3.1.1椭圆及其标准方程（六个重难点突破）-2024-2025学年高二第一学期数学重难点突破及易错点分析（人教A版）

3.1.1椭圆及其标准方程 一、椭圆的定义 四、椭圆轨迹方程的求法 二、曲线方程与椭圆 五、椭圆的焦点三角形问题 三、椭圆标准方程的求解 六、椭圆中的最值问题 知识点一、椭圆的定义 我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆． 这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距． 根据椭圆的定义,设点与焦点的距离的和等于.由椭圆的定义可知,椭圆可看作点集． 重难点一 椭圆的定义 【例1】“平面内一动点满足到两定点的距离之和为常数”是“点的轨迹是椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充要条件 D．必要不充分条件 【例2】椭圆上一点与它的一个焦点的距离等于4，则点与另一个焦点的距离等于（    ） A．2 B．6 C．8 D．16 【变式1-1】已知椭圆的左、右焦点分别为．点在上，且．，则（    ） A． B．1 C． D．2 【变式1-2】（多选）下列是真命题的是（    ） A．已知定点，则满足的点的轨迹为椭圆 B．已知定点，则满足的点的轨迹为线段 C．到定点距离相等的点的轨迹为椭圆 D．若点到定点的距离的和等于点到定点的距离的和，则点的轨迹为椭圆 【变式1-3】若椭圆上一点到焦点的距离为为的中点，是坐标原点，则 . 知识点二、椭圆的标准方程 椭圆 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 图形 焦点坐标 焦距 的关系 重难点二 曲线方程与椭圆 【例3】设方程表示椭圆，则实数的取值范围是 ． 【例4】已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是 . 【变式2-2】已知，椭圆的焦点在轴上，则的半焦距的取值范围是 ． 【变式2-3】已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 ． 重难点三 椭圆标准方程的求解 【例5】若椭圆的右焦点坐标为，则的值为（   ） A．1 B．1或3 C．9 D．1或9 【例6】求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过两点. (2)经过点，且与椭圆有共同的焦点； 【变式3-1】焦点在x轴上，中心为坐标原点，经过点,.则椭圆的标准方程为（    ） A． B．1 C． D．1 【变式3-2】阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆C：的面积是，长轴的一个端点与短轴的两个端点构成等边三角形，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标分别为，，经过点； (2)焦点在轴上的椭圆上任意一点到两个焦点的距离的和为. (3)两个焦点坐标分别是和，并且经过点. (4)已知椭圆中，且，求椭圆的标准方程. 重难点四 椭圆轨迹方程的求法 【例7】已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【例8】已知点到定点的距离与它到定直线的距离的比是常数，点的轨迹为曲线，则曲线的方程为 ． 【变式4-1】已知圆内切于圆，圆内切于圆，则动圆的圆心的轨迹方程为 . 【变式4-2】已知为坐标原点，动点满足，其中，且，则动点的轨迹方程是 . 【变式4-3】已知△ABC的两个顶点坐标分别是和，边AB，AC所在直线的斜率的乘积是，则顶点A的轨迹方程为 知识点三、椭圆的焦点三角形 1．椭圆的焦点三角形 焦点三角形的概念：设M是椭圆上一点，,为椭圆的焦点，当点M,,不在同一条直线上时，它们构成一个三角形焦点三角形，如图所示. 2.焦点三角形的常用公式 ①焦点三角形的周长； ②在中，由余弦定理可得. 重难点五 椭圆的焦点三角形问题 【例9】已知是椭圆的左右焦点，若直线过焦点，且与椭圆交于，则的周长为 . 【例10】已知，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，是坐标原点，且，则的面积等于（   ） A． B． C． D．3 【变式5-1】已知是曲线的两个焦点，是曲线上一点，且，则的面积等于 . 【变式5-2】，分别是椭圆的左、右焦点，分别为其短袖的两个端点，且四边形的周长为，设过的直线与椭圆相交于，两点，且，则的最大值为 . 【变式5-3】已知椭圆的两个焦点分别为，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 重难点六 椭圆中的最值问题 【例11】已知椭圆C：的左焦点为F，P为C上一动点，定点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【例12】已知定点与椭圆上的两个动点，，若，则的最小值为（    ） A． B．13 C． D． 【变式6-1】设实数满足的最小值为 . 【变式6-2】已知椭圆的左、右焦点分别为，，M为C上任意一点，N为圆上任意一点，则的最小值为 ． 【变式6-3】已知Q是圆上任意一点，F是椭圆上的左焦点，M是椭圆上任意一点，则的最小值 . 一、单选题 1．已知是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（    ） A．5 B．9 C．4 D．3 2．方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆C上一点，的最小值为1，且的周长为34，则椭圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 4．一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．如图，设、分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点Q，若，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 6．设为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点在上，，则（    ） A． B． C．2 D． 二、多选题 7．椭圆的方程为，，是椭圆的两个焦点，点为椭圆上一点且在第一象限.若是等腰三角形，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．点到轴的距离为 D． 8．已知椭圆，若在椭圆上，是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．面积的最大值为2 C．的最大值为 D．的最大值为4 三、填空题9．设为曲线上的任意两点，则的最大值为 . 10．已知椭圆的焦点为，点在椭圆上且，则点到轴的距离为 . 11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上的动点，，，则的最小值为 . 四、解答题 12．分别求符合下列条件的椭圆的标准方程： (1)过点，且与椭圆有相同的焦点． (2)经过两点，． 13．已知点是椭圆上的点，点、是椭圆的两个焦点． (1)若，求； (2)若的面积为9，求的大小． 14．已知为圆：上任一点，，，，且满足.求动点的轨迹的方程. 15．已知，是椭圆的两个焦点，，为C上一点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若P为C上一点，且，求的面积. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1.1椭圆及其标准方程 一、椭圆的定义 四、椭圆轨迹方程的求法 二、曲线方程与椭圆 五、椭圆的焦点三角形问题 三、椭圆标准方程的求解 六、椭圆中的最值问题 知识点一、椭圆的定义 我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆． 这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距． 根据椭圆的定义,设点与焦点的距离的和等于.由椭圆的定义可知,椭圆可看作点集． 重难点一 椭圆的定义 【例1】“平面内一动点满足到两定点的距离之和为常数”是“点的轨迹是椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【详解】“点的轨迹是以，为焦点的椭圆” “为常数”； 反之不成立，若常数两个定点的距离，其轨迹不是椭圆． 因此“平面内一动点满足到两定点的距离之和为常数”是“点的轨迹是椭圆”的必要不充分条件． 故选：D． 【例2】椭圆上一点与它的一个焦点的距离等于4，则点与另一个焦点的距离等于（    ） A．2 B．6 C．8 D．16 【答案】D 【详解】椭圆中，所以， 由椭圆的定义可得， 又，所以，即点到另一个焦点的距离是16． 故选：D． 【变式1-1】已知椭圆的左、右焦点分别为．点在上，且．，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】依题意，，令椭圆的半焦距为c， 由，得，即， 因此，即，所以，即. 故选：B 【变式1-2】（多选）下列是真命题的是（    ） A．已知定点，则满足的点的轨迹为椭圆 B．已知定点，则满足的点的轨迹为线段 C．到定点距离相等的点的轨迹为椭圆 D．若点到定点的距离的和等于点到定点的距离的和，则点的轨迹为椭圆 【答案】BD 【详解】对于A，，根据椭圆定义，点的轨迹不存在，故A错误； 对于B，点的轨迹为线段，故B正确； 对于C，到定点距离相等的点的轨迹为线段的垂直平分线，故错误； 对于D，到定点的距离的和为， 所以点的轨迹为椭圆，故D正确． 故选：BD. 【变式1-3】若椭圆上一点到焦点的距离为为的中点，是坐标原点，则 . 【答案】2 【详解】因为椭圆，所以， 设椭圆的另一个焦点为，则， 而是的中位线，所以. 故答案为：2 知识点二、椭圆的标准方程 椭圆 焦点在轴上 焦点在轴上 标准方程 图形 焦点坐标 焦距 的关系 重难点二 曲线方程与椭圆 【例3】设方程表示椭圆，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意，方程表示椭圆， 则满足，解得且， 则实数的取值范围是， 故答案为： 【例4】已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，解得. 故选：B. 【变式2-1】如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，显然，则方程可化为， 所以，解得，所以实数的取值范围是. 故答案为： 【变式2-2】已知，椭圆的焦点在轴上，则的半焦距的取值范围是 ． 【答案】 【详解】依题意，则， 故半焦距， 因为，所以， 所以， 即， 故答案为：. 【变式2-3】已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意知方程表示焦点在轴上的椭圆， 故，解得， 故答案为： 重难点三 椭圆标准方程的求解 【例5】若椭圆的右焦点坐标为，则的值为（   ） A．1 B．1或3 C．9 D．1或9 【答案】C 【详解】根据右焦点坐标为，可得，且焦点在轴上， 故， 故选：C 【例6】求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过两点. (2)经过点，且与椭圆有共同的焦点； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设所求椭圆的方程， 将代入上式得，解得， 所以所求椭圆的标准方程为； （2）椭圆，即，故， 则焦点为，， 依题意，设所求椭圆的标准方程， 则有，解得， 所以所求椭圆的标准方程为. 【变式3-1】焦点在x轴上，中心为坐标原点，经过点,.则椭圆的标准方程为（    ） A． B．1 C． D．1 【答案】A 【详解】由于椭圆焦点在x轴上，且经过点，所以， 设椭圆方程为， 将代入椭圆可得，解得， 所以椭圆方程为， 故选：A 【变式3-2】阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆C：的面积是，长轴的一个端点与短轴的两个端点构成等边三角形，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由椭圆面积公式可得,依题意有①， 又长轴的一个端点与短轴的两个端点构成等边三角形，得②， 联立①②得：， 故椭圆的方程为. 故选：A 【变式3-3】求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标分别为，，经过点； (2)焦点在轴上的椭圆上任意一点到两个焦点的距离的和为. (3)两个焦点坐标分别是和，并且经过点. (4)已知椭圆中，且，求椭圆的标准方程. 【答案】(1) (2) (3) (4)或. 【详解】（1）设椭圆的标准方程为，依题可得， 将代入到方程中得，故， 所以椭圆的标准方程为. （2）设椭圆的标准方程为，依题可得，即， 所以，所以椭圆的标准方程为 （3）易知，焦点在轴上，可设椭圆的标准方程为：， 将代入标准方程解得，则椭圆的标准方程为：. （4）因为，，解得：， 又因为，所以，椭圆的标准方程为或. 重难点四 椭圆轨迹方程的求法 【例7】已知曲线C：（），从C上任意一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】A 【详解】设点，则， 因为为的中点，所以，即， 又在圆上， 所以，即， 即点的轨迹方程为. 故选：A 【例8】已知点到定点的距离与它到定直线的距离的比是常数，点的轨迹为曲线，则曲线的方程为 ． 【答案】 【详解】根据题意可得，化简得， 曲线的方程为． 故答案为：. 【变式4-1】已知圆内切于圆，圆内切于圆，则动圆的圆心的轨迹方程为 . 【答案】 【详解】设圆的半径为，则，则， 所以点的轨迹为以A，B为焦点，长轴长为6的椭圆． 则，所以， 所以动圆的圆心的轨迹方程为． 故答案为：. 【变式4-2】已知为坐标原点，动点满足，其中，且，则动点的轨迹方程是 . 【答案】 【详解】设动点， 因为动点满足，其中， 所以， 所以解得，， 因为， 所以，整理得. 故答案为:. 【变式4-3】已知△ABC的两个顶点坐标分别是和，边AB，AC所在直线的斜率的乘积是，则顶点A的轨迹方程为 【答案】 【详解】设顶点A的坐标为，依题意，，整理得， 所以顶点A的轨迹方程为. 