精品解析：新疆部分名校2025届高三上学期开学考试数学试题

高三数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式求出集合B，根据集合的交集运算，即可得答案. 【详解】解不等式，得， 故，所以． 故选：A 2. 若，则（ ） A. B. 13 C. 5 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】先根据复数相等得出,再应用复数的模的公式计算． 【详解】由，得且，解得， 则. 故选:C. 3. 若函数的最小正周期不小于，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦型函数的周期公式计算即可. 【详解】因为，所以，解得. 故选：D. 4. 若两个等比数列的公比相等，且，则的前6项和为（ ） A. B. C. 124 D. 252 【答案】B 【解析】 【分析】运用等比数列定义和求和公式计算即可. 【详解】由，得的公比，所以的公比为， 则的前6项和为． 故选：B. 5. 若离心率为的双曲线的左、右焦点分别为，右顶点为A，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用离心率公式，结合顶点公式，求出的值，即可得到. 【详解】依题意可得，所以，因为与同向，所以. 故选：C 6. 若随机变量Z服从正态分布，则．为了解使用新技术后的某果园的亩收入（单位：万元）情况，从该果园抽取样本，得到使用新技术后亩收入的样本均值，样本方差．已知该果园使用新技术前的亩收入X（单位：万元）服从正态分布，假设使用新技术后的亩收入Y服从正态分布，则（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用正态分布的概率性质计算即可. 【详解】依题可知，，所以， 故． 因为，所以， 所以． 故选：D. 7. 曲线的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对方程进行化简，得到，进而可知或，其表示的是两个同心圆,进而可求其周长. 【详解】由， 得， 即， 即或， 所以曲线C表示两个同心圆，且这两个圆的半径分别为， 所以曲线C的周长为． 故选：C. 8. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件得，进而，再用两角和的正切公式求解即可. 【详解】因为所以， 等式左边， 所以，即， 故． 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某部门30名员工一年中请假天数（未请假则请假天数为0）与对应人数的柱形图（图中只有请假天数为0的未显示）如图所示，则（ ） A. 该部门一年中请假天数为0的人数为10 B. 该部门一年中请假天数大于5的人数为10 C. 这30名员工一年中请假天数的第40百分位数为4 D. 这30名员工一年中请假天数的平均数小于4 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据柱形图逐一判断各个选项即可. 【详解】对于A,该部门一年中请假人数为0的人数为，A正确． 对于 B,该部门一年中请假天数大于5的人数为，B错误． 对于C,因为，且请假天数为0的人数为10，请假天数为4的人数为6， 所以这30名员工一年中请假天数的第40百分位数为4，C正确． 对于D,这30名员工一年中请假天数的平均数为，D正确． 故选：ACD. 10. 已知函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 在其定义域内为增函数 C. 曲线的切线的斜率的最大值为2 D. 曲线上任意一点与两点连线的斜率之和为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】A项由奇函数的定义可得；B项应用导函数画出函数大致图象，利用函数定义结合图象判断可得；C项由导函数值范围可知；D项设点在曲线上满足曲线方程，代入斜率之和的坐标表达式化简可得. 【详解】A项，因为的定义域为， 又，所以为奇函数，故A正确； B项， 则在上单调递增，且在上单调递增， 其中当；当； 当；当； 作出函数的大致图象，如图： 故任意，，都有， 故在其定义域内为增函数，故B正确； C项，当时，， 则，所以， 则曲线的切线的斜率小于2，故C错误； D项，设曲线上任意一点为， 则， 则，故D正确． 故选：ABD. 11. 若S，T为某空间几何体表面上任意两点，则这两点的距离的最大值称为该几何体的线长度.已知圆锥的底面直径与线长度分别为2，4，正四棱台的线长度为6，且，则（ ） A. 圆锥的体积为 B. 与底面所成角的正切值为3 C. 圆锥内切球的线长度为 D. 正四棱台外接球的表面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，求出圆锥母线长，高，再结合圆锥体积公式计算即可；对于C，运用初中相似三角形知识得到，求出内切球半径即可；对于B，过A，C作的垂线，垂足分别为E，F，找出与底面所成的角为，再用锐角三角函数计算即可；对于Ｄ，设正四棱台外接球的半径为R，球心为N，设正四棱台上、下底面的中心分别为，设 ，由，得到方程，解得，再用球的表面积公式计算即可. 【详解】因为圆锥的底直径与线长度分别为2，4，所以圆锥的母线长为4，高为，则圆锥的体积为，A错误． 设圆锥内切球半径为r，则相似三角形知识知道，即， 得到，解得，所以圆锥内切球的线长度为，C正确. 因为，所以，所以． 过A，C作的垂线，垂足分别为E，F，则， 所以，则. 与底面所成的角为，且，B正确. 设正四棱台外接球的半径为R，球心为N， 设正四棱台上、下底面的中心分别为， 则，且N在上. 设，由，得，解得， 则正四棱台外接球的表面积为，D错误. 故选：BC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则__________． 【答案】8 【解析】 【分析】利用指数式与指数式互化关系及对数运算计算即得. 【详解】依题意，，所以． 故答案为：8 13. 已知直线与椭圆相交，则C的长轴长的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】将直线与椭圆的位置关系转化为方程组联立后的根的个数问题，借助得到，以及椭圆的长轴长概念得解. 【详解】将代入，得， 则，解得． 因为C的长轴长为，所以C的长轴长的取值范围是． 故答案为：. 14. 如图，现有两排座位，第一排3个座位，第二排5个座位，将8人（含甲、乙、丙）随机安排在这两排座位上，则甲、乙、丙3人的座位互不相邻（相邻包括左右相邻和前后相邻）的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先按3人的座位在第二排的人数进行分类，再根据分类计数原理与古典概型概率公式可得. 【详解】甲、乙、丙3人的座位互不相邻的情况分为三种： 第一种，这3人都在第二排，共有种不同的安排方法； 第二种，这3人中2人在第一排，1人在第二排， 共有种不同的安排方法； 第三种，这3人中1人在第一排，2人在第二排， ①若第一排的这1人安排在中间的位置， 则有种不同的安排方法， ②若第一排的这1人不安排在中间的位置， 则有种不同的安排方法． 故甲、乙、丙3人的座位互不相邻的概率为． 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且． （1）若，且的面积为，求A； （2）若，求． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）运用正弦定理边角互化，再结合面积公式计算即可. （2）运用余弦定理，结合解方程组和数量积定义计算即可. 【小问1详解】 因为，所以， 又，所以， 所以的面积， 则，因为，所以或． 【小问2详解】 因为，所以， 所以.由余弦定理得， 因为，所以或， 又，所以，所以， 所以． 16. 已知是抛物线上的两点． （1）求C的准线方程； （2）若直线经过C的焦点，且与C交于P，Q两点，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入抛物线，求出m的值，验证即可； （2）联立直线和抛物线，用弦长公式求解，然后利用基本不等式求解即可. 【小问1详解】 因为是抛物线上的两点， 所以则，整理得，解得． 当时，，解得，不合题意； 当时，，解得． 故C的准线方程为． 【小问2详解】 由（1）知C的焦点为， 联立得． 设，则， 所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为． 17. 如图，在直三棱柱中，D为的中点． （1）证明：平面． （2）若，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接交于点E，连接，运用中位线性质得到，后运用线面平行判定证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出关键点坐标，求出平面法向量和平面法向量，后运用向量夹角公式计算即可. 【小问1详解】 证明：连接交于点E，则E为的中点． 连接．因为D为的中点，所以， 又平面平面， 所以平面． 【小问2详解】 取的中点O，连接． 因为，所以，且． 以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以． 设平面法向量为， 则 令，得． 易知平面的一个法向量为． ． 由图可知，二面角为钝角， 所以二面角的余弦值为． 18. 在图灵测试中，测试者提出一个问题，由机器和人各自独立作答，测试者看不到回答者是人还是机器，只能通过回答的结果来判断回答者是人还是机器．提出的问题是选择题，有3个选项，且只有1个是正确选项，机器和人分别从这3个选项中选择1个进行作答．当机器和人中只有一个回答正确时，则将对的一方判断为人，另一方判断为机器；当机器和人都回答正确或者都回答错误时，测试者将再问同一个问题（重复提问），若两者都回答正确或者都回答错误，则测试者将从机器和人中随机选择一个判断为人，若两者仅一方回答正确，则判断回答正确的一方为人．假设人作答时能排除一个明显错误的选项，剩下每个选项被选的概率相等，而机器无法排除选项，每个选项被选的概率相等，当测试者重复提问时，人改变选项的概率为，机器改变选项的概率为． （1）求1位测试者在图灵测试中不需要重复提问的概率； （2）在测试者重复提问且机器改变选项的前提下，求测试者误判的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）不妨设提出的问题的3个选项依次为1，2，3，且设正确选项为1，人作答时能排除的选项为3，记为人第一次答题时选择的是第i个选项，为机器第一次答题时选择的是第i个选项，记测试者重复提问，测试者误判，机器改变选项，，结合互斥事件、独立事件概率计算即可求解. （2）将测试者误判分为三种情况，结合条件概率计算公式，即可求解. 【小问1详解】 不妨设提出的问题的3个选项依次为1，2，3，且设正确选项为1，人作答时能排除的选项为3， 记为人第一次答题时选择的是第i个选项，为机器第一次答题时选择的是第i个选项， 记测试者重复提问，测试者误判，机器改变选项． 所以1位测试者在图灵测试中不需要重复提问的概率为． 【小问2详解】 当机器重复回答问题改变选项时，测试者误判的情况有三种： ①若第一次答题时人和机器都选择1，则当重复提问时，人选择2，机器选择2或3，且测试者随机判断机器为人， 则； ②若第一次答题时人和机器都选择2，则当重复提问时，机器和人都选择1且测试者随机判断机器为人，或人选择2且机器选择1，或人选择2，机器选择3且测试者随机判断机器为人， 则； ③若第一次答题时人选择2，机器选择3，则当重复提问时，人和机器都选择1且测试者随机判断机器为人，或人选择2，机器选择1，或人选择2，机器选择2且测试者随机判断机器为人， 则， 又，所以． 19. 已知二阶行列式，三阶行列式，其中分别为的余子式（某个数的余子式是指删去那个数所在的行和列后剩下的行列式）． （1）计算． （2）设函数． ①若的极值点恰为等差数列的前两项，且的公差大于0，求； ②若且，函数，证明：． 【答案】（1）18 （2）① ；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题设定义，即可求解； （2）根据题设定义，得到，（i）先利用极值点的定义，求得，进而有，即可求解；（ii）构造函数，利用导数与函数单调性间的关系得到，再构造函数，利用二次函数的性质得到的单调性，从而得到，即可求解. 【小问1详解】 原式 ． 【小问2详解】 ． （i）． 当或时，；当时，． 所以在和上是增函数，在上是减函数， 所以的极大值点为，极小值点为1． 因为的极值点恰为等差数列的前两项，且的公差大于0， 所以， 则公差，所以， 所以． （ii）因为， 所以在上无零点，在上存在唯一零点，且． 令， 则， 当时，单调递增；当时，单调递减． 所以， 而，所以． 令，则． 因为在上单调递诚， 所以当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 所以， 而，所以． 综上，． 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高三数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2 若，则（ ） A. B. 13 C. 5 D. 25 3. 若函数的最小正周期不小于，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 4. 若两个等比数列的公比相等，且，则的前6项和为（ ） A. B. C. 124 D. 252 5. 若离心率为的双曲线的左、右焦点分别为，右顶点为A，则（ ） A. B. C. D. 6. 若随机变量Z服从正态分布，则．为了解使用新技术后的某果园的亩收入（单位：万元）情况，从该果园抽取样本，得到使用新技术后亩收入的样本均值，样本方差．已知该果园使用新技术前的亩收入X（单位：万元）服从正态分布，假设使用新技术后的亩收入Y服从正态分布，则（ ） A. B. C. D. 7. 曲线的周长为（ ） A. B. C. D. 8. 若，则（ ） A B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某部门30名员工一年中请假天数（未请假则请假天数为0）与对应人数的柱形图（图中只有请假天数为0的未显示）如图所示，则（ ） A. 该部门一年中请假天数为0人数为10 B. 该部门一年中请假天数大于5的人数为10 C. 这30名员工一年中请假天数的第40百分位数为4 D. 这30名员工一年中请假天数的平均数小于4 10. 已知函数，则（ ） A. 为奇函数 B. 在其定义域内为增函数 C. 曲线的切线的斜率的最大值为2 D. 曲线上任意一点与两点连线的斜率之和为定值 11. 若S，T为某空间几何体表面上的任意两点，则这两点的距离的最大值称为该几何体的线长度.已知圆锥的底面直径与线长度分别为2，4，正四棱台的线长度为6，且，则（ ） A. 圆锥的体积为 B. 与底面所成角的正切值为3 C. 圆锥内切球的线长度为 D. 正四棱台外接球的表面积为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则__________． 13. 已知直线与椭圆相交，则C的长轴长的取值范围是__________． 14. 如图，现有两排座位，第一排3个座位，第二排5个座位，将8人（含甲、乙、丙）随机安排在这两排座位上，则甲、乙、丙3人的座位互不相邻（相邻包括左右相邻和前后相邻）的概率为__________． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且． （1）若，且的面积为，求A； （2）若，求． 16. 已知是抛物线上的两点． （1）求C的准线方程； （2）若直线经过C的焦点，且与C交于P，Q两点，求的最小值． 17. 如图，在直三棱柱中，D为的中点． （1）证明：平面． （2）若，求二面角的余弦值． 18. 在图灵测试中，测试者提出一个问题，由机器和人各自独立作答，测试者看不到回答者是人还是机器，只能通过回答结果来判断回答者是人还是机器．提出的问题是选择题，有3个选项，且只有1个是正确选项，机器和人分别从这3个选项中选择1个进行作答．当机器和人中只有一个回答正确时，则将对的一方判断为人，另一方判断为机器；当机器和人都回答正确或者都回答错误时，测试者将再问同一个问题（重复提问），若两者都回答正确或者都回答错误，则测试者将从机器和人中随机选择一个判断为人，若两者仅一方回答正确，则判断回答正确的一方为人．假设人作答时能排除一个明显错误的选项，剩下每个选项被选的概率相等，而机器无法排除选项，每个选项被选的概率相等，当测试者重复提问时，人改变选项的概率为，机器改变选项的概率为． （1）求1位测试者在图灵测试中不需要重复提问概率； （2）在测试者重复提问且机器改变选项的前提下，求测试者误判的概率． 19. 已知二阶行列式，三阶行列式，其中分别为的余子式（某个数的余子式是指删去那个数所在的行和列后剩下的行列式）． （1）计算． （2）设函数． ①若的极值点恰为等差数列的前两项，且的公差大于0，求； ②若且，函数，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$