精品解析：云南省大理白族自治州祥华集团联考2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

祥云祥华中学2024—2025学年上学期二调考试 高二数学测试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若直线的倾斜角的大小为，则实数（ ） A. B. C. D. 2. 方程表示椭圆的充要条件是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆，动圆与圆外切，与圆内切，则圆的圆心的轨迹方程为 A. B. C. D. 5. 图中是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶距离水面2米，水面宽度为8米，则当水面宽度为10米时，拱顶与水面之间的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 双曲线的左右焦点分别为，，点为双曲线上异于顶点的任意一点，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 7. 在抛物线上有三点A，B，C，F为其焦点，且F为ABC的重心，则（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 8. 已知是椭圆的左，右焦点，A，B是椭圆C上的两点．若，且，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 圆上有且仅有2个点到直线的距离等于 C. 曲线与恰有四条公切线 D. 已知圆，P为直线上一动点，过点P向圆C引切线，其中A为切点，则的最小值为2 10. 已知双曲线：，是该双曲线上任意一点，、是其左、右焦点，则下列说法正确的（ ） A. 该双曲线的渐近线方程为 B. 若，则或12 C. 若是直角三角形，则满足条件的点共4个 D. 若点在双曲线的左支上，则以为直径的圆与以实轴为直径的圆外切 11. 已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，则下列结论正确的有（　　） A. 抛物线C上一点M到焦点F的距离为4，则点M的横坐标为3 B. 过焦点F的直线被抛物线所截的弦长最短为4 C. 过点（0，2）与抛物线C有且只有一个公共点的直线有2条 D. 过点（2，0）的直线1与抛物线交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2＝﹣8 二、填空题（本大题共3题，每小题5分，共计15分） 12. 已知三个顶点的坐标分别是，则外接圆的方程是__________. 13. 在平面上给定相异两点A，B，设P点在同一平面上且满足，当且时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆，现有双曲线（，），A，B为双曲线的左、右顶点，C，D为双曲线的虚轴端点，动点P满足，面积的最大值为，面积的最小值为4，则双曲线的离心率为______. 14. 已知双曲线的右焦点为，分别为双曲线的左、右顶点，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线在第一、二象限分别交于两点，若∥(为坐标原点)，则该双曲线的离心率为________. 四、解答题（本大题共5题，共计77分，请写出必要的文字说明和演算步骤） 15. 已知圆C与y轴相切，圆心在x轴下方并且与x轴交于，两点. （1）求圆C的方程； （2）若直线过点且被圆C所截弦长为6，求直线的方程. 16. 如图甲，在中，，，，，分别在，上，且满足，将沿折到位置，得到四棱锥，如图乙． （1）已知，为，上的动点，求证：； （2）在翻折过程中，当二面角为60°时，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知双曲线的左焦点为F，左顶点为E，虚轴的上端点为P，且，． （1）求双曲线C的标准方程； （2）设是双曲线C上不同的两点，Q是线段的中点，O是原点，直线的斜率分别为，证明：为定值． 18. 已知动点到定点的距离比到直线的距离少1， （1）求动点的轨迹的方程； （2）设是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标． 19. 已知椭圆上任意一点到其左右焦点、的距离之和均为4，且椭圆的中心到直线的距离为. （1）求椭圆的方程； （2）已知以椭圆右顶点为直角顶点的动直角三角形斜边端点、落在椭圆上，求动直角面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 祥云祥华中学2024—2025学年上学期二调考试 高二数学测试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若直线的倾斜角的大小为，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由倾斜角和斜率的关系即可得出结果. 【详解】直线的斜率，解得. 故选：D. 2. 方程表示椭圆的充要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据为正数且不相等列不等式求解即可. 【详解】方程表示椭圆则，即； 若，则表示椭圆， 所以方程表示椭圆的充要条件是， 故选：B 3. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将原方程化为抛物线的标准方程，即可求解． 【详解】抛物线的标准方程为， ，， 抛物线的焦点坐标为． 故选：D． 4. 已知圆，动圆与圆外切，与圆内切，则圆的圆心的轨迹方程为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设圆半径为，由两圆外切得圆心距为两圆半径之和，消去得点满足的性质，结合椭圆定义得点轨迹，再求出得轨迹方程． 【详解】设圆半径为，圆圆心为，，圆圆心为，半径，动圆与圆外切，与圆内切，所以，所以圆的圆心的轨迹为椭圆， ，所以椭圆方程为． 故选：D． 5. 图中是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶距离水面2米，水面宽度为8米，则当水面宽度为10米时，拱顶与水面之间的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】以拱顶为坐标原点，建立直角坐标系，设拱桥所在抛物线的方程为，根据抛物线过点，求出的值，即可得到抛物线方程，再令，求出的值，即可得解. 【详解】以拱顶为坐标原点，建立直角坐标系， 可设拱桥所在抛物线的方程为， 又抛物线过点，则，解得， 则抛物线的方程为，当时，， 故当水面宽度为米时，拱顶与水面之间的距离为米. 故选：D 6. 双曲线的左右焦点分别为，，点为双曲线上异于顶点的任意一点，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，利用余弦定理结合双曲线定义求得，代入三角形面积公式求解即可. 【详解】不妨设点在第一象限，如图所示， 由得，令， 则，所以，即①， 且，可得， 将①代入可得，所以， 所以， 故选：D 7. 在抛物线上有三点A，B，C，F为其焦点，且F为ABC的重心，则（ ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】根据重心的性质可得，然后根据抛物线的定义可知即可求解. 【详解】解：由题意得： F为ABC的重心 故 设点A，B，C的坐标分别为，， 抛物线 ，F为其焦点 故选：D 8. 已知是椭圆的左，右焦点，A，B是椭圆C上的两点．若，且，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，结合题意可得，根据椭圆定义整理可得，根据向量关系可得∥，且，同理结合椭圆定义可得，进而可求离心率. 【详解】由题意可知：， 设， 因为，则，可得， 由椭圆定义可知：，即， 整理可得； 又因为，则∥，且， 则，可得， 由椭圆定义可知：，即， 整理可得； 即，可得， 所以椭圆C的离心率. 故选：B. 【点睛】方法点睛：椭圆的离心率(离心率范围)的求法 求椭圆的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 圆上有且仅有2个点到直线的距离等于 C. 曲线与恰有四条公切线 D. 已知圆，P为直线上一动点，过点P向圆C引切线，其中A为切点，则的最小值为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用直线系方程求解直线所过定点可判断A；求出圆心到直线的距离，结合圆的半径可判断B；由圆心距等于半径之间的关系可判断C；根据切线长性质结合点到直线距离公式可判断D． 【详解】对于选项A:由， 可得， 联立解得即该直线恒过定点.故A正确； 对于选项B: 由圆，可得圆心为，半径为， 所以到直线的距离为， 故直线与圆相交, 故到直线距离为的有两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交， 因此圆上有三个点到直线的距离等于.故选项B错误； 对于选项C: 曲线可化为， 故曲线是圆心为，半径为的圆； 曲线可化为， 故曲线是圆心为，半径为的圆； 所以， 故曲线与曲线外离，此时公切线的条数有且只有4条.故选项C正确； 对于选项D: 由圆，可得圆心为，半径为， 所以, 要使最小，只需最小， 即只需到直线的距离， 所以.故选项D正确； 故选：ACD. 10. 已知双曲线：，是该双曲线上任意一点，、是其左、右焦点，则下列说法正确的（ ） A. 该双曲线的渐近线方程为 B. 若，则或12 C. 若是直角三角形，则满足条件的点共4个 D. 若点在双曲线的左支上，则以为直径的圆与以实轴为直径的圆外切 【答案】ABD 【解析】 【分析】由双曲线方程求得，，的值，然后逐一分析四个选项得答案． 【详解】解：因为双曲线：，所以双曲线的渐近线为，故A正确； 又，，所以，则，， 因为，，所以或，故B正确； 当或与轴垂直时，直角三角形有个，以为直径的圆与双曲线有个交点， 直角三角形有个，则若是直角三角形，则满足条件的点共个，故C错误； 设，，则， 的中点为，求得， ，可得，即以为直径的圆与以实轴为直径的圆外切，故D正确． 故选：ABD 11. 已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，则下列结论正确的有（　　） A. 抛物线C上一点M到焦点F的距离为4，则点M的横坐标为3 B. 过焦点F的直线被抛物线所截的弦长最短为4 C. 过点（0，2）与抛物线C有且只有一个公共点的直线有2条 D. 过点（2，0）的直线1与抛物线交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2＝﹣8 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用抛物线的定义判断选项A，由焦点弦中最短的为通径，即可判断选项B，由直线与抛物线的位置关系判断选项C，由直线与抛物线联立，由韦达定理即可判断选项D． 【详解】解：抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），准线方程为x＝﹣1， 对于A，设M的横坐标为x0，则由抛物线的定义可得，MF＝x0+1＝4，解得x0＝3，故选项A正确； 对于B，过焦点F的直线被抛物线所截的弦长最短为通径长，又通径长为2p＝4，故选项B正确； 对于C，当直线的斜率不存在时，直线为x＝0，与抛物线有一个公共点； 当直线与抛物线的对称轴平行，即直线为y＝2时，与抛物线有一个公共点； 当直线斜率存在且不为0时，设直线的方程为y＝kx+2， 联立方程组，可得k2x2+4（k﹣1）x+4＝0， 则Δ＝16（k﹣1）2﹣16k2＝0，解得， 此时直线方程为，与抛物线有一个公共点． 综上所述，过点（0，2）与抛物线C有且只有一个公共点的直线有3条，故选项C错误； 对于D，设过点（2，0）的直线方程为x＝my+2， 联立方程组，可得y2﹣4my﹣8＝0， 则y1y2＝﹣8，故选项D正确． 故选：ABD． 二、填空题（本大题共3题，每小题5分，共计15分） 12. 已知三个顶点的坐标分别是，则外接圆的方程是__________. 【答案】（或） 【解析】 【分析】解法一：待定系数法，设出圆的一般形式，将点的坐标代入，解方程组即可求解； 解法二：几何法，根据得的外接圆是以线段为直径的圆.然后确定圆心和半径，即可求解. 【详解】解法一：设的外接圆方程为，其中. 由题意得解得满足， 所以外接圆的方程为. 解法二：依题意，直线的斜率，直线的斜率， 则，即.因此的外接圆是以线段为直径的圆. 线段的中点为，半径， 所以外接圆的方程是. 故答案为：（或） 13. 在平面上给定相异两点A，B，设P点在同一平面上且满足，当且时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆，现有双曲线（，），A，B为双曲线的左、右顶点，C，D为双曲线的虚轴端点，动点P满足，面积的最大值为，面积的最小值为4，则双曲线的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据为双曲线的左、右顶点可设,,,由两点间距离公式并化简可得动点的轨迹方程.由为双曲线的左、右顶点可知当位于圆的最高点时的面积最大,根据面积最大值求得.当位于圆的最左端时的面积最小,结合最小面积可求得,即可求得双曲线的离心率. 【详解】设,,, 依题意,得, 即, 两边平方化简得,则圆心为,半径, 当位于圆的最高点时的面积最大,最大面积为, 解得； 当位于圆的最左端时的面积最小,最小面积为, 解得, 故双曲线的离心率为. 故答案为: 【点睛】本题考查了两点间距离公式的应用,轨迹方程的求法,圆与双曲线的综合应用,双曲线离心率的求法,属于中档题. 14. 已知双曲线的右焦点为，分别为双曲线的左、右顶点，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线在第一、二象限分别交于两点，若∥(为坐标原点)，则该双曲线的离心率为________. 【答案】 【解析】 【分析】先把图形画出来，根据已知条件得到为等腰三角形，然后作出辅助线证明，从而有，根据已知条件用含的式子分别表示，结合即可求解. 【详解】如图所示， ∵∥， ∴， 又∵双曲线的渐近线关于y轴对称， ∴， 则， ∴为等腰三角形，作，垂足为M， 过点B作轴，交渐近线第一象限部分于点D， 则， 由等腰三角形三线合一可知， 且注意到， 由勾股定理得， 由相似三角形的性质可得， 所以， 整理可得， 又， 所以. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5题，共计77分，请写出必要的文字说明和演算步骤） 15. 已知圆C与y轴相切，圆心在x轴下方并且与x轴交于，两点. （1）求圆C的方程； （2）若直线过点且被圆C所截弦长为6，求直线的方程. 【答案】（1）； （2），或. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件及弦长、半径、弦心距三者的关系，结合圆的标准方程即可求解； （2）根据（1）的结论及直线的点斜式方程，再利用弦长、半径、弦心距三者的关系及点到直线的距离公式即可求解. 【小问1详解】 由题意可知，，设圆心坐标为，则 ，解得或， 因为，所以， 所以圆C的方程为. 【小问2详解】 因为直线过点且被圆C所截弦长为6， 所以圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 所以圆心到直线的距离为，符合题意； 当直线的斜率存在时，直线的方程为，即， 因为圆心到直线的距离为， 所以，解得， 所以直线的方程为， 故所求线的方程为，或. 16. 如图甲，在中，，，，，分别在，上，且满足，将沿折到位置，得到四棱锥，如图乙． （1）已知，为，上的动点，求证：； （2）在翻折过程中，当二面角为60°时，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】 （1）证明：在图甲中， ∵，∴， 又∵，∴且， 即在图乙中，，，又， 故有平面， 而平面，故有； （2）． 【解析】 【分析】（1）通过和证明平面即可得出； （2）以点为坐标原点，分别以，，为，，轴正方向建立坐标系，利用向量法求解. 【详解】（1）略 （2）解：∵，， 所以为二面角的平面角，则， 在中，，，， 由余弦定理，可知，满足，则有， 由（1）知，平面，则， 如图，以点为坐标原点，分别以，，为，，轴正方向建立坐标系， 则，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，取， 所以直线与平面所成角满足． 【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查向量法求线面角，属于中档题. 17. 已知双曲线的左焦点为F，左顶点为E，虚轴的上端点为P，且，． （1）求双曲线C的标准方程； （2）设是双曲线C上不同的两点，Q是线段的中点，O是原点，直线的斜率分别为，证明：为定值． 【答案】（1） （2） 设，则， 为双曲线C上的两点， 两式相减得，整理得， 则， 故为定值，定值为4． 【解析】 【分析】（1）设双曲线C的半焦距为，利用双曲线的定义结合勾股定理计算即可； （2）设的坐标，利用中点坐标公式表示Q，再利用点差法计算即可. 【小问1详解】 不妨设双曲线C的半焦距为， ， ， 解得， 则， 故双曲线C的标准方程为； 【小问2详解】 略 18. 已知动点到定点的距离比到直线的距离少1， （1）求动点的轨迹的方程； （2）设是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标． 【答案】（1） （2） 如图，设， 由题意得（否则）且，所以直线的斜率存在， 设其方程为，显然， 联立方程组，整理得， 由韦达定理知， 由，可得，可得， 即，整理得， 将①式代入上式，可得， 此时，直线的方程可表示为，即， 所以直线恒过定点. 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用抛物线的定义，即可求得的轨迹方程； （2）设直线的方程为，联立方程组，得到，根据，的方程，将①式代入，求得，进而判定直线过定点. 【小问1详解】 因为动点到定点的距离比到直线的距离少1， 所以动点到定点的距离与到直线的距离相等， 由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线， 所以轨迹方程为； 【小问2详解】 略 【点睛】方法知识总结：解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略： 1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标； 2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 3、若与面积有关的定值问题，一般用直接法求解，即先利用三角形的面积公式，（如果是其他的凸多边形，可分割成若干个三角形分别求解），把要探求的几何图形的面积表示出来，然后利用题中的条件得到几何图形的面积表达式中的相关量之间的关系式，把这个关系式代入几何图形的面积表达式中，化简即可求解. 19. 已知椭圆上任意一点到其左右焦点、的距离之和均为4，且椭圆的中心到直线的距离为. （1）求椭圆的方程； （2）已知以椭圆右顶点为直角顶点的动直角三角形斜边端点、落在椭圆上，求动直角面积的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由距离之和为4可得，由到直线的距离为可得，求出，即可写出椭圆方程； （2）设所在直线，联立椭圆，写出韦达定理，利用可求出，表示出三角形面积，即可求出最大值. 【详解】（1）由题可知. （2）由题易知斜边不可能和轴平行，故可设所在直线， 联立消去整理得：， 设，， 则有，， ， 由题可知 （舍）或 可得所在直线方程为：，恒过定点， 所以， 令，，则， 在上递增， 所以， 所以面积的最大值为，此时所在直线方程为：. 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆中三角形面积的最值问题，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $