2024-2025学年人教版九年级上册数学期中考试冲刺讲义第7讲：旋转作图与计算

2024年秋季初中数学专属讲义 课题：旋转作图与计算 学生姓名：*** 授课教师：*老师 2024年 月 日 学科网（北京）股份有限公司 适用学科 初中数学 适用年级 九年级 适用版本 人教版 课时时长（分钟） 120 知识点 旋转作图与计算 教学目标 1.理解旋转三要素 2.掌握解三角形的计算 3.根据网格线完成作图 4.利用几何图形性质完成作图 教学重点 1. 掌握网格作图 2. 掌握无网格作图 教学难点 无刻度直尺构图策略 【课堂笔记】 旋转的概念 1. 一个图形绕着某一定点旋转一个角度后得到另一个图形的运动称为旋转，这个定点叫旋转中心，转动的角叫旋转角． 2. 旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角 旋转的性质 1. 对应点到旋转中心的距离相等； 2. 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 3. 旋转前、后的图形全等． 中心对称图形 把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合．那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 专题一：旋转的性质 【例题精讲】 【例1】（1）如图，等腰Rt△ABC中，∠B=90°，将△ABC绕顶点A逆时针旋转60°后得到△AB′C′. 则∠BAB′等于 （2）如图，E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，BE=CF，连接CE、DF．将△BCE绕着正方形的中心O按逆时针方向旋转到△CDF的位置，则旋转角是 ° （3）如图，点P是正三角形ABC内一点，若将△PAC绕点A逆时针旋转得到△P′AB，则∠PAP′的度数为 ． 【例2】（1）如图，在矩形ABCD中，AD=4，DC=3，将△ADC按逆时针方向绕点A旋转到△AEF(点A，B，E在同一直线上)的位置，连接CF，则CF= ． （2）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，△A′B′C可以由△ABC绕点C顺时针旋转得到，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点，连接AB′，且A、B′、A′在同一条直线上，则AA′的长为 （3）如图，在直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接MB，则MB的长度是________. 【牛刀小试】 【练1】在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E． （1）当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小； （2）若α＝60°时，点F是边AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形． 【练2】如图将一块直角三角板ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合. （1）三角尺旋转了多少度？ （2）连接CD，试判断△CBD的形状； （3）求∠BDC的度数； （4）若AC=2，求△BCD的面积， 【练3】如图Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝50°，点D在边BC上，BD＝2CD，把△ABC绕着点D旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，则m＝________． 专题二：中心对称图形 【例题精讲】 【例1】（1）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A.①②③④ B.③ C.①③ D.①③④ （2）如图是4×4的正方形网格，请在其中选取一个白色小正方形将它涂黑，使整个黑色部分是一个中心对称图形，则选取白色正方形的标号是（ ） A.① B.② C.③ D.④ 【例2】（1）如图，已知平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（－2，3），则点C的坐标为（ ） A.（－3，2） B.（－2，－3） C.（3，－2） D.（2，－3） （2）若点P1 (2－m，5)关于原点对称的点是P2 (3，2n+1)，则m－n的值为 ( ) A. 6 B.－3 C. 8 D. 9 （3）若点P(l－2a，a－1)关于原点的对称点是第一象限的点，则a的取值范围是 . （4）抛物线绕点O旋转180°后对应的抛物线的解析式为 【牛刀小试】 【练1】（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是　 　； A．矩形 B．正五边形 C．菱形 D．正六边形 （2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：　 　（填序号）； （3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形． 其中真命题的个数有　 　个； A．0 B．1 C．2 D．3 （4）如图2的旋转对称图形由等腰直角三角形和圆构成，旋转角有45°，90°，135°，180°，将图形补充完整． 【练2】如图，在平面直角坐标系中有点A(－4，0)、B(0，3)、P(a，－a)三点，线段CD与AB关于点P中心对称，其中A、B的对应点分别为C、D (1) 当a＝－4时 ① 在图中画出线段CD，保留作图痕迹 ② 线段CD向下平移个单位时，四边形ABCD为菱形 (2) 当a＝___________时，四边形ABCD为正方形 专题三：旋转作图 【例题精讲】 【例1】如图，△ABC的顶点坐标分别为A（﹣4，5），B（﹣5，2），C（﹣3，4） （1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标为　 　； （2）D是x轴上一点，使DB+DC的值最小，画出点D（保留画图痕迹）； （3）P（t，0）是x轴上的动点，将点C绕点P顺时针旋转90°至点E，直线y＝﹣2x+5经过点E，则t的值为　 　． 【例2】如图，在下列5×6的网格中，横、纵坐标均为整点的数叫做格点，△ABC为格点三角形 请用无刻度直尺完成下列作图 （1） 将△ACB绕点C逆时针旋转90°得到△ECF （2） 连接BF，取BF中点D，连接CD交BE于点M，求DM的长度 （3） 求的值 【例3】如图，在下列10×10的网格中，横、纵坐标均为整点的数叫做格点，例如A（2，1）、B（5，4）、C（1，8）都是格点. ①直接写出△ABC的形状； ②要求在上图中仅用无刻度的直尺作图：将△ABC绕点A顺时针旋转角度得到，，其中B，C的对应点分别为，，操作如下： 第一步：找一个格点D，连接AD，使∠DAB=∠CAB； 第二步：找两个格点，E，连接交AD于； 第三步：连接，则交即为所做出的图形. 请你按步骤完成作图，并直接写出D、、E三点的坐标. 【例4】如图，在9×9的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，例如A(2，6)、B(5，2)、C(2，2)．