2024-2025学年人教版九年级上册数学期中考试冲刺讲义第1讲：一元二次方程综合

2024年秋季初中数学专属讲义 课题：一元二次方程综合 学生姓名： 2024年 9月 8日 1 学科网（北京）股份有限公司 适用学科 初中数学 适用年级 九年级 适用版本 人教版 课时时长（分钟） 120 知识点 一元二次方程 教学目标 1.掌握一元二次方程的解法 2.掌握一元二次方程判别式 3.掌握一元二次方程根与系数关系 4.掌握一元二次方程的构造 教学重点 一元二次方程中的参数取值范围 教学难点 一元二次方程与几何问题的联系 【课堂笔记】 一、一元二次方程的概念 1.只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的 方程叫做一元二次方程. 2.—元二次方程的一般形式是__________. 二、—元二次方程的解法 1.解一元二次方程的基本思想是 ，主要方法有：直接开平方法、 、公式法、 . 2.配方法：通过配方把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，b2－4ac≥0）变形为(x＋)2＝ 的形式，再利用直接开平方法求解. 3.公式法：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0)，当b2－4ac≥0时，x＝ . 4.用因式分解法解方程的原理是：若ab＝0。则a＝0或______. 三、一元二次方程判別式 一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠＝0)根的判别式为△＝____________ (1)当△＞0时，方程有______________实数根； (2)当△＝0时，方程有_____________实数根； (3)当△＜0时，方程_______实数根 注意：当△＝0时，方程有两个相等的实根，不能说方程只有一个根． 四、一元二次方程根与系数的关系 1.在使用一元二次方程的根与系数的关系时，要先将一元二次方程化为一般形式. 2．当b2－4ac＞0，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0)的两个实数根是x1,x2，则x1＋x2＝ ，x1x2＝ . 主要用的代换公式有： (1)＝ (2)＝ ，＝ (3)(x1＋m)(x2＋m)＝ (4)＝ 专题一：一元二次方程的解法 【例题精讲】 【例1】用适当的方式解下列方程 ① ② ③ ④ 【牛刀小试】 ① ② ③ ④ 专题二：根的判别式与根系关系 【例题精讲】 【例1】m为何值时，关于x的方程 （1） 有两个实根？ （2）只有一个实根 （3）有实根？ 【例2】已知m，n是实数，定义新运算“*”：m*n＝mn＋n． (1)分别求4*(－2)与4*的值； (2) 若关于x的方程x*(a*x)＝－有两个相等的实数根，求实数a的值． 【牛刀小试】 【练1】关于x的方程(1－2k)x2－2x－1＝0有实数根，求k的取值范围 【练2】关于x的一元二次方程 （1）求证：方程总有两个实数根 （2）若方程有一根大于3，求a的范围 【例题精讲】 【例3】已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根. ①求m的取值范围； ②设，是方程的两根且，求m的值. 【例4】已知关于 x 的方程 x2－4(k－1)x＋4k2＝0 有两个实数根 x1、x2 (1) 求 k 的取值范围 (2) 若 x1x2－2|x1＋x2|＝4，求 k 的值 【牛刀小试】 【练3】已知一元二次方程的两根为m，n，求当满足的实数a的值 【练4】若关于x的一元二次方程2x2－2x＋3m－1＝0的两个实数根x1, x2,且x1･x2＞x1＋x2－4，则实数m的取值范围是 【例题精讲】 【例5】已知关于x的方程x2－kx＋k－1＝0 (1) 求证：无论k为何值，方程总有实数根 (2) 若等腰△ABC的一边长为2，另两边为这个方程的两个实数根，求△ABC的周长 【练4】已知关于x的方程x2－(k＋1)x＋k2＋1＝0 (1) 当k取何值方程有两个实数根 (2) 是否存在k值使方程的两根为一个矩形的两邻边长，且矩形的对角线长为 专题三：一元二次方程的构造 【例题精讲】 【例6】如果方程的两个根是，， 那么＋＝，＝.请根据以上结论，解决下列问题: （1）己知关于x的方程 (n≠0)，求出一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的两倍； （2）己知关于x的方程 (n≠0)，求出一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数； （3）己知关于x的方程 (n≠0)，求出一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的相反数； （4）己知关于x的方程 (n≠0)，求出一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的平方； 【牛刀小试】 【练5】（1）已知a、b满足，，求的值； （2） 若ab≠1，且有，，求的值. 课后作业 1. 解方程 (1) x2－49＝0； (2)1－x＝x2． (3) x2＋6x＝1； (4) 6x2－x－12＝0． 2. 已知是方程的两根，求出下列代数值 (1) x12+x22； (2)； (3)( x1-5)( x2-5)； (4)． （5） . 3. （1）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之比为2：3，求证：6b2=25ac； （2）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之比为m：n，能否将（1）的结论予以推广？若能，试证明你的结论；若不能，请说明理由． 4. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1） 求实数k的取值范围； （2）是否存在实数k使得成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 5. 已知关于x的方程的两根的积是两根和的两倍， ①求m的值；②求作以为两根的一元二次方程． 6. 已知关于x的一元二次方程x2－(2k+1)x+4k－3＝0. （1）求证：无论x取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）当一矩形ABCD的对角线长为AC=，且矩形两条边AB和BC恰好是这个方程的两个根时，求矩形ABCD的周长 1 学科网（北京）股份有限公司 $$