精品解析：山东省聊城市第一中学新校区、高铁校区2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题

聊城一中新校区、高铁校区高一上学期第一次阶段性测试 数学试题 时间120分钟 分值150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设集合，若，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件 3. 设集合，则集合的子集个数为（ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 4. 集合，，的关系是（ ） A. B. C. D. 5. 已知命题“”是假命题， 则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知x，y满足，则m，n满足的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. ，，若，且，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 8. 定义集合运算且称为集合A与集合B差集；定义集合运算称为集合A与集合B的对称差，有以下4个等式：①；②；③；④，则4个等式中恒成立的是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的不得分．） 9. 已知集合，是全集的两个非空子集，如果且，那么下列说法中正确的有（ ） A. ，有 B. ，使得 C ，有 D. ，使得 10. 已知表示不超过x最大整数，例如：，，，，，下列说法正确的是（ ） A. 集合 B. 集合A的非空真子集的个数是62个 C. 若“”是“”的充分不必要条件，则 D. 若，则 11. （多选）下列说法正确的是（ ） A. 若，则的最小值为 B. 已知，，且，则的最小值为 C. 已知，，且，则的最小值为 D. 若，，则的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若不等式对一切正实数都成立，则实数的取值范围是______. 13. 中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为________． 14. 若一个非空数集满足：对任意，有，，，且当时，有，则称一个数域，以下命题中： （1）0是任何数域的元素；（2）若数域有非零元素，则； （3）集合为数域；（4）有理数集为数域； 真命题的个数为________ 四、解答题（本大题共5小题，15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分．） 15. 已知全集，， （1）设实数x的取值构成集合M，求； （2）当时，求实数x的值. 16. 已知集合，. （1）若，求； （2）已知，求实数的取值范围. 17. 已知命题为假命题.设实数的取值集合为，设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 18. 某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积x（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费C（单位：万元）与设备占地面积x之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y（单位：万元）. （1）要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围； （2）设备占地面积x为多少时，y的值最小，并求出此最小值． 19. 问题：正实数a，b满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号．学习上述解法并解决下列问题： （1）若正实数x，y满足，求的最小值，并求出取最小值时的x，y值； （2）若实数a，b，x，y满足，求证：； （3）求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 聊城一中新校区、高铁校区高一上学期第一次阶段性测试 数学试题 时间120分钟 分值150分 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设集合，若，则（ ） A. B. 0 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用交集的结果列出方程求解即得. 详解】集合，而，则， 经验证符合题意，所以. 故选：C 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由可推出同号，则根据分类讨论可得出，根据，两边同乘可得，即可选出选项. 【详解】由题知，则同号， 当时，有， 当时，有， 故能推出， 当成立时，又， 对不等式两边同时乘以可得， 故“”是“”的充分必要条件. 故选：C. 3. 设集合，则集合的子集个数为（ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合A，再由子集个数公式得解. 【详解】由 故集合的子集个数为， 故选：C 4. 集合，，的关系是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据结合的包含的定义和集合相等的定义判断的关系可得结论. 【详解】任取，则，， 所以，所以， 任取，则，， 所以，所以， 所以， 任取，则，， 所以，所以， 又，， 所以， 所以， 故选：C. 5. 已知命题“”是假命题， 则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出当命题“”是真命题时的范围，取其补集可得所求结论. 【详解】由题意得， 若“”是真命题， 即当时，恒成立， 则，其中， 由，可得，所以 所以命题“”是假命题， 则的取值范围为． 故选：D. 6. 已知x，y满足，则m，n满足的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用作差法计算即可. 【详解】， 当且仅当时取得等号，所以. 故选：D 7. ，，若，且，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】先求得，根据求得的取值范围. 【详解】因为，，所以， ，因为，所以. 故选：C 8. 定义集合运算且称为集合A与集合B的差集；定义集合运算称为集合A与集合B的对称差，有以下4个等式：①；②；③；④，则4个等式中恒成立的是（ ） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】利用题设中的新定义，可判定①正确；利用集合运算的韦恩图法，可判定②正确、④错误；利用题设中的定义与集合的运算方法，可判定③正确. 【详解】对于①中，由，所以①正确； 对于②中，由且， 同理可得：, 则， 所以， 所以表示的集合为图（1）中阴影部分所表示的集合，如图所示， 同理，也表示图（1）中阴影部分所表示的集合， 所以，所以②正确； 对于③中，由，所以③正确； 对于④中，如图（2）所示，可得，所以④错误. 故选：B. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的不得分．） 9. 已知集合，是全集的两个非空子集，如果且，那么下列说法中正确的有（ ） A. ，有 B. ，使得 C. ，有 D. ，使得 【答案】BC 【解析】 【分析】根据且确定正确选项. 【详解】由于是全集的非空子集，且， 所以是的真子集， 所以，使得、，有，即BC选项正确. 故选：BC 10. 已知表示不超过x的最大整数，例如：，，，，，下列说法正确的是（ ） A. 集合 B. 集合A的非空真子集的个数是62个 C. 若“”是“”的充分不必要条件，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据新定义求得，即可判断AB；根据充分条件和必要条件、集合间的包含关系求出m，即可判断CD. 【详解】时，，时，， 时，，时，， 时，，时，， ∴，集合A的非空真子集有：个．故A错误，B正确； 又若“”是“”的充分不必要条件，则A是B的真子集，所以，C正确； 若，当时，； 当时，， 综上，∴D正确． 故选：BCD． 11. （多选）下列说法正确的是（ ） A. 若，则的最小值为 B. 已知，，且，则的最小值为 C. 已知，，且，则的最小值为 D. 若，，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对每一个选项利用基本不等式计算判断即可，注意成立条件． 【详解】对于A： 当且仅当，即时取等号，故A正确； 对于B：， ∴ . 当且仅当＝，即y＝，x＝取等号，故B正确； 对于C： ，当且仅当时，即，时取等号，故C不对； 对D：， 当且仅当，即等号成立，故D正确. 故选：ABD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若不等式对一切正实数都成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意恒成立，即，然后由基本不等式求的最大值即可. 【详解】由题意恒成立，即， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为， 所以. 故答案为：. 13. 中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为________． 【答案】12 【解析】 【分析】算得，直接由基本不等式即可求解. 【详解】依题意， 所以 当且仅当，时等号成立． 故答案为：12． 14. 若一个非空数集满足：对任意，有，，，且当时，有，则称为一个数域，以下命题中： （1）0是任何数域的元素；（2）若数域有非零元素，则； （3）集合为数域；（4）有理数集为数域； 真命题个数为________ 【答案】3 【解析】 【分析】根据新定义逐一判断即可求解 【详解】（1）当时，属于数域，故（1）正确， （2）若数域有非零元素，则， 从而，故（2）正确； （3）由集合的表示可知得是3的倍数，当时，，故（3）错误， （4）若是有理数集，则当，，则，，，且当时，”都成立，故（4）正确， 故真命题个数是3. 故答案为：3 四、解答题（本大题共5小题，15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分．） 15. 已知全集，， （1）设实数x的取值构成集合M，求； （2）当时，求实数x的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据集合元素互异性可求得取值范围，再利用集合的补集运算求解即可 （2）根据集合相等定义，分别列出方程组求解即可. 【小问1详解】 由并根据集合中元素的互异性可知， 即，解得且； 所以实数x的取值的集合； 所以 【小问2详解】 根据集合相等的定义， 当时可得或； 当时，解得， 当时，无解, 所以 16. 已知集合，. （1）若，求； （2）已知，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式求得集合，由此求得. （2）先求得，然后根据列不等式组，由此求得的取值范围. 【小问1详解】 ，解得. 因为，所以， 又因为，所以． 【小问2详解】 依题意，或，     由于，所以，解得， 所以的取值范围为． 17. 已知命题为假命题.设实数的取值集合为，设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】 【解析】 【分析】根据命题的真假，求实数的取值，再根据充分条件，转化为子集问题，即可求解. 【详解】由题意可知，，为真命题， 当时，，得不成立， 当时，，得， 所以，， 若“”是“”的充分条件， 当时，，得， 当时，，得， 综上可知， 18. 某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积x（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费C（单位：万元）与设备占地面积x之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y（单位：万元）. （1）要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围； （2）设备占地面积x为多少时，y的值最小，并求出此最小值． 【答案】（1） （2）设备占地面积为时，y值最小，最小值为7万元 【解析】 【分析】（1）表达出，从而得到不等式，求出，得到答案； （2）利用基本不等式求出最小值，并得到等号成立的条件，即x的值. 【小问1详解】 由题意得， 令即， 整理得：， 即， 解得， 所以设备占地面积x的取值范围为； 【小问2详解】 ，由基本不等式得 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以设备占地面积为时，y的值最小，最小值为7万元. 19. 问题：正实数a，b满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号．学习上述解法并解决下列问题： （1）若正实数x，y满足，求的最小值，并求出取最小值时的x，y值； （2）若实数a，b，x，y满足，求证：； （3）求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值． 【答案】（1），， （2）证明见解析 （3）时，M取得最小值 【解析】 【分析】（1）由不等式的乘“1”法即可求解， （2）由基本不等式即可求解， （3）利用（2）的结论，即可求解. 【小问1详解】 因为，，， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值是，此时，， 【小问2详解】 ， 又，当且仅当时等号成立， 所以 所以，当且仅当且x，y同号时等号成立． 【小问3详解】 令，， 由，得， ， 又，，所以， 构造， 由，可得，因此，， 由（2）知， 取等号时，且x，y同正， 结合，解得，， 即，． 所以时，M取得最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$