2024-2025学年人教版九年级上册数学期中考试冲刺讲义第3讲：二次函数与方程不等式

2024年秋季初中数学专属讲义 课题：二次函数与方程、不等式 学生姓名：*** 授课教师：*老师 2024年 月 日 学科网（北京）股份有限公司 适用学科 初中数学 适用年级 九年级 适用版本 人教版 课时时长（分钟） 120 知识点 二次函数与方程、不等式 教学目标 1.掌握二次函数与x轴交点问题 2.掌握二次函数与直线交点问题 3.掌握二次函数与韦达定理的使用 4.数形结合思想 教学重点 1. 二次函数交点问题 2. 数形结合思想 教学难点 数形结合 【课堂笔记】 名称 内容 二次函数与x轴的交点 一般地,如果抛物物 与轴有公共点,公共点的横坐标即为一元二次方程的根 时与x轴有两个不同的交点 时与x轴有两个不同的交点 时与x轴有两个不同的交点 二次函数与直线的交点 解决二次函数与一次函数 的交点个数问题,我们可以把两个函数解析式联立即,求这个一元二次方程的判别式即可 若,则二次函数与一次函数的图象有两个交点 若,则二次函数 与一次函数的图象有一个交点 若,则二次函数 与一次函数的图象没有交点 专题一：二次函数与方程、不等式基础 【例题讲解】 【例1】（1）二次函数y=(m－2)x2－2x＋1＝0与x轴有交点则m的取值范围是 （2）若抛物线与x轴有两个交点 则 ； （3）若抛物线与直线轴有两个交点 则 ； （4）根据下列表格中二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的自变量 x 与函数值 y 的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c 为常数）的一个解 x 的范围是 【例2】若抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(3，0)、B(－1，0) (1) 求抛物线的解析式 (2) 直接写出的解集 【例3】若抛物线y1＝x2－2与直线y2＝x＋4交于A、B两点． (1)求A、B两点的坐标； (2)当 y2＞y1时，直接写出自变量x的取值范围． 【例4】如图，已知二次函数y＝ax2＋2x＋c图象经过点A(1，4)和点C(0，3) (1) 求该二次函数的解析式 (2) 结合函数图象，直接回答下列问题： ① 当－1＜x＜2时，求函数y的取值范围 ② 当y≥3时，求x的取值范围 【例5】函数y=x2＋bx＋c与y=x的图象如图所示，有以下结论：①b2－4c>0;②b＋c＋1=0；③3b＋c＋6=0；④当1＜x＜3时，x2＋(b－1) x＋c＜0，其中正确的个数是 ( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例6】二次函数二次函数的x与y的部分对应值于下表（n>1） x -3 1 n y -3 -3 n 下列结论正确的是：①；②；③的一个解为-3 ④时，，其中正确的结论有 【牛刀小试】 【练1】已知二次函数 y=x2 +4x+k﹣1． （1）若抛物线与 x 轴有两个不同的交点，求 k 的取值范围； （2）若抛物线的顶点在 x 轴上，求 k 的值． （3）函数y＝mx2＋2x＋1的图象与x轴只有一个公共点，则求常数m的取值范围 【练2】在平面直角坐标系中，已知函数y1＝x2+ax+1，y2＝x2+bx+2，y3＝x2+cx+4，其中a，b，c是正实数，且满足b2＝ac．设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，（　　） A．若M1＝2，M2＝2，则M3＝0 B．若M1＝1，M2＝0，则M3＝0 C．若M1＝0，M2＝2，则M3＝0 D．若M1＝0，M2＝0，则M3＝0 【练3】已知 P(3，m)和 Q(1，m)是抛物线 y＝2x2＋bx＋1 上的两点 (1) 求 b 的值 (2) 若 2x2＋bx＋1≤m，请直接写出 x 的取值范围 【练4】 如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋3的图象经过点A(－1，0)，顶点坐标为(1，m)． (1)求二次函数的解析式； (2)结合图象，解答下列问题：（直接写出答案） ①当x取什么值时，该函数的图象在x轴的下方； ②当－1＜x＜2时，求函数y的取值范围． 【练5】已知二次函数图象的顶点为（－1，－4），与y轴交于点（0，－3）． （1）求二次函数解析式； （2）求函数值y＞－2时，自变量x的取值范围为 ； （3）当－2≤x≤2时，则函数y的取值范围 ． 【练6】抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，根据图象回答问题. （1）直接写出x满足什么条件时，y随x的增大而增大； （2）直接写出万程ax2＋bx＋c＝0的根； （3）直接写出不等式ax2＋bx＋c＜0的解集； （4）若方程ax2＋bx＋c＋k＝1没有实数根，直接写出k的取值范围. 【练7】已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如下表： x ﹣5 ﹣4 ﹣2 0 2 y 6 0 ﹣6 ﹣4 6 下列结论： ①a＞0； ②当x＝﹣2时，函数最小值为﹣6； ③若点（﹣8，y1），点（8，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2； ④方程ax2+bx+c＝﹣5有两个不相等的实数根． 其中，正确结论的序号是　 　．（把所有正确结论的序号都填上） 板块一：二次函数与方程、不等式提升 【例题讲解】 【例1】（1）抛物线经过A（-3,0），B（4,0）两点，则一元二次方程方程的解是 （2）抛物线经过（-3,0），（1,0）两点，则的解是________ （3）若抛物线过点（1，t），则不等式的一个解集为，则= 【例2】已知m，n（m＜n）是关于x的方程(x－a)(x－b)＝2的两根，若a＜b，则下列判断正确的是（ ） A．a＜m＜b＜n B．m＜a＜n＜b C．a＜m＜n＜b D．m＜a＜b＜n （2）二次函数的图像与x轴的交点横坐标为，且，则p的取值范围为 【例3】定义符号min(a，b)的定义为：当a≥b是，min(a，b)＝b；当a＜b时，min(a，b)＝a．如：min(1，－3)＝－3，min(－4，－2)＝－4，则min(－x2＋1，－x)的最大值为 【例4】已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点 （1） 求m的取值范围 （2） 若（O为坐标原点），求m的值 【例5】抛物线y=x2－x＋2过B（－2，m）、C（2，n）两点，若直线y=－ x向上平移k个单位所得的直线与抛物线BC段（包括端点B、C）部分有1个交点，则k的取值范围是 【例6】已知抛物线y＝x2－2x－3与x轴相交于A、B两点，其顶点为M，将此抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新的图象．如图，当直线y＝－x＋n与此图象有且只有两个公共点时，则n的取值范围为_________ 【牛刀小试】 【练1】已知关于x的方程，（），、是此方程的两个实数根，且.现给出四个结论：①；②；③；④ 其中正确结论个数是（ ） A. 1 B. 2 C.3 D. 4 【练2】我们约定：（a，b，c）为函数y＝ax2+bx+c的“关联数”，当其图象与坐标轴交点的横、纵坐标均为整数时，该交点为“整交点”．若关联数为（m，﹣m﹣2，2）的函数图象与x轴有两个整交点（m为正整数），则这个函数图象上整交点的坐标为　 　． 【练3】二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象（记为抛物线Γ）与y轴交于点C，与x轴分别交于点A、B，点A、B的横坐标分别记为x1，x2，且0＜x1＜x2． （1）若a＝c，b＝﹣3，且过点（1，﹣1），求该二次函数的表达式； （2）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的判别式△＝4．求证：当b时，二次函数y1＝ax2+（b+1）x+c的图象与x轴没有交点． 【练4】我们把a、b两个数中较小的数记作min{a，b}，直线y＝kx－k－2（k＜0）与函数y＝min（x2－1，－x＋1}的图像有且只有2个交点，则k的取值范围为 . 【练5】已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3．则关于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）有两个整数根，这两个整数根是（　　） A．﹣2或0 B．﹣4或2 C．﹣5或3 D．﹣6或4 【练6】（1）讨论方程的解的个数与m的关系 （2）讨论方程的解的个数与m的关系 【练7】已知抛物线y＝x2－mx－m－1与x轴交于A、B两点，点A在点B的组边，与y轴交于点C． Q为抛物线上A、B之间一点(不包括A、B)，QN⊥x轴于点N，求的值． 【练8】在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点. （1）求直线的表达式； （2）垂直于轴的直线与抛物线交于点，与直线交于点，若，结合函数的图象，求的取值范围. 课后作业 1. 已知函数y＝(m＋3)x2＋2x＋1的图象与x轴只有一个公共点，则m的取值范围是 ． 2. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）直接写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根； （2）直接写出随的增大而减小的自变量的取值范围； （3）若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，直接写出k的取值范围． 3. 已知二次函数，其图像经过点（-1,4），则时，x的取值范围是__________ 4. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线x＝1，给出下列结论：①abc＜0；②若点C的坐标为（1，2），则△ABC的面积可以等于2；③M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点（x1＜x2），若x1+x2＞2，则y1＜y2； ④若抛物线经过点（3，﹣1），则方程ax2+bx+c+1＝0的两根为﹣l，3．其中正确结论的序号为　 　． 5. 已知关于x的方程x2－(2k－3)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求k的取值范围； （2）已知点A（x1，0）、B（x2，0）．点A、B到原点的距离分别为OA、OB，且OA＋OB＝OA·OB－1,求k的值． 6. 已知函数，点P(a，ka)在该函数的图象上．若这样的点P恰好有三个，则k的值为_________ 7. 如图1抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)、B(4，0)，与y轴交于点C (1) 求抛物线的解析式 (2) 如图2，已知N(0，1)，将抛物线在点A、B之间部分（含点A、B）沿x轴向上翻折，得到图T（虚线部分），点M为图象T的顶点．现将图象保持其顶点在直线MN上平移，得到的图象T1与线段BC至少有一个交点，求图象T1的顶点横坐标的取值范围 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$