第2章直线和圆的方程（数学思想方法+高考真题精讲+核心素养提升+过关检测）-2024-2025学年高二数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019选修一）

第2章直线和圆的方程 （数学思想方法+高考真题精讲+核心素养提升+过关检测） 知识点一、两直线的平行与垂直 1.判断两直线平行、垂直的方法 (1)若不重合的直线l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则k1＝k2⇔l1∥l2. (2) 若直线l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则k1·k2＝－1⇔l1⊥l2. (讨论两直线平行、垂直不要遗漏直线斜率不存在的情况) 2.一般式方程下两直线的平行与垂直： 已知两直线的方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且C1B2－C2B1≠0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 知识点二、直线与圆的位置关系 1．直线与圆位置关系的判断方法 (1)几何法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径长为r.若d<r，则直线和圆相交；若d＝r，则直线和圆相切；若d>r，则直线和圆相离． (2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式为Δ.Δ＝0⇔直线与圆相切；Δ>0⇔直线与圆相交；Δ<0⇔直线与圆相离． 2.涉及直线与圆的有关题型 (1)求切线方程：可以利用待定系数法结合图形或代数法求得． (2)弦长问题：常用几何法(垂径定理)，也可用代数法结合弦长公式求解． 知识点三、圆与圆的位置关系 1．圆与圆的位置关系：一般利用圆心距与两半径和与差的大小关系判断两圆的位置关系． 2.过两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1，此圆系方程不含C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0)， 特别地，当λ＝－1时，上述方程为一次方程． 两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程． 思想1：方程思想 【例题1】（2021高二上·全国·专题练习）已知过点的直线与轴、轴分别交于两点.若为线段的中点，则这条直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知圆经过两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）直线，若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于A、B两点，求三角形AOB面积的最小时的直线的方程 . 【变式3】（21-22高二上·湖北黄石·阶段练习）已知直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点， (1)求三角形面积取最小值时直线的方程； (2)求取最小值时直线的方程． 思想2：函数思想 【例题2】（2021高二·江苏·专题练习）已知直线平分圆的面积，过圆外一点向圆作切线，切点为Q，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式1】（2024高二上·江苏·专题练习）过坐标原点作直线：的垂线，垂足为，则的取值范围是 . 【变式2】（23-24高二上·四川内江·期中）已知直线l：. (1)求原点到直线l的距离的最大值； (2)若l交x轴正半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S，求S最小值时直线l的方程. 【变式3】（22-23高二上·辽宁沈阳·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，设直线方程为. (1)求证：直线恒过一个定点，并求出定点的坐标； (2)若直线分别交轴正半轴、轴正半轴于A，B两点，表示的面积，求的最小值. 思想3：数形结合思想 【例题3】（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）直线与曲线恰有两个交点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（21-22高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）曲线与直线有两个交点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·山西朔州·期中）已知圆：，点是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为 ． 【变式3】（23-24高二上·上海·期末）定义：设P、Q分别为曲线和上的点，把P、Q两点距离的最小值称为曲线到的距离． (1)求曲线到直线的距离； (2)求圆到曲线的距离． 思想4：转化与化归思想 【例题4】（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知圆的一般方程为，则的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二上·广东深圳·期中）由曲线围成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·上海·课后作业）若点是圆上任意一点，则的最大值是 ． 【变式3】（22-23高二上·广西防城港·期末）已知圆经过两点，圆心在直线上. (1)求出这个圆的标准方程； (2)当点到直线的距离最大时，求的值. 考点1：距离问题 【例题5】（2003·全国·高考真题）已知点到直线的距离为，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·全国·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式2】（2019·北京·高考真题）已知直线l的参数方程为（t为参数），则点（1,0）到直线l的距离是 A． B． C． D． 【变式3】（2009·全国·高考真题）若直线m被两平行线与所截得的线段的长为，则m的倾斜角可以是①15°，②30°，③45°，④60°，⑤75°.其中正确答案的序号是 (写出所有正确答案的序号)． 考点2：圆的方程 【例题6】（2016·山东·高考真题）已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是 A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 【变式1】（2014·湖南·高考真题）若圆与圆外切，则 A．21 B．19 C．9 D．-11 【变式2】（2005·北京·高考真题）若圆与直线相切，且其圆心在y轴的左侧，则m的值为 ． 