2024-2025学年人教版九年级上册数学期中考试冲刺讲义第4讲：二次函数与实际应用（一）

2024年秋季初中数学专属讲义 课题：二次函数与实际应用（一） 学生姓名：*** 授课教师：*老师 2024年 月 日 学科网（北京）股份有限公司 适用学科 初中数学 适用年级 九年级 适用版本 人教版 课时时长（分钟） 120 知识点 二次函数与实际应用 教学目标 1.掌握二次函数建系策略 2.掌握二次函数与运动轨迹 3.掌握生活中面积优化 教学重点 1. 掌握二次函数建系策略 2. 掌握二次函数区间最值 教学难点 二次函数区间最值 【课堂笔记】 题型一：球类、跳水、喷泉、滑行问题（这类问题对于解析式的确定通常采用顶点式） 1. 球类问题分为篮球问题、足球问题及羽毛球问题。篮球问题会考察“球是否 入篮”，即看篮筐所在点是否在抛物线上；“足球是否进球门”即看球到达球门所在 位置时纵坐标是比球门高还是低；羽毛球涉及过网越界问题，即计算在过网位置 纵坐标比网高还是低，越界考察在界限位置纵坐标是正数还是负数。 2. 跳水问题考察的是动作是否在规定范围内规范，同样考察在指定位置的纵坐 标与限定高度的大小比较。 3. 喷泉问题考察的比较多的是圆形水池的半径，需要计算抛物线与水池水平面 的交点坐标 4. 滑行问题需要注意物体滑行到最远时（即对称轴时），物体便不再运动 题型二：隧道、过桥问题通常采用的是 y=ax2 +c 的形式，通常考察的是车或者船是否能 够通过，考察的是车或者船的高度比车或者船边缘对应纵坐标的数值大小比较。 注意抛物线的对称性，及该问题考察的是单隧道问题或者双隧道问题。 题型三：几何面积问题 1.面积问题与面积计算公式相关，无需建模，可以直接得到解析式； 2.面积问题需要注意自变量取值范围，取值范围需要计算； 3.配成顶点式求最大值。 专题一：二次函数与建系类问题 【例题讲解】 【例1】如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度AB长为12米． (1)请以AB所在的直线为x轴(射线AB的方向为正方向)，线段AB的垂直平分线为 y轴建立平面直角坐标系，求抛物线解析式； (2)若要搭建一个矩形“支架”CD—DE—EF，使D、E两点在抛物线上，C、F两点在 地面AB上 ①若支架的总长度为，求AC的长． ②支架总长度是否存在最大值或最小值，请说明理由 【例2】有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m，拱顶距水面4m． （1）如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的关系式； （2）在正常水位的基础上，当水位上升h（m）时，桥下水面的宽度为d（m），求出将d表示为h的函数关景式； （3）设正常水位时，桥下的水深为2m，为保证过船只的顺利通过，桥下水面的宽度不得小于18m，则水深超过多少米时就会影过往船只在桥下顺利航行？ 【牛刀小试】 【练2】如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的。正常水位时，大孔水面宽度为20m，顶点距水面6m，小孔顶点距水面4.5m。当水位上涨刚好淹没小孔时，大孔的水面宽度为 m. 【练1】如图。东湖隧道截面由抛物线与矩形构成，OA=12m，OB=4m，隧道顶端D到路面距离为10m，建立如图所示直角坐标系 （1） 求该抛物线的解析式 （2） 一辆货车运送矩形集装箱，集装箱最高处与地面距离为6m，宽为4m，隧道内设双向行车道，问这辆货车能否通过？ （3） 在抛物线型拱璧上需要安排两排警示灯，使它们离地面高度相等，如果灯例地面高度不超过8.5m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ 【例题讲解】 【例3】一个滑道由滑坡（AB段）和缓冲带（BC段）组成，如图所示，滑雪者在滑坡上滑行的距离y1 （单位m）和滑行时间t1（单位：s）满足二次函数关系，并测得相关数据： 滑行时间t1/s 0 1 2 3 4 滑行距离y1/s 0 4.5 14 28.5 48 滑雪者在缓冲带上滑行的距离y2（单位：m）和在缓冲带上滑行时间t2（单位：s）满足：y2＝52t2－2t22，滑雪者从A出发在缓冲带BC上停止，一共用了23 s (1) 求y1和t1满足的二次函数解析式 (2) 求滑坡AB的长度 【例4】如图，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球飞行4秒后，到达最大高度20 m．