、CD，则圆D 的半径为 ，∠ADC 的度数为 ； 【练7】如图，△ABC的顶点都在圆O上，AC为直径，D为AB劣弧中点 ①利用无刻度直尺找到△ABC的重心（提示：三角形三条中线交于一点） ②若CB=6，AD=，求圆O的半径 【例题精讲】 【例6】如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝1，若C为圆心，CB为半径的圆交AB于点P，则AP＝ 。 【例7】如图，已知C为⊙O的弦AB上一点，CD⊥OC交⊙O于D，∠OCA＝45°，AC＝8，BC＝4，则CD的长是 . 【例8】如图，在圆O中，弦AB，弦CD互相垂直于点E，AE=2,BE=6，CE=4，求圆O的半径 【牛刀小试】 【练8】如图所示，在圆⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，求BC的长。 【练9】如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为 专题三：垂径定理有关的最值 【例1】如图，在下列网格线中正方形边长为1，使用无刻度尺完成下列问题 （1） 画出过A、B、C三点的圆O，并求出半径 （2） 过圆心O的直线l⊥AB，在直线l上找到一点P，使得BP+CP最小，并求出其值 【例2】在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ． （1）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度； （2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值． 【例3】如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动(点C、D与点A、B不重合)，M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，CD＝6，AB＝10，则PM的最大值是 【牛刀小试】 【练1】如图，P为⊙O内一定点，A为⊙O上一个动点，射线AP、AO分别与⊙O交于B、C两点，若⊙O的半径为3，，则弦BC的最大值是 【练2】如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C是弧AB上的一动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E． （1）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由； （2）当BC＝1时，求线段OD的长和△DOE的面积； 如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN 是直径，AB⊥MN 于点 E，CD⊥MN 于点 F，P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为 【课后作业】 1. 下列命题正确的有 ①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧；④弧是半圆；⑤长度相等的两条弧是等弧；⑥等弧的长度相等 ⑦两个劣弧之和等于半圆；⑧半径相等的两个圆是等圆；⑨两个半圆是等弧 2. 如图，设AB⊥CD于E，且E在线段OA，设CD＝8，AE＝d，则⊙O的半径R与d之间的函数关系式为（ ） A R＝d＋4 B C D 3. 我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深ED＝1寸，锯道长AB＝1尺（1尺＝10寸）．问这根圆形木材的直径是　 　寸． 4. 课堂上，师生一起探究知，可以用圆柱形管子的内径去测量球的半径．小明回家后把小皮球置于保温杯口上（内径 AD 的长为 8cm），经过思考找到了测量方法，并画出了草图（如图）．请你根据图中的数据，帮助小明计算小皮球的半径 5. 如图，BE是⊙O的直径，半径OA⊥弦BC，点D为垂足，连AE、EC （1）若BC=8,CE=6,求AE的长 （2）若∠BEA＝∠B，BC＝6，求⊙O的半径 6. 如图，半径为2的圆内有两条互相垂直的弦AB和CD，它们的交点E到圆心O的距离等于1，则AB2＋CD2的值为 . 7. 如图，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货．此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响． （1）B处是否会受到台风的影响？请说明理由． （2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？ 8. 小雅同学在学习圆的基本性质时发现了一个结论：如图，在⊙O中，OM⊥弦AB于点M，ON⊥弦CD于点N，若OM＝ON，则AB＝CD； （1）请你帮小雅证明这个结论； （2）运用以上结论解决问题：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，O是△ABC三条内角平分线的交点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与△ABC三边分别相交于点D、E、F、G，若AD＝9，CF＝2，求△ABC的周长． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$