2024-2025学年人教版九年级上册数学期中考试冲刺讲义 第2讲：二次函数图象与性质

2024年秋季初中数学专属讲义 课题：二次函数图象与性质 学生姓名：*** 授课教师：*老师 2024年 月 日 学科网（北京）股份有限公司 适用学科 初中数学 适用年级 九年级 适用版本 人教版 课时时长（分钟） 120 知识点 二次函数图象与性质 教学目标 1.理解二次函数中的基本要素 2.掌握二次函数识图技巧 3.掌握二次函数几何变换 4.掌握二次函数增减性与最值 教学重点 1. 二次函数中的基本要素 2. 二次函数增减性与最值 教学难点 二次函数增减性与最值 【课堂笔记】 二次函数的基本性质 名称 内容 二次函数的定义 一般地，形如的函数称为x的二次函数，其中x为自变量，y为因变量，a、b、c分别是二次函数的二次项、一次项、常数项系数 二次函数（一般式） 的顶点公式 一般地，我们可将抛物线通过配方变形成的形式，因此抛物线的对称轴是，顶点坐标是（，） 二次函数（顶点式） 抛物线的顶点式为，此时对称轴为，顶点坐标是（h，k） 二次函数的画法 一般地，我们采取五点绘图法 1. 确定开口方向、对称轴以及顶点坐标 2. 在对称轴两侧左右对称的描点画图，一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点及其关于对称轴的对称点，与x轴的交点（若与x轴没有交点，另取两组关于对称轴对称的点） 二次函数的增减性 1. a>0时，当时，y随x的增大而减小； 当时，y随x的增大而增大； 2. a<0时，当时，y随x的增大而增大； 当时，y随x的增大而减小； 专题一：二次函数的图像与性质 【例题精讲】 【例1】对于二次函数y＝2(x－2)2＋1，下列说法中正确的是（ ） A．图象的开口向下 B．函数的最大值为1 C．图象的对称轴为直线x＝－2 D．当x＜2时，y随x的增大而减小 【例2】已知抛物线y＝x2－2x＋m2＋2(m是常数)的顶点坐标为D，求D点的运动轨迹 【例3】某同学在用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象时，列出了下面的表格： x …… －2 －1 0 1 2 …… y …… －11 －2 1 －2 －5 …… 由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（ ） A．－11 B．－2 C．1 D．－5 【例4】已知抛物线 （1）若A（x1，2020），B（x2，2020）是二次函数的图象上两点，则当x＝x1＋x2时，二次函数的值是 （2）若抛物线的始终位于x轴上方，求m的取值范围 【牛刀小试】 【练1】关于二次函数y＝－2x2＋1，下列说法正确的是（ ） A．开口方向向上 B．当x＜0，y随x的增大而增大 C．顶点坐标是(－2，1) D．当x＝0时，y有最大值－ 【练2】将二次函数一般式：用配方法化成顶点式的形式.并指出其对称轴，顶点坐标，增减性。 【练3】已知抛物线与x轴交于A、B两点 （1） 抛物线一定经过哪几个象限？并说明理由 （2） 若抛物线顶点位于第三象限，m的取值范围 专题二：二次函数的解析式 【例题讲解】 【例1】将二次函数y＝x2的图象先向右平移一个单位，在向下平移2个单位后，函数的表达式是 【例2】已知抛物线 （1）若关于对称轴对称的两点P、Q在抛物线上，横坐标分别为p、q，当x=p+q时，求y的值 （1）当抛物线与x轴只有一个交点且经过点A（m，n），B（m-8，n），求n的值 【例3】已知二次函数 y=（m2﹣2）x2﹣4mx+n 的图象关于直线 x=2 对称，且它的最高点在直线上． ①求此二次函数的解析式； ②若此抛物线的开口方向不变，顶点在直线移动到点 M 时，图象与 x 轴交于 A、B 两点，且 S△ABM=8，求此时的二次函数的解析式． 【例4】如图，抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D右边），对称轴为直线，连接AC，AD，BC．若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（　　） A．点B坐标为（5，4） B．AB＝AD C． D．OC•OD＝16 【牛刀小试】 【练1】设抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过A（0，2），B（4，3），C三点，其中点C在直线x=2上，且点 C 到抛物线的对称轴的距离等于 1，则抛物线的函数解析式为 【练2】已知一条抛物线的开口方向和形状与 y=3x2相同，顶点在抛物线的顶点上． ①求这条抛物线的解析式； ②若将①中的抛物线向右平移 4 个单位得到的新抛物线的解析式为 ； ③若将①中的抛物线的顶点不变，开口方向相反，所得的新抛物线解析式为 ； ④若将①中的抛物线沿 y 轴对折，所得到的新抛物线解析式为 ． 【练3】如图是由边长为 1 的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，抛物线 C1 过格点 A、B、C、D，其中 O (0，0)、D (1，0) （1）写出 A、B 两点坐标及 C1 的解析式 . （2）用无刻度的直尺在 OB 上画一点 E，使∠AEB＝∠CEO（保留作图的痕迹，不要求说明理由） （3）将抛物线 C1 平移至抛物线 C2，使 A 与 D 对应，写出 C2 的解析式 【练4】把抛物线C1：y＝x2+2x+3先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线C2． （1）直接写出抛物线C2的函数关系式； （2）动点P（a，﹣6）能否在抛物线C2上？请说明理由； 【练5】把二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y＝﹣a（x﹣1）2+4a，若（m﹣1）a+b+c≤0，则m的最大值是（　　） A．﹣4 B．0 C．2 D．6 专题三：二次函数识图 【例题讲解】 【例1】在同一直角坐标系中，一次函数 y＝ax＋c 和二次函数 y＝ax2＋c 的图像大致为（） 【例2】已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：则下列判断中正确的是（　　） x … ﹣1 0 1 3 … y … ﹣3 1 3 1 … A．抛物线开口向上 B．抛物线与y轴交于负半轴 C．当x=4时，y＞0 D．方程ax2+bx+c=0的正根在3与4之间 【例3】如图示二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧，其图象与x轴交于点A（﹣1，0）与点C（x2，0），且与y轴交于点B（0，﹣2），小强得到以下结论：①0＜a＜2；②﹣1＜b＜0；③c=﹣1；④当|a|=|b|时x2＞﹣1；以上结论中正确结论的序号为　 　． 