以击球点为原点，地面为x轴，建立平面直角坐标系 (1) 求小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系，并直接写出自变量的取值范围 (2) 球击出后在上升过程中恰好经过一个高10米的大树顶端，在下落过程中又恰好经过一个高15 m的大树顶端，试求高尔夫球经过两棵大树顶端所用的时间 【牛刀小试】 【练1】飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是S＝26t－t2，则飞机着陆滑行到停止，最后6 s滑行的路程___________m 【练2】对于向上抛的物体，在没有空气阻力的条件下，有这样的关系式：，其中h是上升高度，v是初速，g是重力加速度（为方便起见，本题目中g取10 m/s2），t是抛出后所经历的时间．如果将物体以v＝25 m/s的速度向上抛，当t＝___________s时，物体上升到距离最高点11.25 m处？ 【练3】如图，已知排球场的长度OD为18 m，位于球场中线处球网的高度AB为2.4 m，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.6 m的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为6 m时， 到达最高点G建立如图所示的平面直角坐标系 (1)当球上升的最大高度为3.4 m时，对方距离球网0.4 m的点F处有一队员，他起跳后的最大高度为3.1m，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明 (2) 若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少？（排球压线属于没出界） 专题二：二次函数与实际面积问题 【例题讲解】 【例1】如图，某工程队在工地上利用互相垂直的两墙AE、AF，另两边用铁栅栏围成一个长方形场地ABCD，中间再用栅栏分割成两个长方形．铁栅栏总长180米，已知墙AE长90米，墙AF长60米． （1）设BC长为x米，长方形ABCD的面积为y，请写出y与x的函数关系，并写出x的取值范围； （2）当BC的值为多少时，长方形ABCD的面积最大？ （3）若长方形ABCD的面积不能小于4000，请直接写出BC边长x（米）的取值范围 【例2】某中学课外活动小组准备围建一个矩形花房，其中一边靠墙，另外三边周长为50米的篱笆围成．已知墙长30米（如图所示）．设这个花房垂直于墙的一边长为x米（花房中间修筑两条互相垂直的宽为2 m的小路，剩余部分种植花卉） (1) 若平行于墙的一边长为y米，直接写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围 (2) 设花房中种植花卉部分的面积为S，求S与x的函数关系 (3) 垂直于墙的一边长为多少米时，面积S有最大值，求这个最大值 【例3】墙长为17米，在平行于墙的一边上开一扇2米宽的门，设垂直于墙的边长为x米，矩形菜园面积为S；如图所示，若再增加一个a米宽的入口，围成菜园所需材料全长30米． （1）求S与x的函数关系式； （2）当a＝2时，求S的最大值； （3）若≤x＜15，矩形菜园面积S随着x的增大而减小，求a的取值范围； （4）若矩形菜园面积S随着x的增大而减小，求a的取值范围． 【牛刀小试】 【练1】某汽车厂决定把一块长100 m、宽60 m的矩形空地建成停车场．设计方案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的矩形），空白区域为停车位，且四周的4个出口宽度相同，其宽度不小于28 m，不大于52 m．设绿化区较长边为x m，停车场的面积为y m2 (1) 直接写出：① 用x的式子表示出口的宽度为_____________ ② y与x的函数关系式及x的取值范围 (2) 求停车场的面积y的最大值 (3) 预计停车场造价为100元/m2，绿化区造价为50元/m2．如果汽车厂投资不得超过540000元建造，当x为整数时，共有几种建造方案？ 【练2】如图，张大爷用32米长的篱笆围成一个矩形菜园，菜园一边靠墙（墙长为15米），平行于墙的一面开一扇宽度为2米的门，张大爷还在菜园内开辟出一个小区域存放化肥，两个区域用篱笆隔开，并有一扇2米的门相连（注：所有门都用其它材料） （1）设平行于墙的一边长度为y米，垂直于墙的一边长度为x米，直接写出y与x的函数关系式， 并写出自变量x的取值范围； （2）设此时整个菜园的面积为Sm2（包括化肥存放处），则S的最大值为多少？ （3）若此时整个菜园的面积不小于81m2（包括化肥存放处），结合图象，直接写出x的取值范围. 【练3】要在一块长为52 m，宽48 m的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路，下面分别是小亮和小颖的设计方案 (1) 求小亮设计方案中甬路的宽度x (2) 求小颖设计方案中四块绿地的总面积（友情提示：小颖设计方案中的x与小亮设计方案中的x取值相同） 课后作业 1. 如图，已知一抛物线形大门，其地面宽度AB为18 m．一同学站在门内，在离门脚B点1 m远的D处，垂直于地面立起一根1.7 m长的木杆，其顶端恰好顶在抛物线形门上C处 (1) 以线段AB的中点为原点，AB所在直线为x轴、线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，求此抛物线的解析式 (2) 另一同学站在门内某处，垂直地面立起一根3.2 m长的木杆，其顶端恰好顶在抛物线形门上，求出这两个同学相距的距离 2. 从地面上竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（0≤t≤6）（单位：s）之间的关系图象是一条过原点的抛物线．如图所示，当t＝2 s时，h＝40 m (1) 求该抛物线的解析式 (2) 求当小球高度为25 m时运动的时间 3. 要在一个圆形广场中央修建一个音乐喷泉，在广场中央竖直安装一根水管．在水管的顶点安一个喷水头，使喷出的抛物线水柱在与广场中央的水平距离为1 m处达到最高，且最高为3 m，水柱落地处离广场中央3 m，建立如图所示的直角坐标系 (1) 求抛物线的解析式 (2) 求水管的长度 (3) 当音乐喷泉开始喷水时，在广场中央有一身高为1.5 m的男孩未及时跑到喷泉外，问该男孩离广场中央的距离m的范围为多少时，才不会淋湿衣裳？ 4. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足函数表达式y=a＋h，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m． （1）当a=时，①求h的值；②通过计算判断此球能否过网． （2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7m，离地面的高度为m的Q处时，乙扣球成功，求a的值． 5. 如图，用一块长为50 cm、宽为20 cm的长方形铁片制作一个无盖的盒子．若在铁片的四个角截去四个相同的小正方形，设小正方形的边长为x cm (1) 底面的长AB＝__________cm，宽BC＝__________cm（用含x的代数式表示） (2) 当做成盒子的底面积为864 cm2时，求该盒子的容积（盒子的厚度忽略不计） (3) 该盒子的侧面积S是否存在最大值？若存在，求出此时x的值及最大值是多少？若不存在，请说明理由 6. 某小区为了改善居住环境，准备修建一个巨型花园ABCD，为了节约材料并种植不同花卉，决定花园一边靠墙，三边用栅栏围住，中间用一段垂直于墙的栅栏隔成两块。已知所用栅栏的总长为60米，墙长为30米，设花园垂直于墙的一边的长为米。 （1）若平行于墙的一边长为米，直接写出与的函数关系式及自变量的取值范围； （2）当为何值时，这个矩形花园的面积最大？最大值为多少？（栅栏占地面积忽略不计） （3）当这个花园的面积不小于288平方米时，试结合函数图象，直接写出的取值范围。 A B C D 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$