6.2 向心力-2024-2025学年高一物理同步讲练（人教版2019必修第二册）

6.2 向心力 （1）认识圆周运动、匀速圆周运动的特点，了解描述圆周运动快慢的基本思路，了解转速和周期的意义。 （2）理解线速度的物理意义，知道匀速圆周运动中线速度的方向。 （3）理解角速度的物理意义，掌握线速度和角速度的关系。 （4）能在具体的情境中确定线速度和角速度。 游乐场里有各种有趣的游戏项目。空中飞椅因其刺激性而深受很多年轻人的喜爱。飞椅与人一起做匀速圆周运动的过程中，受到了哪些力？所受合力的方向有什么特点？ 考点一 向心力 一个小球在细线的牵引下，绕光滑桌面上的图钉做匀速圆周运动（图 6.2-1）。用剪刀将细线剪断，观察小球的运动。你认为使小球做圆周运动的力指向何方？ 忽略小球运动时受到的阻力，在桌面上做匀速圆周运动的小球所受的合力为细线的拉力，拉力即为使小球做圆周运动的力，根据拉力的特点可以知道拉力的方向指向圆心。 大量实例都表明：做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向圆心。这个指向圆心的力就叫作向心力（centripetal force）。 探究向心力大小的表达式 向心力演示器如图所示。 匀速转动手柄 1，可以使变速塔轮2和3以及长槽 4 和短槽 5 随之匀速转动，槽内的小球也随着做匀速圆周运动。使小球做匀速圆周运动的向心力由横臂 6 的挡板对小球的压力提供。球对挡板的反作用力，通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒 7 下降，从而露出标尺 8。根据标尺 8 上露出的红白相间等分标记，可以粗略计算出两个球所受向心力的比值。 请你用上面介绍的器材设计实验，研究向心力大小与物体的质量、速度和轨道半径等因素的关系。 精确的实验表明，向心力的大小可以表示为Fn＝mrω2.或者Fn＝ 总结： 1.做匀速圆周运动的物体所受的指向圆心的力 2．公式：Fn＝和Fn＝mrω2. 3．方向 向心力的方向始终指向圆心，由于方向时刻改变，所以向心力是变力． 4．效果力 向心力是根据力的作用效果来命名的，凡是产生向心加速度的力，不管属于哪种性质，都是向心力． 5.作用效果 改变线速度的方向。由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变线速度的大小。 技巧归纳 向心力的来源 物体做圆周运动时，向心力由物体所受力中沿半径方向的力提供． 几种常见的实例如下： 实例 向心力 示意图 用细线拴住的小球在竖直面内转动至最高点时 绳子的拉力和重力的合力提供向心力，F向＝F＋G 用细线拴住小球在光滑水平面内做匀速圆周运动 线的拉力提供向心力，F向＝FT 物体随转盘做匀速圆周运动，且相对转盘静止 转盘对物体的静摩擦力提供向心力，F向＝Ff 小球在细线作用下，在水平面内做圆周运动 重力和细线的拉力的合力提供向心力，F向＝F合 [例题1] （2024春•河池期末）如图所示，在细长轻绳下端拴一小球，将小球向左拉开一个小角度，然后无初速度释放。对于小球的运动，下列说法正确的是（　　） A．小球做匀速圆周运动 B．轻绳对小球的拉力提供它做圆周运动的向心力 C．小球受到的合外力提供它做圆周运动的向心力 D．小球经过最低点时对轻绳的拉力最大 [例题2] （2024春•花都区校级期末）如图实验中，小明同学把两个完全相同的小球分别放在A、C位置，将皮带处于塔轮的某一层上。匀速转动手柄时，左边标尺露出4个分格，右边标尺露出1个分格，则（　　） A．A、C位置处的小球转动所需的向心力之比为1：4 B．此实验探究向心力大小的表达式 C．在该实验中，主要利用了理想实验法来探究 D．塔轮的边缘角速度一定相等 [例题3] （2024春•绍兴期末）如图所示，为一种叫“空中飞椅”的游乐项目，其简化结构如右图。当转盘绕其中心竖直轴匀速转动时，座椅和游客的总质量为m，在半径为R、角速度大小为ω的水平面内做匀速圆周运动。此时钢绳与竖直方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．座椅和游客的运动周期为2πω B．钢绳的拉力大小为mRω2 C．座椅靠近转轴的游客速度更大 D．座椅和游客的向心力大小为mgtanθ [例题4] （2024春•大兴区期末）如图所示，质量为m的小球用长为l的细线悬于P点，使小球在水平面内以角速度ω做匀速圆周运动。