现将△ABC绕AB的中点D逆时针旋转90°到△EFM，A的对应点为E，B的对应点为F (1) 画出△EFM，并直接写出M点的坐标 (2) 求四边形AEBF的面积 【牛刀小试】 【练1】如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点在格点上，仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题： (1) 将边BC绕点C顺时针旋转90°得到线段CD (2) 画边AC的中点E (3) 连接DE并延长交BC于点F，直接写出CF的长 (4) 在AB上画点G，连接FG，使FG∥CD 【练2】如图，在下列8×8的网格中，横、纵坐标均为整点的数叫做格点，△ABC的顶点都在格点上 (1)求AC、BC的长 (2)要求在上图中仅用无刻度的直尺作图： ①BE⊥CA于E ②将△ABC绕点O逆时针旋转90°和180°的图形 ③M为AB中点，N在AC上，使MN∥BC 【练3】如图，在下列5×8的网格中，横、纵坐标均为整点的数叫做格点，将格点△ABC绕点B旋转180°-∠ABC，得到△EMB，请按照下列步骤作出△EMB （1） 取点E，连接BE，得到BA对应线段BE （2） 取格点F，使得∠CBF=180°－∠ABC （3） 取格点N，连接CN交BF于点M，则△EMB即为所作出图形 请你按照步骤完成作图，并直接写出E、F、N坐标 【练4】在8×5的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（3，4），B（8，4），C（5，0）．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题： （1）将线段CB绕点C逆时针旋转90°，画出对应线段CD； （2）在线段AB上画点E，使∠BCE＝45°（保留画图过程的痕迹）； （3）连接AC，画点E关于直线AC的对称点F，并简要说明画法． 专题四：几何图形中的旋转证明 【例题精讲】 【例1】已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE. （1）如图1，连接BG、DE.求证：BG＝DE； （2）如图2，如果正方形ABCD的边长为，将正方形CEFG绕着点C旋转到某一位置时恰好使得CG∥BD，BG＝BD. ①求∠BDE的度数； ②请直接写出正方形CEFG的边长的值. 【例2】如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=，D、E在BC边上，∠DAE=. (1)当=90º时.如图1，线段BD,EC,DE间的数量关系是： ； (2)当=120º时.如图2，线段BD,EC,DE间的数量关系是： ； 并证明你的结论； (3)当=60º时.如图3，线段BD=2,DE=4，EC= . 【例3】如图，P是等腰△ABC内一点，AB＝BC，连接PA，PB，PC． (1)如图1，当∠ABC＝90°时，将△PAB绕B点顺时针旋转90°，画出旋转后的图形； (2)在(1)中，若PA＝2，PB＝4，PC＝6，求∠APB的大小； (3)当∠ABC＝60°时，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，则△APC的面积为？ 【牛刀小试】 【练1】已知∠ACD＝90°，MN是过点A的直线，AC＝DC，DB⊥MN于点B，如图1.易证BD＋AB＝CB. （1）当MN绕A旋转到如图2和图3两个位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图2给予证明； （2）MN在绕点A旋转过程中，当∠BCA＝30°，BD＝时，则CD＝_________，CB＝______. 【练2】已知Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB=∠F= 90°，∠A =∠E = 30°. 如图，△EDF绕着边AB的中点D旋转，DE，DF分别交线段AC于点M，K. （1）当0°＜∠CDF＜ 60°时，求证：AM+CK＞MK； （2）如果MK2+CK2= AM2，请直接写出∠CDF的度数和的值. 【练3】等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点P为平面内一点． (1) 如图，当点P在边BC上时，且满足∠APC＝120°，求的值； (2) 如图，当点P在△ABC的外部，且满足∠APC＋∠BPC＝90°，求证：； 作业 1. 直线y＝x＋3上有一点P（3，m），则P点关于原点的对称点P′为___________. 2. 如图，△ABC按顺时针方向旋转一个角后成为△ADE，点D在AC边上.已知∠B＝93°，∠AED＝48°，则旋转角等于_________. 3. 如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G． （1）求证：EF＝BC； （2）若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数． 4. 已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－2，3)、B(－6，0)、C(－1，0)． (1)请直接写出点A关于y轴对称的点的坐标； (2)将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出图形，直接写出点B的对应点的坐标； (3)请直接写出：以点A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标． 5. 如图，点A、B、C、D分别在正方形网格的格点上，其中A点的坐标为(－1，5)，B点的坐标为(3，3) (1) 请在正方形网格上画出平面直角坐标系，并写出C、D的坐标 (2) 小明发现，线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，请在图中标出这个旋转中心P，并写出这个旋转中心的坐标 6. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A， B，C均在格点上． (1)∠ACB的大小为____________°； (2)在如图所示的网格中以A为中心，取旋转角等于∠BAC，把△ABC逆时针旋转，请用无刻度的直尺，画出旋转后的△AB' C'，保留作图痕迹，不要求证明； (3)点P是BC边上任意一点，在上题的旋转过程中，点P的对应点为P'，当线段CP'最短时，CP'的长度为__________． 7. 将等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE按图①方式放置，∠A＝90°，AD边与AB边重合，AB＝2AD＝4，将△ADE绕点A逆时针方向旋转一个角度α（0°＜α＜180°），BD的延长线交CE于P，如图，在旋转的过程中，当AD⊥BD时，则CP的长 ． 8. △ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为平面内一点. （1）如图，当点D在边BC上时（不与点B，C重合），画出△ABD绕点A逆时针旋转90°的△ACE； （2）如图，当点D在△ABC的外部，且满足∠BDC－∠ADC＝45°，求证：BD＝AD； （3）点D满足∠ADC＝45°（不与点B重合），连接BD.若CD＝3，BD＝9，则AD的长度为____. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$