1.2子集、全集、补集（课件）-2024-2025学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

1.2子集、全集、补集（课件）-高中数学苏教版（2019）必修第一册 1 知识点概述 集合论是数学的重要分支,在高中阶段主要学习集合的基本概念和运算。本节重点介绍子集、全集、补集的定义和性质,这是学好集合论的基础。 2 教学目标 1. 理解子集、全集和补集的概念： o 掌握子集的定义及符号表示方法。 o 理解全集的概念及其在不同情境下的应用。 o 掌握补集的定义及其表示方法。 3 1. 子集 定义:设A、B是两个集合,如果A中的每一个元素都是B中的元素,那么就称A是B的子集,记作A⊆B。 性质: (1)空集∅是任何集合的子集; (2)A⊆A; (3)若A⊆B且B⊆A,则A=B; (4)若A⊆B且B⊆C,则A⊆C。 2. 真子集 定义:设A、B是两个集合,如果A⊆B且A≠B,那么称A是B的真子集,记作A⊂B。即B中至少有一个元素不属于A。 说明:A⊆B包含两种情况,A⊂B和A=B。 3. 全集 定义:在特定问题中,包含所研究对象的集合称为全集,记作U。 4. 补集 定义:设A是全集U的子集,由U中所有不属于A的元素组成的集合称为A在U中的补集,记作A'或A^c或U-A。 重点 1. 子集、全集和补集的概念及其表示方法。 2. 集合之间的包含关系及其性质。 难点 1. 集合关系的理解与运用，特别是补集的概念和性质。 2. 集合之间关系的证明方法。 1. 定义讲解： o 子集的定义：如果集合A的所有元素都属于集合B，则称集合A是集合B的子集，记作A ⊂ B。 o 符号表示：用“A ⊂ B”表示A是B的子集；如果A ≠ B，则称A是B的真子集，记作A ⊂ B。 2. 基本术语： o 元素：属于集合的对象，如1是集合A的元素。 o 全集：在讨论的范围内包含所有元素的集合。 3. 实际例子： o 举例说明，如集合B = {苹果, 香蕉, 橘子}，集合C = {苹果, 香蕉}，则C是B的子集，记作C ⊂ B。 1.子集的定义和性质: (1)空集∅是任何集合的子集; (2)A⊆A; (3)若A⊆B且B⊆A,则A=B; (4)若A⊆B且B⊆C,则A⊆C。 2.真子集的定义:A⊆B且A≠B。 3.全集的定义:包含所研究对象的集合。 4.补集的定义:由全集中所有不属于A的元素组成的集合。 5.三个重要公式: (1)A∩A'=∅; (2)(A')'=A; (3)A∪A'=U。 拓展思考 1.为什么要引入"全集"的概念? 在解决实际问题时,研究对象往往是特定范围内的。为了方便研究,需要先确定一个范围,这个范围就是问题的全集。相应地,某些元素在这个范围内,而另一些元素不在其中,由此引出了"子集"和"补集"的概念。可见,全集的引入使得集合的理论更加完备,使其更好地服务于实际问题。 2.集合的基本运算有何应用? 集合的交、并、补运算是最基本的集合运算,在实际问题中有广泛应用。比如在数据库查询、信息检索等领域,常用到对不同集合进行交、并等操作;在概率论中,事件之间的关系可用集合的子集、交集等来表示;在数理逻辑中,命题之间的联结词"且"、"或"、"非"可用集合的交、并、补来表示,由此建立了命题和集合之间的对应关系。 3.还有哪些集合值得关注? 除了普通集合外,数学中还有一些特殊的集合,如有限集、无限集、可数集、不可数集等。这些集合在数学理论尤其是数学分析、高等代数等学科中有重要应用。此外,模糊集合、粗糙集等新的集合理论,在人工智能、智能控制等领域发挥着重要作用。随着数学的发展,集合论必将进一步完善,在更广泛的领域大放异彩。 1. 定义讲解： o 补集的定义：在全集U中，不属于集合A的所有元素构成的集合，称为A的补集，记作A'。 o 符号表示：A' = U - A。 2. 实际例子： o 若U = {1, 2, 3, 4, 5}，A = {1, 2, 3}，则A' = {4, 5}。 3. 图示法（韦恩图）： o 通过韦恩图展示集合A与全集U的关系，直观理解补集的概念。 17 本节主要学习了集合的子集、全集和补集的概念,这些概念是学习集合运算的基础。只有正确理解和掌握这些概念,才能进一步学好集合的交、并、差等运算。 18 例题一 问题：设全集U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}，集合A = {2, 4, 6, 8, 10}，求A的补集A'。 答案与解析： 1. A' = U - A = {1, 3, 5, 7, 9}。 2. A'包含所有不属于集合A的元素。 例题二 问题：设集合A = {x | x是偶数且x < 10}，全集U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}，求A的补集A'。 答案与解析： 1. A = {2, 4, 6, 8}。 2. A' = U - A = {1, 3, 5, 7, 9}。 3. A'包含所有不属于集合A的元素。 例题三 问题：判断下列说法的真伪，并说明理由。 1. 集合A = {1, 2, 3}，集合B = {1, 2, 3, 4, 5}，则A是B的子集。 2. 集合C = {a, b, c}，集合D = {a, b, c}，则C是D的真子集。 答案与解析： 1. 真。集合A的所有元素1, 2, 3都属于集合B，因此A ⊂ B。 2. 假。集合C和集合D相等，C不是D的真子集。 例题四 问题：用描述法表示以下集合： 1. 所有大于5且小于15的自然数。 2. 所有不大于10的奇数。 答案与解析： 1. {x | x是自然数，5 < x < 15}，即{6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}。 2. {x | x是奇数，x ≤ 10}，即{1, 3, 5, 7, 9}。 例题五 问题：设集合A = {1, 2, 3, 4, 5}，全集U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}，求A的补集A'。 答案与解析： 1. A' = U - A = {6, 7, 8, 9, 10}。 2. A'包含所有不属于集合A的元素。 例题六 问题：设集合A = {x | x是质数且x < 10}，全集U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}，求A'。 答案与解析： 1. 集合A = {2, 3, 5, 7}。 2. A' = U - A = {1, 4, 6, 8, 9}。 3. A'包含所有不属于集合A的元素。 例题七 问题：证明空集Ø是任意集合的子集。 答案与解析： 1. 根据子集的定义，若集合A是集合B的子集，则A的所有元素都属于B。 2. 空集Ø没有任何元素，因此没有元素不属于集合B。 3. 所以，Ø是任何集合B的子集，记作Ø ⊂ B。 4. 结论：真。 例题八 问题：已知集合A = {1, 2, 3}, 集合B = {2, 3, 4, 5}, 集合C = {5, 6, 7}，求A ∪ B ∪ C。 答案与解析： 1. A ∪ B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}。 2. 并集包含所有属于A、B或C的元素。 例题九 问题：用韦恩图表示集合A = {1, 2, 3, 4}，集合B = {3, 4, 5, 6}。 答案与解析： 1. 绘制两个有重叠部分的圆，分别表示集合A和集合B。 2. 在重叠部分填入元素3和4，集合A独有的部分填入1和2，集合B独有的部分填入5和6。 例题十 问题：设全集U = {a, b, c, d, e, f}, 集合A = {a, c, e}, 求A的补集A'。 答案与解析： 1. A' = U - A = {b, d, f}。 2. A'包含所有不属于集合A的元素。 例题十一 问题：证明集合A = {x | x是自然数，x ≤ 5} 是集合B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 的子集。 答案与解析： 1. 集合A = {1, 2, 3, 4, 5}。 2. 检查A中的每一个元素是否属于B： o 1 ∈ B o 2 ∈ B o 3 ∈ B o 4 ∈ B o 5 ∈ B 3. 因此，A ⊂ B。 4. 结论：真。 例题十二 问题：设全集U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}，集合A = {2, 4, 6, 8, 10}，集合B = {1, 3, 5, 7, 9}，求A ∩ B。 答案与解析： 1. A = {2, 4, 6, 8, 10}。 2. B = {1, 3, 5, 7, 9}。 3. A ∩ B = Ø（空集），因为A和B没有共同的元素。 感 谢 观 看 32 $$