精品解析：福建省宁德市古田县第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

古田县第一中学2023级高二第一次月考数学试卷 考生须知： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟； 2.答题时，所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效； 3.考试结束后，只需上交答题卡. 第I卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 35是等差数列3，5，7，9，的（ ） A. 第16项 B. 第17项 C. 第18项 D. 第19项 【答案】B 【解析】 【分析】首先求数列的通项公式，即可求解. 【详解】等差数列3，5，7，9，的首项为3，公差为2， 所以等差数列的通项公式为， 令，得. 所以35是等差数列3，5，7，9，的第17项. 故选：B 2. 已知数列是等差数列，且，则 （ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的性质得到，结合已知即可求结果. 【详解】由题设，故. 故选：C 3. 等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列下标和的性质得出，再利用等差数列求和公式可求出的值. 【详解】解：由等差数列的性质可得，， 故选：B. 4. 已知数列为等比数列，若，，则（ ） A. －4 B. 2 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用等比数列的下标性质进行求解即可. 【详解】，∴，又，∴，所以， 故选：C 5. 已知等差数列的前项和为，且，，则当取得最大值时，（ ） A. 37 B. 36 C. 18 D. 19 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的性质与前项和公式推得，，从而得解. 【详解】因为， ， 所以，，从而当时，取得最大值． 故选：C. 6. 在中国古代诗词中，有一道“八子分绵”的数学命题：“九百九十六斤绵，分给八子做盘缠，次第每人多十七，要将第七数来言.”题意是：把996斤绵分给8个儿子做盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第7个儿子分到的绵是（ ） A. 167斤 B. 184斤 C. 191斤 D. 201斤 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用等差数列模型求解.先确定通项公式，再根据前项和为，求出首项，再利用通项公式求某一项的值. 【详解】记8个儿子按年龄从大到小依次分棉斤，斤，斤，...，斤， 因为按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵， 所以数列为等差数列，且公差为，所以. 因为绵的总数为996斤，所以，解得. 所以第7个儿子分到的绵是斤. 故选：A. 7. 设数列满足，且，则数列前10项的和为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：因为数列满足，且，所以当时， ，当时，上式也成立，所以 ，所以，所以数列的前项和为 ，所以数列的前项和为，故选A． 考点：数列的求和，等差数列前项和． 【方法点晴】本题主要考查了等差数列前项和公式、数列的求和，其中解答中涉及到等差数列的性质、通项公式、求和公式以及数列的“裂项求和”的应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，本题的解答中根据数列的“叠加法”得出数列的通项公式，再利用裂项得出数列的通项公式进行裂项是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题． 8. 已知数列的前n项和为，且满足，则数列的前81项的和为（ ） A. 1640 B. 1660 C. 1680 D. 1700 【答案】A 【解析】 【分析】由得到数列的特征，再求数列的前81项的和. 【详解】由， 有，有． 又由，可得，可得， 则数列的前81项的和为． 故选：A 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 数列是公差为的等差数列 【答案】ABC 【解析】 【分析】本题首先可根据得出，与联立即可求出、以及，A正确，然后通过即可判断出B正确，再然后通过等比数列求和公式即可判断出C正确，最后根据即可判断出D错误. 【详解】因为数列是等比数列，所以， 联立，解得或， 因为公比为整数，所以、、，，，A正确， ，故数列是等比数列，B正确； ，C正确； ，易知数列不是公差为的等差数列，D错误， 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列与等比数列的相关性质，考查判断数列是否是等差数列与等比数列，考查等比数列求和公式的应用，考查计算能力，是中档题. 10. 已知等差数列的前项和为，公差为，且，若，则下列命题正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. 是数列中的最小项 C. 和是中的最小项 D. 满足的的最大值为25 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：通过以及来判断；对于B：根据数列的单调性来判断；对于C：通过以及来判断；对于D：通过计算来判断. 【详解】对于A：因为，所以，即，因为，所以，数列是递增数列，A正确； 对于B：因为数列是递增数列，所以最小项是首项，B错误； 对于C：因为，，所以当或时，取最小值，C正确； 对于D：由不等式， 可得，又因为，所以满足的的最大值为24，D错误． 故选：AC． 11. 设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先根据已知条件，确定公比的取值范围，然后根据数列的单调性逐一进行判断即可. 【详解】A项，且，而和异号. 由于知，，即，，，故A项正确； B项，从前面的求解过程知，，说明是单调递减的正项等比数列， 且，所以，那么，故B项正确； C项，是正项数列，没有最大值，故C项错误； D项，从前面的分析过程可知前6项均大于1.从起全部在上. 所以的最大值为，故D项正确， 故选：ABD 第II卷 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若是等比数列，，，且公比为整数，则______. 【答案】512 【解析】 【分析】由题设条件知和是方程的两个实数根，解方程并由公比q为整数，知，，由此能够求出公比，从而得到. 【详解】是等比数列， ，， ，， 和是方程的两个实数根， 解方程， 得，， 公比q为整数， ，， ，解得， .故答案为512 【点睛】本题考查等比数列的通项公式的求法，利用了等比数列下标和的性质，是基础题.解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化. 13. 已知为正项等比数列的前项和，若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由正项等比数列特点可确定，，由等比数列性质、等比数列通项公式可化简已知等式求得和，由可得结果. 【详解】为正项等比数列，且公比； ，， ，，. 故答案为：. 14. 数列满足，数列的前项和为，且，则___________. 【答案】31 【解析】 【分析】根据题意写出，然后利用并项求和法即可求解. 【详解】因为，，数列前项和为， 所以 故答案为：31. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 记为等差数列的前项和，已知，. （1）求的通项公式； （2）求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，求得，进而得到数列的通项公式； （2）由（1）得到数列为递增数列，且，得到或时，取得最小值，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【小问1详解】 解：设等差数列的公差为， 由，，可得，解得， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 解：由（1）知，可得数列为递增数列，且， 所以当时，；当时，；当时，， 所以，当或时，取得最小值，即， 所以，故的最小值为. 16. 已知是等差数列，，. （1）求数列的通项公式及前项和； （2）若等比数列满足，，求的通项公式. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件列出方程求出公差即可得解； （2）根据条件列出方程求出公比，即可得出通项公式 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 则. ∴， . 【小问2详解】 设等比数列的公比为， 由，，可得， ∴的通项公式为. 17. 某卫材公司年初投资300万元，购置口罩生产设备，立即投入生产，预计第一年该生产设备的使用费用为36万元，以后每年增加6万元，该生产设备每年可给公司带来121万元的收入.假设第年该设备产生的利润（利润=该年该设备给公司带来的收入-该年的使用费用）为. （1）写出的表达式； （2）在该设备运行若干整年后，该卫材公司需要升级产品生产线，决定处置该生产设备，现有以下两种处置方案： ①当总利润（总利润=各年的收入之和-各年的使用费用-购置口罩生产设备的成本）最大时，以7万元变卖该生产设备； ②当年平均总利润最大时，以72万元变卖该生产设备. 请你为该公司选择一个合理的处置方案，并说明理由. 【答案】（1）；（2）第二种方案合理，理由见详解. 【解析】 【分析】 （1）计算出每年的使用费，从而可得，即可求解. （2）利用等差数列前项和公式求出各年的收入之和，若采用第一种方案：利用二次函数的性质即可总利润的最大值；若采用第二种方案，令，根据基本不等式可求出平均利润的最大值，进而可得总利润. 【详解】（1）由题意可知第年的使用费为， ， （2）设的前项和为， 则， 若采用第一种方案，则总收入最大，根据二次函数的对称轴公式 ，可得或， ，，， 当时，即第年时总利润最大为 （万元）， 若采用第二种方案， 令， ，当且仅当时取等号， 第的平均利润最大，此时的总利润为（万元）， 故最大利润为（万元）， 综上所述，两种方案的最终利润一样，但是第二种方案只用了的时间， 因此选择第二种方案合理. 【点睛】关键点点睛：本题考查了数列的应用，解题的关键是列出总收入以及利润表达式，考查了运算能力、分析能力，属于中档题. 18. 已知等差数列中，，公差大于0，且是与的等比中项. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题中条件，求出公差，进而可得出通项公式； （2）根据（1）的结果，先得到，由裂项求和的方法，即可求出结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为（）， 因为，则，，， 因为是与的等比中项， 所以， 即， 化简得， 解得或（舍） 所以. （2）由（1）知，， 所以， 所以 . 【点睛】本题主要考查等差数列基本量的运算，以及裂项相消法求数列的和，涉及等比中项的应用，属于常考题型. 19. 已知数列的前项的和为，且. （1）求数列通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据，并结合等比数列的定义即可求得答案； （2）结合（1），并通过错位相减法即可求得答案. 【小问1详解】 当时，，当时，，是以2为首项，2为公比的等比数列，. 【小问2详解】 ，…① …② ①-②得 ，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 古田县第一中学2023级高二第一次月考数学试卷 考生须知： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟； 2.答题时，所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效； 3.考试结束后，只需上交答题卡. 第I卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 35是等差数列3，5，7，9，的（ ） A. 第16项 B. 第17项 C. 第18项 D. 第19项 2. 已知数列是等差数列，且，则 （ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 3. 等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 不能确定 4. 已知数列等比数列，若，，则（ ） A －4 B. 2 C. 4 D. 5. 已知等差数列的前项和为，且，，则当取得最大值时，（ ） A. 37 B. 36 C. 18 D. 19 6. 在中国古代诗词中，有一道“八子分绵”的数学命题：“九百九十六斤绵，分给八子做盘缠，次第每人多十七，要将第七数来言.”题意是：把996斤绵分给8个儿子做盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第7个儿子分到的绵是（ ） A. 167斤 B. 184斤 C. 191斤 D. 201斤 7. 设数列满足，且，则数列前10项的和为 A. B. C. D. 8. 已知数列的前n项和为，且满足，则数列的前81项的和为（ ） A. 1640 B. 1660 C. 1680 D. 1700 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 数列是公差为的等差数列 10. 已知等差数列的前项和为，公差为，且，若，则下列命题正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. 是数列中的最小项 C. 和是中最小项 D. 满足的的最大值为25 11. 设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 的最大值为 第II卷 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若是等比数列，，，且公比为整数，则______. 13. 已知为正项等比数列的前项和，若，，则________． 14. 数列满足，数列的前项和为，且，则___________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 记为等差数列的前项和，已知，. （1）求的通项公式； （2）求的最小值. 16. 已知是等差数列，，. （1）求数列通项公式及前项和； （2）若等比数列满足，，求通项公式. 17. 某卫材公司年初投资300万元，购置口罩生产设备，立即投入生产，预计第一年该生产设备的使用费用为36万元，以后每年增加6万元，该生产设备每年可给公司带来121万元的收入.假设第年该设备产生的利润（利润=该年该设备给公司带来的收入-该年的使用费用）为. （1）写出的表达式； （2）在该设备运行若干整年后，该卫材公司需要升级产品生产线，决定处置该生产设备，现有以下两种处置方案： ①当总利润（总利润=各年的收入之和-各年的使用费用-购置口罩生产设备的成本）最大时，以7万元变卖该生产设备； ②当年平均总利润最大时，以72万元变卖该生产设备. 请你为该公司选择一个合理的处置方案，并说明理由. 18. 已知等差数列中，，公差大于0，且是与的等比中项. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和． 19. 已知数列的前项的和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$