专题11 等边三角形课件 2024-2025学年浙教版数学八年级上册冲刺重高专题培优讲义

专题11 等边三角形 冲刺重高专题培优讲义 浙教版数学八年级上册 知识梳理 【1】等边三角形的定义:三条边都相等的三角形叫做等边三角形. 【2】等边三角形的性质:等边三角形的三条边相等，三个内角都等于 60°，每一条边上都满足“三线合一” 【3】等边三角形的判定: （1）三条边都相等的三角形是等边三角形. （2）三个角都相等的三角形是等边三角形 （3）有一个角是60的等腰三角形是等边三角形. 知识梳理 【4】等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴. 【5】等边三角形是特殊的等腰三角形，它有一些特殊的性质： 三边相等、有三条对称轴、一边上的高线可以把等边三角形分成两个含有 角的直角三角形、连结三边的中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等，若等边三角形的边长为 ，则它的高线长为 ，面积为 重点突破 知识点一：等边三角形的性质 【例1】如图， 和 均为等边三角形， 三点 在一条直线上， ，判断线段 与 的数量关系， 并加以证明. 重点突破 思路点拨 根据等边三角形的性质，由 为等边三角形得到 ， 则由 可计算出 ，再利用 为等边三角形得到 ， ，根据三角形内角和定理可计算出 ，最后在 中利用含30°角的直角三角形三边的关系可得 ，即可得到 . 重点突破 [答案] 解题过程 证明如下： 为等边三角形， 为等边三角形， 在 中， 方法提炼 本题考查等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都 相等，且都等于 也考查了含 角的直角三角形三边的关系，注意 等边三角形与特殊直角三角形之间的关系. 重点突破 【跟踪训练1】如图，在 中， 和 都是等边三角形， 和 交于点 ，求证： [答案] 和 都是等边三角形， 在 中， 重点突破 知识点二：等边三角形的判定 【例2】如图， 都是等边三角形， 相交于点 分别是线段 的中点. 重点突破 （1）求证： 思路点拨 由等边三角形的性质得出 ， ， ，从而有 ，证明 即可 重点突破 [答案] 解题过程 都是等边三角形， 在 和 中， 重点突破 （2）求 的度数. 思路点拨 由 得到 ，求出 的值，由三角形的内角和定理即可得到答案， [答案] 解题过程 是等边三角形， 的度数为 重点突破 （3）求证： 是等边三角形. 思路点拨 由 证明 ，推出 ，再求出 即可. 重点突破 [答案] 解题过程 又 分别是线段 的中点， 在 和 中， 又 是等边三角形. 重点突破 【跟踪训练2】已知等边三角形 重点突破 （1）如图 是 边上的两点， ，求 的度数. [答案] 为等边三角形， 重点突破 （2） 是 边上的两个动点（不与点 重合），点 在点 的 左侧，且 ，点 关于直线 的对称点为 ，连结 ①依题意将图2补全. [答案] 补全图形如图所示. 重点突破 ②求证： [答案] 为等边三角形， ，即 点 关于直线 对称， 为等边三角形 重点突破 【例3】如图， 是等边三角形 内一点， 以 为一边作等边三角形 ，连结 （1）当 时，试判断 的形状，并说明理由. 思路点拨 首先根据已知条件可以证明 ，然后利用全等三 角形的性质可以求出 的度数，由此即可判定 的形状， 重点突破 [答案] 解题过程 是直角三角形.理由如下： 是等边三角形， 是等边三角形， 在 和 中， 是直角三角形. 重点突破 （2）探究：当 为多少度时， 是等腰三角形？ 思路点拨 利用（1）和已知条件及等腰三角形的性质即可求解 [答案] 解题过程 由（1）得 ①要使 ，需 ，解得 重点突破 ②要使 ，需 ，解得 ③要使 ，需 ，解得 当 为 或 时， 是等腰三角形. 课后练习 A组 基础巩固 1.如图， 为等边三角形，若 ，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 课后练习 2.如图， 是等边三角形， ， 则 的度数为( ) B A. B. C. D. 3.如图，已知 是等边三角形，点 在同一直线上，且 ，则 的 度数为 ( ) C A. B. C. D. 课后练习 4.如图，从等边三角形内一点 向三边作垂线，垂足分别 是 ，则 的面积是 ( ) B A.48 B. C.96 D. [解析] 如图，连结 ，过点 作 于点 课后练习 ， 故选 课后练习 &6& （第5题） 5.如图，等边三角形纸片 的边长为 是边 上的三等分点.分 别过点 沿着平行于 方向各剪一刀，则剪下的 的周长 是___. 6 课后练习 （第6题） 6.如图，在 中， ，将 沿 所 在直线向右平移得到 ，连结 ，若 ，则线段 的长为___. 4 课后练习 （第7题） 7.如图，等边三角形 的边长为 是 边上的任意 一点（不与点 重合），过点 分别作 ，交 于点 ，则四边形 的周长是___. 8 课后练习 8.如图，在 中， 是 内的两点， 平分 （1）延长 交 于点 的形状为____________ （填“等腰三角形”“等边三角形”或“直角三角形”）. 等边三角形 图1 [解析] 如图1. 为等边三角形.故答案 为等边三角形. 课后练习 （2）若 ，则 ___ 8 图2 [解析] 如图2，延长 交 于点 为等边三角形， 平分 ， 故答案为8. 课后练习 9.如图，在 中， 于点 是 上一点，连结 ，与 相交于点 ，连 结 ，且 （1）求证： 垂直平分 [答案] ，点 在 上， 垂直平分 课后练习 （2）若 ，求证： 平分 [答案] 又 平分 课后练习 （3）若 ，求证： 是等边三角形. [答案] 由（1）知 是等边三角形. 由（1）知 垂直平分 ， 是 的中点 是等边三角形. 课后练习 B组 能力提升 10.已知在 中， ，若要判定 是等边三角形，还 需添加一个条件.现有下列三种说法： ①如果添加条件“ ”，那么 是等边三角形； ②如果添加条件“ ”，那么 是等边三角形； ③如果添加条件“边 上的高线长相等”，那么 是等边三角形. 其中正确的有( ) A A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 课后练习 11.如图，在边长为2的等边三角形 中， 为边 上一点，且 点 分别在边 上，且 为边 的中点，连结 交 于点 若 ，则 的长为 ( ) A A. B. C. D. 课后练习 [解析] 如图，连结 等边三角形 的边长为 在 中， 为 的中点， 课后练习 等边三角形 中， 是等边三角形. 垂直平分 在 中， 故选 课后练习 下列结论：① ；② ；③ 是 等边三角形.其中正确的是______.（填序号） 12.如图，在等腰三角形 中， 于点 是 延 长线上一点， 是线段 上一点， ，有 ①③ 课后练习 13.在等边三角形 中， 是 上的动点，点 与点 不重合， 点 在 的延长线上，且 课后练习 （1）如图1，若 是 的中点，求证： [答案] 是等边三角形， 是 的中点， 平分 课后练习 （2）如图2，若 不是 的中点，（1）中的结论“ ”能否成立？ 若不成立，请直接写出 与 的数量关系；若成立，请给予证明. [答案] 成立.证明如下： 如图，过点 作 交 于点 是等边三角形， 课后练习 ，即 是等边三角形 在 和 中， 课后练习 C组 思维拓展 14.如图， 是等边三角形 内一点， 的度数之比为 ，则以 为边的三角形中，最大内角的度数为_ ____. <m></m> 课后练习 [解析] 如图，将 绕点 逆时针旋转 得 ，则 ，连结 ， 是等边三角形. 课后练习 的三边长分别为 ， ， 以 为边的三角形中，最大内角为 故答案为 课后练习 15.如图1，在凸四边形中， （1）如图2，若连结 ，则 的形状是______三角形.依据的判 定定理是_ ______________________________________.（请写出定理的 具体内容） 等边 一个内角为 <m></m> 的等腰三角形是等边三角形 课后练习 （2）如图3，若在四边形 的外部以 为一边作等边三角形 ， 并连结 ，请问： 与 相等吗？若相等，请加以证明；若不相等， 请说明理由. [答案] 证明如下：连结 由（1）知， 是等边三角形， 又 是等边三角形， ，即 课后练习 （3）在（2）的条件下，请说明 成立的理由. [答案] 是等边三角形， 在 中，由勾股定理得 又 $$