12.3.2 两数和（差）的平方 课件 2024—2025学年华师大版数学八年级上册

第12章　整式的乘除 12.3 乘法公式 　 2.两数和（差）的平方 　 华师大版-数学-八年级上册 一线课堂 YIXIAN KETANG 新方法 新题型 新方向 学习目标 1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释并能够灵活应用.【重点】 2.理解完全平方公式的结构特征，灵活应用完全平方公式.【难点】 一线课堂 指点之间，一线即达 复习导入 用多项式乘法法则计算：(a+b)2. 做一做 多项式与多项式是如何相乘的？ (a+b)2=(a+b)(a+b)= = . a2+ab+ab+b2 a2+2ab+b2 一线课堂 指点之间，一线即达 探索新知 我们又得到一个漂亮的结果： 这就是说，两数和的平方，等于这两数的平方和加上它们的积的2倍. 这个公式叫做两数和的平方公式. 注意：利用这个公式，可以直接计算两数和的平方. （a+b）2=a2+2ab+b2. 一线课堂 指点之间，一线即达 探索新知 试一试 观察下图，用等式表示下图中图形面积的运算： (a+b)2 a2 b2 2ab 一线课堂 指点之间，一线即达 探索新知 试一试 推导两数差的平方公式. 我们可以根据多项式的乘法法则直接计算(a-b)2,即(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2. 注意到a-b=a+(-b),也可以利用两数和的平方公式来计算，即(a-b)2=[a+(-b)]2=a2+2a(-b)+(-b)2=a2-2ab+b2. 一线课堂 指点之间，一线即达 探索新知 想一想 你能用右图中的面积关系来解释两数差的平方公式吗？ 能.图中浅绿色部分的面积可以表示为(a-b)2, 也可以表示为a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2.这两种 方法表示的是同一个正方形的面积，因此两 者相等，即(a-b)2=a2-2ab+b2. 一线课堂 指点之间，一线即达 探索新知 这样就得到两数差的平方公式： 这就是说，两数差的平方，等于这两数的平方和减去它们的积的2倍. （a-b）2=a2-2ab+b2. 一线课堂 指点之间，一线即达 探索新知 两数和（差）的平方公式的结构特征： ①等号的左边是一个二项式的完全平方； ②右边是一个二次三项式，其中有两项是等号左边二项式中每一项的平方，另一项是左边两项乘积的2倍，简述为“首平方，尾平方，积的2倍夹中央”； ③公式中的a和b既可以是单项式，也可以是多项式. 公式也可以逆用：a2±2ab＋b2＝(a±b)2. 一线课堂 指点之间，一线即达 探索新知 两数和 （差）的平方公式的几种常见变形： ①a2+b2=(a+b)2-2ab;②a2+b2=(a-b)2+2ab; ③(a+b)2=(a-b)2+4ab;④(a-b)2=(a+b)2-4ab; ⑤2ab=(a+b)2-(a2+b2);⑥(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2); ⑦(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc; ⑧a2+b2+c2+ab+ac+bc=[(a+b)2+(b+c)2+(a+c)2]. 一线课堂 指点之间，一线即达 掌握新知 例1 计算： (1)(2x+3y)2;(2)(2a+)2. 注意：把2x看作a，3y看作b，直接代入公式. 解：(1)(2x+3y)2 =(2x)2+2·2x·3y+(3y)2 =4x2+12xy+9y2. (2)(2a+)2=(2a)2+2·2a·+()2 =4a2+2ab+. 一线课堂 指点之间，一线即达 掌握新知 例2 计算： (1)(3x-2y)2;(2)()2. 解：(1)(3x-2y)2=(3x)2-2·3x·2y+(2y)2=9x2-12xy+4y2. (2)解法1 ()2=()2+2·()·+12 =-m+1. 解法2 ()2=()2=12-2·1·+()2 =1-m+. 一线课堂 指点之间，一线即达 例3 已知x+y=4，xy=2.求： （1）x2+y2；（2）3x2-xy+3y2；（3）x-y. 解：(1)x2+y2=（x+y）2-2xy=42-2×2=12. (2)3x2-xy+3y2=3（x+y）2-7xy=3×42-7×2=34. (3)∵（x-y）2=（x+y）2-4xy=42-4×2=8. ∴x-y=± . 掌握新知 一线课堂 指点之间，一线即达 巩固练习 1.下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？ （1）(x+y)2=x2 +y2； （2）(x-y)2 =x2-y2； （3） (-x +y)2 =x2+2xy +y2； （4） (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2. × × × × x2+2xy +y2 x2-2xy +y2 x2 -2xy +y2 4x2+4xy +y2 一线课堂 指点之间，一线即达 巩固练习 2.如图，有甲、乙、丙三种不同的正方形或长方形纸片若干张．要用这三种纸片无重合无缝隙拼接成一个大正方形，先取甲纸片1张，乙纸片9张，还需取丙纸片 张． 6 一线课堂 指点之间，一线即达 巩固练习 3.计算： (1)(x+3)2;(2)(x-3)2;(3)(-2m+1)2;(4)(-2m-1)2. 解：(1)(x+3)2=x2+2·x·3+32=x2+6x+9. (2)(x-3)2=x2-2·x·3+32=x2-6x+9. (3)(-2m+1)2=（-2m）2＋2·（-2m）·1+12=4m2-4m+1. (4)(-2m-1)2=（-2m）2-2·（-2m）·1+12=4m2+4m+1. 一线课堂 指点之间，一线即达 巩固练习 4.(1)若(x－5)2＝x2＋kx＋25，则k的值是多少？ (2)先化简，再求值：(1＋a)(1－a)＋(a－2)2，其中a＝－3. (3)已知x2－4x＋1＝0，求代数式(2x－3)2－(x＋y)(x－y)－y2的值． 分析：对于(1)，把等号左边的式子展开后对比各项，即可得解；对于(2)，利用平方差公式和两数和(差)的平方公式展开，合并同类项后代入求值；对于(3)，先化简代数式，再将条件变形整体代入求值． 一线课堂 指点之间，一线即达 巩固练习 解：(1)依题意，得x2－10x＋25＝x2＋kx＋25.所以k＝－10. (2)原式＝1－a2＋a2－4a＋4＝－4a＋5. 当a＝－3时，原式＝－4×(－3)＋5＝17. (3)原式＝4x2－12x＋9－x2＋y2－y2＝3x2－12x＋9 ＝3(x2－4x＋3)． 因为x2－4x＋1＝0，所以x2－4x＝－1. 所以原式＝3×(－1＋3)＝6. 一线课堂 指点之间，一线即达 归纳小结 1.本节课要掌握： （1）运用两数和（差）的平方公式进行计算. （a±b）2=a2±2ab+b2. （2）体验数学中相互转化、数形结合的思维方法，了解公式的几何背景. 2.通过这节课的学习，你还有哪些收获？ 一线课堂 指点之间，一线即达 $$