精品解析：山东省菏泽市单县2024-2025学年上学期九年级数学第一次月考试卷

2024—2025学年度第一学期1/4月考试卷 九年级数学 （范围：第1章至第2章 时间：120分钟 满分：120分） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（    ） A. B. C. D. 2. 如图，，下面等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，若，，则的长度为（　　） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 4. 如图，已知点D、E分别是边上的点，且，相似比为，交于点F．则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点为位似中心，把扩大到原来的倍，则点的对应点的坐标为（    ） A. B. C. 或 D. 或 6. 在中，，若的三边都缩小5倍，则的值（    ） A. 放大5倍 B. 缩小5倍 C. 不变 D. 无法确定 7. 如图，已知在中，，，垂足为点，那么下列线段的比值不一定等于的是（    ） A. B. C. D. 8. 某楼梯的侧面如图所示，已测得BC的长约为3.5米，∠BCA约为29°，则该楼梯的高度AB可表示为（　　） A. 3.5sin29° B. 3.5cos29° C. 3.5tan29° D. 9. 如图，每个小正方形的边长均为1，若点A，B，C都在格点上，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 10. 如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为（ ） A. B. C. D. 2 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 在中，∠C＝90°，AC＝，AB＝2，则∠B＝_____． 12. 如图所示，直线，点、、、分别是直线、与两条平行线的交点，且与交于点，已知，，，，则______． 13. 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，若AD=1，AB=4，则_____． 14. 如图1，物理课上学习过利用小孔成像说明光的直线传播.现将图1抽象为图2，其中线段AB为蜡烛的火焰，线段A＇B＇为其倒立的像. 如果蜡烛火焰AB的高度为2cm，倒立的像A＇B＇的高度为5cm，点O到AB的距离为4cm，那么点O到A＇B＇的距离为__________ cm. 15. 如图，正六边形边长为1，若连接对角线，则的长为_________． 16. 如图所示，小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为20 m，则电梯楼的高BC为____________米(精确到0.1)．(参考数据：≈1.414，≈1.732) 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在中，，点P为边上一动点（不与点B，C重合），连接，过点P作射线交于点M，使．求证：． 19. 如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 20. 如图，在正方形中，在边上取中点，连接，过点作交于点、交的延长线于点． （1）求证：． （2）若，求的长． 21. 如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，多长时间后，与相似？ 22. 如图，是的中线， 求： （1）的长； （2）的正弦值． 23. 如图，客轮在处测得灯塔位于北偏东方向上，客轮从处以30海里的速度沿南偏东方向航行，后到达码头处，此时测得灯塔位于码头北偏东方向，求码头到灯塔的距离．（结果保留根号） 24. 2025年4月24日17时17分28秒，神舟二十号载人飞船发射成功标志着中国航天开启“太空工业革命”，图，在斜坡上有一瞭望台，斜坡的坡度为，坡长为50米， 雷达的高度为10米，火箭发射，雷达中心测得火箭底端点的俯角为，仅2秒的时间，测得火箭上升至的处的仰角为，请根据以上数据估算火箭发射时速度．（结果保留整数，参考数据：，，） 25. 日月双塔是中国名塔，是桂林市的文化地标，某校九年级“综合与实践”小组开展了“日塔高度的测量”项目化学习，经过测量，形成了如下不完整的项目报告： 测量对象 广西桂林日月双塔——日塔 测量目的 1．学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题； 2．培养学生动手操作能力，增强团队合作精神． 测量工具 无人机，测角仪等． 测量方案 1．先将无人机垂直上升至距水平地面的P点，测得日塔的顶端A的俯角为； 2．再将无人机沿水平方向飞行到达点Q，测得塔的顶端A的俯角为． 测量示意图 请根据以上测量数据，求日塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期1/4月考试卷 九年级数学 （范围：第1章至第2章 时间：120分钟 满分：120分） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 根据相似三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：选项A、根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可，本选项不符合题意； 选项B、根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可，本选项不符合题意； 选项C、不满足相似三角形的条件，本选项符合题意； 选项D、根据两边成比例夹角相等两三角形相似判断即可，本选项不符合题意， 故选：C． 2. 如图，，下面等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到，，然后根据比例的性质对各选项进行判断． 【详解】解：∵AB//CD//EF， ∴，， ∴AC•DF=BD•CE；AC•BF=BD•AE；CE•BF=AE•DF． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 3. 如图，，若，，则的长度为（　　） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得出相似比为，即可得解． 【详解】解：∵，， ∴相似比为， ∵， ∴， 故选：B． 4. 如图，已知点D、E分别是边上的点，且，相似比为，交于点F．则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质可得，，再根据相似三角形的对应边上高的比等于相似比即可求解． 【详解】解：∵，是公共角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，相似比为， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，明确“相似三角形的对应边上高的比等于相似比”，灵活运用是关键． 5. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，以原点为位似中心，把扩大到原来的倍，则点的对应点的坐标为（    ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标特征，然后点的横纵坐标都乘以或即可．本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 【详解】解：以原点为位似中心，把扩大到原来的倍， ∴当点的对应点在原点同侧时，点的对应点的坐标为， 即点的对应点的坐标为； ∴当点的对应点在原点异侧时，，点的对应点的坐标为， 即点的对应点的坐标为； 点的对应点的坐标为或． 故选：． 6. 在中，，若的三边都缩小5倍，则的值（    ） A. 放大5倍 B. 缩小5倍 C. 不变 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义：在中，．锐角A的对边a与斜边c的比叫做的正弦，记作．直接利用锐角的正弦的定义求解． 【详解】解：∵， ∴的对边与斜边的比， ∵的三边都缩小5倍， ∴的对边与斜边的比不变， ∴的值不变． 故选：C． 7. 如图，已知在中，，，垂足为点，那么下列线段的比值不一定等于的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，进行逐一判断即可． 【详解】A. ，， ，， ， ， 由图得：与不一定相等， 不一定等于，故此项错误； B.在中，，故此项正确； C. 在中，，故此项正确； D.在中，，故此项正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了锐角三角函数中正弦函数的定义，理解锐角三角函数的定义是解题的关键． 8. 某楼梯的侧面如图所示，已测得BC的长约为3.5米，∠BCA约为29°，则该楼梯的高度AB可表示为（　　） A. 3.5sin29° B. 3.5cos29° C. 3.5tan29° D. 【答案】A 【解析】 【分析】解直角三角形求出AB即可． 【详解】在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝3.5米，∠BCA＝29°， ∴AB＝BC•sin∠ACB＝3.5•sin29°. 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形，已知直角三角形的锐角及斜边，用正弦即可求得这个角的对边. 9. 如图，每个小正方形的边长均为1，若点A，B，C都在格点上，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，锐角三角函数． 由勾股定理可求得，，的长，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，根据正切的定义即可解答． 【详解】∵， ， ， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． 故选：D 10. 如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】过A点作AH⊥BC于H点，先由sin∠B及AB=3算出AH的长，再由tan∠C算出CH的长，最后在Rt△ACH中由勾股定理即可算出AC的长． 【详解】解：过A点作AH⊥BC于H点，如下图所示： 由，且可知，， 由，且可知，， ∴在中，由勾股定理有：． 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识，如果图形中无直角三角形时，可以通过作垂线构造直角三角形进而求解． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 在中，∠C＝90°，AC＝，AB＝2，则∠B＝_____． 【答案】60° 【解析】 【分析】求出sinB的值即可解决问题． 【详解】解：如图，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝，AB＝2， ∴sinB＝， ∴∠B＝60°， 故答案为60°． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键． 12. 如图所示，直线，点、、、分别是直线、与两条平行线的交点，且与交于点，已知，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由，证明可得再代入数据计算即可得到答案． 【详解】解： ， ，，， ， 经检验：符合题意， 故答案为： 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 13. 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，若AD=1，AB=4，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 14. 如图1，物理课上学习过利用小孔成像说明光的直线传播.现将图1抽象为图2，其中线段AB为蜡烛的火焰，线段A＇B＇为其倒立的像. 如果蜡烛火焰AB的高度为2cm，倒立的像A＇B＇的高度为5cm，点O到AB的距离为4cm，那么点O到A＇B＇的距离为__________ cm. 【答案】10 【解析】 【详解】过点O作OC⊥AB于点C，延长CO交A＇B＇ 于点D， ∵AB// A＇B＇，∴CD⊥A＇B＇，△AOB∽△A＇OB＇， ∴ ， 即 ， ∴OD=10cm， 故答案为10. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形对应高的比等于相似比是解决本题的关键. 15. 如图，正六边形边长为1，若连接对角线，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】题目主要考查正多边形及等腰三角形的性质，解三角形的计算，过点B作，垂足为G，然后利用多边形的性质得出，，再由等腰三角形的性质确定，，利用余弦求解即可． 【详解】解：过点B作，垂足为G， ∵六边形是正六边形， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 16. 如图所示，小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为20 m，则电梯楼的高BC为____________米(精确到0.1)．(参考数据：≈1.414，≈1.732) 【答案】54.6 【解析】 【分析】易得CD=AD=20，利用60°的正切值可求得BD长．BD+CD即为电梯楼的高． 【详解】解：作AD⊥BC于点D． ∵∠DAC=45°， ∴CD=AD=20． ∵∠BAD=60°， ∴BD=AD×tan60°=20≈34.64(米)， ∴BC=BD+CD=20+34.64=54.64≈54.6（米）． 故答案为：54.6． 【点睛】本题考查了解直角三角形的知识，构造仰角和俯角所在的直角三角形，利用两个直角三角形的公共边求解是常用的解直角三角形的方法． 三、解答题（共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂是解题的关键． （1）代入特殊角的三角函数值，根据负整数指数幂的性质，进行计算即可求解． （2）代入特殊角的三角函数值，进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在中，，点P为边上一动点（不与点B，C重合），连接，过点P作射线交于点M，使．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴． 在中，， 又，， ∴． ∴． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，等边对等角，得到，三角形的外角得到，即可得证． 【详解】略 19. 如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 【答案】 证明：，， ， 四边形是正方形， ，， ，， 又， ． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明． 【详解】略 20. 如图，在正方形中，在边上取中点，连接，过点作交于点、交的延长线于点． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是正方形，， ， ， ． （2）10 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得出，根据平行线的性质得出，再根据相似三角形的判定得出即可； （2）根据正方形的性质得出，求出，根据勾股定理求出，根据相似得出比例式，代入求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 四边形是正方形， ． 为的中点， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得． 【点睛】本题考查了平行线的性质，勾股定理，正方形的性质，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键. 21. 如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，多长时间后，与相似？ 【答案】或 【解析】 【分析】首先设经秒钟与相似，由题意可得，，，又由是公共角，分别从与分析，即可求得答案． 【详解】解：设经秒钟与相似， 则，， ，， ， 是公共角， ①当，即时，， 解得：； ②当，即时，， 解得：， 经过2或秒钟与相似． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定．此题难度适中，属于动点型题目，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用． 22. 如图，是的中线， 求： （1）的长； （2）的正弦值． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是： （1）作于．在中，求出，在中，求出即可解决问题； （2）在中，求出，即可解决问题． 【小问1详解】 解：如图，作于． 在中，，， ，， 在中，， ， ． 【小问2详解】 ， ，，， 在中，． 的正弦值为． 23. 如图，客轮在处测得灯塔位于北偏东方向上，客轮从处以30海里的速度沿南偏东方向航行，后到达码头处，此时测得灯塔位于码头北偏东方向，求码头到灯塔的距离．（结果保留根号） 【答案】码头到灯塔的距离为海里． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题．过点作，垂足为，根据题意可得：海里，，，从而可得，进而可得，然后利用三角形内角和定理可得，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：如图：过点作，垂足为， 由题意得：（海里），，， ， ， ， ， 在中，（海里）， （海里）， 在中，（海里）， 海里， 码头到灯塔的距离为海里． 24. 2025年4月24日17时17分28秒，神舟二十号载人飞船发射成功标志着中国航天开启“太空工业革命”，图，在斜坡上有一瞭望台，斜坡的坡度为，坡长为50米， 雷达的高度为10米，火箭发射，雷达中心测得火箭底端点的俯角为，仅2秒的时间，测得火箭上升至的处的仰角为，请根据以上数据估算火箭发射时速度．（结果保留整数，参考数据：，，） 【答案】425米/秒 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点作于点，延长交的延长线于点，设，则，利用勾股定理求出的值，再利用正切的定义求出、，即可得解． 【详解】解：过点作于点，延长交的延长线于点， 在中，坡度为，米， 设，则， ∴， ∴ ∴米，米， ∵， ∴米， ∵， ∴， ∵， ∴米， ∴米， ∴（米/秒） 答：火箭发射时速度约为425米/秒． 25. 日月双塔是中国名塔，是桂林市的文化地标，某校九年级“综合与实践”小组开展了“日塔高度的测量”项目化学习，经过测量，形成了如下不完整的项目报告： 测量对象 广西桂林日月双塔——日塔 测量目的 1．学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题； 2．培养学生动手操作能力，增强团队合作精神． 测量工具 无人机，测角仪等． 测量方案 1．先将无人机垂直上升至距水平地面的P点，测得日塔的顶端A的俯角为； 2．再将无人机沿水平方向飞行到达点Q，测得塔的顶端A的俯角为． 测量示意图 请根据以上测量数据，求日塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，）． 【答案】日塔的高度约为 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用．延长，交的延长线于，则，求得，由，求得，据此求解即可． 【详解】解：如图，延长，交的延长线于， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 答：日塔的高度约为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $