2024-2025学年浙教版数学八年级上册冲刺重高专题培优讲义 课件专题9 直角三角形

专题9 直角三角形 冲刺重高专题培优讲义 浙教版数学八年级上册 知识梳理 【1】直角三角形的定义: 有一个角为90"的三角形，叫做直角三角形. 【2】直角三角形的性质1: 在直角三角形中，两个锐角互余. 【3】直角三角形的性质2: 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半. 知识梳理 【4】将三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，直角三角形是特殊的三角形，其角、边及中线都有特殊的数量关系. 【5】由三角形的内角和定理可得直角三角形的两个锐角互余，这一性质是角度计算或证明的常用定理. 【6】在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半. 反过来，一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形.该命题可以用来判定直角三角形. 知识梳理 【7】在直角三角形中， 角所对的直角边等于斜边的一半. 此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数.反过来，在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于 重点突破 知识点一：直角三角形中角的关系及角度计算 【例1】如图，在 中， 是 的垂 直平分线，交 于点 ，交 于点 已知 ，求 的度数. 重点突破 思路点拨 设 ，则 ，根据线段垂直平分线 的性质得出 ，根据等腰三角形的性质得出 ，则 根据直角三角形的性质得出 求出 即可。 [答案] 解题过程 设 ，则 是 的垂 直平分线， ，解得 重点突破 【跟踪训练1】如图，在 中， 于点 ，点 在 的延长 线上， 交 于点 ，求 的度数. [答案] 重点突破 知识点二：直角三角形斜边中线的性质及应用 【例2】如图，在 中， 是边 上的高 线， 是边 上的中线，且 于点 重点突破 （1）求证： 是 的中点. 思路点拨 连结 ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 ，进而得到 ，再根据等腰三角形三线合一的性质即可得到结论. 重点突破 [答案] 解题过程如图，连结 是边 上的高线， 是边 上的中线， 是 的中点. 重点突破 （2）若 ，求 的度数. 思路点拨 根据等腰三角形的性质可得 ，再 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和解答即可。 [答案] 解题过程由（1）的结论 得 由外角的性质得 ， 重点突破 【跟踪训练2】如图，在四边形 中， 分别是 的中点. （1）求证： [答案] 是 的中点， 又 是 的中点， 重点突破 （2）若 ，求 的度数. [答案] 是 的中点， 重点突破 【例3】（1）如图1，在 中， 是角平分线， 是高 线， 相交于点 与 的数量关系为_ _____________. <m></m> 重点突破 [解析] 解题过程 是高线， 是角平分线， ， 故答案为 重点突破 （2）如图2，在 中， 是 边上的高线，若 的外角 的平分线交 的延长线于点 ，其反向延长线与 边的延长线交于点 探究 与 的数量关系并说明理由. 思路点拨根据角平分线的定义、直角三角形的性质探究角之间的数量关系 重点突破 [答案] 解题过程 理由如下： 为 的平分线， 为 边上的高线， 又 重点突破 （3）如图3，在 中，边 上存在一点 ，使得 的平分线 交 于点 ，交 于点 的 外角 的平分线所在直线 与 的延长线交于点 请补全图形 并直接写出 与 的数量关系. 思路点拨根据条件作出图形，与(1)(2)的方法相同， 重点突破 [答案] 解题过程补全图形如图4. 分别为 的平分线， 同（1）理得 课后练习 A组 基础巩固 1.在 中， ，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 课后练习 2.如图，在 中， ， 垂足为 下列结论中，不一定成立的是 ( ) D A. 与 互余 B. 与 互余 C. D. 课后练习 3.如图，一架梯子 斜靠在竖直墙上， 为梯子 的 中点，当梯子底端向左水平滑动到 位置时，滑动过程 中 的变化规律是 ( ) B A.变小 B.不变 C.变大 D.先变小再变大 课后练习 4.如图，在 中， ，沿 折叠 ，使点 恰好落在边 上的点 处.若 ，则 的度数为 ( ) A A. B. C. D. 5.如图，在 中， ，点 在 上， ，则 的度数为 _ _____. <m></m> 课后练习 6.如图，在 中， 平分 交 于点 交 的延长线于点 若 ，则 _ ____. <m></m> 7.如图，在 中， 边的垂直 平分线交 于点 ，交 于点 ，连结 若 的周长为 的周长为 ，则 ___ 8 课后练习 8.如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个 ，并画出了两锐角的平分线 及其交点 小明发现，无论怎样变动 的形状和大小， 的度数为定值.这个定值为_ ____. <m></m> 课后练习 [解析] 平分 平分 ， 故答案为 课后练习 9.如图，在 中， 是 的 角平分线， 于点 （1）若 ，求 的度数. [答案] 是 的角平分线， 课后练习 （2）求证：直线 是线段 的垂直平分线. [答案] 又 平分 又 平分 平分线段 ，即直线 是线段 的垂直平分线. 课后练习 10.有一道题目：“如图，在 中， ，将 沿 折 叠，使得点 落在边 上的点 处，若 ，且 中有 两个内角相等，求 的度数.”嘉嘉的答案是 ，淇淇说：“嘉 嘉考虑的不全面， 还应该有另外一个值.”下列判断正确的是 ( ) B组 能力提升 课后练习 A.淇淇说得不对， 就是 B.淇淇说得对，且 的另一个值是 C.淇淇说得对，且 的另一个值是 D.两人都不对， 应有三个不同值 [解析] 关于 对称， √ 课后练习 令 ，则 当 时， 当 时， 或 故选 课后练习 11.如图，在四边形 中， 为对角线 的中点，连结 ，若 ，则 _ ____. <m></m> 课后练习 [解析] 为 的中点， 在 中， 同理可得 ， 故答案为 课后练习 12.我们规定：在 中，若过顶点 的一条直线把这个三角形分割 成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这 条直线为 的关于点 的二分割线.如图1，在 中，显然 直线 是 的关于点 的二分割线.在图2的 中， ，且 为最小角，若 中存在关于点 的二分割线 ， 则 的度数为_ _________________. <m></m> 或 <m></m> 课后练习 [解析] 由题意可知当 时，符合题意. 如图1，当 时，满足条件.此时 如图2， 当 时，可得 如图3，当 时， 综上所述， 满足条件的 的度数为 或 课后练习 故答案为 或 课后练习 13.如图，在 中， 于点 于 点 分别是 的中点. （1）求证： 课后练习 [答案] 如图，连结 ， 课后练习 在 和 中， 是 的中点， 是 的中点， 课后练习 （2）若 ，求 的长. [答案] 在 中， 是 的中点， 同理可得 ， 是 的中点， 课后练习 14.如图，在 中， ，点 在 上运动，点 在 上， 始终保持与 相等， 交 于点 课后练习 （1）求证：点 在 的垂直平分线上. [答案] 在 中， 点 在 的垂直平分线上. 课后练习 （2）若 ①求 的度数.（用含 的式子表示） [答案] ， 课后练习 ②当 时，求 的度数. [答案] ， 课后练习 C组 能力提升 15.如图，在 中， ，求证： 课后练习 [答案] 如图，取 的中点 ，连结 $$