2024-2025学年人教版九年级上册数学期中考试冲刺讲义第5讲：二次函数与实际应用（二）

2024年秋季初中数学专属讲义 课题：二次函数与实际应用（二） 学生姓名：*** 授课教师：*老师 2024年 月 日 学科网（北京）股份有限公司 适用学科 初中数学 适用年级 九年级 适用版本 人教版 课时时长（分钟） 120 知识点 二次函数与实际应用 教学目标 1.掌握二次函数建系策略 2.掌握二次函数与运动轨迹 3.掌握生活中面积优化 教学重点 1. 掌握二次函数建系策略 2. 掌握二次函数区间最值 教学难点 二次函数区间最值 【课堂笔记】 1. 标价、售价、折扣：售价=标价折扣； 2. 利润、利润率：利润=售价-进价， 3. 总利润=（售价-成本）销售量 注：注意自变量取值范围，以及结合实际情况自变量取整数的情况。 4. 二次函数最值：、 （1）已知抛物线 若，则当x= 时，y有最小值，则当x= 时，y有最小值 若，则当x= 时，y有最小值，则当x= 时，y有最小值 若，则当x= 时，y有最小值，则当x= 时，y有最小值 （2），若x为整数，则当x= 时，y有最大值 （3），若x为整数，则当x= 时，y有最小值 专题一：销售问题中的最值 【例题精讲】 【例1】某商场要销售的某种库存的商品每件的标价是80元，若按标价的八折销售，仍可盈利60%，此时该种商品每星期可卖出220件，市场调查发现：在八折销售的基础上，该种商品每降价1元，每星期可多卖20件．设每件商品降价x元(x为整数)，每星期的利润为y元． (1)求该种商品每件的进价为多少元？ (2)当售价为多少时，每星期的利润最大且能更快的减少库存?此时最大利润是多少? (3)2018年2月(28天)该种商品每星期的售价为每件m元，若本月利润不低于24000元， 请直接写出m的取值范围， ． 【例2】某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓是单价为40元，设第二个月单价降低元，将购进的800件T恤全部售完可获利y元。 （1）填表 （2）第二个月怎样定价，批发商销售完购进的全部T恤能获得最大利润，最大利润是多少元？ （3）如果批发商希望通过销售这批T恤至少获利8750元，请直接写出x的取值范围 时间 第一个月 第二个月 清仓时 单价（元） 80 40 销售量（件） 200 【牛刀小试】 【练1】某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，且时，；时，． （1）求一次函数的表达式； （2）若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？ （3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价的范围． 工厂安排65名工人生产甲、乙两种产品，每人每天可以生产2件甲产品或1件乙产品，甲产品每件可获利15元；乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利100元；每增加1件乙产品，当天乙的平均每件利润减少2元，设每天安排x人生产甲产品 (1) 根据信息填表： 产品种类 每天安排的工人数/人 每天产量/件 每件产品可获利润/元 甲 x 2x 15 乙 (2) 分别用W1、W2表示甲乙两种产品每天的利润，分别求出W1、W2与x的函数关系式，在(2)的条件下，若W1－W2＞1068，结合图象性质，求x的取值范围 专题二：分段函数问题 【例题精讲】 【例1】 九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表： 时间x（天） 1≤x＜50 50≤x≤90 售价（元/件） x＋40 90 每天销量（件） 200－2x 已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元. （1）求y与x的函数关系式；  （2）问销售该商品第几天时，每天销售利润最大，最大利润是多少？  （3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果 。 【例2】为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品的成本价为每件20元．经过市场调研发现，该产品的销售单价定在25元到30元之间较为合理，并且该产品的年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为：（年获利=年销售收入﹣生产成本﹣投资成本） （1）当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为多少万件？ （2）求该公司第一年的年获利W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？ （3）第二年，该公司决定给希望工程捐款Z万元，该项捐款由两部分组成：一部分为10万元的固定捐款；另一部分则为每销售一件产品，就抽出一元钱作为捐款．若除去第一年的最大获利（或最小亏损）以及第二年的捐款后，到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，请你确定此时销售单价的范围． 【牛刀小试】 【练1】某公司投资700万元购甲、乙两种产品的生产技术和设备后，进行两种产品加工．已知生产甲种产品每件还需成本费30元，生产乙种产品每件还需成本费20元，经市场调研发现：甲种产品的销售单价为x（元），年销售量为y（万件），当35≤x＜50时，y与x之间的函数关系式为y＝20－0.2x；当50≤x≤70时，y与x之间的函数关系式如图所示．乙种产品的销售单价在25元(含)到45元（含）之间，且年销售量稳定在10万件，物价部门规定这两种产品的销售单价之和为90元 (1) 当50≤x＜70时，求出甲种产品的年销售量y（万件）与x（元）之间的函数关系式 (2) 若公司第一年的年销售利润（年销售利润＝年销售收入－生产成本）为w（万元），那么怎样定价，可使第一年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少 (3) 第二年公司可重新对产品进行定价，在(2)的条件下，并要求甲种产品的销售单价x（元）在50≤x≤70范围内，该公司希望到第二年底，两年的总盈利（总盈利＝两年的年销售利润之和－投资成本）不低于85万元，请直接写出第二年乙种产品的销售单价m（元）的范围？ 专题三：参数取值范围与增减性 【例题精讲】 【例1】某网店销售一种儿童玩具，每件进价20元，规定单件销售利润不低于10元且不高于18元.试销售期间发现，当销售单价定35元时，每天可售出250件，销售单价每上涨1元，每天销售量会减少10件。该网店决定提价销售，设每天销售量为件，销售单价为元。 （1）请直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）当销售单价是多少元时，网店每天获利3840元？ （3）网店决定每销售1件玩具，就捐赠元元（0<≤6）给希望工程，每天扣除捐赠后可获得最大利润为3300元，求的值. 【例2】某商家销售一种商品，销售一段时间后发现，每天的销量y（件）与当天的销售单价x（元/件）满足一次函数关系，并且当x＝30时，y＝500；当x＝35时，y＝450．物价部门规定，该商品的销售单价不能超过48元/件，若该商品的定价为30元，实际按定价的8折出售，仍然可以获得20%的利润. (1)求该商品的成本价和每天获得的最大利润； (2)该公司每天需要人工、水电和房租支出共计b元，若考虑这一因素后公司对最大利润要控制在8000元至8500元之间（包含8000和8500），求出b的取值范围； (3)若该商品的进价改为a元，每天的销量与当天的销售单价的关系不变，当30≤x≤48时，该商品利润随x的增大而增大，求a的取值范围. 【牛刀小试】 【练1】4S店销售某种型号的进口汽车，每辆进价为50万元，市场调研表明：当售价为58万元时，每月能售8辆，而当售价每降低5000元时，每月能多售4辆，设每辆汽车降价x万元(x≥0)，每月的利润为y万元. (1)求y与x之间的函数关系式； (2)设该型号的汽车销售单价为p万元，如果每月的利润不低于154万元，求p的范围； (3)由于某种原因，汽车进价降低了a万元(a＞0)，汽车厂家规定售价不得低于56万元，该4S店在今后的销售中，若可获得的月最大利润为168万元，求a的值. 【练2】某公司生产的商品的市场指导价为每件150元，公司的实际销售价格可以浮动x个百分点(即销售价格＝150(1＋x%))，经过市场调研发现，这种商品的日销售量y(件)与销售价格浮动的百分点x之间的函数关系为y＝－2x＋24．若该公司按浮动－12个百分点的价格出售，每件商品仍可获利10%.（说明：日销售利润＝（销售价格一成本）×日销售量） (1) 求该公司生产销售每件商品的成本为多少元； (2) 当该公司的商品定价为每件多少元时，日销售利润为660元； (3) 该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润(a ≥1)给希望工程，公司通过销售记录发现，当价格浮动的百分点大于－2时，扣除捐赠后的日销售利润随x的增大而减小，直接写出a的取值范围. 课后作业 1. 为满足市场需求，某超市购进一种水果，每箱进价是40元.超市规定每箱售价不得少于45元，根据以往经验发现：当售价定为每箱45元时，每天可以卖出700箱，每箱售价提高2元，每天可少卖出40箱. （1）求出每天的销量y（箱）与每箱售价x（元）之间的函数关系式，并直接写出x的范围； （2）当每箱售价定为多少元时，每天的销售利润w（元）最大？最大利润是多少？ （8）为稳定物价，有关部分规定：每箱售价不得高于70元.如果超市想要每天获到的利润不低于5396元，请直接写出售价x的范围 2. 某企业接到一批产品的生产任务，按要求必须在14天内完成．已知每件产品的出厂价为60元．工人甲第x天生产的产品数量为y件，y与x满足如下关系： （1）工人甲第几天生产的产品数量为70件? （2）设第x天生产的产品成本为P元/件，P与x的函数图象如图．工人甲第x天创造的利润为W元，求W与x的函数关系式，并求出第几天时，利润最大，最大利润是多少? 3. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同， （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克 经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，但商场规定每千克涨价不能超过8元，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？ （3）为了迎接新学期，商场决定每卖出1千克捐赠a元（a≤2）给贫困山区学生，设每千克涨价 x元，若要保证当0≤x≤8时，每天盈利随着x的增加而增大，直接写出a的取值范围. 4. 尖锋数学小组经过市场调查，得到某种运动服的月销量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、月销售量、月销售利润w（元）的三组对应值如下表： 售价x（元/件） 120 160 190 月销售量y（件） 260 180 120 月销售利润w（元） 5200 10800 10800 注：月销售利润＝月销售量×(售价－进价) （1）①求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； ②运动服的进价是 元/件；当售价是 元/件时，月销售利润最大，最大利润是 元； （2）由于某种原因，该商品进价降低了m元/件(m＞0)，商家规定该运动服售价不得低于180元/件，该商店在今后的售价中，月销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系，若月销售最大利润是14000元，求m的值． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$