【变式3】（2022·全国·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ． 考点3：直线与圆的位置关系 【例题7】（2008·全国·高考真题）原点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2018·全国·高考真题）已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为 A． B． C． D． 【变式2】（2009·四川·高考真题）若⊙与⊙相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是 ． 【变式3】（2018·全国·高考真题）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，． （1）求的方程； （2）求过点，且与的准线相切的圆的方程． 考点4：圆与圆的位置关系 【例题8】（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D． 【变式2】（2022·全国·高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为 ． 【变式3】（2014·全国·高考真题）已知点，圆，过点的动直线与圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点． （1）求的轨迹方程； （2）当时，求的方程及的面积． 1、 与数学文化相结合 【例题9】（23-24高二上·黑龙江·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二上·湖北·阶段练习）数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·江苏宿迁·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆，后来，人们把这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点到两个定点，的距离之比为2，则的取值范围为 . 【变式3】（22-23高二上·江西·阶段练习）古希腊时期与欧几里得、阿基米德齐名的著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值λ(λ>0且λ≠1)的点所形成的图形是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知点A(0，6)，B(0，3)、动点M满足 ，记动点M的轨迹为曲线C (1)求曲线C的方程； (2)过点N(0、4)的直线l与曲线C交于P，Q两点，若P为线段NQ的中点，求直线l的方程. 2、新定义问题 【例题10】（23-24高二上·河北沧州·期末）已知平面上两定点A，B，满足（，且）的点P的轨迹是一个圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称作阿氏圆．利用上述结论，解决下面的问题：若直线与x，y轴分别交于A，B两点，点M，N满足，，，则直线MN的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二上·福建龙岩·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，，，点满足，则点到直线的距离的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【变式2】（23-24高二上·青海海东·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点到，的距离比为，则点到直线：的距离的最大值是 . 【变式3】（23-24高二上·河北邯郸·期末）古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点距离之比为常数且）的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆被称为阿波罗尼斯圆.已知中，. (1)求的顶点的轨迹方程； (2)若圆和顶点的轨迹交于两点，求直线的方程和圆心到的距离. 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 3．（22-23高二上·湖北武汉·阶段练习）我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，现作出圆的一个内接正八边形，使该正八边形中的4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）经过直线与直线的交点，且垂直于直线的直线方程是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线过点，若直线过点及点关于坐标原点的对称点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·湖北武汉·期中）一束光线从点射出，沿倾斜角为的直线射到轴上，经轴反射后，反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·吉林·阶段练习）已知直线l的斜率，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·全国·课后作业）已知动直线恒过定点，圆，则以为圆心，半径与圆半径相等的圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2024高二上·江苏·专题练习）已知点，且点在圆上，为圆心，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．当最大时，的面积为2 C．的最大值为 D．的最大值为 10．（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知直线，下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．当时，关于轴对称的直线为 C．点到直线的最大距离为 D．与两坐标轴围成的三角形面积为2的直线有4条 11．（23-24高二上·甘肃·期末）瑞士数学家伯努利于1694年发现了双纽线，即在平面直角坐标系中，点到两个定点的距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，则当时，下列结论正确是（    ） A．点在双纽线上 B．点的轨迹方程为 C．双纽线关于坐标轴对称 D．满足的点有1个 三、填空题 12．（2024高二上·江苏·专题练习）已知两条直线，，且，当两平行线距离最大时， . 13．（24-25高二上·全国·课后作业）若点在直线上，则的最小值为 ． 14．（23-24高二上·广东广州·期末）已知直线过点且与x轴、y轴分别交于两点，O为坐标原点，则的最小值为 . 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆，圆心坐标为． (1)求圆的一般方程； (2)若点为圆上的动点，定点，求满足条件的点的轨迹方程并判断它的形状． 16．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线，点和点分别是直线上一动点. (1)若直线经过原点，且，求直线的方程； (2)设线段的中点为，求点到原点的最短距离. 17．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知矩形ABCD的两条对角线相交于点，AB 边所在直线的方程为，点在AD边所在的直线上. (1)求AD边所在直线的方程； (2)求矩形ABCD外接圆的标准方程. 18．（24-25高二上·江西九江·阶段练习）已知圆，直线过点． (1)求圆的圆心坐标和半径； (2)若直线与圆相切，求直线的方程； (3)若直线与圆相交于两点，求三角形的面积的最大值，并求此时直线的方程. 19．（24-25高二上·河南漯河·阶段练习）设直线l的方程为 (1)求证：无论a为何值，直线l必过一定点P； (2)若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于A，B，当面积最小时，求的周长； (3)当直线l在两坐标轴上的截距均为整数且斜率为正值时，求直线l的方程. 限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章直线和圆的方程 （数学思想方法+高考真题精讲+核心素养提升+过关检测） 知识点一、两直线的平行与垂直 1.判断两直线平行、垂直的方法 (1)若不重合的直线l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则k1＝k2⇔l1∥l2. (2) 若直线l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则k1·k2＝－1⇔l1⊥l2. (讨论两直线平行、垂直不要遗漏直线斜率不存在的情况) 2.一般式方程下两直线的平行与垂直： 已知两直线的方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且C1B2－C2B1≠0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 知识点二、直线与圆的位置关系 1．直线与圆位置关系的判断方法 (1)几何法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径长为r.若d<r，则直线和圆相交；若d＝r，则直线和圆相切；若d>r，则直线和圆相离． (2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式为Δ.Δ＝0⇔直线与圆相切；Δ>0⇔直线与圆相交；Δ<0⇔直线与圆相离． 2.涉及直线与圆的有关题型 (1)求切线方程：可以利用待定系数法结合图形或代数法求得． (2)弦长问题：常用几何法(垂径定理)，也可用代数法结合弦长公式求解． 知识点三、圆与圆的位置关系 1．圆与圆的位置关系：一般利用圆心距与两半径和与差的大小关系判断两圆的位置关系． 2.过两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1，此圆系方程不含C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0)， 特别地，当λ＝－1时，上述方程为一次方程． 两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程． 思想1：方程思想 【例题1】（2021高二上·全国·专题练习）已知过点的直线与轴、轴分别交于两点.若为线段的中点，则这条直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设所求直线的方程为，分别求出与轴、轴的交点，，利用中点坐标公式求出直线的斜率，进而可得直线的方程． 【详解】设所求直线的方程为．令，得， 所以点坐标为， 又因为为线段的中点，点纵坐标为0， 所以根据中点坐标公式得，解得， 所求直线的方程为． 故选：C 【变式1】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知圆经过两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设圆心的坐标为，根据点在线上及两点间距离得出，再求出半径，得出圆的标准方程. 【详解】设圆心的坐标为. 因为圆心在直线上，所以①， 因为是圆上两点，所以，根据两点间距离公式，有，即②， 由①②可得.所以圆心的坐标是），圆的半径. 所以，所求圆的标准方程是. 故选:C. 【变式2】（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）直线，若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于A、B两点，求三角形AOB面积的最小时的直线的方程 . 【答案】 【分析】由题可得直线所过定点为，则设直线为，其中，则问题转化为已知，，求的最小值，利用基本不等式可得答案. 【详解】 ，即直线所过定点为. 由题设直线方程为：，其中，则,. 由基本不等式，，面积的最小值为4， 当且仅当，即时取等号. 则三角形AOB面积最小时直线方程为 故答案为： 【变式3】（21-22高二上·湖北黄石·阶段练习）已知直线过点且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点， (1)求三角形面积取最小值时直线的方程； (2)求取最小值时直线的方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题意设，，由条件结合基本不等式求取得最小值时和的值即可求解； （2）结合（1），利用基本不等式计算取得最小值时和 的值即可求解； 【详解】（1）由题意设，，其中，为正数，可设直线的方程为， 因为直线过点，所以， 由基本不等式可得， 所以，， 当且仅当即时，取得最小值， 所以面积， 所以当，时，面积最小， 此时直线的方程为，即， （2）因为，， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， 所以当，时，的值最小， 此时直线的方程为，即． 思想2：函数思想 【例题2】（2021高二·江苏·专题练习）已知直线平分圆的面积，过圆外一点向圆作切线，切点为Q，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查圆有关的最值问题，根据条件得到，在中，，利用二次函数性质得到答案． 【详解】圆化为标准方程为， 所以圆心，半径， 因为直线平分圆的面积， 所以圆心在直线上，故， 即，在中， ， 当时，最小为16，最小为4． 故选：A． 【变式1】（2024高二上·江苏·专题练习）过坐标原点作直线：的垂线，垂足为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，将表示成的函数，求出函数的值域即可. 【详解】依题意，，直线的方向向量，则有， 解得， 因此， 因当时，取最小值， 则有， 所以的取值范围是. 故答案为： 【变式2】（23-24高二上·四川内江·期中）已知直线l：. (1)求原点到直线l的距离的最大值； (2)若l交x轴正半轴于A，交y轴正半轴于B，的面积为S，求S最小值时直线l的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出直线l经过的定点，结合图形以及两点的距离公式，即可得出答案； （2）先求出的坐标，表示出.然后根据基本不等式，即可得出最小时，的值，代入方程，即可得出答案. 【详解】（1）直线l：可化为. 解可得，，所以直线l过定点. 如图，过点作，垂足为，连接 易知， 当时，原点到直线l的距离取得最大值. （2）易知 令，由可得，. 令，由可得，. 且，所以， 所以，. 因为，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立. 所以，直线l的方程，即. 【变式3】（22-23高二上·辽宁沈阳·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，设直线方程为. (1)求证：直线恒过一个定点，并求出定点的坐标； (2)若直线分别交轴正半轴、轴正半轴于A，B两点，表示的面积，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析，； (2)4. 【分析】（1）将原方程整理为关于的方程，即可得到定点； （2）分别求出坐标，写出关于的表达式，利用二次函数的性质得到面积最小值即可. 【详解】（1）证明：直线整理为,要使直线过恒定点, 则解得，所以点坐标为. （2）直线方程为： 与轴正半轴、轴正半轴于,两点, 分别令，得到，， 所以，且则或, 则三角形面积为 此时，在或范围内， 所以面积最小值为 4 . 思想3：数形结合思想 【例题3】（23-24高二上·江苏无锡·阶段练习）直线与曲线恰有两个交点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用数形结合思想，结合直线与圆的位置关系进行求解即可. 【详解】，所以曲线表示半径为2的半圆，如图所示，      当直线平移经过点时， 直线与曲线恰有两个交点，则， 当直线与半圆相切时， 是直线在纵轴的截距，由图形可知：， ， 因此由数形结合思想可知， 故选：B 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用数形结合思想，根据直线的平移过程得到答案. 【变式1】（21-22高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）曲线与直线有两个交点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出图象，转化为直线与半圆的交点问题，数形结合来进行求解. 【详解】根据题意画出图形，如图所示:      由题意可得，曲线的图象为以为圆心，2为半径的半圆，直线恒过， 由图当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离，即，解得； 当直线过点时，直线的斜率， 则直线与半圆有两个不同的交点时，实数的取值范围为. 故选:C. 【变式2】（23-24高二上·山西朔州·期中）已知圆：，点是直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用圆的切线长定理，结合直角三角形面积用表示，再借助点到直线的距离求出最小值. 【详解】圆：的圆心为，半径， 由过作圆的两条切线，切点分别为，，得，垂直平分， 因此，即有 设，则，显然当最小时，的值最大， 此时最小，又的最小值为点到直线的距离，即，， 所以的最小值为． 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·上海·期末）定义：设P、Q分别为曲线和上的点，把P、Q两点距离的最小值称为曲线到的距离． (1)求曲线到直线的距离； (2)求圆到曲线的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求直线和直线平行，并与抛物线相切，然后两直线之间的距离即为所求. （2）把问题转化为点到曲线上点的距离的最小值，再求解. 【详解】（1）如图：    设直线：，代入，得：， 由得. 直线，的距离为：即为所求. （2）如图：    曲线化为， 取曲线上任意一点，先求的最小值. 设，，则且，，，. 所以（当且仅当时取“”）， 所以， 所以所求的距离为：. 【点睛】关键点睛：采用数形结合的方法，把所求的距离进行合理转化是解决问题的关键 思想4：转化与化归思想 【例题4】（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期末）已知圆的一般方程为，则的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】圆的一般方程化成标准方程即可得解. 【详解】由圆的一般方程为， 可得圆的标准方程为：， 所以圆心. 故选：C 【变式1】（23-24高二上·广东深圳·期中）由曲线围成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分两种情况写出曲线方程，再做出图像，求出面积. 【详解】    当时，曲线为 当时，曲线 画出图像如上图， 所求面积为两个圆的面积减去一个重叠部分的面积 圆的半径为，两圆对称， 故为 故选：D 【变式2】（24-25高二上·上海·课后作业）若点是圆上任意一点，则的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】将圆化为标准方程，根据目标式的几何意义求解． 【详解】解：圆化为标准方程为：， 记圆心为，半径为， 令， 则， 得为点到原点的距离，其最大值为：， 则的最大值为：， 故答案为： 【变式3】（22-23高二上·广西防城港·期末）已知圆经过两点，圆心在直线上. (1)求出这个圆的标准方程； (2)当点到直线的距离最大时，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的圆心为，在直线上，将两点坐标代入方程解得答案. （2）直线过定点，当与直线垂直时，距离最大，计算斜率，根据垂直得到答案. 【详解】（1）设圆的圆心为，圆的一般方程为，由方程可知， 由条件在直线上，两点在圆上， 联立方程组，解得， ，为所求的圆的标准方程. （2）直线化为，直线经过定点， 当与直线垂直时，距离最大， ，故直线斜率为，解得. 考点1：距离问题 【例题5】（2003·全国·高考真题）已知点到直线的距离为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点到直线得距离公式即可得出答案. 【详解】解：由题意得． 解得或．，． 故选：C. 【变式1】（2024·全国·高考真题）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据题意，由条件可得直线过定点，从而可得当时，的最小，结合勾股定理代入计算，即可求解. 【详解】因为直线，即，令， 则，所以直线过定点，设， 将圆化为标准式为， 所以圆心，半径， 当时，的最小， 此时. 故选：C 【变式2】（2019·北京·高考真题）已知直线l的参数方程为（t为参数），则点（1,0）到直线l的距离是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先将参数方程化为直角坐标方程，然后利用点到直线距离公式求解距离即可. 【详解】直线的普通方程为,即,点到直线的距离,故选D. 【点睛】本题考查直线参数方程与普通方程的转化,点到直线的距离,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查. 【变式3】（2009·全国·高考真题）若直线m被两平行线与所截得的线段的长为，则m的倾斜角可以是①15°，②30°，③45°，④60°，⑤75°.其中正确答案的序号是 (写出所有正确答案的序号)． 【答案】①⑤ 【分析】先求两平行线间的距离为，结合题意直线m被两平行线所截得的线段的长为得到直线m与两平行线的夹角为30°，再根据已知直线的倾斜角进行求解． 【详解】因为，所以直线，间的距离． 设直线m与直线，分别相交于点B，A， 则， 过点A作直线l垂直于直线，垂足为C， 则， 则在中，， 所以， 又直线的倾斜角为45°， 所以直线m的倾斜角为或． 故答案为：①⑤． 考点2：圆的方程 【例题6】（2016·山东·高考真题）已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是 A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 【答案】B 【详解】化简圆到直线的距离 ， 又 两圆相交. 选B 【变式1】（2014·湖南·高考真题）若圆与圆外切，则 A．21 B．19 C．9 D．-11 【答案】C 【详解】试题分析：因为,所以且圆的圆心为,半径为,根据圆与圆外切的判定(圆心距离等于半径和)可得 ,故选C. 考点：圆与圆之间的外切关系与判断 【变式2】（2005·北京·高考真题）若圆与直线相切，且其圆心在y轴的左侧，则m的值为 ． 【答案】 【分析】将圆方程化为标准形式得到圆心和半径，根据相切得到，根据圆心在y轴的左侧得到，解得答案. 【详解】，即， 圆心为，半径为，圆心在轴的左侧，故，即， 圆与直线相切，故，解得. 故答案为： 【变式3】（2022·全国·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ． 【答案】或或 【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可. 【详解】[方法一]： 显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为， 于是， 故①，于是或， 再结合①解得或或， 所以直线方程有三条，分别为，， 填一条即可 [方法二]： 设圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径， 则，因此两圆外切， 由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意； 又由方程和相减可得方程， 即为过两圆公共切点的切线方程， 又易知两圆圆心所在直线OC的方程为， 直线OC与直线的交点为， 设过该点的直线为，则，解得， 从而该切线的方程为填一条即可 [方法三]： 圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切， 如图， 当切线为l时，因为，所以，设方程为 O到l的距离，解得，所以l的方程为， 当切线为m时，设直线方程为，其中，， 由题意，解得， 当切线为n时，易知切线方程为， 故答案为：或或. 考点3：直线与圆的位置关系 【例题7】（2008·全国·高考真题）原点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式，求得所求的距离. 【详解】由点到直线距离可知所求距离. 故选：D 【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题. 【变式1】（2018·全国·高考真题）已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】分析：由离心率计算出，得到渐近线方程，再由点到直线距离公式计算即可． 详解： 所以双曲线的渐近线方程为 所以点（4，0）到渐近线的距离 故选D 点睛：本题考查双曲线的离心率，渐近线和点到直线距离公式，属于中档题． 【变式2】（2009·四川·高考真题）若⊙与⊙相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是 ． 【答案】4 【详解】依题意得OO1＝＝5，且△OO1A是直角三角形，S△OO1A＝··OO1＝·OA·AO1，因此AB＝＝4. 【变式3】（2018·全国·高考真题）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，． （1）求的方程； （2）求过点，且与的准线相切的圆的方程． 【答案】（1）；（2）或． 【分析】（1）方法一：根据抛物线定义得，再联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理代入求出斜率，即得直线的方程； （2）方法一：先求AB中垂线方程，即得圆心坐标关系，再根据圆心到准线距离等于半径得等量关系，解方程组可得圆心坐标以及半径，最后写出圆的标准方程. 【详解】（1）［方法一］：【通性通法】焦点弦的弦长公式的应用 由题意得，设直线l的方程为． 设，由得． ，故． 所以． 由题设知，解得（舍去）或．因此l的方程为． ［方法二］：弦长公式的应用 由题意得，设直线l的方程为． 设，则由得． ，由，解得（舍去）或．因此直线l的方程为． ［方法三］：【最优解】焦点弦的弦长公式的应用 设直线l的倾斜角为，则焦点弦，解得，即．因为斜率，所以． 而抛物线焦点为，故直线l的方程为． ［方法四］：直线参数方程中的弦长公式应用 由题意知，可设直线l的参数方程为（t为参数）． 代入整理得． 设两根为，则． 由，解得． 因为，所以，因此直线l的参数方程为 故直线l的普通方程为． ［方法五］：【最优解】极坐标方程的应用 以点F为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，此时抛物线的极坐标方程为． 设，由题意得，解得，即． 所以直线l的方程为． （2）［方法一］：【最优解】利用圆的几何性质求方程 由（1）得AB的中点坐标为，所以AB的垂直平分线方程为 ，即． 设所求圆的圆心坐标为，则 解得或， 因此所求圆的方程为或． ［方法二］：硬算求解 由题意可知，抛物线C的准线为，所求圆与准线相切． 设圆心为，则所求圆的半径为． 由得． 所以， 解得或， 所以，所求圆的方程为或． 【整体点评】（1）方法一：根据弦过焦点，选择焦点弦长公式运算，属于通性通法； 方法二：直接根据一般的弦长公式硬算，是解决弦长问题的一般解法； 方法三：根据弦过焦点，选择含直线倾斜角的焦点弦长公式，计算简单，属于最优解； 方法四：根据直线参数方程中的弦长公式，利用参数的几何意义运算； 方法五：根据抛物线的极坐标方程，利用极径的意义求解，计算简单，也是该题的最优解． （2）方法一：根据圆的几何性质确定圆心位置，再根据直线与圆的位置关系算出，是求圆的方程的最优解； 方法二：直接根据圆经过两点，硬算，思想简单，运算相对复杂 考点4：圆与圆的位置关系 【例题8】（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可. 【详解】由题意得，即， 则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为. 故选：D. 【变式1】（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解． 【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得． 故选：A． 【变式2】（2022·全国·高考真题）设点M在直线上，点和均在上，则的方程为 ． 【答案】 【分析】设出点M的坐标，利用和均在上，求得圆心及半径，即可得圆的方程. 【详解】[方法一]：三点共圆 ∵点M在直线上， ∴设点M为，又因为点和均在上， ∴点M到两点的距离相等且为半径R， ∴， ，解得， ∴，， 的方程为. 故答案为： [方法二]：圆的几何性质 由题可知，M是以（3，0）和（0，1）为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线的交点(1,-1)., 的方程为. 故答案为： 【变式3】（2014·全国·高考真题）已知点，圆，过点的动直线与圆交于，两点，线段的中点为，为坐标原点． （1）求的轨迹方程； （2）当时，求的方程及的面积． 【答案】（1）；（2）的方程为，的面积为. 【分析】（1）由圆的方程求出圆心坐标和半径，设出坐标，由与数量积等于0列式得的轨迹方程； （2）设的轨迹的圆心为，由得到．求出所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得到所在直线方程，由点到直线的距离公式求出到的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出的长度，代入三角形面积公式得答案． 【详解】解：（1）由圆，即， 圆的圆心坐标为，半径． 设，则，． 由题意可得，即． 整理得． 的轨迹方程是． （2）由（1）知的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 由于， 故在线段的垂直平分线上， 又在圆上， 从而． ， 直线的斜率为． 直线的方程为，即． 则到直线的距离为． 又到的距离为， ． ． 1、 与数学文化相结合 【例题9】（23-24高二上·黑龙江·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】y可看作x轴上一点到点与点的距离之和，可知当A，P，B三点共线时取得最小值可得答案. 【详解】， 则y可看作x轴上一点到点与点的距离之和， 即，则可知当A，P，B三点共线时，取得最小值， 即． 故选：A. 【变式1】（23-24高二上·湖北·阶段练习）数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点分别为，，，则的欧拉线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出重心坐标，求出AB边上高和AC边上高所在直线方程，联立两直线可得垂心坐标，即可求出欧拉线方程. 【详解】由题可知，的重心为， 可得直线AB的斜率为，则AB边上高所在的直线斜率为， 则方程为，即， 直线AC的斜率为，则AC边上高所在的直线斜率为， 则方程为，即， 联立方程，解得，即的垂心为， 则直线GH斜率为，则可得直线GH方程为， 故的欧拉线方程为. 故选：A. 【变式2】（23-24高二上·江苏宿迁·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆，后来，人们把这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点到两个定点，的距离之比为2，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】首先求点的轨迹方程，再根据的几何意义，转化为直线与圆有交点，即可求解. 【详解】由题意可知，， ，整理为， 所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，   表示圆上的点与定点连线的斜率， 设，即，如图可知，直线与圆有交点， 则，解得：. 故答案为： 【变式3】（22-23高二上·江西·阶段练习）古希腊时期与欧几里得、阿基米德齐名的著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值λ(λ>0且λ≠1)的点所形成的图形是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知点A(0，6)，B(0，3)、动点M满足 ，记动点M的轨迹为曲线C (1)求曲线C的方程； (2)过点N(0、4)的直线l与曲线C交于P，Q两点，若P为线段NQ的中点，求直线l的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点点距离公式，代入等量关系中化简即可求解方程， （2）联立直线与圆的方程，根据中点坐标公式以及根与系数的关系即可求解. 【详解】（1）设，由点A(0，6)，B(0，3)、动点M满足 得，两边平方化简得：， 故曲线C的方程 （2）当直线无斜率时；此时直线与圆相交P，Q两点，则或者,均不符合P为线段NQ的中点， 当直线有斜率时；设： ， 联立直线与圆的方程，化简得， ，故 设，则-① 若为线段的中点，则，所以，将其代入①中得：，进而得，满足， 所以，因此的方程为 2、新定义问题 【例题10】（23-24高二上·河北沧州·期末）已知平面上两定点A，B，满足（，且）的点P的轨迹是一个圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称作阿氏圆．利用上述结论，解决下面的问题：若直线与x，y轴分别交于A，B两点，点M，N满足，，，则直线MN的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得出点M，点N是两个圆的公共点，所以将两圆直接作差即可得到公共弦所在直线方程. 【详解】由题得，，设，∵，∴点M在圆：上． ∵，∴，整理得， ∴点M也在圆：上，同理点N也在这两个圆上， ∴MN是这两圆的公共弦，两圆方程作差，得，即直线MN的方程为， 故选：A． 【变式1】（23-24高二上·福建龙岩·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，，，点满足，则点到直线的距离的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】设是所求轨迹上的任意一点，根据题意，求得点的轨迹方程，在求得圆心到直线的距离，结合圆的性质，即可求解. 【详解】设是所求轨迹上的任意一点，且，，点满足， 可得，整理得，即， 可得圆心坐标为，半径为， 又由圆心到直线的距离为， 点到直线的距离的最小值为. 故选：A. 【变式2】（23-24高二上·青海海东·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点到，的距离比为，则点到直线：的距离的最大值是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出点的轨迹方程，再结合点到直线的距离公式计算即得. 【详解】设点，由，得，整理得， 因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 点到直线：的距离为， 所以点到直线最大距离为. 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·河北邯郸·期末）古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：平面上到两定点距离之比为常数且）的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆被称为阿波罗尼斯圆.已知中，. (1)求的顶点的轨迹方程； (2)若圆和顶点的轨迹交于两点，求直线的方程和圆心到的距离. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）解法1：设出，根据得到方程，求出轨迹方程； 解法2：由阿波罗尼圆的定义得到，顶点的轨迹为圆，圆心在直线上，求出该圆与轴的两交点，故的轨迹是以为直径的圆，求出轨迹方程； （2）两圆相减得到直线的方程，并利用点到直线距离公式求出答案. 【详解】（1）解法1：设顶点，则， 故，化简得的轨迹方程为. 解法2：由阿波罗尼圆的定义，顶点的轨迹为圆，圆心在直线上， 设圆与轴的两交点为， 根据得，，解得或9， 故当或时，都满足， 所以顶点的轨迹是以为直径的圆，其方程为. （2）将圆和相减可得， 即所求直线的方程为. 圆心到的距离 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点的坐标求得斜率，从而确定正确答案. 【详解】， ， 直线的斜率不存在，所以只有，所以． B选项正确，其它选项错误. 故选：B 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】B 【分析】根据直线的斜率来进行判断. 【详解】， 由图可知不共线，所以． 故选：B    3．（22-23高二上·湖北武汉·阶段练习）我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，现作出圆的一个内接正八边形，使该正八边形中的4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设确定各顶点的坐标，代入选项解析式即可判断正误. 【详解】由题意，另外4个顶点为与的交点，    所以，正八边形8个顶点分别为，， A：显然过，满足； B：显然过，满足； C：显然过，，不满足； D：显然过，满足. 故选：C 4．（24-25高二上·全国·课后作业）经过直线与直线的交点，且垂直于直线的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立方程组求出交点坐标，利用直线垂直的性质得到斜率，代入坐标求解方程即可. 【详解】根据题意，联立直线的方程解得 则直线的交点坐标是， 设与直线垂直的直线方程为， 代入点，解得，故所求直线方程为，故A正确. 故选：A 5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线过点，若直线过点及点关于坐标原点的对称点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算出点及点关于坐标原点的对称点的坐标，然后由两点式求解即可. 【详解】因为直线过点，代入得，即， 则点关于坐标原点的对称点为． 又直线过两点， 所以直线的方程为， 即． 故选：A. 6．（23-24高二上·湖北武汉·期中）一束光线从点射出，沿倾斜角为的直线射到轴上，经轴反射后，反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】先求得入射光线所在直线与轴的交点，进而求得反射光线所在直线方程. 【分析】倾斜角为的直线，斜率为， 所以入射光线为， 令，解得，所以入射光线与轴的交点为， 反射光线的斜率为，则反射光线的方程为. 故选：D 7．（24-25高二上·吉林·阶段练习）已知直线l的斜率，则直线l的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线倾斜角与斜率的变化关系，可得答案. 【详解】设直线l的倾斜角为α，则．因为，且， 所以． 故选：D 8．（24-25高二上·全国·课后作业）已知动直线恒过定点，圆，则以为圆心，半径与圆半径相等的圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出定点，再根据圆C的方程得出半径2，最后根据圆的标准方程写出圆的方程即可. 【详解】动直线，可化为，故恒过定点， 又易得圆的半径为2，则以为圆心，以圆的半径为半径的圆的标准方程是． 故选：D. 二、多选题 9．（2024高二上·江苏·专题练习）已知点，且点在圆上，为圆心，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．当最大时，的面积为2 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】根据几何位置关系，结合两点之间距离公式即可判断A；当与圆相切时，最大，进而求得，即可判断B；当，，三点共线，且在，之间时，最大，即可判断C；当为射线与圆的交点时，取得最大值，即可判断D． 【详解】因为，所以点在圆外，点在圆内，如图所示， 对于A，当为线段与圆的交点时，即，此时取得最小值为，故A正确； 对于B，由题知，点在圆内，当与圆相切时，最大，此时与重合，此时，故B错误； 对于C，因为点在圆上，为圆心，则，所以当最大时，也最大， 当，，三点共线，且在，之间时，其最大值为，故C正确； 对于D，当为射线与圆的交点时，取得最大值，故D正确． 故选：ACD．    10．（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知直线，下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．当时，关于轴对称的直线为 C．点到直线的最大距离为 D．与两坐标轴围成的三角形面积为2的直线有4条 【答案】BC 【分析】把直线方程整理成点斜式，令k的系数等于零，可求出直线所过的定点M，即可判断A；在直线上取两点，求出这两点关于x轴对称的点，即可求出关于x轴对称直线的方程，即可判断B；结合A选项，当直线时，点P到直线l的距离最大，即可判断C；分别求出直线与坐标轴的交点坐标，再结合题意即可判断D. 【详解】选项A：由直线l:,得，令，解得，所以直线l过定点,故A错误； 选项B：当时，直线l: ，取两点,分别关于x轴对称的点为,所以l关于x轴对称直线为，故B正确； 选项C：由A选项可知直线l过定点，当直线时，点P到直线l的距离最大，最大距离为，故C正确； 选项D：由直线l:，令，得，当时，，此时直线与x轴没交点，所以，令，得，依题意：，解得或，所以满足条件的直线有3条，故D错误; 故选：BC. 11．（23-24高二上·甘肃·期末）瑞士数学家伯努利于1694年发现了双纽线，即在平面直角坐标系中，点到两个定点的距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，则当时，下列结论正确是（    ） A．点在双纽线上 B．点的轨迹方程为 C．双纽线关于坐标轴对称 D．满足的点有1个 【答案】BCD 【分析】先由双纽线的定义求出其方程，逐一检验各个选项可判断结果. 【详解】由双纽线的定义可得：， 即，化简得：， 则当时，点的轨迹方程为，故B正确； 当时代入方程得，显然不满足方程， 所以点不在双纽线上故A错误； 把x换成，y换成，方程不变，所以双纽线关于坐标轴对称，故C正确； 因为，若满足，则点P在y轴上， 在方程中令，解得， 所以满足的点为，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题 12．（2024高二上·江苏·专题练习）已知两条直线，，且，当两平行线距离最大时， . 【答案】 【分析】求出恒过的定点，故，距离的最大值为，所以，求解即得出答案. 【详解】由题意，由， 解得，故过定点． ，由， 解得，故过定点， 故，距离的最大值为． 此时，直线的斜率为，则， 直线的斜率为，解得， 故． 故答案为：5 13．（24-25高二上·全国·课后作业）若点在直线上，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】设，从而得的最小值为的最小值，结合点到直线距离公式求出的最小值即可得解. 【详解】设，则， 因为的最小值为点到直线的距离，即， 所以的最小值为. 故答案为： . 14．（23-24高二上·广东广州·期末）已知直线过点且与x轴、y轴分别交于两点，O为坐标原点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】先表示出直线的截距式，利用直线过点，得到，借助基本不等式，即可求得最小值. 【详解】直线与与x轴、y轴分别交于， 可设直线的截距式，直线过点，，且， ， 当且仅当，即时，取得最小值. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆，圆心坐标为． (1)求圆的一般方程； (2)若点为圆上的动点，定点，求满足条件的点的轨迹方程并判断它的形状． 【答案】(1) (2)，形状为圆 【分析】（1）根据圆心求出参数可得圆的方程； （2）设点的坐标，根据条件可得的坐标关系，利用点在圆上即可得出的轨迹方程，判断轨迹形状. 【详解】（1）因为圆的圆心为， 所以，即， 则圆的一般方程为． （2）设的坐标为，， 易得． 由得 解得 因为点为圆上的动点， 所以满足， 所以， 化简得点的轨迹方程为． 因为， 所以点的轨迹为圆． 16．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线，点和点分别是直线上一动点. (1)若直线经过原点，且，求直线的方程； (2)设线段的中点为，求点到原点的最短距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行线间距离公式可得和两直线垂直，即可根据垂直关系得斜率求解, （2）根据互相平行，可得的轨迹为，利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】（1）将化为一般式方程，得， ,则两直线平行， 故两直线的距离为， 因为，所以和两直线垂直. 因为的斜率为，所以. 又因为直线经过原点，所以直线的方程为. （2）因为互相平行，所以线段的中点的轨迹为， 即 所以点到原点的最短距离即点到直线的距离， 因为点到直线的距离为. 所以点到原点的最短距离为. 17．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知矩形ABCD的两条对角线相交于点，AB 边所在直线的方程为，点在AD边所在的直线上. (1)求AD边所在直线的方程； (2)求矩形ABCD外接圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据斜率关系，再应用点斜式求出直线方程； （2）根据矩形求出外接圆的圆心及半径得出圆的标准方程. 【详解】（1）因为AB边所在直线的方程为，且AD与AB垂直， 所以直线AD的斜率为 又因为点在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为， 即 （2）由，解得点A的坐标为 因为矩形ABCD两条对角线的交点为 所以M为矩形ABCD外接圆的圆心． 又， 从而矩形ABCD外接圆的方程为 18．（24-25高二上·江西九江·阶段练习）已知圆，直线过点． (1)求圆的圆心坐标和半径； (2)若直线与圆相切，求直线的方程； (3)若直线与圆相交于两点，求三角形的面积的最大值，并求此时直线的方程. 【答案】(1)圆心为，半径为2； (2)或； (3)，或 【分析】（1）由圆的一般方程化成标准方程即可求解； （2）先考虑直线斜率不存在时是否满足要求，再考虑直线斜率存在时，利用圆心到直线距离求出直线的方程； （3）方法一：设出直线方程，利用垂径定理得到的面积函数，由均值不等式的结论可得面积的最大值及此时直线的方程； 方法二：利用三角形面积公式表达出，得到当时，取最大值2，此时点到的距离为，利用点到直线距离求出直线斜率，得到此时直线的方程. 【详解】（1）由 可得： 所以圆心的圆心坐标为，半径为2； （2）①若直线的斜率不存在，则直线：，符合题意； ②若直线斜率存在，设直线的方程为，即， 由题意知，圆心到已知直线的距离等于半径2， 即，解得， 所求直线的方程是或； （3）    方法一：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线方程为， 则圆心到直的距离， 又∵三角形CPQ面积 ， 当且仅当，即时取等号，三角形CPQ的面积的最大值为2， 由，有，或， 此时直线方程为，或． 方法二：， 当时，取最大值2， 此时点到的距离为， 设：， 由，解得或， 故所求直线的方程为或. 19．（24-25高二上·河南漯河·阶段练习）设直线l的方程为 (1)求证：无论a为何值，直线l必过一定点P； (2)若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于A，B，当面积最小时，求的周长； (3)当直线l在两坐标轴上的截距均为整数且斜率为正值时，求直线l的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，，，， 【分析】（1）变形方程为，依题意列出方程组，解出即可； （2）求得轴截距后，表示出的面积，利用基本不等式求得最值，进一步计算即可； （3）根据截距为整数且斜率为正值，求得的值，即可得到所求直线方程. 【详解】（1）由得， 令，解得， 所以不论为何值，直线必过一定点. （2）由， 令，得， 令，得， 由，解得， ， 当且仅当，即时等号成立， 此时，， 所以得周长为. （3）直线在两坐标轴上的截距均为整数，即，均为整数， 所以，均为整数，又斜率为正值即，即， ， 所以直线的方程为，，，. 限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$