专题09 全等三角形模型之半角模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（浙教版）

专题09 全等三角形模型之半角模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.半角模型 2 48 模型1.半角模型 半角模型概念：半角模型是指是指有公共顶点，较小角等于较大角的一半，较大的角的两边相等，通过旋转，可将角进行等量转化，构造全等三角形的几何模型。 旋转的条件：具有公共端点的等线段； 旋转的方法：以公共端点为旋转中心，相等的两条线段的夹角为旋转角； 旋转的目的：将分散的条件集中，隐蔽的关系显现。 1）正方形半角模型 条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°； 结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB； ⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 证明：将△CBE绕点C逆时针旋转90°至△CDG，即△CBE≌△CDG， ∴∠ECB=∠GCD，∠B=∠CDG=90°，BE＝DG，CE＝CG； ∵ABCD是正方形，∴∠B=∠CDF=∠BCD=90°，BA＝DA；∴∠CDG+∠CDF=180°，故F、D、G共线。 ∵∠ECF=45°，∴∠BCE+∠DCF=45°，∴∠GCD+∠DCF=∠GCF=45°，∴∠ECF=∠GCF=45°， ∵CF＝CF，∴△CEF≌△CGF，∴EF＝GF，∵GF＝DG＋DF，∴GF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋DF+AE＋AF=AB＋AD=2AB，过点C作CH⊥EF，则∠CHE=90°， ∵△CEF≌△CGF，∴CD=CH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△CBE≌△CHE， ∴∠HEC=∠CBE，同理可证：∠HFC=∠DFC，即CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 2）等腰直角三角形半角模型 条件：ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°； 结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，即△BAD≌△CAG， ∴∠BAD=∠CAG，∠B=∠GCA=45°，AD＝AG，BD＝CG； ∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠GAE=45°，∴∠DAE=∠GAE=45°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△GAE，∴ED＝EG，∵ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∴∠ECG=90°，∴GE2＝GC2＋EC2,∴DE2＝BD2＋EC2； 3）等边三角形半角模型（120°-60°型） 条件：ABC是等边三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°； 结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋CF；④AEF的周长=2AB； ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 证明：将△DBE绕点D顺时针旋转120°至△DCG，即△BDE≌△CDG， ∴∠EDB=∠GDC，∠DBE=∠DCG，BE＝GC，DE＝DG； ∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠GDC+∠CDF=∠GDF=60°，故∠GDF=∠EDF， ∵DF＝DF，∴△EDF≌△GDF，∴EF＝GF，∵GF＝CG＋CF，∴GF＝BE＋CF，∴EF＝BE＋CF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋CF+AE＋AF=AB＋AC=2AB， 过点D作DH⊥EF，DM⊥GF，则∠DHF=∠DMF=90°， ∵△EDF≌△GDF，∴DM=DH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△DHF≌△DMF， ∴∠HFD=∠MFD，同理可证：∠BED=∠FED，即DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 4）等边三角形半角模型（60°-30°型） 条件：ABC是等边三角形，∠EAD=30°； 结论：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°；④DE2＝(BD＋EC)2+； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转60°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠FCA=60°，AD＝AF，BD＝CF； ∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=30°，∴∠DAE=∠FAE=30°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE，∴ED＝EF，∵ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ECF=120°， 过点F作FH⊥BC，∴∠FCH=60°，∠CFH=30°，∴CH=CF=BD，FH=CF=BD， ∵在直角三角形中：FE2＝FH2＋EH2,∴DE2＝(BD＋EC)2+(BD)2； 5）任意角度的半角模型（-型） 条件：∠BAC=，AB=AC，∠DAE=； 结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。 证明：将△ABD绕点A逆时针°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠BCA=∠FCA=90°-，AD＝AF，BD＝CF；∴∠ECF=∠BCA+∠FCA=180°-。 ∵∠BAC=，∠DAE=，∴∠BAD+∠EAC=，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=，∴∠DAE=∠FAE=， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE。 例1．（23-24八年级下·山东威海·期中）已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点，，当绕点旋转到时（如图），易证． (1)当绕点旋转到时（如图），上面的结论还成立吗？说明理由． (2)当绕点旋转到如图的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？说明理由． (3)图中，若，，求的面积为 ． 例2．（23-24九年级上·四川绵阳·开学考试）如图，在正方形中，点E、F分别在边、上，且，分别连接、，与、分别相交于点M、N． (1)求证：．为了证明“”，小明延长至点G，使，请画出辅助线并按小明的思路写出证明过程；(2)若正方形的边长为6，，求的长． 例3．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）定义：如图1，点、把线段分割成、和，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割点． (1)已知点、是线段的勾股分割点，，，若，，则______． (2)如图，在等腰直角中，，、为直线上两点，满足． ①如图2，点、在线段上，求证：点、是线段的勾股分割点； ②如图3，若点在线段上，点在线段的延长线上，，，求的长． 例4．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）四边形是由等边和顶角为的等腰排成，将一个角顶点放在处，将角绕点旋转，该交两边分别交直线、于、，交直线于、两点．（1）当、都在线段上时（如图1），请证明：； （2）当点在边的延长线上时（如图2），请你写出线段，和之间的数量关系，并证明你的结论；（3）在（1）的条件下，若，，请直接写出的长为 ． 例5．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在等边中，在边上取两点、，使．若，，，则以、、为边长的三角形的形状为（　　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随的值而定 例6．（2024·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2．∠BAC＝120°，点D，E都在边BC上，∠DAE＝60°，若BD＝2CE，求DE的长． 例7．（23-24九年级上·江西南昌·期中）（1）如图①，在直角中，，，点D为边上一动点（与点B不重合），连接，将绕点A逆时针旋转，得到，那么之间的位置关系为__________，数量关系为__________；（2）如图②，在中，，，D，E（点D，E不与点B，C重合）为上两动点，且．求证：．（3）如图③，在中，，，，，D，E（点D，E不与点B，C重合）为上两动点，若以为边长的三角形是以为斜边的直角三角形时，求的长． 例8.（2023.上海七年级期中）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB = BC = DC，点E、F分别在AD、AB上，且.（1）求证：；（2）连结AC，若，求的度数. 例9．（23-24八年级上·贵州毕节·期末）如图①，在四边形中，，点E，F分别是边，上的点，且，求线段之间的数量关系．小明提供了这样的思路：延长到点G，使，连接．    (1)根据小明的思路，请直接写出线段之间的数量关系：___________； (2)如图②，在四边形中，，点E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立说明理由．(3)如图③，在四边形中，，点E，F分别是边延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 1．（23-24八年级下·浙江·期末）如图，在中，，点D、E都在边上，．若，则的长是（    ） A．1 B． C． D． 2．（23-24八年级上·河南驻马店·期中）如图，是边长为1的等边三角形，为顶角的等腰三角形，点、分别在、上，且，则的周长为（    ） A．2 B．3 C．1.5 D．2.5 3．（2023·成都市·八年级期末）如图，在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E在BD上，连接CE，作EF⊥CE交AB于点F，交AC于点G，连接CF交BD于点H，延长CE交AD于点M，连接FM，则下列结论：①点E到AB，BC的距离相等；②∠FCE = 45°；③∠DMC =∠FMC；④若DM = 2，则BF = ．正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2024·山东淄博·二模）如图， 正方形 的边长为4， 点 M 在 延长线上， 作 交 延长线于点 N，则 的长为 ． 5．（23-24八年级上·广西柳州·期末）如图，是等边三角形，M、N分别在边、的延长线上，点D为外一点，且，，，当时，的周长 ．    6．（23-24八年级下·吉林白城·阶段练习）如图，在等腰直角的斜边上任取两点，使，记，则以为边长的三角形的形状是 ． 7．（2023·广东河源·八年级校考阶段练习）如图，在边长为6的正方形内作，交于点，交于点，连接，将绕点顺时针旋转90°得到，若，则的长为______． 8．（2024·广西·模拟预测） 实践与探究：小明在课后研究正方形与等腰直角三角形叠放后各个线段间的数量关系．已知正方形的边长为6，等腰的锐角顶点A与正方形的顶点A重合，将此三角形绕A点旋转，，两边分别交直线，于M，N，旋转过程中，等腰的边与正方形没有交点．(1)如图1，当M，N分别在边，上时，小明通过测量发现，他给出了如下的证明：过A作交延长线于G，连接，如图2，易证，则有．请你帮助小明后续证明； (2)如图3，当M，N分别在，的延长线上时，请直接写出，，之间的数量关系； (3) 在旋转过程中，等腰直角三角形的一边正好经过正方形边上的中点P，求出此时的长． 9．（23-24九年级上·黑龙江双鸭山·期末）已知四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点、. 当绕点旋转到时（如图1），易证：.（不必证明） (1)当绕点旋转到时，在图2种情况下，求证：. (2)当绕点旋转到时，在图3种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明. 10．（24-25九年级上·江苏·课后作业）在正方形中，，将绕点A按顺时针方内旋转，它的两边分别交 (或它们的延长线)于点M，N． (1)当绕点A旋转到时（如图①），求证：； (2)当绕点A旋转到时（如图②），线段和之间的数量关系是________．      11．（23-24九年级·河南·自主招生）（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D，E为BC边上的点，且∠DAE＝60°．若BD＝1，EC＝2，求DE的长． 思考如下：注意到条件中有AB＝AC，∠BAC＝120°，不妨把△ACE绕点A顺时针旋转120°，得到△ABF，连接DF．易证△ADF≌△ADE，从而将线段BD，DE，EC集中在了△FBD中，因为∠FBD的度数是　 　．BF＝EC＝2，BD＝1，所以DE的长为　 　； 类比探究（2）如图2，在△ABC中，∠CAB＝60°，AB＝AC，D，E为BC边上的点，且∠DAE＝30°，BD＝2，EC＝，求DE的长； 拓展应用（3）如图3，E是正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，F是BC边上一点，且∠EDF＝45°，若AB＝2，请直接写出当DE取最小值时CF的长． 12．（2023春·江苏·八年级期中）请阅读下列材料：已知：如图（1）在中，，点D、E分别为线段上两动点，若．探究线段三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把绕点A顺时针旋转，得到，连接，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题： (1)猜想三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想； (2)当动点E在线段上，动点D运动在线段延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；(3)已知：如图（3），等边三角形中，点D、E在边上，且，请你找出一个条件，使线段能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数． 13．（2023·江苏南京·九年级专题练习）（1）阅读理解：如图1，在正方形ABCD中，若E，F分别是CD，BC边上的点，∠EAF＝45°，则我们常会想到：把△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．易证△AEF≌_______，得出线段BF，DE，EF之间的数量关系为____________； （2）类比探究：如图2，在等边△ABC中，D，E为BC边上的点，∠DAE＝30°，BD=3，EC=4，求线段DE的长；（3）拓展应用：如图3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC＝150°，点D，E在BC边上，∠DAE＝75°，若DE是等腰△ADE的腰长，请直接写出BD：CE的值． 14．（2023·重庆·八年级校考阶段练习）（1）如图1，在四边形中，，分别是边上的点，且．求证：； （2）如图2，在四边形中，，分别是边上的点，且；求证：， （3）如图3，在四边形中，，分别是边延长线上的点，且，写出之间的数量关系，并证明你的结论． 15．（2022·湖北十堰·中考真题）【阅读材料】如图①，四边形中，，，点，分别在，上，若，则． 【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形．已知，，，，道路，上分别有景点，，且，，若在，之间修一条直路，则路线的长比路线的长少_________（结果取整数，参考数据：）． 16．（2023·江西·一模）如图（1），在四边形ABCD中，，，以点A为顶点作，且，连接EF．(1)观察猜想    如图（2），当时， ①四边形ABCD是______（填特殊四边形的名称）；②BE，DF，EF之间的数量关系为______．(2)类比探究    如图（1），线段BE，DF，EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．(3)解决问题    如图（3），在中，，，点D，E均在边BC上，且，若，求DE的长． 17．（2023·福建泉州·统考二模）（1）如图1，在正方形中，，分别为，边上的点，且满足，连接，则，，之间的数量关系为________． （2）如图2，将沿斜边翻折得到，，分别为，边上的点，且，试猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想． （3）将两个全等的等腰直角和按如图3所示摆放在一起，为公共顶点，，，与边的交点分别为，，求证：．         18．（2023·江苏盐城·八年级校联考期末）旋转变换是解决数学问题中一种重要的思想方法，通过旋转变换可以将分散的条件集中到一起，从而方便解决问题.已知，中，，，点、在边上，且. （1）如图，当时，将绕点顺时针旋转到的位置，连接， ①求的度数；②求证：； （2）如图，当时，猜想、、的数量关系，并说明理由； （3）如图，当，，时，请直接写出的长为________. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 全等三角形模型之半角模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.半角模型 2 48 模型1.半角模型 半角模型概念：半角模型是指是指有公共顶点，较小角等于较大角的一半，较大的角的两边相等，通过旋转，可将角进行等量转化，构造全等三角形的几何模型。 旋转的条件：具有公共端点的等线段； 旋转的方法：以公共端点为旋转中心，相等的两条线段的夹角为旋转角； 旋转的目的：将分散的条件集中，隐蔽的关系显现。 1）正方形半角模型 条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°； 结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB； ⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 证明：将△CBE绕点C逆时针旋转90°至△CDG，即△CBE≌△CDG， ∴∠ECB=∠GCD，∠B=∠CDG=90°，BE＝DG，CE＝CG； ∵ABCD是正方形，∴∠B=∠CDF=∠BCD=90°，BA＝DA；∴∠CDG+∠CDF=180°，故F、D、G共线。 ∵∠ECF=45°，∴∠BCE+∠DCF=45°，∴∠GCD+∠DCF=∠GCF=45°，∴∠ECF=∠GCF=45°， ∵CF＝CF，∴△CEF≌△CGF，∴EF＝GF，∵GF＝DG＋DF，∴GF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋DF+AE＋AF=AB＋AD=2AB，过点C作CH⊥EF，则∠CHE=90°， ∵△CEF≌△CGF，∴CD=CH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△CBE≌△CHE， ∴∠HEC=∠CBE，同理可证：∠HFC=∠DFC，即CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 2）等腰直角三角形半角模型 条件：ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°； 结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，即△BAD≌△CAG， ∴∠BAD=∠CAG，∠B=∠GCA=45°，AD＝AG，BD＝CG； ∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠GAE=45°，∴∠DAE=∠GAE=45°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△GAE，∴ED＝EG，∵ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∴∠ECG=90°，∴GE2＝GC2＋EC2,∴DE2＝BD2＋EC2； 3）等边三角形半角模型（120°-60°型） 条件：ABC是等边三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°； 结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋CF；④AEF的周长=2AB； ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 证明：将△DBE绕点D顺时针旋转120°至△DCG，即△BDE≌△CDG， ∴∠EDB=∠GDC，∠DBE=∠DCG，BE＝GC，DE＝DG； ∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠GDC+∠CDF=∠GDF=60°，故∠GDF=∠EDF， ∵DF＝DF，∴△EDF≌△GDF，∴EF＝GF，∵GF＝CG＋CF，∴GF＝BE＋CF，∴EF＝BE＋CF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋CF+AE＋AF=AB＋AC=2AB， 过点D作DH⊥EF，DM⊥GF，则∠DHF=∠DMF=90°， ∵△EDF≌△GDF，∴DM=DH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△DHF≌△DMF， ∴∠HFD=∠MFD，同理可证：∠BED=∠FED，即DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 4）等边三角形半角模型（60°-30°型） 条件：ABC是等边三角形，∠EAD=30°； 结论：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°；④DE2＝(BD＋EC)2+； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转60°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠FCA=60°，AD＝AF，BD＝CF； ∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=30°，∴∠DAE=∠FAE=30°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE，∴ED＝EF，∵ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ECF=120°， 过点F作FH⊥BC，∴∠FCH=60°，∠CFH=30°，∴CH=CF=BD，FH=CF=BD， ∵在直角三角形中：FE2＝FH2＋EH2,∴DE2＝(BD＋EC)2+(BD)2； 5）任意角度的半角模型（-型） 条件：∠BAC=，AB=AC，∠DAE=； 结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。 证明：将△ABD绕点A逆时针°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠BCA=∠FCA=90°-，AD＝AF，BD＝CF；∴∠ECF=∠BCA+∠FCA=180°-。 ∵∠BAC=，∠DAE=，∴∠BAD+∠EAC=，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=，∴∠DAE=∠FAE=， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE。 例1．（23-24八年级下·山东威海·期中）已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点，，当绕点旋转到时（如图），易证． (1)当绕点旋转到时（如图），上面的结论还成立吗？说明理由． (2)当绕点旋转到如图的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？说明理由． (3)图中，若，，求的面积为 ． 【答案】(1)成立，理由见解析；(2)，理由见解析；(3)． 【分析】()证明，得到，，进而可证明，得到，则可得出结论； ()证明，得到，，进而可证明，得到，则可得出结论；()根据全等三角形的性质得出，由题意求出的面积即可得出答案；本题考查了正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 【详解】（1）解：上面的结论还成立，理由如下： 如图，在的延长线上，截取，连接， 在和中， ，∴，∴，， ∵，，∴，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴； （2）解：，理由如下：如图，在上截取，连接 在和中，，∴， ∴，，∴ ，即， ∵，∴ 在和中，，∴， ∴，∴，∴； （3）解：∵ ，∴， ∴的面积，∴的面积为，故答案为：． 