第05讲 函数的定义域、解析式及值域（十大重难点）-2024-2025学年高一数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019必修第一册）

2024-2025学年高一数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019必修第一册） 第05讲 函数的定义域、解析式及值域 一、函数 1.函数的定义域、值域 在函数中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 2.构成函数的三要素 函数的三要素为定义域、值域、对应关系. 注意：相等函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等． （1）两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数． （2）函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如均表示相等函数. 3.函数的表示方法 函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法. 解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域； 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征； 图象法：注意定义域对图象的影响. 二、区间 1．区间的概念(为实数,且) 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半闭半开区间 半开半闭区间 2．其他区间的表示 定义 符号 三、常见函数的定义域和值域 函数 函数关系式 定义域 值域 正比例函数 反比例函数 一次函数 二次函数 四、分段函数 分段函数的概念：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 注意：分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集． 重难点01函数定义的理解及区间的表示 【解题必备】判断对应关系是否为函数的2个条件：①必须是非空数集；②中任意一元素在中有且只有一个元素与之对应． （2）根据图形判断对应是否为函数的方法：①任取一条垂直于轴的直线；②在定义域内平行移动直线；③若与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数． （3）应用区间时的注意点：区间是数集，区间的左端点小于右端点． 例1．用区间表示下列集合． （1）： ； （2）： ； （3）： ； （4）R： ． 例2．下列图象中，不能表示函数的是（   ） A．   B．   C．   D．   【跟踪练习】 练习1．设，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   练习2．图中给出的四个对应关系，其中构成函数的是（    ）    A．② B．①④ C．②④ D．③④ 练习3．集合下列表示从到的函数是（    ） A． B． C． D． 练习4．已知集合与集合.若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 重难点02求具体函数的定义域 【解题必备】求函数定义域的几种类型：（1）若是整式，则函数的定义域是R. （2）若是分式，则应考虑使分母不为零；（3）若是偶次根式，则被开方数大于或等于零． （4）若是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集． 例3．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 例4．下列函数中，与函数是同一函数的是（ ） A． B． C． D． 【跟踪练习】 练习1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 练习2．（多选）下列四组函数中，表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 练习3．函数的定义域为 ． 练习4．函数的定义域为 . 重难点03求抽象函数的定义域 【解题必备】两类抽象函数的定义域的求法： （1）已知的定义域，求的定义域：若的定义域为，则中，从中解得的取值集合即为的定义域； （2）已知的定义域，求的定义域：若的定义域为，即，求得的取值范围，的值域即为的定义域． 例5．已知函数的定义域是，则的定义域是（   ） A． B． C． D． 例6．已知，则的定义域为                                 （    ） A． B． C．且 D．且 【跟踪练习】 练习1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 练习2．若函数的定义域为，则的定义域为 ． 练习3．若函数的定义域是，则函数的定义域是 . 练习4．（1）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ； （2）已知函数的定义域为，则的定义域为 ． 重难点04由函数的定义域求参数 例7．函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例8．函数． (1)若的定义域为，求实数的值； (2)若的定义域为，求实数的取值范围． 【跟踪练习】 练习1．已知函数的定义域为R，则实数m的取值范围为 ． 练习2．若函数的定义域为，则实数 实数的取值范围 ． 练习3．函数在上有意义，则实数a的取值范围为 ． 练习4．已知函数. (1)若的定义域为[－2,1]，求实数a的值； (2)若的定义域为R，求实数a的取值范围． 重难点05待定系数法、方程组法求解析式 【解题必备】（1）待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式； （2）解方程组法：已知关于与或的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出 例9．解答下列问题： (1)已知是一次函数，且满足，求的解析式； (2)已知满足，求的解析式． 例10．写出一个的二次函数的解析式 ． 【跟踪练习】 练习1．已知函数的定义域为R，对任意均满足：则函数解析式为（    ） A． B． C． D． 练习2．若一次函数满足：对任意都有，则的解析式为 ． 练习3．若函数满足，则 ． 练习4．（1）已知函数满足，求的解析式． （2）已知，其中，求的解析式． 重难点06换元法（配凑法）求解析式 【解题必备】换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数的解析式求的解析式，可用换元法(或“配凑法”)，即令，反解出，然后代入中求出，从而求出； 例11．已知，则=（    ）． A． B． C． D． 例12．已知，则 . 【跟踪练习】 练习1．（多选）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 练习2．已知，则函数的解析式为 练习3．已知，，则 ． 练习4．已知，则函数 ，= ． 重难点07求简单函数的值域 【解题必备】（1）配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域； （2）分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域 （3）换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域． 例13．（多选）下列函数中值域为的是（   ） A． B． C． D． 例14．求函数的值域. 【跟踪练习】 练习1．函数的值域为 ． 练习2．已知集合，，则 ． 练习3．（多选）下列函数与的值域相同的是（    ） A． B． C． D． 练习4．求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)，； (4)． 重难点08求复合函数的值域 例15．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 例16．下列函数中，值域是的是（　　） A． B．， C．， D． 【跟踪练习】 练习1．已知函数的值域为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 练习2．函数的值域为 练习3．函数的值域为 ． 练习4．函数的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 重难点09分段函数求值与求参 【解题必备】已知函数值，求自变量的值时，要分类讨论自变量的取值范围，将“”脱掉，转化为关于自变量的方程求解 例17．已知实数，函数，若，则的值为（    ） A．1 B． C．-1 D．2 例18．设函数，则方程的实根个数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪练习】 练习1．已知函数的表达式为，，则 . 练习2．已知，则 ；若，则 ． 练习3．已知函数，则 . 练习4．已知函数，且. (1)求； (2)若，求实数的值. 重难点10解分段函数不等式 【解题必备】研究分段函数要牢牢抓住的2个要点：①分段研究．在每一段上研究函数；②合并表达．因为分段函数无论分成多少段，仍是一个函数，对外是一个整体． 例19．已知，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 例20．已知函数. (1)求的值； (2)若，求实数的值. (3)若，求的取值范围. 【跟踪练习】 练习1．已知，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 练习2．已知函数 解不等式 练习3．已知函数 (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数m的取值范围． 练习4．已知二次函数满足，若函数 (1)求的解析式； (2)若实数满足，求的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年高一数学上学期期中期末重难点归类及真题训练 （人教A版2019必修第一册） 第05讲 函数的定义域、解析式及值域 一、函数 1.函数的定义域、值域 在函数中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 2.构成函数的三要素 函数的三要素为定义域、值域、对应关系. 注意：相等函数 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等． （1）两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数． （2）函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如均表示相等函数. 3.函数的表示方法 函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法. 解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域； 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征； 图象法：注意定义域对图象的影响. 二、区间 1．区间的概念(为实数,且) 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半闭半开区间 半开半闭区间 2．其他区间的表示 定义 符号 三、常见函数的定义域和值域 函数 函数关系式 定义域 值域 正比例函数 反比例函数 一次函数 二次函数 四、分段函数 分段函数的概念：若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 注意：分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集． 重难点01函数定义的理解及区间的表示 【解题必备】判断对应关系是否为函数的2个条件：①必须是非空数集；②中任意一元素在中有且只有一个元素与之对应． （2）根据图形判断对应是否为函数的方法：①任取一条垂直于轴的直线；②在定义域内平行移动直线；③若与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数． （3）应用区间时的注意点：区间是数集，区间的左端点小于右端点． 例1．用区间表示下列集合． （1）： ； （2）： ； （3）： ； （4）R： ． 【答案】 / 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； 故答案为：；；； 例2．下列图象中，不能表示函数的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【详解】C选项的函数图像中存在，对应两个不同的函数值，故不是函数图像. 故选：C 【跟踪练习】 练习1．设，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【详解】对于A：定义域为，定义域是的真子集，故错误； 对于B：定义域为，值域为，且图像也满足函数定义，故正确； 对于C：不满足“从定义域中任意取一个有唯一的与之对应”，故错误； 对于D：定义域为，定义域是的真子集，故错误； 故选：B. 练习2．图中给出的四个对应关系，其中构成函数的是（    ）    A．② B．①④ C．②④ D．③④ 【答案】D 【详解】根据函数的定义，每个都有一个对应的唯一确定的函数值， 故只有③④符合条件. 故选：D. 练习3．集合下列表示从到的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由集合， 对于A中，若，则集合中任意元素，在集合中都有唯一的元素与之对应，所以可构成集合到的函数，符合题意； 对于B中，若，则集合中的元素，在集合中没有元素与之对应，所以不能构成集合到的函数，不符合题意； 对于C中，若，则集合中的元素，在集合中没有元素与之对应，所以不能构成集合到的函数，不符合题意； 对于D中，若，则集合中的元素，在集合中没有元素与之对应，所以不能构成集合到的函数，不符合题意； 故选：A. 练习4．已知集合与集合.若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若“”是“”的充分不必要条件，则集合B是集合A的真子集， 则，等号不同时成立，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 重难点02求具体函数的定义域 【解题必备】求函数定义域的几种类型：（1）若是整式，则函数的定义域是R. （2）若是分式，则应考虑使分母不为零；（3）若是偶次根式，则被开方数大于或等于零． （4）若是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集． 例3．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由， 得函数的定义域为. 故选：C. 例4．下列函数中，与函数是同一函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的定义域为， 对于A，函数的定义域为，定义域不同，则不是同一函数，故A错误； 对于B，函数的定义域为，且对应关系与函数相同，故B正确； 对于C，函数的定义域为，定义域不同，则不是同一函数，故C错误； 对于D，函数的定义域为，且，则对应关系与函数不相同，故D错误. 故选：B. 【跟踪练习】 练习1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于函数，则，解得或， 即函数的定义域为. 故选：C 练习2．（多选）下列四组函数中，表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AC 【详解】对A，的定义域为，的定义域为，定义域且解析式相同两者是同一函数，A对. 对B，的定义域为，的定义域为或，定义域不同，不是同一函数，B错. 对C，的定义域为，的定义域为，且函数解析式相同，则为同一函数，C对. 对D，的定义域为，的定义域为，定义域不同，所以不是同一函数，D错. 故选：AC 练习3．函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】由得，且， ∴函数的定义域为. 故答案为：. 练习4．函数的定义域为 . 【答案】 【详解】因为， 所以且， 解得且， 故函数的定义域为. 故答案为： 重难点03求抽象函数的定义域 【解题必备】两类抽象函数的定义域的求法： （1）已知的定义域，求的定义域：若的定义域为，则中，从中解得的取值集合即为的定义域； （2）已知的定义域，求的定义域：若的定义域为，即，求得的取值范围，的值域即为的定义域． 例5．已知函数的定义域是，则的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域是，则在中，，解得， 所以的定义域是. 故选：A 例6．已知，则的定义域为                                 （    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【详解】因为，所以，又因为在中，，所以，所以， 所以的定义域为且. 故选：C 【跟踪练习】 练习1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】依题意，函数的定义域为， 所以函数有意义应满足，解得， 所以的定义域为. 故答案为： 练习2．若函数的定义域为，则的定义域为 ． 【答案】 【详解】因为函数的定义域为， 所以， 所以要使函数有意义， 则，即，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 练习3．若函数的定义域是，则函数的定义域是 . 【答案】 【详解】由题意得函数的定义域是， 令，所以，即，解得， 由，解得或， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 练习4．（1）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ； （2）已知函数的定义域为，则的定义域为 ． 【答案】 【详解】解:（1）因为函数的定义域为， 所以，即，所以， 所以函数的定义域为． （2）因为函数的定义域为，即， 所以，即的定义域为， 所以，解得， 所以函数的定义域为． 故答案为：（1）；（2）. 重难点04由函数的定义域求参数 例7．函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数的定义域为， 所以关于的方程无实数解， 当时，显然无解，符合题意； 当时，则，解得． 综上可得． 故选：D． 例8．函数． (1)若的定义域为，求实数的值； (2)若的定义域为，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）由题意得：不等式的解集为， 所以，化简，解之得． 故实数的值为. （2）由题意得：不等式在R上恒成立， ①当，即或时， 若，则，符合题意； 若，则，定义域不是，不满足条件． ②当，即，或时， ，解得，或. 综上所述，m的取值范围是． 【跟踪练习】 练习1．已知函数的定义域为R，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【详解】的定义域为R， 的解集为R. 即的解集为R. ①当时，恒成立，满足题意； ②当时，，解得：. 实数m的取值范围是. 故答案为：. 练习2．若函数的定义域为，则实数 实数的取值范围 ． 【答案】 【详解】因为函数的定义域为，则， 而函数的定义域为， 所以，即. 故答案为：；. 练习3．函数在上有意义，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题意函数在上有意义， 即在上恒成立，即在上恒成立， 令，则，解得， 故实数a的取值范围为， 故答案为： 练习4．已知函数. (1)若的定义域为[－2,1]，求实数a的值； (2)若的定义域为R，求实数a的取值范围． 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）命题等价于不等式的解集为， 显然，如图.   且、是方程的两根， ， 解得：. （2）①若，即， 当时，，定义域为R，满足题意； 当时，，定义域不为R，不满足题意； ②若，为二次函数， 定义域为R，对恒成立， ； 综合①、②得a的取值范围. 重难点05待定系数法、方程组法求解析式 【解题必备】（1）待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式； （2）解方程组法：已知关于与或的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出 例9．解答下列问题： (1)已知是一次函数，且满足，求的解析式； (2)已知满足，求的解析式． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：设， 则， 所以， 解得， 所以； （2）解：因为，① 用-代替，得，② 由①×3-②×2得， 所以. 例10．写出一个的二次函数的解析式 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】设， 由得， 不妨设，则，解得， 所以. 故答案为：（答案不唯一） 【跟踪练习】 练习1．已知函数的定义域为R，对任意均满足：则函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可得①， 又②，①＋②得：，解得， 故选：A． 练习2．若一次函数满足：对任意都有，则的解析式为 ． 【答案】 【详解】设一次函数， ， 化简得：， 因为对任意，上式都满足，取和代入上式得： ，解得：， 所以. 故答案为：. 练习3．若函数满足，则 ． 【答案】/ 【详解】因为， 所以有， ，得， 所以， 故答案为： 练习4．（1）已知函数满足，求的解析式． （2）已知，其中，求的解析式． 【答案】（1）；（2），． 【详解】（1）在已知等式中，将换成，得， 与已知方程联立，，消去，得， 所以函数的解析式为. （2）在原式中以替换，得， 于是得，消去，得． 故函数的解析式为，． 重难点06换元法（配凑法）求解析式 【解题必备】换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数的解析式求的解析式，可用换元法(或“配凑法”)，即令，反解出，然后代入中求出，从而求出； 例11．已知，则=（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则 ，则， 所以， 故选：D. 例12．已知，则 . 【答案】 【详解】令，则且，所以， 所以函数的解析式为. 故答案为： 【跟踪练习】 练习1．（多选）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】由， 所以，C选项错误，D选项正确； ，A选项错误； ，B选项正确； 故选：BD. 练习2．已知，则函数的解析式为 【答案】 【详解】设，则，， 所以， 所以， 故答案为：． 练习3．已知，，则 ． 【答案】 【详解】对于函数，有， 又因为，故. 故答案为：. 练习4．已知，则函数 ，= ． 【答案】 11 【详解】令，则， 所以，所以， 所以. 故答案为：；. 重难点07求简单函数的值域 【解题必备】（1）配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法求其值域； （2）分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域 （3）换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域． 例13．（多选）下列函数中值域为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】对于A，函数的定义域为，值域也为，A是； 对于B，函数定义域为R，值域为，B是； 对于C，函数的定义域为，值域为，C不是； 对于D，函数的定义域为R，值域为，D不是. 故选：AB 例14．求函数的值域. 【答案】 【详解】由题意可知，所以可得，即函数定义域为， 令，可得； 则，当时，； 故函数值域为. 【跟踪练习】 练习1．函数的值域为 ． 【答案】 【详解】由已知定义域为 由幂函数的性质可知值域为： 故答案为： 练习2．已知集合，，则 ． 【答案】 【详解】根据函数的性质可知， 又因，所以， 所以.即 故答案为： 练习3．（多选）下列函数与的值域相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】，故其值域为； 对A：当时，，其值域为，故A正确； 对B：，故，其值域为，故B错误； 对C：，当且仅当时取得等号，其值域为，故C正确； 对D：令，故的值域即的值域； 又在单调递减，在单调递增，故，故D错误. 故选：AC. 练习4．求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)，； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1），且，则． 所以函数的值域为. （2）函数的定义域为，由，得， 所以的值域为. （3）函数图象的对称轴为，而， 当时，，当时，， 所以函数的值域为． （4）函数的定义域为， ， 所以函数的值域为． 重难点08求复合函数的值域 例15．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令得，，故定义域为， . 故选：A 例16．下列函数中，值域是的是（　　） A． B．， C．， D． 【答案】D 【详解】对选项A：，即函数的值域为，错误； 对选项B：，则函数在上为减函数，则，即函数的值域为，错误； 对选项C：函数的定义域为，函数的，值域不连续，错误； 对选项D：，函数的值域为. 故选：D 【跟踪练习】 练习1．已知函数的值域为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，则， 令，则， 则转化为， 开口向下，对称轴为， 所以的最大值为，最小值为， 所以的值域为. 故选：C 练习2．函数的值域为 【答案】 【详解】由已知得函数的定义域为， ， ， 又 ， ，又， 故答案为：. 练习3．函数的值域为 ． 【答案】 【详解】解：因为 ， 所以此函数的定义域为， 又因为是减函数， 当 当 所以值域为 故答案为：． 练习4．函数的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【详解】∵，∴，即函数的定义域为 .令， 则，∴， ∴，当且仅当时有最大值为1， 当时，或1满足. 故选：D 重难点09分段函数求值与求参 【解题必备】已知函数值，求自变量的值时，要分类讨论自变量的取值范围，将“”脱掉，转化为关于自变量的方程求解 例17．已知实数，函数，若，则的值为（    ） A．1 B． C．-1 D．2 【答案】B 【详解】当时，有，， 又因为， 所以，解得：， 又，所以舍去； 当时，有，， 又因为， 所以，解得：. 故选：B. 例18．设函数，则方程的实根个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则方程即， 当时，；当时，； 当时，若，则，符合题意； 若，则，不合题意； 当时，若，则，符合题意； 若，则，符合题意， 即方程的实根个数为3， 故选：B 【跟踪练习】 练习1．已知函数的表达式为，，则 . 【答案】或3 【详解】当时，则，解得； 当时，，解得，(舍负) 综上，或， 故答案为：或3． 练习2．已知，则 ；若，则 ． 【答案】 或 【详解】因为，所以； 因为， 当时，，解得（舍去）或； 当时，，解得. 综上：或； 故答案为：；或. 练习3．已知函数，则 . 【答案】 【详解】， 故答案为：． 练习4．已知函数，且. (1)求； (2)若，求实数的值. 【答案】(1)-2 (2). 【详解】（1），由于，故，解得 故， 所以. （2）当时，，解得，舍去； 当时，，解得或-1， 其中不符合题意，舍去； 综上所述，. 重难点10解分段函数不等式 【解题必备】研究分段函数要牢牢抓住的2个要点：①分段研究．在每一段上研究函数；②合并表达．因为分段函数无论分成多少段，仍是一个函数，对外是一个整体． 例19．已知，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 当时，， 故由得，解得，故； 当时，， 故由得， 当时，上式恒成立；当，整理得， 所以，故； 当时，， 故由得，解得，故； 综上：，即的解集为. 故选：B. 例20．已知函数. (1)求的值； (2)若，求实数的值. (3)若，求的取值范围. 【答案】(1)， (2)或 (3) 【详解】（1）由题可得， ， （2）①当时，， 解得，不符合题意，舍去； ②当时，，即， 解得或， 因为，，所以符合题意； ③当时，， 解得，符合题意； 综合①②③知，当时，或； （3）当时， 所以； 当时， 所以或； 当时；不成立； 所以此时解集为空集 综上所述，当时，的取值范围为： 【跟踪练习】 练习1．已知，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数，当时，，不等式化为：恒成立，则， 当时，，不等式化为：恒成立，则， 当时，，不等式化为：，解得，则， 所以的取值范围是. 故选：C 练习2．已知函数 解不等式 【答案】{x︱或}. 【详解】解：∵， ∴ 或 解得或， ∴不等式的解为{x︱或}. 练习3．已知函数 (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或； (2). 【详解】（1）解：①当时，， 解得，不合题意，舍去； ②当时，，即， 解得或， 因为，，所以符合题意； ③当时，， 解得，符合题意； 综合①②③知，当时，或； （2）解：由， 得或或， 解得或， 故所求m的取值范围是. 练习4．已知二次函数满足，若函数 (1)求的解析式； (2)若实数满足，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）为二次函数，设，因为， 所以， 即，可得，解得， 所以. （2），由， 当时，即，满足，解得，故. 当时，即，满足，可得. 综上：的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$