精品解析：广东省 广州市 荔湾区 广州市真光中学2024-2025学年八年级上学期九月月考数学试题　

2024学年第一学期初二级开心练资料 数学 注意事项： 1.本试卷共三大题25小题，共4页，满分120分．考试时间120分钟，不能使用计算器． 2.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定的位置上． 3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在问卷上． 4.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图．答案必须写在答卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔（除作图外）、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 一、单选题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 如图，将沿所在直线向右平移得到，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平移和三角形全等的性质，由平移的性质得到，由三角形全等的性质得和，即可得到答案． 【详解】解：A、沿所在直线向右平移得到，由平移性质得，此选项正确，不符合题意； B、无法证明是否正确，此选项错误，故本选项符合题意； C、由得，则成立，此选项正确，不符合题意； D、由得，则成立，此选项正确，不符合题意； 故选：B． 2. 已知，那么（a+b）2020的值为（　　） A. ﹣32020 B. 32020 C. ﹣1 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性求出a和b的值，再代入求解． 【详解】解：∵，，， ∴，，即，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查算术平方根和绝对值的非负性，以及有理数乘方的运算，解题的关键是掌握算术平方根和绝对值的非负性． 3. 若一个n边形的内角和为，则n等于（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据内角和公式求出边数即可得出结论． 【详解】解：， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查的是多边形的内角和公式，解题的关键是熟记多边形的内角和公式． 4. 如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．在图中，要测量工件内槽宽，只要测量就可以，利用的数学原理是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据测量两点之间的距离，只要符合全等三角形全等的条件之一，只需要测量易测量的边，进而得出答案． 【详解】解：连接，，如图， ∵点O分别是、的中点， ∴， 在和中， ， ∴． ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查全等三角形的应用，根据已知条件可用边角边定理判断出全等，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 5. 下列命题是真命题的是（ ） A. 等底等高的两个三角形全等 B. 周长相等的直角三角形都全等 C. 有两边和一角对应相等的两个三角形全等 D. 有一边对应相等的两个等边三角形全等 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】解：A、等底等高的两个三角形全等，是假命题，故本选项错误； B、周长相等的直角三角形都全等，是假命题，故本选项错误； C、有两边和一角对应相等的两个三角形全等，是假命题，因为一角没有说明是两边的夹角，故本选项错误； D、有一边对应相等的两个等边三角形全等是真命题，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 6. 如图，在中，边上的高是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高，根据三角形高的定义即可解答．三角形的高：垂直于底边且经过底边相对的顶点的垂线段是三角形的高． 【详解】解：由图可知，在中，边上的高是， 故选：A． 7. 一个三角形的两边长分别是2和5，若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系求出第三边长的取值范围，再结合第三边长为奇数，即可作答． 【详解】解：∵一个三角形的两边长分别为和， ∴第三边长， 解得：第三边长， ∵第三边长为奇数， ∴第三边长为5， ∴三角形的周长为， 故选：B． 【点睛】此题考查的是根据三角形的两边长，求第三边的取值范围和求三角形的周长，掌握三角形的三边关系和三角形的周长公式是解决此题的关键． 8. 如图，中，平分，，若的面积等于3，则的面积为（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】过点作交于点 ， 交于点，利用角平分线性质得，再根据三角形面积公式，利用得到，再利用三角形面积公式计算的面积，从而可得的面积． 【详解】解：过点作交于点 ， 交于点 ，如图， 平分 ， ， 故选： D 【点睛】此题考查角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等，利用三角形面积公式计算 面积是解题关键． 9. 如图，在中，和的平分线相交于点O，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，利用角平分线的性质得，再根据得，所以求解即可． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， ∵OB，OC平分和， ∴，即，解之得：， 故选：A． 【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形内角和定理，解一元一次方程，解题的关键是找出等量关系进行求解． 10. 如果关于的方程的解为正整数，且关于的不等式组的解集为，那么符合条件的所有整数的个数是( ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据不等式的解集求出a的取值范围，然后即可判定方程的解，进而得出整数a的取值. 