【例4】如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的开口向下，对称轴为x＝－1，与x轴的一个交点在(－3，0)、(－2，0)之间，其部分图象如图所示，则下列结论：① b2－4ac＞0；② 2a＝b；③ 若点(，y1)、(，y2)、(，y3)是该抛物线上的点，则y1＜y2＜y3；④ 3b＋2c＜0；⑤ t(at＋b)≤a－b（t为任意实数），其中正确结论的个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【牛刀小试】 【练1】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x＝1．下面有下列5个结论：① abc＞0；② b＜a＋c；③ 4a＋2b＋c＞0；④ 2c＜3b；⑤ a＋b＞m(am＋b)（m≠1的实数），其中正确的结论有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【练2】二次函数的x与y的部分对应值于下表 x -2 0 3 y 4 4 n 当n<0时，下列结论一定正确的是 ①b>0；②；③若点，则； ④当n=-1时，的两根为6和2 【练3】练10. 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，部分图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②b2－4ac＞0；③9a－3b＋c＝0；④若点(－0.5，y1)，(－2，y2)均在抛物线上，则y2＜y1；⑤5a－2b＜0.其中正确的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 板块四：二次函数的增减性与最值 【典例讲解】 【例1】已知点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）在函数y=﹣x2﹣2x+b的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为（　　） A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y1＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3 【例2】二次函数y＝－x2＋2x－4，当－1＜x＜2时，y的取值范围是（ ） A．－7＜y＜－4 B．－7＜y≤－3 C．－7≤y＜－3 D．－4＜y≤－3 【例3】当－1≤x≤2时，二次函数y=－(x－m)2＋m2－1有最大值1，则实数m的值为 【牛刀小试】 【练1】关于二次函数y＝x2+2x﹣8，下列说法正确的是（　　） A．图象的对称轴在y轴的右侧 B．图象与y轴的交点坐标为（0，8） C．图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（4，0） D．y的最小值为﹣9 【练2】二次函数y＝ax2+bx+c，若ab＜0，a﹣b2＞0，点A（x1，y1），B（x2，y2）在该二次函数的图象上，其中x1＜x2，x1+x2＝0，则（　　） A．y1＝﹣y2 B．y1＞y2 C．y1＜y2 D．y1、y2的大小无法确定 【练3】已知关于x的二次函数y＝(x－h)2＋3，当1≤x≤3时，函数有最小值2h，则h的值为（ ） A． B．或6 C．或2 D．2、或6 课后作业 1. 如图，若a＜0，b＜0，c＜0，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的大致图象为（ ） 2. 已知二次函数y＝3(x－1)2＋k的图象上有三点A(，y1)、B(2，y2)、C(－，y3)，则y1、y2、y3的大小关系为（ ） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1 3. 在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x+m（m＞1）沿y轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4. 如图，二次函数y＝a（x+1）2+k的图象与x轴交于A（﹣3，0），B两点，下列说法错误的是（　　） A．a＜0 B．图象的对称轴为直线x＝﹣1 C．点B的坐标为（1，0） D．当x＜0时，y随x的增大而增大 5. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和B，与y轴交于点C．下列结论：①abc＜0，②2a+b＜0，③4a﹣2b+c＞0，④3a+c＞0，其中正确的结论个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6. 已知二次函数y=ax2 ＋bx＋c，函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … －1 0 2 3 4 … y … 10 5 2 2 5 … 若A (m，y1)、B(m－1，y2) 两点都在函数的图象上，则当m满足( )时，y1＜ y2． 7. 如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，其对称轴是x＝－1，且过点（－3，0），说法：①abc＜0；②2a－b＝0；③－a＋c＜0；④若（－5，y1）、（，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2，其中说法正确的有 8. 下列关于函数的四个命题：①当时，有最小值10；②为任意实数，时的函数值大于时的函数值；③若，且是整数，当时，的整数值有个；④若函数图象过点和，其中，，则．其中真命题的序号是 9. 在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝x2+bx+a，y2＝ax2+bx+1（a，b是实数，a≠0）． （1）若函数y1的对称轴为直线x＝3，且函数y1的图象经过点（a，b），求函数y1的表达式． （2）若函数y1的图象经过点（r，0），其中r≠0，求证：函数y2的图象经过点（，0）． （3）设函数y1和函数y2的最小值分别为m和n，若m+n＝0，求m，n的值 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$