已知小球做圆周运动时圆心O到悬点P的距离为h，小球可视为质点，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．小球的频率为2πω B．小球的线速度大小为ωh C．小球受到合力大小为 D．绳对小球的拉力大小为mω2l [例题5] （2024春•西城区校级期末）如图所示，在匀速转动的洗衣机脱水筒内壁上，有一件湿衣服随圆桶一起转动而未滑动，有关这件衣服的受力状况，下列说法正确的是（　　） A．只受重力作用 B．只受到重力和摩擦力 C．只受到重力、摩擦力和支持力 D．只受到重力和向心力 考点二 变速圆周运动和一般曲线运动 1．变速圆周运动 变速圆周运动所受合外力一般不等于向心力，合外力一般产生两个方面的效果： (1)合外力F跟圆周相切的分力Ft，此分力产生切向加速度at，描述速度大小变化的快慢． (2)合外力F指向圆心的分力Fn，此分力产生向心加速度an，向心加速度只改变速度的方向． 2．一般曲线运动的处理方法 一般曲线运动，可以把曲线分割成许多很短的小段，每一小段可看作一小段圆弧．圆弧弯曲程度不同，表明它们具有不同的半径．这样，质点沿一般曲线运动时，可以采用圆周运动的分析方法进行处理． [例题6] 一般的曲线运动的处理方法：一般的曲线运动，可以把曲线分割成许多很短的小段，每一小段可看作一小段　 　。这样，在分析质点经过曲线上某位置的运动时，就可以采用　 　运动的分析方法来处理了。 [例题7] 下面说法中，正确的是（　　） A．物体运动速度越大，则惯性越大 B．速度是决定物体惯性大小的物理量 C．一般曲线运动中，加速度的方向指向圆周凹侧 D．平均速率就是平均速度的大小 [例题8] （多选）（2024春•包河区校级期中）一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图（a）所示，曲线上的A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径ρ叫做A点的曲率半径。现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v0抛出，如图（b）所示，则在其抛出点O以及轨迹最高点P处的曲率半径是（　　） A．在其抛出点O处的曲率半径是 B．在其抛出点O处的曲率半径是 C．在其轨迹最高点P处的曲率半径是 D．在其轨迹最高点P处的曲率半径是 [例题9] （2023秋•海淀区校级期中）圆形花园中心有一套园林喷水设备，如图1所示。已知该喷头距地面高度为h＝1.0m，喷头在水平面内能够360°旋转以相同速率喷出大量水射流，水射流可以与水平面成0°～90°的所有角度喷出，其竖直射流可达距地面2.0m处（忽略空气阻力，g＝10m/s2，计算结果可用根式表示）。 （1）求水射流喷出时的速率； （2）若水射流水平喷出，求： ①水由喷出至落地所用时间； ②水由喷出至落地过程中位移的大小； （3）若水射流以与水平面成0°～90°的所有角度喷出，求： ①水射流射程最大时水在空中运动的时间； ②水射流在园林中落点所覆盖区域的面积（结果可用π表示）； ③一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的—部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图2所示，曲线上A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径p叫做A点的曲率半径。 求当水射流射程最大时，其轨迹在水流喷出点处的曲率半径。 [例题10] 荡秋千是小朋友很喜欢的游戏，在秋千向下荡的过程中，请思考： 探究1 此时小朋友做的是匀速圆周运动还是变速圆周运动？ 探究2 绳子拉力与重力的合力指向悬挂点吗？运动过程中，公式Fn＝mmω2r还适用吗？ 探究3 什么情况下小朋友做速度越来越大的圆周运动？什么情况下小朋友做速度越来越小的圆周运动？ 探究4 和同学交流、讨论，总结出做变速圆周运动和一般曲线运动的物体所受合力有什么特点。 1. （2024春•海南期末）图中是用来制作豆腐的石磨。有一粒黄豆在水平石磨的上表面随石磨一起绕中心轴做匀速圆周运动，其向心力来源于（　　） A．黄豆的重力 B．黄豆受到的支持力 C．黄豆受到的静摩擦力 D．黄豆的重力与其受到的支持力的合力 2. （2024春•朝阳区校级期末）如图所示，在光滑水平面上，一质量为m的小球在绳的拉力作用下做半径为r的匀速圆周运动，小球运动的周期为T，则绳的拉力F大小为（　　） A． B． C．m4π2T2r D． 3. （2024春•东莞市期末）如图所示为《天工开物》中记载的筒车，它的发明已有两千多年，仍沿用至今。若在水流冲击下水筒随筒车做匀速圆周运动，则水筒上升到最高点时所受合力方向（　　） A．竖直向下 B．竖直向上 C．水平向左 D．水平向右 4. （2024春•南昌期末）如图所示为游乐场“丛林飞椅”游戏的简化模型，A小球绕轴O1O2在水平面内做匀速圆周运动，则关于A小球受力分析正确的是（　　） A．受到的合力方向指向AO3 B．受到重力、拉力和向心力的作用 C．细绳对小球的拉力大于小球受到的重力 D．若转速逐渐降低，则小球的向心力变大 5. （2024春•安溪县期末）关于曲线运动，下列说法中正确的有（　　） A．只要物体做圆周运动，受到的合外力一定指向圆心 B．速度方向变化的运动一定是曲线运动 C．物体只要受到垂直于初速度方向的恒力作用，就一定做平抛运动 D．不论物体做匀速圆周运动还是做变速圆周运动，受到的向心力总等于 6. （2024春•成都期末）如图，一圆盘绕过圆心O且与盘面垂直的竖直轴匀速转动，盘面上有一可视为质点、质量为m的物块与圆盘始终相对静止。已知物块到转轴的距离为L，物块与圆盘间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．物块受重力、弹力、静摩擦力和向心力的作用 B．圆盘转动的周期不得小于 C．物块对圆盘有沿半径指向圆心O的静摩擦力作用 D．若圆盘匀速转动的角速度为ω，则物块受圆盘的作用力大小为mω2L 7. （2024春•汤原县校级期末）如图所示，绳子的上端固定，下端拴着一个质量为m的小球，小球在水平面内做匀速圆周运动，已知绳子长度为L，绳子转动过程中与竖直方向的夹角为θ，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．小球受到重力、绳子的拉力和向心力 B．小球做匀速圆周运动的周期为T＝2π C．小球做匀速圆周运动的线速度大小为v D．小球做匀速圆周运动的角速度为ω 8. （2024•重庆模拟）如图所示，一个圆形框架绕过其直径的竖直轴匀速转动，在两条边上各套有一个质量均为m的小球A、B，A、B、O在同一条直径上，转动过程中两小球相对框架静止，下列说法中正确的是（　　） A．框架对球A的弹力方向一定沿OA向外 B．框架对球B的弹力方向可能沿OB向外 C．球A与框架间可能没有摩擦力 D．球A、球B所受的合力大小相等 9. （2024春•顺义区校级期中）如图所示，细绳一端固定，另一端系一小球。给小球一个合适的初速度，小球便可在水平面内做匀速圆周运动，设细绳与竖直方向的夹角为θ。不考虑空气阻力的影响，下列说法中正确的是（　　） A．小球受重力、绳的拉力和向心力作用 B．θ越大，小球运动的速度越小 C．θ越大，小球运动的角速度越大 D．小球运动周期与夹角为θ无关 10. （2024春•禄劝县期中）如图所示，一内壁光滑的“V”型锥体固定在水平地面上，其轴线O1O2竖直，顶点为O1，它的母线与轴线O1O2的夹角θ＝30°。现有大小均可忽略不计的小球A、B紧贴锥体内壁在水平面内做匀速圆周运动，它们的轨迹平面与O1点的竖直高度差分别为h和2h。已知重力加速度g＝10m/s2。 （1）若A运动的角速度ω＝5.0rad/s，求h的值； （2）求小球A、B的线速度大小之比。 11. （2024•漳州三模）水车是我国劳动人民利用水能的一项重要发明。如图为某景观水车模型，从槽口水平流出的水，垂直落在与水平面成30°角的水轮叶面上，轮叶在水流不断冲击下转动，稳定时轮叶边缘线速度与水流冲击的速度大小近似相等。已知槽口到冲击点A所在的水平面距离h＝1.5R，水车轮轴到轮叶边缘的距离为R。忽略空气阻力，重力加速度为g。求： （1）水从槽口落到水轮叶面的时间t； （2）槽口处水流的初速度大小v0； （3）轮叶边缘上质量为m的钉子，随水车匀速转动时的向心力大小F。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.2 向心力 （1）认识圆周运动、匀速圆周运动的特点，了解描述圆周运动快慢的基本思路，了解转速和周期的意义。 （2）理解线速度的物理意义，知道匀速圆周运动中线速度的方向。 （3）理解角速度的物理意义，掌握线速度和角速度的关系。 （4）能在具体的情境中确定线速度和角速度。 游乐场里有各种有趣的游戏项目。空中飞椅因其刺激性而深受很多年轻人的喜爱。飞椅与人一起做匀速圆周运动的过程中，受到了哪些力？所受合力的方向有什么特点？ 考点一 向心力 一个小球在细线的牵引下，绕光滑桌面上的图钉做匀速圆周运动（图 6.2-1）。用剪刀将细线剪断，观察小球的运动。你认为使小球做圆周运动的力指向何方？ 忽略小球运动时受到的阻力，在桌面上做匀速圆周运动的小球所受的合力为细线的拉力，拉力即为使小球做圆周运动的力，根据拉力的特点可以知道拉力的方向指向圆心。 大量实例都表明：做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向圆心。这个指向圆心的力就叫作向心力（centripetal force）。 探究向心力大小的表达式 向心力演示器如图所示。 匀速转动手柄 1，可以使变速塔轮2和3以及长槽 4 和短槽 5 随之匀速转动，槽内的小球也随着做匀速圆周运动。使小球做匀速圆周运动的向心力由横臂 6 的挡板对小球的压力提供。球对挡板的反作用力，通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒 7 下降，从而露出标尺 8。根据标尺 8 上露出的红白相间等分标记，可以粗略计算出两个球所受向心力的比值。 请你用上面介绍的器材设计实验，研究向心力大小与物体的质量、速度和轨道半径等因素的关系。 精确的实验表明，向心力的大小可以表示为Fn＝mrω2.或者Fn＝ 总结： 1.做匀速圆周运动的物体所受的指向圆心的力 2．公式：Fn＝和Fn＝mrω2. 3．方向 向心力的方向始终指向圆心，由于方向时刻改变，所以向心力是变力． 4．效果力 向心力是根据力的作用效果来命名的，凡是产生向心加速度的力，不管属于哪种性质，都是向心力． 5.作用效果 改变线速度的方向。由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变线速度的大小。 技巧归纳 向心力的来源 物体做圆周运动时，向心力由物体所受力中沿半径方向的力提供． 几种常见的实例如下： 实例 向心力 示意图 用细线拴住的小球在竖直面内转动至最高点时 绳子的拉力和重力的合力提供向心力，F向＝F＋G 用细线拴住小球在光滑水平面内做匀速圆周运动 线的拉力提供向心力，F向＝FT 物体随转盘做匀速圆周运动，且相对转盘静止 转盘对物体的静摩擦力提供向心力，F向＝Ff 小球在细线作用下，在水平面内做圆周运动 重力和细线的拉力的合力提供向心力，F向＝F合 [例题1] （2024春•河池期末）如图所示，在细长轻绳下端拴一小球，将小球向左拉开一个小角度，然后无初速度释放。对于小球的运动，下列说法正确的是（　　） A．小球做匀速圆周运动 B．轻绳对小球的拉力提供它做圆周运动的向心力 C．小球受到的合外力提供它做圆周运动的向心力 D．小球经过最低点时对轻绳的拉力最大 【解答】解：A．由于小球受到竖直向下的重力和沿绳方向指向圆心的绳拉力，二者合力不指向圆心，所以小球做变速圆周运动，故A错误； BC．重力沿绳方向的分力与绳的拉力的合力提供向心力，重力沿切线方向的分力产生切向加速度，改变速度的大小，故BC错误； D．小球经过最低点时速度最大，根据牛顿第二定律可得 由此可知，轻绳对小球的拉力最大，根据牛顿第三定律可得小球对轻绳的拉力最大，故D正确。 故选：D。 [例题2] （2024春•花都区校级期末）如图实验中，小明同学把两个完全相同的小球分别放在A、C位置，将皮带处于塔轮的某一层上。匀速转动手柄时，左边标尺露出4个分格，右边标尺露出1个分格，则（　　） A．A、C位置处的小球转动所需的向心力之比为1：4 B．此实验探究向心力大小的表达式 C．在该实验中，主要利用了理想实验法来探究 D．塔轮的边缘角速度一定相等 【解答】解：A．匀速转动手柄时，左边标尺露出4个分格，右边标尺露出1个分格，则A、C位置处的小球转动所需的向心力之比为4：1，故A错误； B．此实验探究向心力大小F＝mrω2的表达式，故B正确； C．探究向心力与质量、半径、角速度多个物理量之间的关系，应该采用控制变量法，故C错误； D．