【详解】根据题意，得 ∵其解集为 ∴ ∴ 又∵关于的方程的解为正整数， ∴可以为1、2、3 ∴a的整数值为-5，-2，-1 故答案为B. 【点睛】此题主要考查不等式组和方程的综合应用，熟练掌握，即可解题. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 如图，在三角形中，，，则外角的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的外角的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵是的外角， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 12. 如图，将一副三角板如图方式放置，则∠1的度数是_____． 【答案】15° 【解析】 【分析】根据三角形的外角的性质计算即可． 【详解】解：由图形可知∠ACD＝60°，∠B＝45° ∵∠BAC＝∠ACD﹣∠B＝15°， ∴∠1＝∠BAC＝15°， 故答案为:15°． 【点睛】本题考查三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 13. 如果实数满足方程组那么的值为_______. 【答案】-1 【解析】 【分析】根据题意，将题目中的两个方程作差即可解答本题． 【详解】，①﹣②，得：x﹣y=﹣1． 故答案为﹣1． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解答本题的关键是利用方程组中的方程，巧妙变形，求出所求式子的值． 14. 如图，在由6个相同的小正方形拼成的网格中，________°． 【答案】180 【解析】 【分析】先证明，从而得∠1=∠CED，进而即可求解． 【详解】解：∵AC=CD，BC=DE，∠ACB=∠D=90°， ∴， ∴∠1=∠CED， ∴∠CED+∠2=180°． 故答案是：180 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握SAS证明三角形全等，是解题的关键． 15. 如图，在四边形中，平分，且，点为边中点，，则的面积为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，根据，点为边中点，，可得，过点作于点，根据角平分线的性质定理可得，由此即可求解． 【详解】解：∵，点为边中点，， ∴， 如图所示，过点作于点， ∵平分，， ∴， ∴， 故答案为：6 ． 16. 在中，的平分线与的平分线相交于点，则________，若的平分线交于点，则________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分的定义，全等三角形的判定和性质，根据三角形内角和定理可得，根据角平分线的定义可得，再根据三角形的内角和定理可得，根据是的角平分线，可得，根据“角边角”可证，，可得，，由此即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵的平分线与的平分线相交于点， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴， 故答案为：①；② ． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算；． 【答案】． 【解析】 【分析】根据立方根，算术平方根，乘方及绝对值的意义，进行计算即可解答． 【详解】解：原式， ， ． 【点睛】此题考查了实数的运算，平方根，立方根，乘方，绝对值的性质，熟练掌握平方根，立方根的意义，乘方，化简绝对值是解题的关键． 18. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】根据代入消元法解二元一次方程组，即可求解． 【详解】解： 由①，得 ．③ 将③代入②，得 ． 解得 ． 将代入①，得 ． ∴原方程组的解为． 【点睛】本题考查了代入消元法解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 19. 已知：如图，．求证：． 【答案】 证明：∵ ∴， 在和中， ∴（）， ∴ ． 【解析】 【分析】利用证明即可． 【详解】略 【点睛】本题考查利用“”直接证明三角形全等．寻找全等条件是解题关键． 20. 如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的高． （1）尺规作图：作出∠BAC的角平分线AE（不写作法，保留作图痕迹） （2）若∠B=20°，∠ACB=110°，求∠EAC和∠DAE的度数． 【答案】（1） 如图，线段AE即为所求． （2）∠EAC=25°，∠DAE=45°． 【解析】 【分析】（1）利用尺规根据要求作出图形即可； （2）利用邻补角的定义求得∠ACD的度数，再根据三角形的外角性质求得∠BAC的度数，再根据角平分线的定义以及角的和差定义求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵∠ACB=110°， ∴∠ACD=180°-110°=70°， ∵∠BAC=∠ACD-∠B=70°-20°=50°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠EAC=∠BAC=25°， 在△ACD中，∠ADC=90°，∠ACD=70°， ∴∠CAD=90°-70°=20°， ∴∠DAE=∠EAC+∠CAD=45°． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，三角形的角平分线等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．也考查了三角形的外角性质． 21. 已知：如图，△ABC，△ADE均为等腰直角三角形，点D，E，C在同直线上，连接BD． （1）求证：△ADB≌△AEC；（2）求∠BDC的度数． 【答案】 （1）∵△ABC，△ADE均为等腰直角三角形， ∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=90°， ∵∠DAB=∠DAE-∠BAE=90°-∠BAE，∠EAC=∠BAC-∠BAE=90°-∠BAE， ∴∠DAB=∠EAC， 在△ADB和△AEC中， ， ∴△ADB≌△AEC(SAS)； （2）∠BDC=90° 【解析】 【分析】(1)通过已知条件求出AD=AE，∠DAB=∠EAC，AB=AC，通过SAS即可证明△ADB≌△AEC； (2)通过(1)中的全等，可得∠ADB=∠AEC，通过直角三角形∠ADE=∠AED=45°，∠BDC=∠AEC-∠ADE即可求得． 【详解】(1)略． (2)由(1)得：△ADB≌△AEC，∴∠ADB=∠AEC， ∵△ADE均为等腰直角三角形， ∴∠ADE=∠AED=45°， ∴∠AEC=180°-∠ADE=180°-45°=135°， ∴∠AEC=∠ADB=135°， ∴∠BDC=∠AEC-∠ADE=135°-45°=90° 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟悉全等三角形的判定和性质是解答此题的关键． 22. 受到“湘超”联赛的影响，同学们对球类运动热情高涨，学校决定增设篮球、足球两门选修课程，为此需要购进一批篮球和足球．购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元． （1）篮球、足球的单价各是多少元？ （2）根据学校实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个．购买篮球的数量不少于足球数量的一半，为使购买的总费用最小，那么应购买篮球、足球各多少个？ 【答案】（1）篮球的单价是110元，足球的单价是80元 （2）应购买34个篮球、66个足球 【解析】 【分析】（1）设篮球的单价是元，足球的单价是元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组并求解即可得出的答案． （2）买个篮球，则购买个足球，根据购买篮球的数量不少于足球数量的一半得出m的取值范围，设购买篮球和足球的总费用为元，则，然后根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设篮球的单价是元，足球的单价是元， 根据题意得 解得 答：篮球的单价是110元，足球的单价是80元． 【小问2详解】 解：买个篮球，则购买个足球， 根据题意得， 解得． 设购买篮球和足球的总费用为元，则， 即， ， 随着的增大而增大， 又，且为正整数， 当时，取得最小值，此时． 答：为使购买的总费用最小，那么应购买34个篮球、66个足球． 23. 如图，在中，平分，交于点D，动点E在射线上（不与点D重合），过点E作交线段于点F（不与点A，C重合），的平分线所在的直线与射线交于点G． （1）当点E在线段上时． ①若，，的度数为______；的度数为______； ②求证； （2）当点E在线段的延长线上时，直接写出与之间的数量关系． 【答案】（1）①20°；50°； ②证明：∵平分， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】 本题考查的是平行线的性质，角平分线的定义，三角形的外角的性质，掌握以上基础知识是解本题的关键． （1）①根据平行线的性质与角平分线的定义求解，即可解答；②根据三角形外角的性质及平行线的性质得到即可解答； （2）先证明，，，．由角平分线的定义可得，结合三角形的外角的性质可得，可得结论． 【小问1详解】 解：①， ∴在中，， ∵， ，， 平分，平分， ，， ，； ②略 【小问2详解】 ，理由如下：如图，点E在线段的延长线上． ∵平分， ∴． ∵， ∴，， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 24. 我们规定，有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图：，，回答下列问题： （1）证明：和是兄弟三角形 （2）取的中点，连接，试证明．（小王同学根据要求的结论，想起老师上课讲的“中线倍长”的辅助线的构造方法）． （3）求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴和是兄弟三角形； （2） 证明：延长至，使， ∵点为的中点， ∴， 在△BPE和△DPO中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3） 证明：如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）证明，由兄弟三角形的定义可得出结论； （2）延长至，使，证明，由全等三角形的性质得出；证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； （3）延长交于点，根据全等三角形的性质得出，根据平角定义得到，则，根据三角形内角和定理及垂直的定义即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，周角和平角的定义，中点的定义，全等三角形的判定与性质，平行线的定义和性质，三角形内角和定理，垂直的定义等知识点．通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 25. 如图，在△ABC中，∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AB=16cm，AF=10cm，AC=14cm，动点E以2cm/s的速度从A点向B点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t． （1）求：AM= cm， S△ABD：S△ACD= ； （2）求证：在运动过程中，无论t取何值，都有S△AED=2S△DGC； （3）当t取何值时，△DFE与△DMG全等； 【答案】（1）10；； （2）证明：由题意得，AE＝2t，CG＝t， 则S△AED＝×AE×DF＝t•DF， S△DGC＝×CG×DM＝t•DM， ∵DF＝DM， ∴S△AED＝2S△DGC； （3）t＝6或． 【解析】 【分析】（1）证明Rt△ADF≌Rt△ADM，根据全等三角形的性质得到AM＝AF＝10cm，根据三角形的面积公式求出S△ABD：S△ACD； （2）分别用t表示出S△AED和2S△DGC，即可证明； （3）分点G在线段CM上、点G在线段AM上两种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可． 【详解】（1）解：∵∠BAD＝∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC， ∴DF＝DM， 在Rt△ADF和Rt△ADM中， ， ∴Rt△ADF≌Rt△ADM（HL） ∴AM＝AF＝10cm， ∴， 故答案为：10；； （2）略． （3）解：∵AM＝AF＝10， ∴CM＝14−10＝4， 当点G在线段CM上时， ∵DF＝DM， ∴FE＝MG时，△DFE≌△DMG，即10−2t＝4−t， 解得，t＝6（不合题意）， 当点G在线段AM上、E在BF上时， ∵DF＝DM， ∴FE＝MG时，△DFE≌△DMG，即2t−10＝t−4， 解得，t＝6， 当点G在线段AM上、E在AF上时， ∵DF＝DM， ∴FE＝MG时，△DFE≌△DMG，即10−2t＝t−4， 解得，t＝， 则当t＝6或时，△DFE与△DMG全等． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、三角形的面积计算，掌握角平分线的性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期初二级开心练资料 数学 注意事项： 1.本试卷共三大题25小题，共4页，满分120分．考试时间120分钟，不能使用计算器． 2.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定的位置上． 3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在问卷上． 4.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图．答案必须写在答卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔（除作图外）、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 一、单选题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 如图，将沿所在直线向右平移得到，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，那么（a+b）2020的值为（　　） A. ﹣32020 B. 32020 C. ﹣1 D. 1 3. 若一个n边形的内角和为，则n等于（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．在图中，要测量工件内槽宽，只要测量就可以，利用的数学原理是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题是真命题的是（ ） A. 等底等高的两个三角形全等 B. 周长相等的直角三角形都全等 C. 有两边和一角对应相等的两个三角形全等 D. 有一边对应相等的两个等边三角形全等 6. 如图，在中，边上的高是（ ） A. B. C. D. 7. 一个三角形的两边长分别是2和5，若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 8. 如图，中，平分，，若的面积等于3，则的面积为（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 9 9. 如图，在中，和的平分线相交于点O，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 10. 如果关于的方程的解为正整数，且关于的不等式组的解集为，那么符合条件的所有整数的个数是( ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 如图，在三角形中，，，则外角的度数为______． 12. 如图，将一副三角板如图方式放置，则∠1的度数是_____． 13. 如果实数满足方程组那么的值为_______. 14. 如图，在由6个相同的小正方形拼成的网格中，________°． 15. 如图，在四边形中，平分，且，点为边中点，，则的面积为________． 16. 在中，的平分线与的平分线相交于点，则________，若的平分线交于点，则________． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算；． 18. 解方程组： 19. 已知：如图，．求证：． 20. 如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的高． （1）尺规作图：作出∠BAC的角平分线AE（不写作法，保留作图痕迹） （2）若∠B=20°，∠ACB=110°，求∠EAC和∠DAE的度数． 21. 已知：如图，△ABC，△ADE均为等腰直角三角形，点D，E，C在同直线上，连接BD． （1）求证：△ADB≌△AEC；（2）求∠BDC的度数． 22. 受到“湘超”联赛的影响，同学们对球类运动热情高涨，学校决定增设篮球、足球两门选修课程，为此需要购进一批篮球和足球．购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元． （1）篮球、足球的单价各是多少元？ （2）根据学校实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个．购买篮球的数量不少于足球数量的一半，为使购买的总费用最小，那么应购买篮球、足球各多少个？ 23. 如图，在中，平分，交于点D，动点E在射线上（不与点D重合），过点E作交线段于点F（不与点A，C重合），的平分线所在的直线与射线交于点G． （1）当点E在线段上时． ①若，，的度数为______；的度数为______； ②求证； （2）当点E在线段的延长线上时，直接写出与之间的数量关系． 24. 我们规定，有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图：，，回答下列问题： （1）证明：和是兄弟三角形 （2）取的中点，连接，试证明．（小王同学根据要求的结论，想起老师上课讲的“中线倍长”的辅助线的构造方法）． （3）求证：． 25. 如图，在△ABC中，∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AB=16cm，AF=10cm，AC=14cm，动点E以2cm/s的速度从A点向B点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t． （1）求：AM= cm， S△ABD：S△ACD= ； （2）求证：在运动过程中，无论t取何值，都有S△AED=2S△DGC； （3）当t取何值时，△DFE与△DMG全等； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $