2024-2025学年浙教版数学八年级上册冲刺重高专题培优 课件专题10 勾股定理

专题10 勾股定理 冲刺重高专题培优讲义 浙教版数学八年级上册 知识梳理 【1】勾股定理; 在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方和一定等于斜边长的 平方，如果直角三角形的两条直角边长分别是 ，斜边长为 ，那么 . 【2】勾股定理的逆定理: 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角 三角形. 知识梳理 【3】勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中. 勾股定理最常用的是已知直角三角形的两边求第三边， 公式 的变形有： 及 【4】由于 ，所以 ，同理 ，即直角三角形 的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边.也可以根据垂线段最短得 到直角三角形的斜边最长. 【5】直角三角形的判定有以下几种方法： （1）根据定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形. （2）有两个角互余的三角形是直角三角形. （3）根据斜边中线性质的逆定理. （4）根据勾股定理的逆定理. 知识梳理 【6】勾股定理的证明方法有很多种，先利用剪拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理是最常见的方法. 【7】勾股定理是几何中线段长度计算最常用的方法，运用勾股定理进行几何计算通常先找到或构造直角三角形，然后利用勾股定理这一等量关系结合方程思想进行计算，同时注意结合面积法可以使方法更灵活多变. 重点突破 知识点一：勾股定理计算线段长度 【例1】如图，每个小正方形的边长都是1. 重点突破 （1）求四边形 的周长. 思路点拨 根据勾股定理分别求出每条边的长度，相加即可. [答案] 解题过程 ， 四边形 的周长 重点突破 （2）判断 与 的位置关系并说明理由. 思路点拨 连结 .由 ， ， 三条线段之间的数量关系及 勾股定理的逆定理判断即可. [答案] 解题过程 理由如下：连结 ， 为直角三角形，且 方法提炼 本题考查勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理. 重点突破 【跟踪训练1】如图， ，若 ，求 的长. [答案] 设 ，则 ， 即 ，解得 （负值已 舍）. 重点突破 知识点二：勾股定理在生活实际中的应用 【例2】如图，有一架秋千，当它静止在 的位置时，踏 板离地的垂直高度为 ，将秋千 往前推送 ，到 达 的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为 ， 秋千的绳索始终保持拉直的状态. 重点突破 （1）根据题意， ____ ___ ___ 1.6 3 1 思路点拨 由题意得 .由于四边形BCEF是长方形，可得 ，则 . 重点突破 （2）根据（1）中求得的数据，求秋千的长度. 思路点拨 设秋千的长度为 ，则 ， ，在 中，由勾股定理得出方程，解方程即可. 重点突破 [答案] 解题过程 设秋千的长度为 ，则 在 中，由勾股定理得 ，即 ，解得 ， 秋千的长度是 重点突破 （3）如果想要踏板离地的垂直高度为 ，需要将秋千 往前推送 多少米？ 思路点拨 当 时， ，则 ，得 ，然后在 中，由勾股定理求出BC的长即可。 重点突破 [答案] 解题过程 当 时， 由（2）可知， 在 中，由勾股定理得 ， 需要将秋千 往前推送 重点突破 【跟踪训练2】如图，在笔直的河流一侧有一旅游地 ，河边有两个景 点 其中 ，因 地到景点 的路不通，为方便游客，决定 在河边新建一个景点 （ 三点在同一直线上），并新修一条路 ，测得 重点突破 （1）判断 的形状，并说明理由. [答案] 是直角三角形.理由如下： 在 中， ， 是直角三角形且 重点突破 （2）求原路线 的长. [答案] 设 ，则 在 中，由已知得 ， 由勾股定理得 ，解得 原来的路线 的长为 重点突破 【例3】如图，在 中， ，若点 从点 出发，以每秒 的速度沿折线 运动，设运动时间为 重点突破 （1）若点 在 上，且满足 的周长为 ，求此时 的值. 思路点拨 求出 的长，用含 的代数式表示 的长，根据勾股定理列方程即可得到 的值. 重点突破 [答案] 解题过程 如图1，由题意得 ， ，则 的周长为14， 在 中，由勾股定理得 ，解得 重点突破 （2）若点 在 上，且在 的平分线上，求此时 的值. 思路点拨 过点 作 ，设 ，根据角平分线的性质和 勾股定理，列方程进行解答即可， [答案] 解题过程 如图2，过点 作 于点 重点突破 点 在 的平分线上， 重点突破 设 ，则 在 中， ， ，解得 重点突破 （3）在运动过程中，直接写出当 为何值时， 为等腰三角形. 思路点拨 分类讨论:当 时，当 时，当 时， 结合等腰三角形的性质和勾股定理计算即可。 [答案] 解题过程①如图3，当 时， 为等腰三角形， 重点突破 ②当 时， 为等腰三角形， 如图4，若点 在 上，则 ，解得 如图5，若点 在 上，过点 作 于点 ， 在 中，由勾股定理得 重点突破 ③如图6，当 时， 为等腰三角形， 重点突破 综上所述，当 为 或 或 或 时， 为等腰三角形. 课后练习 A组 基础巩固 1.勾股定理在《九章算术》中的表述为：“勾股术曰：勾股各自乘，并 而开方除之，即弦”，即 （ 为勾， 为股， 为弦）， 若“勾”为2，“股”为3，则“弦”最接近的整数为 ( ) B A.5 B.4 C.3 D.2 课后练习 2.如图，在 中， 是 的角平分线，则 的长为( ) C A.6 B.7 C.8 D.9 3.如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边 长为 均为格点，以点 为圆心， 长为半径 作弧，交网格线于点 ，则 的长为 ( ) C A. B. C. D. 课后练习 4.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是 直角三角形，若正方形 的面积分别是6，10，4， 6，则最大正方形 的面积是 ( ) B A.20 B.26 C.30 D.52 5.如图，在 中， ，以 为 边向外作正方形 ，若图中涂色部分的面积 为 ，则 ___ 5 课后练习 6.已知直角三角形的斜边长为13，其中一条直角边长为12， 把四个相同的直角三角形拼成如图所示的正方形，则涂色 部分的面积为_____. 120 7.如图，在 中， 是 上的点， 若 ，则 的值为____. 16 课后练习 8.如图，在离水面高度为 的岸上，有人用绳子 拉船靠岸，开始时绳子 的长为 ，几分钟 后船到达点 的位置，此时绳子 的长为 ， 则船向岸边移动了___ 9 课后练习 9.规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过 如图，一辆小汽车在一条城市街路的直道 上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪 处的正前方 的 处，过了 后，小汽车行驶 到点 ，测得小汽车与车速检测仪间的距离为 ， 这辆小汽车超速 了吗？（参考数据： ） 课后练习 [答案] 在 中， ， 根据勾股定理可得 ， 小汽车的速度 ＞ 这辆小汽车超速行驶. 课后练习 10.细心观察右图，认真分析下列各式，然后解答问题： ； ； ； （1）请用含 （ 为正整数）的等式表示上述变化的规律. [答案] 由题意得 课后练习 （2）推算出 _ ___， _____， ___， __. <m></m> <m></m> 1 <m></m> （3）求出 的值. [答案] 课后练习 B组 能力提升 11.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子 斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离 为 ，梯子顶端到地面的距离 为 如果 保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时， D A. B. C. D. 梯子顶端到地面的距离为 ，则小巷的宽为 ( ) 课后练习 12.如图，在 中， 于点 为 上任一点，则 等于 ( ) D A.29 B.32 C.36 D.45 [解析] 在 和 中， ，在 和 中， 故选 课后练习 13.如图，在 中， ，以 的 三边为边向外分别作正方形 、正方形 、 正方形 ，连结 ，作 交 于点 ，记正方形 和正方形 的面积分别为 ，若 ，则 _____ _______. <m></m> 课后练习 [解析] 如图，过点 作 ，交 的延长线于点 ，作 ，交 的延长线于点 由题可得 课后练习 又 ，即 平分 又 ， 正方形 和正方形 的面积分别为 ，且 ， 课后练习 在 中，由勾股定理得 等于 故答案为 课后练习 14.如图，在 中， 是 的中 点， 是 的中点， 于点 （1）求 的长. [答案] 是 的中点， ， 课后练习 （2）直接写出 的长. [答案] 连结 ，即 课后练习 15.在 中， 为 内一点，连结 ， 延长 到点 ，使 课后练习 （1）如图1，延长 到点 ，使得 ，连结 若 ，求证： [答案] 在 和 中， 课后练习 （2）连结 ，交 的延长线于点 ，连结 ，依题意补全图2.若 ，求证： [答案] 依题意补全图形如图，延长 到点 ，使 ，连结 课后练习 由（1）可知 课后练习 C组 思维拓展 16.问题再现： 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题，初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释. 课后练习 （1）如图1所示为一个重要公式的几何解释，请写出这个公式. [答案] 课后练习 （2）如图2，在 中， ， 以 的三边长为边向外作正方形，正方形的面积分别为 ，试猜想 之间存在的等量关系，直接写出结论. [答案] 课后练习 （3）如图3，如果分别以 的三边长为直径向外作半圆，那么 第（2）问的结论是否成立？请说明理由. [答案] 成立.理由如下：设 由题意得 课后练习 （4）如图4，在 中， ，三边分别为5，12，13， 分别以它的三边为直径向上作半圆，求图4中涂色部分的面积. [答案] 根据（3）的结论，两个以直角边为直径的半圆面积和等于以斜 边为直径的半圆面积. 涂色部分的面积 直角三角形面积. 涂色部分的面积为 $$