例2．（23-24九年级上·四川绵阳·开学考试）如图，在正方形中，点E、F分别在边、上，且，分别连接、，与、分别相交于点M、N． (1)求证：．为了证明“”，小明延长至点G，使，请画出辅助线并按小明的思路写出证明过程；(2)若正方形的边长为6，，求的长． 【答案】(1)见解析；(2)3． 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．（1）延长到G，使，连接，证得，，最后利用等量代换求得答案即可；（2）根据（1）中的结论，设正方形的边长为x，列方程可解答． 【详解】（1）证明：延长到G，使，连接，如图， ∵四边形是正方形，∴，，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴， ∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴； （2）解：∵，，∴，由（1）知：， 在中，根据勾股定理得：，∴，∴． 例3．（23-24八年级上·浙江金华·阶段练习）定义：如图1，点、把线段分割成、和，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割点． (1)已知点、是线段的勾股分割点，，，若，，则______． (2)如图，在等腰直角中，，、为直线上两点，满足． ①如图2，点、在线段上，求证：点、是线段的勾股分割点； ②如图3，若点在线段上，点在线段的延长线上，，，求的长． 【答案】(1)(2)①见详解；② 【分析】（1）根据勾股分割点的定义得，代入计算即可．（2）①将绕点C逆时针旋转得到，连接，，利用证明，得，即可证明结论；②将绕点C逆时针旋转得到，连接，由①同理可证，得，从而有，将数据代入计算可得． 【详解】（1）解：∵是直角三角形，，，∴， ∴，∴．故答案为：； （2）①证明：∵，，∴， 将绕点C逆时针旋转得到，连接，， ∴，，，∴， ∵，，∴， ∵，，∴∴， ∵，∴，∴点、是线段的勾股分割点； ②将绕点C逆时针旋转得到，连接， ∴，，，，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，∴，∴． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了旋转的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，解题的关键是充分利用旋转的性质得到相等的量． 例4．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）四边形是由等边和顶角为的等腰排成，将一个角顶点放在处，将角绕点旋转，该交两边分别交直线、于、，交直线于、两点．（1）当、都在线段上时（如图1），请证明：； （2）当点在边的延长线上时（如图2），请你写出线段，和之间的数量关系，并证明你的结论；（3）在（1）的条件下，若，，请直接写出的长为 ． 【答案】（1）证明见解析；（2）．证明见解析；（3）． 【分析】（1）把△DBM绕点D逆时针旋转120°得到△DAQ，根据旋转的性质可得DM=DQ，AQ=BM，∠ADQ=∠BDM，然后求出∠QDN=∠MDN，利用“边角边”证明△MND和△QND全等，根据全等三角形对应边相等可得MN=QN，再根据AQ+AN=QN整理即可得证；（2）把△DAN绕点D顺时针旋转120°得到△DBP，根据旋转的性质可得DN=DP，AN=BP，根据∠DAN=∠DBP=90°可知点P在BM上，然后求出∠MDP=60°，然后利用“边角边”证明△MND和△MPD全等，根据全等三角形对应边相等可得MN=MP，从而得证； （3）过点M作MH∥AC交AB于G，交DN于H，可以证明△BMG是等边三角形，根据等边三角形的性质可得BM=MG=BG，根据全等三角形对应角相等可得∠QND=∠MND，再根据两直线平行，内错角相等可得∠QND=∠MHN，然后求出∠MND=∠MHN，根据等角对等边可得MN=MH，然后求出AN=GH，再利用“角角边”证明△ANE和△GHE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=GE，再根据BG=AB-AE-GE代入数据进行计算即可求出BG，从而得到BM的长． 【详解】解：（1）证明：把△DBM绕点D逆时针旋转120°得到△DAQ， 则DM=DQ，AQ=BM，∠ADQ=∠BDM，∠QAD=∠CBD=90°，∴点Q在直线CA上， ∵∠QDN=∠ADQ+∠ADN=∠BDM+∠ADN=∠ABD-∠MDN=120°-60°=60°，∴∠QDN=∠MDN=60°， ∵在△MND和△QND中，，∴△MND≌△QND（SAS），∴MN=QN， ∵QN=AQ+AN=BM+AN，∴BM+AN=MN； （2）：. 理由如下：如图，把△DAN绕点D顺时针旋转120°得到△DBP，则DN=DP，AN=BP， ∵∠DAN=∠DBP=90°，∴点P在BM上， ∵∠MDP=∠ADB-∠ADM-∠BDP=120°-∠ADM-∠ADN=120°-∠MDN=120°-60°=60°，∴∠MDP=∠MDN=60°， ∵在△MND和△MPD中，，∴△MND≌△MPD（SAS），∴MN=MP， ∵BM=MP+BP，∴MN+AN=BM； （3）如图，过点M作MH∥AC交AB于G，交DN于H， ∵△ABC是等边三角形，∴△BMG是等边三角形，∴BM=MG=BG， 根据（1）△MND≌△QND可得∠QND=∠MND，根据MH∥AC可得∠QND=∠MHN， ∴∠MND=∠MHN，∴MN=MH，∴GH=MH-MG=MN-BM=AN，即AN=GH， ∵在△ANE和△GHE中，，∴△ANE≌△GHE（AAS），∴AE=EG=2.1， ∵AC=7，∴AB=AC=7，∴BG=AB-AE-EG=7-2.1-2.1=2.8，∴BM=BG=2.8．故答案为：2.8 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，根据等边三角形的性质，旋转变换的性质作辅助线构造全等三角形是解题的关键，（3）作平行线并求出AN=GH是解题的关键，也是本题的难点． 例5．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在等边中，在边上取两点、，使．若，，，则以、、为边长的三角形的形状为（　　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随的值而定 【答案】C 【分析】将绕点顺时针旋转得到，连接，根据等边三角形的性质及各角之间的等量关系可得：，然后依据全等三角形的判定定理可得，由全等三角形的性质可将、、放在中，即可确定三角形的形状． 【详解】解：如图所示：将绕点顺时针旋转得到，连接， 由旋转性质可知，，，，， ∵是等边三角形，∴，∵，∴， ∴，∴， 在与中，，∴，∴， ∵，，∴， ∴以、、为边长的三角形的形状为钝角三角形,故选：C． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 例6．（2024·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2．∠BAC＝120°，点D，E都在边BC上，∠DAE＝60°，若BD＝2CE，求DE的长． 【答案】DE＝3﹣3． 【分析】将绕点A逆时针旋转120°得到，取CF的中点G，连接EF、EG，由AB＝AC、，可得出，根据旋转的性质可得出，结合可得出为等边三角形，进而得出为直角三角形，通过解直角三角形求出的长度以及证明全等找出，设，则， ，在中利用勾股定理可得出，利用，可求出以及的值； 【详解】解：将绕点A逆时针旋转120°得到，取的中点G，连接，如图所示： 过点作于点，如图，∵，，∴， 在中， ，∴， ∴，∴，∴，∴． ∵，∴，∴为等边三角形， ∴，∴，∴为直角三角形， ∵，∴，∴． 在和中，，∴，∴． 设，则，在中，， ＝x，∴，∴，∴，答：的长为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、解一元方程以及旋转的性质，通过勾股定理找出关于x的方程是解题的关键． 例7．（23-24九年级上·江西南昌·期中）（1）如图①，在直角中，，，点D为边上一动点（与点B不重合），连接，将绕点A逆时针旋转，得到，那么之间的位置关系为__________，数量关系为__________；（2）如图②，在中，，，D，E（点D，E不与点B，C重合）为上两动点，且．求证：．（3）如图③，在中，，，，，D，E（点D，E不与点B，C重合）为上两动点，若以为边长的三角形是以为斜边的直角三角形时，求的长． 【答案】（1）CE⊥BD；CE=BD；（2）见解析；（3）． 【分析】（1）根据，AD=AE，运用SAS证明，根据全等三角形性质得出对应边相等，对应角相等，即可得到线段CE、BD之间的关系； （2）把绕点A顺时针旋转，得到 ，连接DG，由SAS得到，可得DE=DG，即可把EF、BE、FC放到一个直角三角形中，从而根据勾股定理即可证明； （3）把绕点A顺时针旋转，得到，可得AF=AE，，EC=BF，，由SAS可证，可得DF=DE，由以BD、DE、EC为边的三角形是直角三角形，分两种情况讨论，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：（1）CE与BD位置关系是CE⊥BD，数量关系是CE=BD ∵绕点A逆时针旋转，得到∴ ∴，∴ ∵BA=CA，AD=AE∴∴且CE=BD ∵∴，即CE⊥BD 故答案为：CE⊥BD；CE=BD； （2）如图②，把绕点A顺时针旋转，得到，连接DG， 则∴AG=AE，BG=CE， ∵，∴ 在和中，∴∴ED=GD ∵∴即 （3）如图③，把绕点A顺时针旋转，得到， ∴∴AF=AE，，EC=BF， ∵，AB=AC∴∴ ∵，∴，且AF=AE，AD=AD∴∴DF=DE ∵以BD、DE、EC为边的三角形是直角三角形 ∴以BD、DF、BF为边的三角形是直角三角形 ∴是直角三角形 若，且∴BF=2BD=EC， ∵∴ ∴∴ 若，且∴BD=2BF=2EC， ∵ ∴∴BD=2，∴ 【点睛】此题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质、勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 例8.（2023.上海七年级期中）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB = BC = DC，点E、F分别在AD、AB上，且.（1）求证：；（2）连结AC，若，求的度数. 【答案】（1）见解析；（2）20° 【详解】（1）旋转△BCF使BC与CD重合， ∵AD∥BC，AB=DC，即梯形ABCD为等腰梯形， ∴∠A=∠ADC，∠A+∠ABC=180°，∴∠ADC+∠ABC=180°， 由旋转可知：∠ABC=∠CDF′，∴∠ADC+∠CDF′=180°，即∠ADF′为平角，∴A，D，F′共线， ∵∴∠BCF+∠ECD=∠ECF=∠BCD， ∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF，∴△FCE≌△F′CE， ∴EF′=EF=DF′+ED，∴BF=EF-ED； （2）∵AB=BC，∠B=80°，∴∠ACB=50°，由（1）得∠FEC=∠DEC=70°， 又∵AD//BC，∴∠ECB=70°，而∠B=∠BCD=80°， ∴∠DCE=10°，∴∠BCF=30°，∴∠ACF=∠BCA-∠BCF=20°． 例9．（23-24八年级上·贵州毕节·期末）如图①，在四边形中，，点E，F分别是边，上的点，且，求线段之间的数量关系．小明提供了这样的思路：延长到点G，使，连接．    (1)根据小明的思路，请直接写出线段之间的数量关系：___________； (2)如图②，在四边形中，，点E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立说明理由．(3)如图③，在四边形中，，点E，F分别是边延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)(2)（1）中的结论仍然成立，理由见解析 (3)结论不成立，应当是，理由见解析 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线． （1）如图中，延长到，使，连接．利用全等三角形的性质解决问题即可．（2）思路和作辅助线的方法与（1）完全一样，如图中，延长至M，使，连接．只不过证明三角形和全等中，证明时，用到的等角的补角相等，其他的都一样．因此与（1）的结果完全一样．（3）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在上截取，使，连接．根据（1）的证法，我们可得出，那么．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的． 【详解】（1）解：如图中，延长到G，使，连接，   ，，． ．．． 又，，， ．．故答案为：； （2）解：（1）中的结论仍然成立． 证明：如图中，延长至M，使，连接．   ，，， 在与中，，．． ，．，即． 在与中，，． ，即，． （3）解：结论不成立，应当是． 证明：如图中，在上截取，使，连接． ，，． 在与中，．． ．． ，∴．， ， 1．（23-24八年级下·浙江·期末）如图，在中，，点D、E都在边上，．若，则的长是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】由等腰直角三角形性质和勾股定理求出，，根据旋转的性质得出，，，求出，证，由全等三角形的性质可得，设，则，，，根据，列方程，求出即可． 【详解】解：中，，， ，，把绕点旋转到，使和重合，连接． 则，，， ，，， 在和中，，， ，，∴∠FBD=45°+45°=90°， 设，则，，x， ，，，，故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，旋转的性质，等腰直角三角形的应用，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 2．（23-24八年级上·河南驻马店·期中）如图，是边长为1的等边三角形，为顶角的等腰三角形，点、分别在、上，且，则的周长为（    ） A．2 B．3 C．1.5 D．2.5 【答案】A 【分析】延长AC到E，使CE=BM，连接DE，求证△BMD≌△CED，可得∠BDM=∠CDE，进而求证△MDN≌△EDN可得MN=NE=NC+CE=NC+BM，即可计算△AMN周长． 【详解】如图所示，延长AC到E,使CE=BM,连接DE, ∵BD=DC,∠BDC=120°，∴∠CBD=∠BCD=30°， ∵∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ABD=∠ACD=∠DCE=90°， 在△BMD和△CED中， ∴△BMD≌△CED（SAS），∴∠BDM=∠CDE，DM=DE， 又∵∠MDN=60°，∴∠BDM+∠NDC=60°，∴∠EDC+∠NDC=∠NDE=60°=∠NDM， 在△MDN和△EDN中，∴△MDN≌△EDN(SAS)，∴MN=NE=NC+CE=NC+BM， 所以△AMN周长=AM+AN+MN=AM+AN+NC+BM=AB+AC=2. 故选A. 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，做辅助线构造全等三角形，利用等边三角形的性质得到全等条件是解决本题的关键. 3．（2023·成都市·八年级期末）如图，在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E在BD上，连接CE，作EF⊥CE交AB于点F，交AC于点G，连接CF交BD于点H，延长CE交AD于点M，连接FM，则下列结论：①点E到AB，BC的距离相等；②∠FCE = 45°；③∠DMC =∠FMC；④若DM = 2，则BF = ．正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】过E点作、，由正方形对角线平分每一组对角以及角平分线性质可得点E到AB，BC的距离相等，故①正确；再证明（AAS）可得是等腰直角三角形，得，故②正确；然后延长MD至P，使，（SAS）再证明（SAS）即可得，故③正确；由全等三角形性质和勾股定理列方程可求． 【详解】解：如图1，过E点作、，∴， ∵在正方形ABCD中，，， ∴，即点E到AB，BC的距离相等，故①正确； ；∴，由∵，∴， ∴，∴（AAS）∴，∴，故②正确； 如图2，延长MD至P，使，连接，易证（SAS）∴，， ∵，∴，∴， 又∵，∴，∴，∴，，故③正确， 在边长为4的正方形ABCD中，，若，则， 设，则，， 在中，∴，解得：，故；④错误， 综上所述，正确的①②③，故选C． 【点睛】本题主要考查了正方形和三角形综合知识，解题关键是构造全都三角形转换边角关系． 4．（2024·山东淄博·二模）如图， 正方形 的边长为4， 点 M 在 延长线上， 作 交 延长线于点 N，则 的长为 ． 【答案】 【分析】在上取一点F使得，连接，先证明得到，，进而可以证明得到，设，则，，在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，在上取一点F使得，连接， ∵四边形是正方形，∴，， ∴，∴，， ∴，∴， 又∵，∴，又∵，∴，∴， 设，∵，，∴，， ∴，在中，，∴， 解得，∴，故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理和解一元二次方程，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 5．（23-24八年级上·广西柳州·期末）如图，是等边三角形，M、N分别在边、的延长线上，点D为外一点，且，，，当时，的周长 ．    【答案】20 【分析】在上截取点，使，连接，首先根据等边三角形的性质，可得，可证得，再根据，可证得，，，根据角之间的关系，可证得，再根据，可证得，得出，根据即可求出结果． 【详解】证明：如图：在上截取点，使，连接，    ∵，∴，为等边三角形，， 又，且，， ， 在和中，，，， ，，，又，， ，， 在与中，，，， ，， ∴ ．故答案为：20． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 6．（23-24八年级下·吉林白城·阶段练习）如图，在等腰直角的斜边上任取两点，使，记，则以为边长的三角形的形状是 ． 【答案】直角三角形 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，难度较大，注意掌握旋下列情形常实施旋转变换：（1）图形中出现等边三角形或正方形，把旋转角分别定为、；(2)图形中有线段的中点，将图形绕中点旋转，构造中心对称全等三角形；（3）图形中出现有公共端点的线段，将含有相等线段的图形绕公共端点，旋转两相等线段的夹角后与另一相等线段重合． 把绕点逆时针旋转，得，这样就集中成一个与相等的角，在一条直线上的、、集中为，只需判定的形状即可． 【详解】解：如图：把绕点逆时针旋转，得，则， ， 又，∴，， 又，， ∴以、、为边长的三角形的形状是直角三角形．故答案为：直角三角形． 7．（2023·广东河源·八年级校考阶段练习）如图，在边长为6的正方形内作，交于点，交于点，连接，将绕点顺时针旋转90°得到，若，则的长为______． 【答案】5 【分析】由题意易得，则有，然后可证，则有，设，则有，进而根据勾股定理可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，且边长为6， ∴，∵绕点顺时针旋转90°得到， ∴，∴点G、B、E三点共线， ∵，∴，∵AE=AE，∴，∴， 设，则有，∴在Rt△ECF中，由勾股定理可得， 即，解得：，∴；故答案为5． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质及勾股定理，熟练掌握正方形的性质、旋转的性质及勾股定理是解题的关键． 8．（2024·广西·模拟预测） 实践与探究：小明在课后研究正方形与等腰直角三角形叠放后各个线段间的数量关系．已知正方形的边长为6，等腰的锐角顶点A与正方形的顶点A重合，将此三角形绕A点旋转，，两边分别交直线，于M，N，旋转过程中，等腰的边与正方形没有交点．(1)如图1，当M，N分别在边，上时，小明通过测量发现，他给出了如下的证明：过A作交延长线于G，连接，如图2，易证，则有．请你帮助小明后续证明； (2)如图3，当M，N分别在，的延长线上时，请直接写出，，之间的数量关系； (3) 在旋转过程中，等腰直角三角形的一边正好经过正方形边上的中点P，求出此时的长． 【答案】(1)见解析(2)(3)或10 【分析】（1）根据全等三角形的性质可得，，进而证得，可得，即可得证；（2）在上截取，连接，根据正方形的性质可得，，可证，可得，，利用等量代换可得，证得，可得，即可得出结论； （3）分类讨论：若等腰直角三角形的腰经过边上的中点，此时P与M重合，中，利用勾股定理列方程求解即可；若等腰直角三角形的底经过边上的中点， 则M，N分别在，的延长线上，过A作交于G，连接，证得，可得，则，，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵，∴，， ∵，，∴，即， 又∵，∴，∴，即； （2）解：，理由如下：在上截取，连接， ∵四边形是正方形，∴，， 又∵，∴，∴，， ∵，∴，∵，∴， 又∵，∴，∴，∵，∴； （3）解：若等腰直角三角形的腰经过边上的中点，此时P与M重合，如图， ∵，∴，则，∴， 在中，，即，解得； 若等腰直角三角形的底经过边上的中点，则M，N分别在，的延长线上，如图， 过A作交于G，连接，易证， 与（1）类似，可证，得，设，则， ∵P是中点，即，又，， ∴，则，， 在中，，即，解得，∴， 综上所述，或10． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质、勾股定理、解一元一次方程，熟练掌握全等三角形的性质与判定，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 9．（23-24九年级上·黑龙江双鸭山·期末）已知四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点、. 当绕点旋转到时（如图1），易证：.（不必证明） (1)当绕点旋转到时，在图2种情况下，求证：. (2)当绕点旋转到时，在图3种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明. 【答案】(1)证明见解析；(2)不成立， 【分析】（1）延长到点，使，连接，先根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，再根据三角形全等的判定定理证出，推出，最后根据线段的等量关系即可得证； （2）在上截取，连接，先根据三角形全等的判定定理证出，根据全等三角形的性质可得，进而可证，推出，最后根据线段的等量关系即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，延长到点，使，连接， ，， 在和中，，，， ，， ，即，， 在和中，，，， ，． （2）不成立， 证明如下：如图，在上截取，连接， ，， 在和中，，，， ，， ，， 在和中，，，， ，即． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 10．（24-25九年级上·江苏·课后作业）在正方形中，，将绕点A按顺时针方内旋转，它的两边分别交 (或它们的延长线)于点M，N． (1)当绕点A旋转到时（如图①），求证：； (2)当绕点A旋转到时（如图②），线段和之间的数量关系是________．      【答案】(1)见解析；(2)． 【分析】本题考查了正方形的性质，角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，此题比较典型，具有一定的代表性，且证明过程类似，同时通过做此题培养了学生的猜想能力和类比推理能力． （1）过作于，根据全等求出，，求出，根据角平分线的性质求出，再求出答案即可； （2）延长到，使，连接，根据证，推出，，求出，根据证出即可． 【详解】（1）证明：如图，过作于，    四边形是正方形，，，， ，， 在和中，， ，， ，，，， ，，，即，； （2）解：线段，和之间数量关系是，理由如下： 延长至，使得，连接，  四边形是正方形，，， 在和中，，， ，，， ，， 在和中，，， ，，故答案为：； 11．（23-24九年级·河南·自主招生）（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D，E为BC边上的点，且∠DAE＝60°．若BD＝1，EC＝2，求DE的长． 思考如下：注意到条件中有AB＝AC，∠BAC＝120°，不妨把△ACE绕点A顺时针旋转120°，得到△ABF，连接DF．易证△ADF≌△ADE，从而将线段BD，DE，EC集中在了△FBD中，因为∠FBD的度数是　 　．BF＝EC＝2，BD＝1，所以DE的长为　 　； 类比探究（2）如图2，在△ABC中，∠CAB＝60°，AB＝AC，D，E为BC边上的点，且∠DAE＝30°，BD＝2，EC＝，求DE的长； 拓展应用（3）如图3，E是正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，F是BC边上一点，且∠EDF＝45°，若AB＝2，请直接写出当DE取最小值时CF的长． 【答案】（1）60°，；（2）；（3） 【分析】（1）把△ACE绕点A顺时针旋转120°，得到△ABF，连接DF，则AE＝AF，∠EAF＝120°，∠ABF＝∠ACE＝30°，证△ADE≌△ADF（SAS），得DE＝DF，再由勾股定理求出DF＝，即可得出答案； （2）先证△ABC是等边三角形，得∠CAB＝∠B＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC，将△ABD绕点A逆时针旋转60°，得到△ACF，连接EF，再证△EAF≌△EAD（SAS），得EF＝DE，过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于点G，然后由含30°角的直角三角形的性质得CG＝1，则EG＝，即可解决问题； （3）将△CDF绕点D顺时针旋转90°，得到△ADG，取AB的中点O，连接OD、OE、OF，则OA＝OB＝AB＝1，由DE≥OD﹣OE，得DE取最小值时，点E在OD上，再由旋转的性质得DF＝DG，∠CDF＝∠ADG，然后证△ODF≌△ODG（SAS），得OF＝OG，设CF的长为x，则OF＝OG＝1+x，BF＝2﹣x，在Rt△OBF中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝∠ACB＝×（180°﹣120°）＝30°， 把△ACE绕点A顺时针旋转120°，得到△ABF，连接DF，如图1所示： 则AE＝AF，∠EAF＝120°，∠ABF＝∠ACE＝30°， ∴∠FBD＝∠ABF+∠ABC＝30°+30°＝60°，∠DAF＝120°﹣∠DAE＝120°﹣60°＝60°，∴∠DAE＝∠DAF， 在△ADE和△ADF中，，∴△ADE≌△ADF（SAS），∴DE＝DF， ∵BF＝EC＝2，BD＝1，∴BD＝BF，在BF上取中点M，连接DM， 则BM＝BF＝1，∴BM＝BD，∵∠FBD＝60°，∴△△BDM是等边三角形， ∴∠BDM＝∠BMD＝60°，DM＝BM＝FM，∴∠MDF＝∠MDF＝∠BMD＝30°， ∴∠FDB＝∠BDM+∠MDF＝90°，∴，∴DE＝，故答案为：60°，； （2）∵∠CAB＝60°，AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠CAB＝∠B＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC， 将△ABD绕点A逆时针旋转60°，得到△ACF，连接EF，如图2所示： 则AF＝AD，FC＝BD＝2，∠ACF＝∠B＝60°，∠CAF＝∠BAD， ∵∠CAB＝60°，∠DAE＝30°，∴∠CAE+∠BAD＝30°， ∴∠EAF＝∠CAE+∠CAF＝∠CAE+∠BAD＝30°＝∠DAE， 在△EAF和△EAD中，，∴△EAF≌△EAD（SAS），∴EF＝DE， 过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于点G， ∵∠ECF＝∠ACE+∠ACF＝60°+60°＝120°，∴∠FCG＝60°，∴∠CFG＝30°， ∴CG＝FC＝×2＝1，∴EG＝EC+CG＝+1＝， 在Rt△FCG中，由勾股定理得：， 在Rt△FEG中，由勾股定理得：，∴； （3）将△CDF绕点D顺时针旋转90°，得到△ADG，取AB的中点O，连接OD、OE、OF，如图3所示： 则OA＝OB＝AB＝1，∵DE≥OD﹣OE，∴DE取最小值时，点E在OD上，如图4所示： 由旋转的性质得：DF＝DG，∠CDF＝∠ADG， ∵∠EDF＝45°，∴∠CDF+∠ADO＝90°﹣45°＝45°， ∴∠ODG＝∠ADO+∠ADG＝∠ADO+∠CDF＝45°，∴∠ODF＝∠ODG， 在△ODF和△ODG中，，∴△ODF≌△ODG（SAS），∴OF＝OG， 设CF的长为x，则OF＝OG＝OA+AG＝1+x，BF＝BC﹣CF＝AB﹣CF＝2﹣x， 在Rt△OBF中，由勾股定理得：（2﹣x）2+12＝（x+1）2， 解得：x＝，∴当DE取最小值时CF的长为． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 12．（2023春·江苏·八年级期中）请阅读下列材料：已知：如图（1）在中，，点D、E分别为线段上两动点，若．探究线段三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把绕点A顺时针旋转，得到，连接，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题： (1)猜想三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想； (2)当动点E在线段上，动点D运动在线段延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；(3)已知：如图（3），等边三角形中，点D、E在边上，且，请你找出一个条件，使线段能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数． 【答案】(1)(2)不变，见解析(3)， 【分析】（1）将绕A顺时针旋转后成，根据题意证明，故，因为中，，所以，从而可得，在中，由勾股定理得线段之间的等量关系式；（2）解法一：将沿直线对折，得，连接，根据全等三角形的性质得到，，然后进一步证明，然后根据全等三角形的性质求解即可；解法二：将绕点A顺时针旋转得到．连接，根据题意证明，进而求解即可； （3）与（2）类似，以为一边，作，在上截取，证明出，然后根据等腰三角形的概念求解即可． 【详解】（1），证明如下： 将绕A顺时针旋转后成，连接， ∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，∴， 在中，∴；故答案为：； （2）关系式仍然成立．证明：将沿直线对折，得，连接 ∴，∴，， 又∵，∴，∵， ，∴， 又∵，∴， ∴ ∴，∴在中，，即； 解法二：将绕点A顺时针旋转得到．连接． ∴，∵，∴， ∵，∴，∵，∴，∴， ∵∴； （3）当时，线段能构成一个等腰三角形． 如图，与（2）类似，以为一边，作，在上截取， 可得．∴．∴． 若使为等腰三角形，只需，即， ∴当时，线段能构成一个等腰三角形，且顶角为． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，解题的关键是通过旋转变换构造全等三角形． 13．（2023·江苏南京·九年级专题练习）（1）阅读理解：如图1，在正方形ABCD中，若E，F分别是CD，BC边上的点，∠EAF＝45°，则我们常会想到：把△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．易证△AEF≌_______，得出线段BF，DE，EF之间的数量关系为____________； （2）类比探究：如图2，在等边△ABC中，D，E为BC边上的点，∠DAE＝30°，BD=3，EC=4，求线段DE的长；（3）拓展应用：如图3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC＝150°，点D，E在BC边上，∠DAE＝75°，若DE是等腰△ADE的腰长，请直接写出BD：CE的值． 【答案】（1）；；（2）；（3）或 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，进而得到，由全等三角形的性质可得，即可解答；（2）将绕点顺时针旋转，得到，连接，过点作，交的延长线于点，进而证≌，得到，即可求出和，再根据勾股定理即可解答；（3）用的方法，分类讨论是等腰的腰长，求出：的值即可． 【详解】解：（1）把绕点顺时针旋转得到，可知：，，， ，， 在和中，≌，， ，，故答案为；． （2）如图，将△ACE绕点A顺时针旋转60°，得到△ABF，连接DF，过点F作FG⊥BC，交CB的延长线于点G，如图所示： ∵△ABC是等边三角形，∴∠CAB＝∠ABC＝∠C＝60°，AB=AC， ∵∠DAE＝30°，∴∠CAE+∠BAD＝30°，∴∠DAF＝30°， 又∵AD=AD，∴△ADE≌△ADF，∴DE=DF，∵∠ABF＝∠ABC＝∠C＝60°，∠FBG＝60°， ∵BF=CE=4，∠G＝90°，∴BG＝BF=2，FG＝=， ∴DG＝5，∴在Rt△DFG中，DF=，∴线段DF的长为． （3）如图，将△ACE绕点A顺时针旋转150°，得到△ABG，连接DG，过点D作DH⊥BG，交BG的于点H，∠DAE＝75°，若DE是等腰△ADE的腰，∠ADE为顶角，则∠ADE=30°， ∵AB=AC，∠BAC=150°，∴∠ABC=∠C=（180°-150°）=15°， ∴由旋转性质得△ABG≌△ACE，∴BG=CE，AG=AE，∠ABG=∠C=15°，∴∠DBG=30°， ∵将△ACE绕点A顺时针旋转150°，得到△ABG，∴∠EAG=150°， ∵∠DAE＝75°，∴∠GAD=75°，∴∠ADE=30°， 在△ADE和△ADG中，，∴△ADE≌△ADG，∴∠GDA=∠ADE=30°，∴∠GDE=60°， ∵∠GDE=∠GBD+∠BGD，∴∠BGD=60°-30°=30°，∴BD=DG，∴BH=GH=BG=CE， 在Rt△BHD中，设HD=x，∵∠DBG=30°，∴BD=2x，由勾股定理得：BH=， ∴BG=2，∴CE=2，∴BD：CE=：3； 如图将△ACE绕点A顺时针旋转150°，得到△ABM，连接DM，过点M作MN⊥BD，交BD于点N， ∵∠DAE＝75°，若DE是等腰△ADE的腰长，∠E为顶角，∴∠E=30°， ∵AB=AC，∠BAC＝150°，∴∠C=∠ABC=15°，∴∠CAE=15°， ∴AE=CE=DE，∴∠BAD=150°-75°-15°=60°，由旋转性质可知△ABM≌△ACE， ∴∠BAM=∠CAE=15°，∠ABM=∠ACE=15°，AM=AE，BM=CE，∴∠MAD=15°+60°=75°=∠DAE， 在△MAD和△EAD中，，∴△MAD≌△EAD，∴DM=DE=CE=BM， ∵MN⊥BD，∴BN=DN=BD，∵∠MBD=∠ABM＋∠ABC=15°+15°=30°， ∴在Rt△BNM中 ，设MN=a，∴BM=2a，∴CE=2a， 由勾股定理得：BN=，∴BD=2a，∴BD：CE=2a：2a=：1=． 【点睛】本题考查了四边形的综合题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 14．（2023·重庆·八年级校考阶段练习）（1）如图1，在四边形中，，分别是边上的点，且．求证：； （2）如图2，在四边形中，，分别是边上的点，且；求证：， （3）如图3，在四边形中，，分别是边延长线上的点，且，写出之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）；理由见解析 【分析】（1）延长到G，使，连接．证明，可得，进而可得结论；（2）延长至M，使，连接．证明．可得．然后根据，证明．可得．进而可以得到结论；（3）在上截取，使，连接．证明．可得．然后可得出，那么． 【详解】（1）证明：如图1中，延长到G，使，连接． ∵，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∵，∴； （2）证明：如图2，延长至M，使，连接． ∵，∴， 在与中，，∴，∴， ∵，在与中，，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴； （3）解：．证明：如图3，在上截取，使，连接． ∵，∴． 在与中，，∴．∴． ∴， ∴，∴． ∵，∴．∴，∵，∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转变换的思想添加辅助线，构造全等三角形解决问题，解题时注意一些题目虽然图形发生变化，但是证明思路和方法是类似的，属于中考压轴题． 15．（2022·湖北十堰·中考真题）【阅读材料】如图①，四边形中，，，点，分别在，上，若，则． 【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形．已知，，，，道路，上分别有景点，，且，，若在，之间修一条直路，则路线的长比路线的长少_________（结果取整数，参考数据：）． 【答案】370 【分析】延长交于点，根据已知条件求得,进而根据含30度角的直角三角形的性质，求得，，从而求得的长，根据材料可得，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，连接， ，，，，， 是等边三角形，,, 在中，，， ，，， 中，，， ， ， ，中， 是等腰直角三角形 由阅读材料可得， 路线的长比路线的长少．答案：370． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，理解题意是解题的关键． 16．（2023·江西·一模）如图（1），在四边形ABCD中，，，以点A为顶点作，且，连接EF．(1)观察猜想    如图（2），当时， ①四边形ABCD是______（填特殊四边形的名称）；②BE，DF，EF之间的数量关系为______．(2)类比探究    如图（1），线段BE，DF，EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．(3)解决问题    如图（3），在中，，，点D，E均在边BC上，且，若，求DE的长． 【答案】(1)①正方形；②BE+ DF=EF(2)详见解析(3)详见解析 【分析】（1）①根据正方形的判定定理即可得出； ②延长CD至点G，使得DG=BE，证得，得出，由，证得，从而得出BE，DF，EF之间的数量关系；（2）同（1）②即可得出BE，DF，EF之间的数量关系；（3）作,且，证得，同（1）②证得，在中，由勾股定理可解得DE的长． （1）解：①∵，∴四边形ABCD是矩形，又∵，∴矩形ABCD是正方形． ②如下图，延长CD至点G，使得DG=BE， ∵，，∴，∴， ∴，，，∵，∴， ∴，即， 又∵，∴，∴，即∴． （2）如下图，延长CD至点H，使得DH=BE，∵，∴， 同（1）②的证明方法得，同理证，从而得． （3）如图过点C作,且， 在中， 由， ， ∴，∴，∴， 同（1）②的证明方法得，∴， ∵，，，， 设，则， 在中，由勾股定理得，，，解得，即． 【点睛】本题考查了特殊的平行四边形的判定、全等三角形的性质和判定及勾股定理的应用，熟练应用相关定理和性质是解决本题的关键． 17．（2023·福建泉州·统考二模）（1）如图1，在正方形中，，分别为，边上的点，且满足，连接，则，，之间的数量关系为________． （2）如图2，将沿斜边翻折得到，，分别为，边上的点，且，试猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想． （3）将两个全等的等腰直角和按如图3所示摆放在一起，为公共顶点，，，与边的交点分别为，，求证：．         【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）证明见解析 【分析】(1) 将绕点顺时针旋转到的位置，证出，进而证出，得出结论；(2) 将绕点顺时针旋转到的位置，证出，进而证出，得出结论；(3) 将绕点顺时针旋转至的位置，证出，由勾股定理得出结论． 【详解】解：（1）． 理由如下： 如图，将绕点顺时针旋转到的位置，    由旋转可得，．，． 在和中，，∴，∴． ∵，∴． （2），理由如下： 如图，将绕点顺时针旋转到的位置，    由旋转可得，，． ∵，∴，，三点共线． ∵，∴，∴． 在和中，，∴，∴． ∵，∴． （3）证明：如图，将绕点顺时针旋转至的位置，    则，，，旋转角．连接，在和中， ∵，，．∴，∴． ∵，∴，∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．其中准确作出辅助图形是解题关键． 18．（2023·江苏盐城·八年级校联考期末）旋转变换是解决数学问题中一种重要的思想方法，通过旋转变换可以将分散的条件集中到一起，从而方便解决问题.已知，中，，，点、在边上，且. （1）如图，当时，将绕点顺时针旋转到的位置，连接， ①求的度数；②求证：； （2）如图，当时，猜想、、的数量关系，并说明理由； （3）如图，当，，时，请直接写出的长为________. 【答案】（1）①，②见解析；（2）；见解析，（3）. 【分析】（1）①由旋转得，，，通过求出∠BAD+∠CAE=30°，即可得答案；②通过证明∠DAF=∠DAE，利用SAS即可证明△ADE≌△ADF；（2）如图，将绕点顺时针旋转到的位置，连接根据等腰直角三角形的性质可得∠C=∠ABC=45°，由旋转的性质可得，，即可证明∠DBF=90°，由（1）可知△ADE≌△ADF，可得DF=DE，根据勾股定理即可得答案；（3）如图，将绕点顺时针旋转120°到△AGB的位置，连接，过D作DH⊥BG于H，同（2）可得∠GBD=60°，DG=DE，可得∠BDH=30°，利用含30°角的直角三角形的性质可得BH的长，即可得GH的长，利用勾股定理可得DH的长，在Rt△DHG中，利用勾股定理求出DG的长，进而根据△AGD≌△AEC即可得答案. 【详解】（1）①由旋转得，，， ∵ ∴ ②∵∠DAE=30°，∠DAF=30°，∴∠DAF=∠DAE 在和中 ∴ （2） 如图，将绕点顺时针旋转到的位置，连接 ∴， 由（1）得 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴在中， ∴ （3）如图，将绕点顺时针旋转120°到△AGB的位置，连接过D作DH⊥BG于H， ∴BG=CE=5，∠C=∠ABG，∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠C=∠ABC=30°， ∴∠GBD=∠ABG+∠ABC=30°+30°=60°，∵DH⊥BG，∴∠BDH=30°， ∴BH=BD=4×=2，DH===2， ∴GH=BG-BH=5-2=3，由（1）可知△AGD≌△AEC，∴DG=DE， 在Rt△DHG中，DG===，∴DE=DG=.故答案为 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定，根据题意正确找出旋转后的对应边是解题关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$