塔轮的边缘线速度一定相等，角速度不一定相等，故D错误； 故选：B。 [例题3] （2024春•绍兴期末）如图所示，为一种叫“空中飞椅”的游乐项目，其简化结构如右图。当转盘绕其中心竖直轴匀速转动时，座椅和游客的总质量为m，在半径为R、角速度大小为ω的水平面内做匀速圆周运动。此时钢绳与竖直方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．座椅和游客的运动周期为2πω B．钢绳的拉力大小为mRω2 C．座椅靠近转轴的游客速度更大 D．座椅和游客的向心力大小为mgtanθ 【解答】解：A、座椅和游客做匀速圆周运动，根据解得，故A错误； B、对座椅和游客整体进行分析，设钢绳拉力大小为T，则有Tsinθ＝mRω2，解得，故B错误； C、由于是同轴转动，角速度相等，根据v＝ωr可知，座椅靠近转轴的游客速度更小，故C错误； D、将钢绳的拉力分解成竖直向上和水平的两个分力Fx，Fy，其中Fy＝mg，向心力大小为F＝Fx＝Fytanθ＝mgtanθ，故D正确。 故选：D。 [例题4] （2024春•大兴区期末）如图所示，质量为m的小球用长为l的细线悬于P点，使小球在水平面内以角速度ω做匀速圆周运动。已知小球做圆周运动时圆心O到悬点P的距离为h，小球可视为质点，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．小球的频率为2πω B．小球的线速度大小为ωh C．小球受到合力大小为 D．绳对小球的拉力大小为mω2l 【解答】解：A.小球的频率为f，故A错误； B.根据线速度与角速度的公式有vω，故B错误； C.设细线与竖直方向的夹角为θ，小球受到合力大小为F＝mgtanθ＝mg，故C错误； D.根据牛顿第二定律可得，Tsinθ＝mω2lsinθ 解得绳对小球的拉力大小为T＝mω2l，故D正确。 故选：D。 [例题5] （2024春•西城区校级期末）如图所示，在匀速转动的洗衣机脱水筒内壁上，有一件湿衣服随圆桶一起转动而未滑动，有关这件衣服的受力状况，下列说法正确的是（　　） A．只受重力作用 B．只受到重力和摩擦力 C．只受到重力、摩擦力和支持力 D．只受到重力和向心力 【解答】解：对于随圆桶转动而做匀速圆周运动的衣服，受到重力，桶壁指向圆心的支持力和竖直向上的静摩擦力，其中静摩擦力和重力平衡，故C正确，ABD错误。 故选：C。 考点二 变速圆周运动和一般曲线运动 1．变速圆周运动 变速圆周运动所受合外力一般不等于向心力，合外力一般产生两个方面的效果： (1)合外力F跟圆周相切的分力Ft，此分力产生切向加速度at，描述速度大小变化的快慢． (2)合外力F指向圆心的分力Fn，此分力产生向心加速度an，向心加速度只改变速度的方向． 2．一般曲线运动的处理方法 一般曲线运动，可以把曲线分割成许多很短的小段，每一小段可看作一小段圆弧．圆弧弯曲程度不同，表明它们具有不同的半径．这样，质点沿一般曲线运动时，可以采用圆周运动的分析方法进行处理． [例题6] 一般的曲线运动的处理方法：一般的曲线运动，可以把曲线分割成许多很短的小段，每一小段可看作一小段　 　。这样，在分析质点经过曲线上某位置的运动时，就可以采用　 　运动的分析方法来处理了。 【解答】解：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动，可以称为一般的曲线运动。尽管这时曲线各个位置的弯曲程度不一样，但在研究时，可以把这条曲线分割为许多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看作圆周运动的一部分（该一小段圆周的半径为该点的曲率半径）。这样，在分析质点经过曲线上某位置的运动时，就可以采用圆周运动的分析方法来处理了。 故答案为：圆周运动，圆周运动。 [例题7] 下面说法中，正确的是（　　） A．物体运动速度越大，则惯性越大 B．速度是决定物体惯性大小的物理量 C．一般曲线运动中，加速度的方向指向圆周凹侧 D．平均速率就是平均速度的大小 【解答】解：AB、物体的惯性大小的唯一量度是质量，即物体的质量越大，惯性越大，与物体运动的速度无关，故AB错误； C、一般的曲线运动中，物体所受合外力的方向都是指向圆周的凹侧，加速度的方向和合外力的方向一致，故C正确； D、平均速度大小等于位移与时间的比值，平均速率的大小等于路程与时间的比值，位移的大小和路程一般不相等，只有在单向直线运动中，位移的大小才等于路程，所以不能说平均速率是平均速度的大小，故D错误。 故选：C。 [例题8] （多选）（2024春•包河区校级期中）一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图（a）所示，曲线上的A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径ρ叫做A点的曲率半径。现将一物体沿与水平面成α角的方向以速度v0抛出，如图（b）所示，则在其抛出点O以及轨迹最高点P处的曲率半径是（　　） A．在其抛出点O处的曲率半径是 B．在其抛出点O处的曲率半径是 C．在其轨迹最高点P处的曲率半径是 D．在其轨迹最高点P处的曲率半径是 【解答】解：AB．小球在其抛出点O处，满足重力指向曲率圆圆心的（即在垂直与初速度的方向上的）分力提供向心力，则有 得小球在其抛出点O处的曲率半径是 故A正确，B错误； CD．物体做斜抛运动，可将运动分为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀减速直线运动，轨迹如图 当竖直方向的速度减为零时，物体到达最高点，则最高点速度为v＝v0cosα 在最高点，把物体的运动看成圆周运动的一部分，物体由重力提供向心力则有 解得 故C正确，D错误。 故选：AC。 [例题9] （2023秋•海淀区校级期中）圆形花园中心有一套园林喷水设备，如图1所示。已知该喷头距地面高度为h＝1.0m，喷头在水平面内能够360°旋转以相同速率喷出大量水射流，水射流可以与水平面成0°～90°的所有角度喷出，其竖直射流可达距地面2.0m处（忽略空气阻力，g＝10m/s2，计算结果可用根式表示）。 （1）求水射流喷出时的速率； （2）若水射流水平喷出，求： ①水由喷出至落地所用时间； ②水由喷出至落地过程中位移的大小； （3）若水射流以与水平面成0°～90°的所有角度喷出，求： ①水射流射程最大时水在空中运动的时间； ②水射流在园林中落点所覆盖区域的面积（结果可用π表示）； ③一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的—部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替。如图2所示，曲线上A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径p叫做A点的曲率半径。 求当水射流射程最大时，其轨迹在水流喷出点处的曲率半径。 【解答】解：（1）竖直射流可达距地面 H＝2.0m处，根据竖直上抛规律有 代入数据得 ； （2）①若水射流水平喷出，做平抛运动，有 代入数据得 ； ②水射流水平喷出，做平抛运动，水平位移为 则落地过程中位移的大小； （3）①设水射流以与水平面成 θ 角度喷出，则水在空中运动时间满足 射程x′＝v0t′cosθ 整理得x′2＝﹣25t′4+30t′2﹣1 水射流射程最大时在空中运动的时间为； ②根据①可得， 水射流射程最大时，最大射程为 水射流在园林中落点所覆盖区域的面积； ③根据以上分析可得，当水射流射程最大时在其抛出点处，应有 代入数据得小球在其抛出点处的曲率半径是。 [例题10] 荡秋千是小朋友很喜欢的游戏，在秋千向下荡的过程中，请思考： 探究1 此时小朋友做的是匀速圆周运动还是变速圆周运动？ 探究2 绳子拉力与重力的合力指向悬挂点吗？运动过程中，公式Fn＝mmω2r还适用吗？ 探究3 什么情况下小朋友做速度越来越大的圆周运动？什么情况下小朋友做速度越来越小的圆周运动？ 探究4 和同学交流、讨论，总结出做变速圆周运动和一般曲线运动的物体所受合力有什么特点。 【解答】解：探究1、秋千荡下过程中，速度越来越大，小朋友做的是变速圆周运动； 探究2、小朋友荡到最低点时，绳子拉力与重力的合力指向悬挂点，在其他位置，由于秋千做变速圆周运动，合力既有指向圆心的分力，又有沿切向的分力，所以合力不指向悬挂点，公式Fn＝mmω2r仍然适用； 探究3、当合力与速度的夹角为钝角时，小朋友的速度越来越小，当合力与速度的夹角为锐角时，小朋友的速度越来越大； 探究4、做变速圆周运动和一般曲线运动的物体所受的合力一般不指向圆心，可以分解为两个方向的分力：一是沿径向方向上的分力，作用是改变线速度的方向；一是沿切线方向的分力，作用是改变线速度的大小。 答：见解析。 1. （2024春•海南期末）图中是用来制作豆腐的石磨。有一粒黄豆在水平石磨的上表面随石磨一起绕中心轴做匀速圆周运动，其向心力来源于（　　） A．黄豆的重力 B．黄豆受到的支持力 C．黄豆受到的静摩擦力 D．黄豆的重力与其受到的支持力的合力 【解答】解：对做匀速圆周运动的黄豆受力分析可知，重力和支持力平衡，黄豆受到的静摩擦力沿半径方向提供向心力，故C正确，ABD错误。 故选：C。 2. （2024春•朝阳区校级期末）如图所示，在光滑水平面上，一质量为m的小球在绳的拉力作用下做半径为r的匀速圆周运动，小球运动的周期为T，则绳的拉力F大小为（　　） A． B． C．m4π2T2r D． 【解答】解：由拉力提供向心力，根据牛顿第二定律得：Fm，故B正确，ACD错误； 故选：B。 3. （2024春•东莞市期末）如图所示为《天工开物》中记载的筒车，它的发明已有两千多年，仍沿用至今。若在水流冲击下水筒随筒车做匀速圆周运动，则水筒上升到最高点时所受合力方向（　　） A．竖直向下 B．竖直向上 C．水平向左 D．水平向右 【解答】解：水筒随筒车做匀速圆周运动，水筒受到的合外力指向圆心，故水筒上升到最高点时所受合力方向竖直向下。故A正确，BCD错误。 故选：A。 4. （2024春•南昌期末）如图所示为游乐场“丛林飞椅”游戏的简化模型，A小球绕轴O1O2在水平面内做匀速圆周运动，则关于A小球受力分析正确的是（　　） A．受到的合力方向指向AO3 B．受到重力、拉力和向心力的作用 C．细绳对小球的拉力大于小球受到的重力 D．若转速逐渐降低，则小球的向心力变大 【解答】解：A、A小球绕轴O1O2在水平面内做匀速圆周运动，由所受外力的合力提供向心力，可知，受到的合力方向指向AO2，故A错误； B、A小球受到重力、拉力作用，向心力是效果力，实际上不存在，故B错误； C、综合上述，对小球进行分析，令绳与水平方向夹角为θ，则有 Tsinθ＝mg 整理解得 可知，细绳对小球的拉力大于小球受到的重力，故C正确； D、若转速逐渐降低时，角速度减小，轨道半径减小，则有 F＝mω2r ω＝2πn 可知，若转速逐渐降低，则小球的向心力变小，故D错误； 故选：C。 5. （2024春•安溪县期末）关于曲线运动，下列说法中正确的有（　　） A．只要物体做圆周运动，受到的合外力一定指向圆心 B．速度方向变化的运动一定是曲线运动 C．物体只要受到垂直于初速度方向的恒力作用，就一定做平抛运动 D．不论物体做匀速圆周运动还是做变速圆周运动，受到的向心力总等于 【解答】解：A、物体做圆周运动时，由指向圆心的合外力提供向心力，而合外力不一定提供向心力，即合外力不一定指向圆心，只有当物体做匀速圆周运动，受到的合外力一定指向圆心，故A错误。 B、速度方向变化的运动不一定是曲线运动，也可能是往复的直线运动，故B错误。 C、平抛运动是物体只在重力作用下，初速度水平的曲线，所以物体在垂直于初速度方向的恒力作用，不一定做平抛运动，故C错误。 D、向心力公式F＝m适用于任何圆周运动，即匀速圆周运动还是做变速圆周运动，受到的向心力总等于m适。故D正确。 故选：D。 6. （2024春•成都期末）如图，一圆盘绕过圆心O且与盘面垂直的竖直轴匀速转动，盘面上有一可视为质点、质量为m的物块与圆盘始终相对静止。已知物块到转轴的距离为L，物块与圆盘间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．物块受重力、弹力、静摩擦力和向心力的作用 B．圆盘转动的周期不得小于 C．物块对圆盘有沿半径指向圆心O的静摩擦力作用 D．若圆盘匀速转动的角速度为ω，则物块受圆盘的作用力大小为mω2L 【解答】解：A.物块受重力、弹力、静摩擦力作用，向心力是重力、弹力、静摩擦力产生的效果力，故A错误； B.根据摩擦力提供向心力可得：f，可得当摩擦力最大达到滑动摩擦力，即fmax＝μmg时，周期最小， 故解得Tmin＝2，故B正确。 C.根据对物块分析，物块受到圆盘对物块的沿半径指向圆心O的静摩擦力，提供做圆周运动的向心力，根据牛顿第三定律可得： 物块对圆盘有沿半径指向背离圆心O的静摩擦力作用，故C错误； D.若圆盘匀速转动的角速度为ω，则物块受圆盘的摩擦力大小为mω2L，但是还受到圆盘对物块竖直向上，大小为mg的支持力，故D错误； 故选：B。 7. （2024春•汤原县校级期末）如图所示，绳子的上端固定，下端拴着一个质量为m的小球，小球在水平面内做匀速圆周运动，已知绳子长度为L，绳子转动过程中与竖直方向的夹角为θ，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．小球受到重力、绳子的拉力和向心力 B．小球做匀速圆周运动的周期为T＝2π C．小球做匀速圆周运动的线速度大小为v D．小球做匀速圆周运动的角速度为ω 【解答】解：A、小球受重力和拉力两个力作用，靠两个力的合力提供向心力，故A错误。 B、根据，r＝Lsinθ得，解得T，故B错误。 C、根据，r＝Lsinθ得，解得v，故C正确。 D、根据mgtanθ＝mrω2，r＝Lsinθ得，解得ω，故D错误。 故选：C。 8. （2024•重庆模拟）如图所示，一个圆形框架绕过其直径的竖直轴匀速转动，在两条边上各套有一个质量均为m的小球A、B，A、B、O在同一条直径上，转动过程中两小球相对框架静止，下列说法中正确的是（　　） A．框架对球A的弹力方向一定沿OA向外 B．框架对球B的弹力方向可能沿OB向外 C．球A与框架间可能没有摩擦力 D．球A、球B所受的合力大小相等 【解答】解：A.球在水平面内做匀速圆周运动，合外力指向圆心，对A进行受力分析可知，A受重力，静摩擦力方向沿框架向上，框架对A的弹力方向可能沿OA向外，也可能沿OA向里，故A错误； B.对B受力分析可知，框架对B的弹力方向一定沿OB向里，故B错误； C.若A与框架间没有摩擦力，则A只受重力和框架对A的弹力，两个力的合力方向不可能指向竖直轴，故C错误； D.A、B两球匀速转动的角速度相等，半径也相等，根据F＝mω2r可知，两球的合力大小相等，故D正确。 故选：D。 9. （2024春•顺义区校级期中）如图所示，细绳一端固定，另一端系一小球。给小球一个合适的初速度，小球便可在水平面内做匀速圆周运动，设细绳与竖直方向的夹角为θ。不考虑空气阻力的影响，下列说法中正确的是（　　） A．小球受重力、绳的拉力和向心力作用 B．θ越大，小球运动的速度越小 C．θ越大，小球运动的角速度越大 D．小球运动周期与夹角为θ无关 【解答】解：A、小球只受重力和绳的拉力作用，二者合力提供向心力，向心力不是物体实际受到的力，故A错误； B、向心力大小为：Fn＝mgtanθ，小球做圆周运动的半径为：R＝Lsinθ，则由牛顿第二定律得：mgtanθ，得到线速度：v，θ越大，sinθ、tanθ越大，小球运动的线速度越大，故B错误； C、根据mgtanθ＝mω2Lsinθ，解得，θ越大，cosθ越小，小球运动的角速度越大，故C正确； D、小球运动周期：T＝2，因此，θ越大，小球运动的周期越小，故D错误； 故选：C。 10. （2024春•禄劝县期中）如图所示，一内壁光滑的“V”型锥体固定在水平地面上，其轴线O1O2竖直，顶点为O1，它的母线与轴线O1O2的夹角θ＝30°。现有大小均可忽略不计的小球A、B紧贴锥体内壁在水平面内做匀速圆周运动，它们的轨迹平面与O1点的竖直高度差分别为h和2h。已知重力加速度g＝10m/s2。 （1）若A运动的角速度ω＝5.0rad/s，求h的值； （2）求小球A、B的线速度大小之比。 【解答】解：（1）对小球A的受力情况，如图所示 有：Nsinθ＝mg Ncosθ＝mω2r r＝htanθ 解得h＝1.2m （2）对A：m，得vA 同理可得vB 所以 11. （2024•漳州三模）水车是我国劳动人民利用水能的一项重要发明。如图为某景观水车模型，从槽口水平流出的水，垂直落在与水平面成30°角的水轮叶面上，轮叶在水流不断冲击下转动，稳定时轮叶边缘线速度与水流冲击的速度大小近似相等。已知槽口到冲击点A所在的水平面距离h＝1.5R，水车轮轴到轮叶边缘的距离为R。忽略空气阻力，重力加速度为g。求： （1）水从槽口落到水轮叶面的时间t； （2）槽口处水流的初速度大小v0； （3）轮叶边缘上质量为m的钉子，随水车匀速转动时的向心力大小F。 【解答】解：（1）竖直方向 解得t （2）竖直方向的分速度 vy＝gt 由平抛运动得 解得水流的初速度大小 （3）由平抛运动得 向心力大小 解得 F＝4mg 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$