专题09 全等三角形模型之半角模型-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版）

专题09 全等三角形模型之半角模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.半角模型 2 48 模型1.半角模型 半角模型概念：半角模型是指是指有公共顶点，较小角等于较大角的一半，较大的角的两边相等，通过旋转，可将角进行等量转化，构造全等三角形的几何模型。 旋转的条件：具有公共端点的等线段； 旋转的方法：以公共端点为旋转中心，相等的两条线段的夹角为旋转角； 旋转的目的：将分散的条件集中，隐蔽的关系显现。 1）正方形半角模型 条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°； 结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB； ⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 证明：将△CBE绕点C逆时针旋转90°至△CDG，即△CBE≌△CDG， ∴∠ECB=∠GCD，∠B=∠CDG=90°，BE＝DG，CE＝CG； ∵ABCD是正方形，∴∠B=∠CDF=∠BCD=90°，BA＝DA；∴∠CDG+∠CDF=180°，故F、D、G共线。 ∵∠ECF=45°，∴∠BCE+∠DCF=45°，∴∠GCD+∠DCF=∠GCF=45°，∴∠ECF=∠GCF=45°， ∵CF＝CF，∴△CEF≌△CGF，∴EF＝GF，∵GF＝DG＋DF，∴GF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋DF+AE＋AF=AB＋AD=2AB，过点C作CH⊥EF，则∠CHE=90°， ∵△CEF≌△CGF，∴CD=CH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△CBE≌△CHE， ∴∠HEC=∠CBE，同理可证：∠HFC=∠DFC，即CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 2）等腰直角三角形半角模型 条件：ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°； 结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，即△BAD≌△CAG， ∴∠BAD=∠CAG，∠B=∠GCA=45°，AD＝AG，BD＝CG； ∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠GAE=45°，∴∠DAE=∠GAE=45°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△GAE，∴ED＝EG，∵ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∴∠ECG=90°， 3）等边三角形半角模型（120°-60°型） 条件：ABC是等边三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°； 结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋CF；④AEF的周长=2AB； ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 证明：将△DBE绕点D顺时针旋转120°至△DCG，即△BDE≌△CDG， ∴∠EDB=∠GDC，∠DBE=∠DCG，BE＝GC，DE＝DG； ∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠GDC+∠CDF=∠GDF=60°，故∠GDF=∠EDF， ∵DF＝DF，∴△EDF≌△GDF，∴EF＝GF，∵GF＝CG＋CF，∴GF＝BE＋CF，∴EF＝BE＋CF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋CF+AE＋AF=AB＋AC=2AB， 过点D作DH⊥EF，DM⊥GF，则∠DHF=∠DMF=90°， ∵△EDF≌△GDF，∴DM=DH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△DHF≌△DMF， ∴∠HFD=∠MFD，同理可证：∠BFD=∠FED，即DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 4）等边三角形半角模型（60°-30°型） 条件：ABC是等边三角形，∠EAD=30°； 结论：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转60°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠FCA=60°，AD＝AF，BD＝CF； ∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=30°，∴∠DAE=∠FAE=30°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE，∴ED＝EF，∵ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ECF=120°， 5）任意角度的半角模型（-型） 条件：∠BAC=，AB=AC，∠DAE=； 结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。 证明：将△ABD绕点A逆时针°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠BCA=∠FCA=90°-，AD＝AF，BD＝CF；∴∠ECF=∠BCA+∠FCA=180°-。 ∵∠BAC=，∠DAE=，∴∠BAD+∠EAC=，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=，∴∠DAE=∠FAE=， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE。 例1．（23-24九年级上·辽宁朝阳·阶段练习）已知，正方形中，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于点M、N，当绕点A旋转到时（如图1），求证    (1)下面是小东同学的证明过程，请补充完整． 证明：延长至点P，使，连接，如图1， (2)当旋转到时（如图2），线段、和之间的数量关系 ，若正方形的周长为4，则的周长是 ：(3)当绕点A旋转到如图3的位置时，，线段、和之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 例2．（23-24八年级上·陕西西安·期末）四边形是由等边和顶角为的等腰拼成，将一个角的顶点放在点D处，将角绕D点旋转，该角两边分别交直线于点M、N，交直线于点F，E． (1)当点M，N分别在边上时（如图1），直接写出之间的数量关系 ； (2)当点M，N分别在边的延长线上时（如图2），猜想线段之间有何数量关系？请进行证明；(3)在（2）的条件下，若，请你求出的长． 例3．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在等边中，在边上取两点、，使．若，，，则以、、为边长的三角形的形状为（　　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随的值而定 例4.（2023.上海七年级期中）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB = BC = DC，点E、F分别在AD、AB上，且.（1）求证：；（2）连结AC，若，求的度数. 例5．（23-24八年级上·重庆九龙坡·期中）（1）如图1，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，请直接写出图中线段、、之间的数量关系______． （2）如图2，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． （3）如图3，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，线段、、之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，并说明理由． 1．（2024·重庆·一模）如图，正方形中，是上一点，是延长线上一点，，连接为中点，连接．若，则（    ）    A． B． C． D． 2．（2024.广西八年级期中）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以点D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连结MN，则△AMN的周长是　 　． 3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）【问题背景】在四边形中，，，，分别是、上的点，且，试探究图中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是______． 【探索延伸】在四边形中如图，，，分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】如图，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里小时的速度，前进小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且两舰艇之间的夹角为，此时两舰艇之间的距离是______海里．若此时两个舰艇，同时接到命令，都以海里小时的速度前进并尽快汇合，最短需要______小时． 4．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）（1）【阅读理解】如图，已知中，，点、是边上两动点，且满足， 求证：． 我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． 小明的解题思路：将半角两边的三角形通过旋转，在一边合并成新的，然后证明与半角形成的全等，再通过全等的性质进行等量代换，得到线段之间的数量关系． 请你根据小明的思路写出完整的解答过程． 证明：将绕点旋转至，使与重合，连接，…… （2）【应用提升】如图，正方形（四边相等，四个角都是直角）的边长为4，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线点运动；点点同时出发，以相同的速度沿射线方向向右运动，当点到达点时，点也停止运动，连接，过点作的垂线交过点平行于的直线于点，与相交于点，连接，设点运动时间为， ①求的度数； ②试探索在运动过程中的周长是否随时间的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值． 5．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，中两边、上有两点M、N，D为外一点，且，，，． (1)猜想线段、、之间的数量关系并证明；(2)若，，求的周长．      6．（23-24八年级上·重庆渝北·期中）如图，在中，，，边沿着过点的某条直线对折得到，连接，以为边在左侧作，其中，，与交于点，连接． (1)如图1，连接，当点在外部时，试说明； (2)如图2，连接，当点在的斜边上时，试判断的形状并说明理由； (3)如图3，当点在的内部时，若点为的中点，且，求的长． 7．（2023·广东八年级课时练习）四边形是由等边和顶角为的等腰排成，将一个角顶点放在处，将角绕点旋转，该交两边分别交直线、于、，交直线于、两点．（1）当、都在线段上时（如图1），请证明：； （2）当点在边的延长线上时（如图2），请你写出线段，和之间的数量关系，并证明你的结论；（3）在（1）的条件下，若，，请直接写出的长为 ． 8．（2024·重庆市育才中学二模）回答问题 （1）【初步探索】如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是_______________； （2）【灵活运用】如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）【拓展延伸】知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系． 9．（2024·江西景德镇·九年级期中）（1）【特例探究】如图1，在四边形中，，，，，猜想并写出线段，，之间的数量关系，证明你的猜想； （2）【迁移推广】如图2，在四边形中，，，．请写出线段，，之间的数量关系，并证明； （3）【拓展应用】如图3，在海上军事演习时，舰艇在指挥中心（处）北偏东20°的处．舰艇乙在指挥中心南偏西50°的处，并且两舰艇在指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正西方向以80海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/时的速度前进，半小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为75°．请直接写出此时两舰艇之间的距离． 10．（2024·浙江·九年级阶段练习）如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC，DC于点E，F，连接EF．