2024--2025学年人教版九年级数学上册 二次函数与代几综合 讲义

2024年秋季初中数学专属讲义 课题：二次函数与代几综合 学生姓名：*** 授课教师：*老师 2024年 月 日 学科网（北京）股份有限公司 适用学科 初中数学 适用年级 九年级 适用版本 人教版 课时时长（分钟） 120 知识点 二次函数与代几综合 教学目标 1.掌握二次函数中的面积问题 2.掌握二次函数中的角度问题 教学重点 1. 铅锤法与平行转化 2. 45°角构图思路 教学难点 二次函数代几综合构图思路 【课堂笔记】 1. 面积问题中的水平铅锤法 或 2. 45°角与等腰直角中的三垂直构造 专题一：二次函数中的面积问题 【例题精讲】 【例1】已知抛物线y＝x2－mx－m－1与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点C (1) 当m＝2时，求点A、B和C的坐标 (2) 在(1)的条件下，P为抛物线上一点，且在BC上方．若△PBC的面积为15，求P点坐标 【牛刀小试】 【练1】如图所示，拋物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为A（﹣2，0），点C的坐标为C（0，6），对称轴为直线x＝1．点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4），连接AC，BC，DC，DB． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求m的值； 【例题精讲】 【例2】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与坐标轴交于A、B、C三点，其中点A的坐标为(0，2)，点B的坐标为(1，0) (1) 求该二次函数的表达式及点C的坐标 (2) 点D的坐标为(0，1)，点F为该二次函数在第二象限内图像上的动点，连接CD、CF，以CD、CF为邻边作平行四边形CDEF，设平行四边形CDEF的面积为S，求S的最大值 【牛刀小试】 【练2】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且． （1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）； （2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为 ，求a的值； 【例题讲解】 【例3】如图①，抛物线y=a＋bx＋3（a≠0）与x轴交于点A（−1，0），B（3，0），与y轴交于点C，连接BC． （1）求抛物线的表达式； （2）抛物线上是否存在点M，使得△MBC的面积与△OBC的面积相等，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由； 【牛刀小试】 【练4】已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，D为第四象限的抛物线上一点，CD交x轴于E点，若，求直线CD的解析式. 专题二：二次函数中的等腰直角三角形 【例1】如图，抛物线的图象与x轴交于点A、B（A在B左侧），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点. （1）求△ABC的面积； （2）P是对称轴左侧抛物线上一动点，以AP为斜边作等腰直角三角形，直角顶点M正好落在对称轴上，画出图形并求出P点坐标； 备用图 【例2】在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-mx+m2-2m顶点为M. (1) M点坐标为 （结果用m表示）； (2) 当m=2时，如图所示，该抛物线与x轴交于A、B两点，P为抛物线第四象限一点，过A作MP的垂线，垂足为C，D为射线CM上一点，若AC=CD，求∠BDM； 【牛刀小试】 【练1】如图，抛物线y＝(x－1)2＋n与x轴交于A、B两点，A在B的左侧，与y轴交于C(0，－3)． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为对称轴右侧的抛物线上一点，以BP为斜边作等腰直角三角形，直角顶点M正好落在对称轴上，求P点的坐标． （3）点P为对称轴右侧的抛物线上一点，点M为抛物线的对称轴上一动点，若以点B、M、P三点为顶点的三角形恰好是一个等腰直角三角形，求P点的坐标． 专题三：二次函数中的45°角问题 【例题精讲】 【例1】如图，抛物线y＝ax2＋bx－4a经过A(－1，0)、C(0，4)两点，与x轴交于另一点B，点D(m，m＋1)在第一象限的抛物线上，点P为抛物线上一点，且∠DBP＝45°，求点P的坐标． 【例2】如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线AB相交于A（－1，0）、B（0，3））两点，与x轴的另一个交点为C．抛物线顶点为D，抛物线的对称轴与x轴的交点为E ． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点F（0，1），连接AB，平移直线AB交y轴于点P，交DE与Q，若∠FQP＝135°，求PQ的解析式． 【牛刀小试】 已知抛物线y＝x2－mx－m－1与x轴交于A，B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点C(0，3)． (1)求点A，B的坐标； (2)点D是抛物线上一点，且∠ACO＋∠BCD＝45°，求点D的坐标； (3)将抛物线向上平移m个单位，交线段BC于点M，N，若∠MON＝45°，求m的值． 课后作业 1. 如图，抛物线y＝x2－4x＋3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接AC，在抛物线上有一动点P，使得∠PCB＝∠ACO，求点P的坐标． 2. 如图，抛物线y＝ax2＋bx经过点A(－1，)及原点，交x轴于另一点C(2，0)，点D(0，m)是y轴正半轴上一动点，直线AD交抛物线于另一点B (1) 求抛物线的解析式 (2) 如图1，连AO、BO．若△OAB的面积为5，求m的值 3. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A(－1，0)和点B(1，0)，直线y＝2x－1与y轴交于点C，与抛物线交于点C、D． （1）求抛物线的解析式； （2）平移抛物线，使抛物线的顶点P在直线CD上，抛物线与直线CD的另一个交点为Q，点G在y轴正半轴上，当以G、P、Q三点为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求出所有符合条件的G点坐标． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$