故答案为： 知识点三、椭圆的焦点三角形 1．椭圆的焦点三角形 焦点三角形的概念：设M是椭圆上一点，,为椭圆的焦点，当点M,,不在同一条直线上时，它们构成一个三角形焦点三角形，如图所示. 2.焦点三角形的常用公式 ①焦点三角形的周长； ②在中，由余弦定理可得. 重难点五 椭圆的焦点三角形问题 【例9】已知是椭圆的左右焦点，若直线过焦点，且与椭圆交于，则的周长为 . 【答案】8 【详解】已知是椭圆的左右焦点， 若直线过焦点，且与椭圆交于， 根据椭圆定义可知，， 所以的周长. 故答案为：8 【例10】已知，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，是坐标原点，且，则的面积等于（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】椭圆的半焦距，则，设点， 于是，消去得， 所以的面积. 故选：C 【变式5-1】已知是曲线的两个焦点，是曲线上一点，且，则的面积等于 . 【答案】 【详解】由椭圆的方程可得：，， 所以，则， 因为，又由椭圆的定义知， 所以，， 则在中，有，则， 所以. 故答案为：. 【变式5-2】，分别是椭圆的左、右焦点，分别为其短袖的两个端点，且四边形的周长为，设过的直线与椭圆相交于，两点，且，则的最大值为 . 【答案】 【详解】∵四边形为菱形，周长为，∴，故， 由椭圆的定义可知， ∵，∴， ∴，当且仅当时等号成立， 故答案为: 【变式5-3】已知椭圆的两个焦点分别为，点在上，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】由椭圆，可得，，， 因为，所以， 由题意可得，， 即. 故选：D. 重难点六 椭圆中的最值问题 【例11】已知椭圆C：的左焦点为F，P为C上一动点，定点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，在椭圆内部，记椭圆的右焦点为，，椭圆中，在椭圆上， ，， ，当是的延长线椭圆的交点时，取等号， 所以的最大值为， 故选：B． 【例12】已知定点与椭圆上的两个动点，，若，则的最小值为（    ） A． B．13 C． D． 【答案】C 【详解】设椭圆上的点，而， 因此 ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：C 【变式6-1】设实数满足的最小值为 . 【答案】 【详解】设，则在椭圆上， 因为， 设，则为椭圆的右焦点， 如图所示，设椭圆的左焦点为， 则， 当且仅当三点共线且在之间时等号成立， 而，故的最小值为. 故答案为：. 【变式6-2】已知椭圆的左、右焦点分别为，，M为C上任意一点，N为圆上任意一点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】如图， 由M为椭圆C上任意一点，则， 又N为圆E：上任意一点， 则（当且仅当M、N、E共线且N在M、E之间时取等号）， ， ， 当且仅当M、N、E、共线且M、N在E、之间时等号成立． 由题意知，，， 则， 的最小值为， 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题主要考查与椭圆与圆上动点相关的最值问题，解答的关键是根据椭圆的定义将目标等价转化点共线问题，也即线段的长度问题，通过数形结合即可求解，考查学生的转化与化归思想． 【变式6-3】已知Q是圆上任意一点，F是椭圆上的左焦点，M是椭圆上任意一点，则的最小值 . 【答案】 【详解】 因为圆，化为标准式为， 即圆心，半径，且椭圆，则， 设椭圆的右焦点为，则， 所以 ， 当且仅当四点共线时，取得等号， 所以的最小值为. 故答案为： 一、单选题 1．已知是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（    ） A．5 B．9 C．4 D．3 【答案】C 【详解】由已知得，，， 设，则，所以， 从而或时取最小值为4. 故选：C. 2．方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知焦点在轴上，则，解得，故D正确. 故选：D. 3．已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆C上一点，的最小值为1，且的周长为34，则椭圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为的最小值为1，所以． 因为的周长为34，所以， 所以．因为， 所以，所以椭圆C的标准方程为． 故选：C. 4．一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆可化为，圆心，半径为. 圆可化为，圆心，半径为. 设动圆圆心为点，半径为，圆与圆外切于点，圆与圆内切于点，如图所示： 由题意得，三点共线，三点共线，，， ∴， ∴点的轨迹为以为焦点的椭圆，且，， ∴， ∴点的轨迹方程为. 故选：C. 5．如图，设、分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点Q，若，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】连接，，由P在以为直径的圆上，得， 设，则，由P、Q在椭圆上，得，，， 在中，，解得，于是，， 所以直线的斜率. 故选：D 6．设为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点在上，，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】由椭圆的定义可得, 在 中，由余弦定理， 又 ,可得： ，即, 即，即， 则， 故选：A. 二、多选题 7．椭圆的方程为，，是椭圆的两个焦点，点为椭圆上一点且在第一象限.若是等腰三角形，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．点到轴的距离为 D． 【答案】AC 【详解】如图：    因为椭圆的标准方程为：，所以：，，. 因为点在第一象限，且是等腰三角形，离心率， 所以必是：. 根据椭圆的定义，，故A正确； 在中，，， 由余弦定理：，故B错误； 由，到轴的距离为：，故C正确； ，故D错误. 故选：AC 8．已知椭圆，若在椭圆上，是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．面积的最大值为2 C．的最大值为 D．的最大值为4 【答案】ACD 【详解】在椭圆中，，且， 对于A选项，当时，则为椭圆的上下顶点，故， 由余弦定理可得， 因为，所以，，A对； 对于B选项，当点为椭圆的短轴顶点时，点到轴的距离最大， 所以，△面积的最大值为，B错误； 对于C选项，因为，即， 所以，C对； 对于D选项，由椭圆定义可知， 所以，当且仅当时取等号． 故选：ACD． 三、填空题 9．设为曲线上的任意两点，则的最大值为 . 【答案】10 【详解】由， 即点到点与点的距离之和为， 由椭圆定义可知，在以与为焦点， 与为上下顶点的椭圆上， 故. 故答案为：. 10．已知椭圆的焦点为，点在椭圆上且，则点到轴的距离为 . 【答案】 【详解】由椭圆，可得，，所以， 设，因为，则， 所以，则， 又因为点在椭圆上，可得， 联立方程组，解得，即， 所以点到轴的距离为. 故答案为：． 11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上的动点，，，则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为点P是椭圆上的动点， ，，所以， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立. 故答案为： 四、解答题 12．分别求符合下列条件的椭圆的标准方程： (1)过点，且与椭圆有相同的焦点． (2)经过两点，． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为所求的椭圆与椭圆的焦点相同，所以其焦点在轴上，且． 设所求椭圆的标准方程为． 因为所求椭圆过点，所以有① 又，② 由①②解得． 故所求椭圆的标准方程为． （2）设椭圆方程为，且，在椭圆上， 所以，则椭圆方程. 13．已知点是椭圆上的点，点、是椭圆的两个焦点． (1)若，求； (2)若的面积为9，求的大小． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设，设， 由，则， 所以有， 由余弦定理可知：， 所以有， 即 （2）由（1）可知：， 因为，所以，因此，即. 14．已知为圆：上任一点，，，，且满足.求动点的轨迹的方程. 【答案】 【详解】根据题意，取的中点为，连接，作图如下： 由，可得，则，所以， 因为，所以， 所以动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆， 易知，，则，所以动点的轨迹的方程为. 15．已知，是椭圆的两个焦点，，为C上一点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若P为C上一点，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解法一：设椭圆C的焦距为， 因为，可得，所以，， 则，， 由椭圆的定义可得， 所以， 故椭圆C的标准方程为. 解法二：设椭圆C的焦距为，因为，可得， 因为为椭圆上一点， 所以，解得，. 故椭圆C的标准方程为. （2）在中，，， 由余弦定理得， 即， 又由椭圆的定义，可得， 两边平方得， 即，解得， 所以的面积. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$