精品解析：江西省抚州市临川第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

临川一中2024－2025学年度高一上学期第一次月考 数学试卷 时间：120分钟 总分：150分 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚. 2．选择题使用2B铅笔填涂；非选择题使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清晰. 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持答题卡卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用集合的交集、补集的定义即可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以. 故选：A. 2. 命题“，使”的否定是（ ） A. ，使 B. 不存在，使 C. ，使 D. ，使 【答案】D 【解析】 【分析】由存在命题的否定是全称命题即可得出答案. 【详解】命题“，使”的否定是，使. 故选：D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可. 【详解】求解二次不等式可得：或， 据此可知：是的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题. 4. 如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式化简集合A，再结合韦恩图求出阴影部分表示的集合. 【详解】依题意，集合或， 而，则或， 由韦恩图知，图中阴影部分表示的集合为. 故选：C. 5. 已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的解集求出，再代入所求不等式求解即可； 【详解】由题意可得1,2是对应方程的两个根，且， 所以，解得， 所以化为，即， 解得，所以不等式的解集为， 故选：C. 6. 已知函数的定义域是，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据的定义域，求出的定义域，再据此确定的定义域. 【详解】已知函数的定义域为，， 则的取值范围为，即的定义域为. 对于函数，由 ， 因此，函数的定义域为. 故选：D. 7. 已知，，，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本（均值）不等式求和的最小值. 【详解】∵，，， ∴（当且仅当即，时取“=”）. 故选：C 8. 用表非空集合A中元素的个数，定义，若，且，设实数的所有可能取值构成集合S，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】由新定义，确定，再由新运算确定，并由集合的定义确定，然后由判别式求得值，得集合，从而得结论． 【详解】由已知，又，所以或， 又中显然是一个解，即，因此，所以， 所以有两个相等的实根且不为0， ，，经检验符合题意，， 所以． 故选：C． 二、多项选择题：共3小题，每小题6题，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值有（ ） A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据条件可知集合中仅有一个元素，由此分析方程为一元一次方程、一元二次方程的情况，从而求解出的值. 【详解】因为集合仅有个子集，所以集合中仅有一个元素， 当时，，所以，所以，满足要求； 当时，因为集合中仅有一个元素，所以，所以，此时或，满足要求， 故选：BCD. 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据不等式的性质及其利用特例对各项进行判断，从而求解. 【详解】对于A项：因为：，，所以得：， 又因为：，所以得：，故A项错误； 对于B项：令，，所以得：，但，故B项错误； 对于C项：由，得：，所以得：，故C项正确； 对于D项：由，，得：， 所以得：，故D项正确； 故选：CD. 11. 设，，，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为9 D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于AD，利用基本不等式判断即可；对于B，利用不等式判断即可，对于C，利用基本不等式“1”的妙用判断即可. 【详解】对于A，因为，，， 则，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，因为， 故，当且仅当时取等号，即的最小值，故B正确； 对于C，， 当且仅当且，即，时取等号， 所以的最小值为9，故C正确； 对于D，， 故，当且仅当时取等号，即的最大值，故D错误． 故选：ABC. 三、填空题：共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为________． 【答案】 【解析】 【分析】 解不等式组可得答案. 【详解】由函数有意义得，解得且. 所以函数的定义域为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：已知函数解析式，求函数定义域的方法： 1、有分式时：分母不为0； 2、有根号时：开奇次方，根号下为任意实数，开偶次方，根号下大于或等于0； 3、有指数时：当指数为0时，底数一定不能为0； 4、有根号与分式结合时，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0； 5、有指数函数形式时：底数和指数都含有，指数底数大于0且不等于1； 6、有对数函数形式时，自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大0且不等于1. 13. 不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】将不等式化为求解集即可. 【详解】由题设，则，解得. 故答案为： 14. 若，使得成立是假命题，则实数取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】变换得到在上恒成立，即，利用均值不等式计算最值得到答案. 【详解】若，使得成立是假命题， 即在上恒成立，即， ，当且仅当，即时等号成立，故. 故答案为： 四、解答题：共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤． 15. 已知集合，. （1）若，求实数的取值范围; （2）当时，若，求实数的取值范围; 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）计算，根据得到，考虑，两种情况，解得答案. （2）考虑，两种情况，得到或，解得答案. 【小问1详解】 ，若，则， 当时，，解得，成立； 当时，，解得. 综上，实数的取值范围为. 【小问2详解】 ， 当时，，解得； 当时，或，解得. 综上，实数的取值范围是 16. 已知函数，其中. （1）当时，求的最小值； （2）求不等式的解集. 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为R；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为或. 【解析】 【分析】（1）代入，配方即可得出答案； （2）先解出的解，根据与的关系分类讨论，即可得出答案. 【小问1详解】 当时，， 所以，当时，有最小值. 【小问2详解】 解可得，或. 当时，恒成立， 即此时不等式的解集为R； 当时， 解不等式可得，或， 此时不等式的解集为或； 当时， 解不等式可得，或， 此时不等式的解集为或. 综上所述，当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或. 17. 已知不等式的解集为． （1）若，且，求实数a的取值范围． （2）若对于有解，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，将问题转化成在上恒成立，再利用一元二次不等式与一元二次函数间的关系即可求出结果； （2）通过分离常量，得到，从而将问题转化成能成立问题，构造函数，求出的取值范围即可求出结果. 【小问1详解】 由题知在上恒成立， 又，所以，解得， 所以，实数a的取值范围为. 【小问2详解】 由，得到， 因为恒成立，故， 令，因为，所以， 故， 又因为对于有解，即在区间上有解， 故，所以实数a的取值范围为. 18. 某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度开展促销活动，已知该款食品年销量吨与年促销费用万元之间满足函数关系式（为常数），如果不开展促销活动，年销量是1吨.已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1吨食品需再投入32万元的生产费用，通过市场分析，若将每吨食品售价定为：“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费的一半”之和，则当年生产的该款食品正好能销售完. （1）将下一年的利润（万元）表示为促销费（万元）的函数； （2）该食品企业下一年的促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？（注：利润销售收入生产成本促销费，生产成本固定费用生产费用） 【答案】（1） （2）当促销费投入万元时，企业年利润最大. 【解析】 【分析】（1）当时，，代入求得，得到，进而求得年生产（万件）时，年生产成本为，销售收入为，结合题意，即可求得利润关于促销费的函数关系式； （2）由（1）知，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 解：由题意知，当时，，代入，解得， 即， 当年生产（万件）时，年生产成本为， 当销售（万件）时，年销售收入为， 所以利润（万元）表示为促销费（万元）的函数关系式为： ， 即. 【小问2详解】 解：由（1）知， 当且仅当时，即时，等号成立，所以当促销费投入万元时，企业年利润最大. 19. 已知含有限个元素的集合A是正整数集的子集，且A中至少含有两个元素，若B是由A中的任意两个元素之和构成的集合，则称集合B是集合A的衍生集. （1）当时，写出集合A的衍生集B； （2）若A是由4个正整数构成的集合，求其衍生集B的元素个数的最小值； （3）判断是否存在5个正整数构成的集合A，使其衍生集，并说明理由. 【答案】（1） （2）5 （3） 由（2）可知集合，可知集合B最多有10个元素 由已知共7个元素，故有3个元素不满足互异性， 不妨设，故，， 又因为，有且仅有，即， 当时，因为，故或， 若即，与矛盾（舍去）； 若即，令，则，（舍去）. 当时，则，则，与已知矛盾（舍去）； 当时，不符合题意，故舍去； 故当集合时不存在满足条件的集合A. 【解析】 【分析】（1）根据已知即可写出衍生集B. （2）根据互异性判断元素个数最少的条件即可. （3）根据已知分类讨论即可得出矛盾. 【小问1详解】 由已知，， 故集合； 【小问2详解】 设，其中，不妨设， 又因为，集合共6个元素， 由不等式的性质可知，， 若时，则集合5个元素； 若时，则集合6个元素， 故集合B的元素个数的最小值为5. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新法则（公式）之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临川一中2024－2025学年度高一上学期第一次月考 数学试卷 时间：120分钟 总分：150分 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚. 2．选择题使用2B铅笔填涂；非选择题使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清晰. 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持答题卡卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，使”的否定是（ ） A. ，使 B. 不存在，使 C. ，使 D. ，使 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集（ ） A. B. 或 C. D. 或 6. 已知函数的定义域是，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 8. 用表非空集合A中元素的个数，定义，若，且，设实数的所有可能取值构成集合S，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 9 二、多项选择题：共3小题，每小题6题，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值有（ ） A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 设，，，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为9 D. 的最小值为 三、填空题：共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的定义域为________． 13. 不等式的解集是______． 14. 若，使得成立是假命题，则实数取值范围为____________. 四、解答题：共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤． 15. 已知集合，. （1）若，求实数的取值范围; （2）当时，若，求实数的取值范围; 16. 已知函数，其中. （1）当时，求的最小值； （2）求不等式的解集. 17. 已知不等式的解集为． （1）若，且，求实数a的取值范围． （2）若对于有解，求实数a的取值范围． 18. 某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度开展促销活动，已知该款食品年销量吨与年促销费用万元之间满足函数关系式（为常数），如果不开展促销活动，年销量是1吨.已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1吨食品需再投入32万元的生产费用，通过市场分析，若将每吨食品售价定为：“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费的一半”之和，则当年生产的该款食品正好能销售完. （1）将下一年的利润（万元）表示为促销费（万元）的函数； （2）该食品企业下一年的促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？（注：利润销售收入生产成本促销费，生产成本固定费用生产费用） 19. 已知含有限个元素的集合A是正整数集的子集，且A中至少含有两个元素，若B是由A中的任意两个元素之和构成的集合，则称集合B是集合A的衍生集. （1）当时，写出集合A的衍生集B； （2）若A是由4个正整数构成的集合，求其衍生集B的元素个数的最小值； （3）判断是否存在5个正整数构成的集合A，使其衍生集，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $