精品解析： 上海外国语大学附属外国语学校 2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

2024-2025学年上海外国语大学附属外国语学校九年级（上）第一次月考数学试卷 一、填空题（共16题，1-8题每题2分，9-16题每题3分，共40分） 1. 如图，在中，点、分别在边、上，，，那么___． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，正确的掌握相似三角形的性质是解题的关键，根据题目已知条件可以得出，从而得出，因为和高相同，所以面积之比等于底边之比即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 故答案为：． 2. 如图，直线，若，，则的长度为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出的长，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为： 3. 已知，点P、Q是线段的两个黄金分割点，若，则的长是 ___________________． 【答案】## 【解析】 【分析】先由黄金分割的比值求出，再由进行计算即可． 【详解】解：如图，点、是线段的黄金分割点，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，熟记黄金比是解题的关键． 4. 已知，，都是二次函数的图像上的点，当时，随着的增大而增大，则，，按从小到大顺序排列是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象上点的坐标的特征，先判断抛物线的开口方向和对称轴，再求出函数值即可得到结论． 【详解】解：二次函数的对称轴为： 又当时，随着的增大而增大， 所以，该函数的图象开口向上， ∴， ∴当时，； 当时，； 当时，； ∵， ∴ 故答案为：． 5. 已知抛物线：，将抛物线平移得到抛物线，若两条抛物线，关于直线对称，那么应将抛物线向___平移___个单位． 【答案】 ①. 右 ②. 5 【解析】 【分析】主要考查了二次函数图象的平移，平移与轴对称的性质，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．找一个点，经过平移后这个点与直线对称．抛物线与轴的交点为，与点关于直线对称的点是．若将抛物线平移到，则点平移后坐标应为．因此将抛物线向右平移5个单位． 【详解】解：抛物线：， 抛物线对称轴为． 抛物线与轴的交点为． 则与点关于直线对称的点是．． 若将抛物线平移到，并且，关于直线对称，就是要将点平移后与点关于直线对称． 则点平移后坐标应为． ∴将抛物线向右平移5个单位． 故答案为：右，5． 6. 已知非零实数，，满足，则的值为___． 【答案】8或 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，设，求出，分或求解即可． 【详解】解：设，则有： 得，， 当时，则， ∴， ∴ ∴； 当时， ∴ 故答案为：8或． 7. 如图，是的中线，交于点，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先证得为的中位线，可得，从而得到，进而得到，可得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴点F为的中点， ∵是的中线， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形中位线性质，掌握相似三角形的判定和性质，三角形中位线性质的应用是解题关键． 8. 二次函数的图象与轴有两个交点M、N，顶点为R，若恰好是等边三角形，则___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，二次函数的性质，锐角三角函数的应用，不妨假设，如图，作轴于H， 设M、N点坐标分别为，可得，而的长为，由恰好是等边三角形，可得，结合，再进一步解题即可． 【详解】解：不妨假设，如图，作轴于H， 设M、N点坐标分别为， ∴当时， ，， 则， 抛物线顶点坐标为， 则的长为， ∵恰好是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵抛物线与轴有两个交点， ∴， ∴； 当时，同理可得：， 综上：． 故答案为： 9. 已知二次函数与轴交于点，，，则二次函数解析式___． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查求函数关系式，令，得，根据一元二次方程根与系数的关系得，，再将变形为，最后代入计算即可求出，进而解决问题． 【详解】解：∵二次函数与轴交于点，， 令，得， ∴是一元二次方程两根， ∴，， 又， ∴， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：． 10. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，连接，．已知点E坐标为，点D在线段上，且．则四边形面积的大小为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的解析式求出A，B，C三点的坐标，然后再求出所在直线的解析式，设，根据，求出D点坐标，再利用割补法即可求出四边形的面积． 【详解】解：二次函数的图象与坐标轴相交于A，B，C三点； ，，； 容易求出所在直线的解析式为； 设， ， ； ； ；，； ； 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，涉及到了求二次函数与坐标轴的交点，利用待定系数法求函数解析式以及利用割补法求不规则图形的面积，熟练掌握二次函数的综合知识是解题的关键． 11. 如图，在矩形中，，，，分别是，上的点，且，与相似，则的值为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质，解分式方程等知识点，根据相似三角形的性质写出比例式是解题的关键． 分两种情况讨论：当时；当时；分别根据相似三角形的性质写出比例式，解分式方程即可求出的值． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 与相似， 分两种情况讨论： 当时， 设，则， ， 即：， 解得：或， 经检验，或均为原分式方程的解； 当时， 设，则， ， 即：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解； 综上所述，的值为或或， 故答案为：或或． 12. 如图，，点是斜边的中点，，，，则______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线，相似三角形的判定和性质，证明和相似得，再根据即可得出的值． 【详解】解：在中，，D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：9． 13. 如图，在中，D是的中点，的角平分线交于点F，若，，则的周长为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，角平分线的性质定理等知识，如图，过点F作于点M，于点N，过点D作交于点T，证明，设，证明；设，则，求出，可得结论 【详解】解：过点F作于点M，于点N，过点D作交于点T，如图， ∵平分 ∴， ∴ ∴， 设，则， ∵， ∴ ∴, 设，则， ∵, ∴, ∴ ∴的周长， 故答案为：． 14. 如图，四边形和四边形都是平行四边形，点R为的中点，分别交和于点P，Q，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，根据相似三角形的性质，对应边成比例即可得出所求线段的比例关系． 【详解】解：∵四边形和四边形都是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴． 又∵点R是中点， ∴， ， ∴． 又∵， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在中，为的中点，F为边上一点,连接交干点E；若，则长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】本题是相似三角形综合题．作出适当的辅助线是解答本题的关键；延长到H，使，作交于G，可得，结合，，进而即可求解． 【详解】解：如图，延长到H，使，作交于G． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴ × ， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵=， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图，中，，，点P在内，且，，，则的面积为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质和勾股定理及逆定理等知识点，首先作，使得：，，即可得，即可得与相似比为2，继而可得与是直角三角形，根据直角三角形的性质和勾股定理，即可求得的面积，解题的关键是辅助线的构造，还要注意勾股定理与勾股定理的逆定理的应用． 【详解】如图，作，使得：，， ∴， ∵， ∴与相似比为2， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 作于M， 由， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 二、选择题（共4题，每题2分，共8分） 17. 下列说法正确的是（　　） A. 任意两个菱形都相似 B. 任意两个正方形都相似 C. 任意两个等腰三角形都相似 D. 任意两个矩形都相似 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似图形的定义，对应的角相等，对应边的比相等对每个命题进行判断． 【详解】解：A任意两个菱形满足四条边对应成比例，但不一定满足四个角分别对应相等，所以不一定相似，故A不符合题意； B任意两个正方形既满足四条边对应成比例，也满足四个角对应相等，所以任意两个正方形都相似，故B符合题意； C任意两个等腰三角形不一定满足有两个角对应相等，所以不一定相似，故C不符合题意； D任意两个矩形的对应角相等，但对应边的比不一定相等，所以不一定相似,，故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查的是相似图形的判定，掌握相似多边形各自的判定方法是解题的关键． 18. 若（均为正数），则下列式子不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用比例的性质进行逐项分析判断，即可作答．本题考查了比例的性质：灵活运用比例的性质是解决此类问题的关键． 【详解】解： ， 设, ， A选项成立，故该选项不符合题意； ∴，B选项不一定成立，故该选项符合题意； ∴，则， C选项成立，故该选项不符合题意； ∴，D选项成立，故该选项不符合题意； 故选：B． 19. 定义为函数的特征数，下面给出特征数为的函数的一些结论：（1）当时，函数图像的顶点坐标是；（2）当时，函数图像截轴所得的线段长度大于；（3）当时，函数在时，随的增大而减小；（4）当时，无论取何值函数图像经过定点．其中正确的结论有（　　）个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质的综合应用等知识点，①依据题意，把代入，求得，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；②依据题意，令函数值为0，求得与x轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题；③依据题意，首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；④依据题意，根据特征数的特点，直接得出x的值，进一步验证即可解答，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 【详解】①当时，特征数为， ∴，， ∴函数图象的顶点坐标是：，故①正确； ②当时，令，有， 解得， ∴， ∴， ∴当时，函数图象截x轴所得的线段长度大于，故②正确； ③当时，是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：直线，在对称轴的右边y随x的增大而减小， ∵当时，，即对称轴在直线右边， ∴函数在右边先递增到对称轴位置，再递减，故③错误； ④∵， 令， 解得或， 将代入得， 将代入得， ∴时，函数图象经过定点，，故④正确； ∴正确的有：①②④共3个， 故选：D． 20. 如图，四边形和均为正方形，若，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，连接，证明，可得的值，从而可得结论． 【详解】解：连接，如图， 则， ∵ ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 三、解答题（共6题，共52分） 21. 已知二次函数y＝（m2﹣2）x2﹣4mx+n的图象的对称轴是直线x＝2，且最高点在直线y＝x+1上，求这个二次函数的表达式． 【答案】y＝﹣x2+4x﹣2． 【解析】 【分析】根据函数的对称轴x＝2，此图象顶点的横坐标为2，此点在直线y＝x+1上，可求得y＝（m2﹣2）x2﹣4mx+n的图象顶点坐标为（2，2）．从而求得m＝﹣1或m＝2，利用最高点在直线上可得a＜0，所以m＝﹣1，n＝﹣2，从而求得二次函数的表达式． 【详解】解：∵二次函数的对称轴x＝2，此图象顶点的横坐标为2，此点在直线y＝x+1上， ∴y＝×2+1＝2， ∴y＝（m2﹣2）x2﹣4mx+n的图象顶点坐标为（2，2）， ∴﹣＝2， ∴﹣＝2， 解得：m＝﹣1或m＝2， ∵最高点在直线y＝x+1上， ∴a＝m2﹣2＜0， ∴m＝﹣1， ∴y＝﹣x2+4x+n， 又∵顶点为（2，2）， ∴2＝﹣4+8+n， ∴n＝﹣2， 则二次函数的表达式为y＝﹣x2+4x﹣2． 【点睛】主要考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法，要掌握对称轴公式的运用以及最值与函数之间的关系． 22. 如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB是多少？ 【答案】AB=6m 【解析】 【分析】根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的光线三者构成的两个直角三角形相似解答． 【详解】解：， ∴,即 ， 即 解得， 解得， 即路灯A的高度AB为. 23. 已知：如图，二次函数的图像交轴正半轴于点A，顶点为P，一次函数的图像交x轴于点B，交y轴于点C，． （1）求二次函数顶点P坐标； （2）将二次函数图像向下平移个单位，设平移后抛物线顶点为，若，求的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质等知识点． （1）先由直线解析式求出点B，C坐标，利用求得点A坐标，再利用待定系数法求解可得； （2）由平移知点P坐标为，设抛物线对称轴与x轴交于点H，与交于点M，知，先得出S，，根据列出方程求解可得. 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，， 当时，，解得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 把代入，得， 解得，， ∴， 则抛物线的顶点P的坐标为； 【小问2详解】 解：如图， 由平移知，点的坐标为， 设抛物线对称轴与轴交于点，与交于点，则， ∵， ， ∵， ∴， 解得，或． 24. 已知如图，D是△ABC的边AB上一点，DE∥BC，交边AC于点E，延长DE至点F，使EF＝DE，连接BF，交边AC于点G，连接CF. (1)求证：； (2)如果CF2＝FG·FB，求证：CG·CE＝BC·DE. 【答案】(1)∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC，△EFG∽△CBG， ∴＝，＝. 又∵DE＝EF， ∴＝， ∴＝； (2)∵CF2＝FG·FB， ∴＝. 又∠BFC＝∠CFG， ∴△BCF∽△CGF， ∴＝，∠FCE＝∠CBF. 又∵DF∥BC， ∴∠EFG＝∠CBF， ∴∠FCE＝∠EFG. ∵∠FEG＝∠CEF， ∴△EFG∽△ECF， ∴＝. 又∵EF＝DE，＝， ∴＝，即CG·CE＝BC·DE. 【解析】 【详解】略 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA． （1）试求抛物线的解析式； （2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m＝，试求m的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=﹣（x+2）（x﹣4）或y=﹣x2+x+4或y=﹣（x﹣1）2+．（2）最大值为，此时P（2，4）．（3）（，3）或（6，﹣3）． 【解析】 【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣4），根据已知条件求得点C的坐标代入解析式求得a值，即可得抛物线的解析式； （2）作PE⊥x轴于E，交BC于F，易证△CMD∽△FMP，根据相似三角形的性质可得m=，设P（n，﹣n2+n+4），则F（n，﹣n+4），用n表示出PF的长，从而得到m、n的二次函数关系式，利用二次函数的性质解决问题即可； （3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形，分DP是矩形的边和DP是矩形的对角线两种情况求点N的坐标． 【详解】解：（1）因为抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，0）、B（4，0）两点，设y=a（x+2）（x﹣4）， ∵OC=2OA，OA=2， ∴C（0，4），代入抛物线的解析式得到a=﹣， ∴y=﹣（x+2）（x﹣4）或y=﹣x2+x+4或y=﹣（x﹣1）2+． （2）如图1中，作PE⊥x轴于E，交BC于F． ∵CD∥PE， ∴△CMD∽△FMP， ∴m==， ∵直线y=kx+1（k＞0）与y轴交于点D，则D（0，1）， ∵BC的解析式为y=﹣x+4， 设P（n，﹣n2+n+4），则F（n，﹣n+4）， ∴PF=﹣n2+n+4﹣（﹣n+4）=﹣（n﹣2）2+2， ∴m==﹣（n﹣2）2+， ∵﹣＜0， ∴当n=2时，m有最大值，最大值为，此时P（2，4）． （3）存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形． ①当DP是矩形的边时，有两种情形， a、如图2中，四边形DQNP是矩形时， 有（2）可知P（2，4），代入y=kx+1中，得到k=， ∴直线DP的解析式为y=x+1，可得D（0，1），E（﹣，0）， 由△DOE∽△QOD可得=， ∴OD2=OE•OQ, ∴1=•OQ， ∴OQ=， ∴Q（，0）． 根据矩形的性质，将点P向右平移个单位，向下平移1个单位得到点N， ∴N（2+，4﹣1），即N（，3） b、如图3中，四边形PDNQ是矩形时， ∵直线PD的解析式为y=x+1，PQ⊥PD， ∴直线PQ的解析式为y=﹣x+， ∴Q（8，0）， 根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N， ∴N（0+6，1﹣4），即N（6，﹣3）． ②当DP是对角线时，设Q（x，0），则QD2=x2+1，QP2=（x﹣2）2+42，PD2=13， ∵Q是直角顶点， ∴QD2+QP2=PD2， ∴x2+1+（x﹣2）2+16=13， 整理得x2﹣2x+4=0，方程无解，此种情形不存在， 综上所述，满足条件的点N坐标为（，3）或（6，﹣3）． 【点睛】本题为二次函数压轴题，综合考查了二次函数、待定系数法、最大值问题、相似三角形、矩形等知识点．第（3）问涉及存在型问题，有一定的难度．在解题过程中，注意数形结合思想、分类讨论思想及方程思想等的应用． 26. 已知，在矩形ABCD中，点M是边AB上的一个点（与点A、B不重合），联结CM，作∠CMF＝90°，且MF分别交边AD于点E、交边CD的延长线于点F．点G为线段MF的中点，联结DG． （1）如图1，如果AD＝AM＝4，当点E与点G重合时，求△MFC的面积； （2）如图2，如果AM＝2，BM＝4．当点G在矩形ABCD内部时，设AD＝x，DG2＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （3）如果AM＝6，CD＝8，∠F＝∠EDG，求线段AD的长．（直接写出计算结果） 【答案】（1）；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）运用ASA证明△求出FD的长再运用三角形面积公式即可得到答案； （2）证明，根据相似三角形的性质列出比例式，代入相关数值即可求出函数关系式； （3）分点在矩形内部和外部两种情况求解即可． 【详解】解（1）过M作MH⊥DC，垂足为H，如图1 易得四边形ADHM是正方形， ∵ 又∠FED=∠MEA ∴△ ∴ ∵ ∴∠FHM=∠CHM=90°，∠HCM+∠HMC=90° ∵， ∴∠FMH+∠HMC=90° ∴∠FMH=∠HCM ∴△FMH∽△MCH ∴ ∴， ∴ （2）过M作MH⊥DC，过G点作GP⊥DC，垂足分别为H，P，如图2， ∵， ∴， ∵MH⊥DC， ∴∠MHF=∠MHC=90°，∠HMC+∠HCM=90° ∵∠FMC=90°， ∴∠FMH+∠HMC=90° ∴∠FMH=∠HCM ∴ ∴，即， ∴ ∴，， ∴ ∴ 由可得 ∴定义域为 （3）点在矩形内部时,延长DG交AB于J，联结AG，AF，如图 ∵ ∵ ∴， ∵， ∴ ∴∠ ∵∠ ∴∠ ∴∠ ∴垂直平分 ∴ ∵ ∴ 点在矩形外部时，延长DG交BA延长线于L，联结DM，如图 ∵， ∴， ∴ ∵∠，∠FMC为直角， ∴，垂直平分 ∴，， ∴ 综上，或 【点睛】收费题主要考查了三角形全等的判定与性质、垂直平分线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理和性质是解答此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上海外国语大学附属外国语学校九年级（上）第一次月考数学试卷 一、填空题（共16题，1-8题每题2分，9-16题每题3分，共40分） 1. 如图，在中，点、分别在边、上，，，那么___． 2. 如图，直线，若，，则的长度为___． 3. 已知，点P、Q是线段的两个黄金分割点，若，则的长是 ___________________． 4. 已知，，都是二次函数的图像上的点，当时，随着的增大而增大，则，，按从小到大顺序排列是___． 5. 已知抛物线：，将抛物线平移得到抛物线，若两条抛物线，关于直线对称，那么应将抛物线向___平移___个单位． 6. 已知非零实数，，满足，则的值为___． 7. 如图，是的中线，交于点，则__________． 8. 二次函数的图象与轴有两个交点M、N，顶点为R，若恰好是等边三角形，则___． 9. 已知二次函数与轴交于点，，，则二次函数解析式___． 10. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴相交于A，B，C三点，连接，．已知点E坐标为，点D在线段上，且．则四边形面积的大小为______． 11. 如图，在矩形中，，，，分别是，上的点，且，与相似，则的值为______． 12. 如图，，点是斜边的中点，，，，则______． 13. 如图，在中，D是的中点，的角平分线交于点F，若，，则的周长为___． 14. 如图，四边形和四边形都是平行四边形，点R为的中点，分别交和于点P，Q，则______． 15. 如图，在中，为的中点，F为边上一点,连接交干点E；若，则长为__________. 16. 如图，中，，，点P在内，且，，，则的面积为___． 二、选择题（共4题，每题2分，共8分） 17. 下列说法正确的是（　　） A. 任意两个菱形都相似 B. 任意两个正方形都相似 C. 任意两个等腰三角形都相似 D. 任意两个矩形都相似 18. 若（均为正数），则下列式子不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 19. 定义为函数的特征数，下面给出特征数为的函数的一些结论：（1）当时，函数图像的顶点坐标是；（2）当时，函数图像截轴所得的线段长度大于；（3）当时，函数在时，随的增大而减小；（4）当时，无论取何值函数图像经过定点．其中正确的结论有（　　）个． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 20. 如图，四边形和均为正方形，若，则的长为（　　） A. B. C. D. 三、解答题（共6题，共52分） 21. 已知二次函数y＝（m2﹣2）x2﹣4mx+n的图象的对称轴是直线x＝2，且最高点在直线y＝x+1上，求这个二次函数的表达式． 22. 如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB是多少？ 23. 已知：如图，二次函数的图像交轴正半轴于点A，顶点为P，一次函数的图像交x轴于点B，交y轴于点C，． （1）求二次函数顶点P坐标； （2）将二次函数图像向下平移个单位，设平移后抛物线顶点为，若，求的值． 24. 已知如图，D是△ABC的边AB上一点，DE∥BC，交边AC于点E，延长DE至点F，使EF＝DE，连接BF，交边AC于点G，连接CF. (1)求证：； (2)如果CF2＝FG·FB，求证：CG·CE＝BC·DE. 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA． （1）试求抛物线的解析式； （2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m＝，试求m的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由． 26. 已知，在矩形ABCD中，点M是边AB上的一个点（与点A、B不重合），联结CM，作∠CMF＝90°，且MF分别交边AD于点E、交边CD的延长线于点F．点G为线段MF的中点，联结DG． （1）如图1，如果AD＝AM＝4，当点E与点G重合时，求△MFC的面积； （2）如图2，如果AM＝2，BM＝4．当点G在矩形ABCD内部时，设AD＝x，DG2＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； （3）如果AM＝6，CD＝8，∠F＝∠EDG，求线段AD的长．（直接写出计算结果） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $