7.4.1二项分布课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.4.1 二项分布 1 复习回顾 1. 两点分布列 X 0 1 P 1－p p 2. 二项展开式的通项第 项为 情境导入 在实际问题中，有许多随机试验与掷硬币试验具有相同的特征，它们只包含两个可能结果. 例如，检验一件产品结果为合格或不合格，飞碟射击时中靶或脱靶，医学检验结果为阳性或阴性等. 1. 伯努利试验： 我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验. 显然，n重伯努利试验具有如下共同特征： (1) 同一个伯努利试验重复做n次； (2) 各次试验的结果相互独立. 我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验. 知识要点 2. n重伯努利试验： 【说明】 知识要点 在n重伯努利试验中，“在相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验结果的影响，即 (1) 每次试验是在同样的条件下进行的; (2) 各次试验中的事件是相互独立的; (3) 每次试验都只有两种结果:发生与不发生; (4) 每次试验,某事件发生的概率是相同的. 练习1 下面3个随机试验是否为n重伯努利试验? 如果是，那么其中的伯努利试验是什么?对于每个试验，定义“成功”的事件为A，那么A的概率是多大？重复试验的次数是多少？ 1. 抛掷一枚质地均匀的硬币10次. 2. 某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次. 3. 一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件. 随机试验 是否为n重 伯努利试验 伯努利试验 P(A) 重复试验的次数 1 2 3 是 是 是 抛掷一枚质地均匀的硬币 某飞碟运动员进行射击 从一批产品中随机抽取一件 0.5 0.8 0.95 10 3 20 牛刀小试 练习2 判断下面随机试验是否为n重伯努利试验? (1) 依次投掷四枚质地不同的硬币,3次正面向上; (2) 某人射击,击中目标的概率是稳定的,他连续射击了10次,其中6次击中; (3) 口袋装有5个白球,3个红球,2个黑球,从中依次抽取5个球,恰好抽出4个 白球; (4) 口袋装有5个白球,3个红球,2个黑球,从中有放回的抽取5个球,恰好抽出 4个白球 不是 是 是 牛刀小试 不是 【思考】伯努利试验和n重伯努利试验有什么不同? 伯努利试验是一个“有两个结果的试验”，只能关注某个事件发生或不发生； n重伯努利试验是对一个“有两个结果的试验”重复进行了n次，所以关注点是这n次重复试验中“发生”的次数X. 进一步地，因为X是一个离散型随机变量，所以我们实际关心的是它的概率分布列. 问题:飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8. 连续3次射击,中靶次数X的概率分布列是怎样的？ 用Ai表示“第i次射击中靶”(i=1,2,3), 用如图的树状图表示试验的可能结果: 试验结果 X的值 3 2 2 1 2 1 1 0 新知探究 共有23=8种可能结果 由分步乘法计数原理,3次独立重复试验共有23=8种可能结果,它们两两互斥，每个结果都是3个相互独立事件的积，由概率的加法公式和乘法公式得 于是，中靶次数X的分布列为： 追问：如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数X等于2的结果有哪些？写出中靶次数X的分布列. (2) 中靶次数X的分布列为： (1) 表示中靶次数X等于2的结果有 共六个 知识要点 如果随机变量X的分布具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p). 　一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为 1. 判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点： 一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一； 二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次. 知识要点 随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p)，其分布列为： 2. 公式的结构特征： 实验总次数n 事件 A 发生的次数 事件 A 发生的概率 知识要点 随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p)，其分布列为： 2. 公式的结构特征： 思考1：二项分布与两点分布有何关系? 两点分布是一种特殊的二项分布，即是n=1的二项分布； 二项分布可以看做两点分布的一般形式. 知识要点 随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p)，其分布列为： 2. 公式的结构特征： 思考2：对比二项分布和二项式定理，你能看出他们之间的联系吗？ 如果把p看成b，1-p看成a，则 就是二项式[(1-p)+p]n的展开式的通项，由此才称为二项分布. 即 例1 将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求： (1) 恰好出现5次正面朝上的概率； (2) 正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内的概率. 学以致用 解: (2)正面朝上出现的频率在[0.4,0.6]内等价于4≤X≤6，于是 牛刀小试 变式1 某射手每次射击击中目标的概率是0.8,求这名射手在10次射击中， (1) 恰有8次击中目标的概率； 解: 设X为击中目标的次数,则X~B(10,0.8) (1) 在10次射击中,恰有8次击中目标的概率为 (2) 至少有8次击中目标的概率. (2) 在10次射击中,至少有8次击中目标的概率为 例2 如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列. 解：设A=“向右下落”，则=“向左下落”，且P(A)=P()=0.5.因为小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数，而小球在下落的过程中共碰撞小木钉10次，所以X～B(10，0.5）.于是，X的分布列为 ,10. X的概率分布图如图所示： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.0009765625 0.009765625 0.0439453125 0.1171875 0.205078125 0.24609375 0.205078125 0.1171875 0.0439453125 0.009765625 0.0009765625 例3 甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利? 解法1: 例3 甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利? 解法2: 牛刀小试 变式2 已知诸葛亮解出问题的概率为0.9,三个臭皮匠各自独立解出问题的概率都为0.6. 皮匠中至少一人解出题目即胜出比赛,问臭皮匠团队和诸葛亮哪个胜出的可能性大? 解: 设皮匠中解出题目的人数为X,则X~B(3,0.6) 皮匠中至少一人解出题目的概率 所以臭皮匠团队胜出的可能性大 牛刀小试 变式3 某一中学生心里咨询中心服务电话接通率为 , 某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心,且每人只拨打一次,求他们中成功咨询的人数X的分布列. 解: 由题意可知, X~B(3, ) 所以X分布列为: X 0 1 2 3 P 牛刀小试 变式4 10件产品有2件次品,连续抽3次,每次抽1件,求： ① 不放回抽样时,抽到次品数X的分布列; ② 放回的抽样时,抽到次品数Y的分布列. 解: X 0 1 2 3 P X 0 1 2 P ① ② 一般地，确定一个二项分布模型的步骤如下： （1）明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p； （2) 确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性； （3）设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则X～B(n，p）. 方法归纳 新知探究 思考: 假设随机变量X服从二项分布B（n, p）,那么X的均值和方差是什么？ 知识要点 一般地，如果X~B(n, p)，那么E(X)=np； D(X)=np(1-p). 牛刀小试 练习1 牛刀小试 练习2 一个袋子里装有大小相同的3 个红球和2个黄球，每次取1个， 从中有放回地取5次，则取到红球次数X的数学期望是 . 3 课堂小结 1. 二项分布的定义： 2. 确定一个二项分布模型的步骤: 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为,n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布（binomial distribution），记作X~B(n,p). （1）明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p； （2) 确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性； （3）设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则X～B(n，p）. 3. 一般地，如果X~B（n, p），那么E(X)=np； D(X)=np(1-p). $$