（1）猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想； （2）在图1中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系； （3）如图2，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E，F分别是BC，CD边上的点，∠EAF=∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M，试猜想AM与AB之间的数量关系．并证明你的猜想． 11．（2024·湖北武汉·九年级期中）（1）如图1，正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点，EF＝BE+DF，请你直接写出∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系：　 　． （2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，，点E、F分别是边BC、CD上的点，EF＝BE+FD，请问：（1）中结论是否成立？若成立，请证明结论． （3）若（2）中的点E、点F分别在边CB、CD的延长线上（如图3所示），其他条件不变，则下列两个关于∠EAF与∠BAD的关系式，哪个是正确的？请证明结论． ①∠EAF＝∠BAD；②2∠EAF+∠BAD＝360°． 12．（2023秋·江苏扬州·八年级校考期末）综合与实践 （1）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝45°，则MN，AM，CN的数量关系为 　 　． （2）如图2，在四边形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，试探索线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明． （3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN＝∠ABC，试探究线段MN、AM、CN的数量关系为 　 　． 13．（2023春·浙江·八年级专题练习）（1）如图①，在正方形中，、分别是、上的点，且，连接，探究、、之间的数量关系，并说明理由； （2）如图②，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 14．（2024·山西吕梁·九年级校考期中）在练习课上，慧慧同学遇到了这样一道数学题：如图，把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，∠ACD＝30°，以D为顶点作∠MDN，交边AC，BC于点M，N，∠MDN＝60°，连接MN． 探究AM，MN，BN三条线段之间的数量关系． 慧慧分析：可先利用旋转，把其中的两条线段“接起来”，再通过证明两三角形全等，从而探究出AM，MN，BN三条线段之间的数量关系． 慧慧编题：在编题演练环节，慧慧编题如下： 如图（1），把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，∠ACD＝45°，以D为顶点作∠MDN，交边AC，BC于点M，N，，连接MN． （1）先猜想AM，MN，BN三条线段之间的数量关系，再证明． （2）∠MDN绕点D旋转，当M，N分别在CA，BC的延长线上，完成图（2），其余条件不变，直接写出AM，MN，BN三条线段之间的数量关系． 请你解答：请对慧慧同学所编制的问题进行解答． 15．（2024·河北邢台·九年级期末）学完旋转这一章，老师给同学们出了这样一道题： “如图1，在正方形ABCD中，∠EAF＝45°，求证：EF＝BE＋DF．” 小明同学的思路：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°． 把△ABE绕点A逆时针旋转到的位置，然后证明，从而可得． ，从而使问题得证． (1)【探究】请你参考小明的解题思路解决下面问题：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，，直接写出EF，BE，DF之间的数量关系．(2)【应用】如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，，求证：EF＝BE＋DF． 16．（2023春·成都·七年级专题练习）在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，在探究图1中线段，，之间的数量关系过程中． (1)你尝试添加了怎样的辅助线？成功了吗？（真实大胆作答即可得分） (2)小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系是 ．(3)如图3，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？并证明；(4)如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以70海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 17．（2023·绵阳市·八年级专题练习）如图，正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交、或它们的延长线于点、． (1)当绕点旋转到时如图，证明：；(2)绕点旋转到时如图，求证：；(3)当绕点旋转到如图位置时，线段、和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明． 18．（2023春·重庆南岸·八年级校考阶段练习）（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程） （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 全等三角形模型之半角模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.半角模型 2 48 模型1.半角模型 半角模型概念：半角模型是指是指有公共顶点，较小角等于较大角的一半，较大的角的两边相等，通过旋转，可将角进行等量转化，构造全等三角形的几何模型。 旋转的条件：具有公共端点的等线段； 旋转的方法：以公共端点为旋转中心，相等的两条线段的夹角为旋转角； 旋转的目的：将分散的条件集中，隐蔽的关系显现。 1）正方形半角模型 条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°； 结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB； ⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 证明：将△CBE绕点C逆时针旋转90°至△CDG，即△CBE≌△CDG， ∴∠ECB=∠GCD，∠B=∠CDG=90°，BE＝DG，CE＝CG； ∵ABCD是正方形，∴∠B=∠CDF=∠BCD=90°，BA＝DA；∴∠CDG+∠CDF=180°，故F、D、G共线。 ∵∠ECF=45°，∴∠BCE+∠DCF=45°，∴∠GCD+∠DCF=∠GCF=45°，∴∠ECF=∠GCF=45°， ∵CF＝CF，∴△CEF≌△CGF，∴EF＝GF，∵GF＝DG＋DF，∴GF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋DF+AE＋AF=AB＋AD=2AB，过点C作CH⊥EF，则∠CHE=90°， ∵△CEF≌△CGF，∴CD=CH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△CBE≌△CHE， ∴∠HEC=∠CBE，同理可证：∠HFC=∠DFC，即CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 2）等腰直角三角形半角模型 条件：ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°； 结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，即△BAD≌△CAG， ∴∠BAD=∠CAG，∠B=∠GCA=45°，AD＝AG，BD＝CG； ∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠GAE=45°，∴∠DAE=∠GAE=45°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△GAE，∴ED＝EG，∵ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∴∠ECG=90°， 3）等边三角形半角模型（120°-60°型） 条件：ABC是等边三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°； 结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋CF；④AEF的周长=2AB； ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 证明：将△DBE绕点D顺时针旋转120°至△DCG，即△BDE≌△CDG， ∴∠EDB=∠GDC，∠DBE=∠DCG，BE＝GC，DE＝DG； ∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠GDC+∠CDF=∠GDF=60°，故∠GDF=∠EDF， ∵DF＝DF，∴△EDF≌△GDF，∴EF＝GF，∵GF＝CG＋CF，∴GF＝BE＋CF，∴EF＝BE＋CF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋CF+AE＋AF=AB＋AC=2AB， 过点D作DH⊥EF，DM⊥GF，则∠DHF=∠DMF=90°， ∵△EDF≌△GDF，∴DM=DH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△DHF≌△DMF， ∴∠HFD=∠MFD，同理可证：∠BFD=∠FED，即DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 4）等边三角形半角模型（60°-30°型） 条件：ABC是等边三角形，∠EAD=30°； 结论：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转60°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠FCA=60°，AD＝AF，BD＝CF； ∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=30°，∴∠DAE=∠FAE=30°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE，∴ED＝EF，∵ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ECF=120°， 5）任意角度的半角模型（-型） 条件：∠BAC=，AB=AC，∠DAE=； 结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。 证明：将△ABD绕点A逆时针°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠BCA=∠FCA=90°-，AD＝AF，BD＝CF；∴∠ECF=∠BCA+∠FCA=180°-。 ∵∠BAC=，∠DAE=，∴∠BAD+∠EAC=，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=，∴∠DAE=∠FAE=， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE。 例1．（23-24九年级上·辽宁朝阳·阶段练习）已知，正方形中，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于点M、N，当绕点A旋转到时（如图1），求证    (1)下面是小东同学的证明过程，请补充完整． 证明：延长至点P，使，连接，如图1， (2)当旋转到时（如图2），线段、和之间的数量关系 ，若正方形的周长为4，则的周长是 ：(3)当绕点A旋转到如图3的位置时，，线段、和之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 【答案】(1)证明见解析(2)，2(3)，证明见解析 【分析】（1）先证明，可得，，再证明，可得，再利用线段的和差可得结论；（2）如图所示，延长至P，使得，连接，再仿照（1）的思路可得结论，再利用结论求解的周长即可；（3）在上截取，连接，由（1）知，则，，则，根据得，根据可证明，则，即． 【详解】（1）证明：延长至点P，使，连接，如图1，    ∵四边形是正方形，∴，， 在和中，∵，∴， ∴，，∴， ∵，∴， ∵在和中，∴，∴， ∵，∴， （2）如图2所示，延长至P，使得，连接，    ∵四边形是正方形，∴，， 在和中，∵，∴， ∴，，∴， ∵，∴，∵在和中， ∴，∴，∵，∴， ∵正方形的周长为4，∴，∴； （3），理由如下：解：如图3，在上截取，连接，    由（1）知，∴，， ∴，∵，∴． 在和中，∴，∴， 即，∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，线段的和差关系，解题的关键是掌握这些知识点，添加适当的辅助线． 例2．（23-24八年级上·陕西西安·期末）四边形是由等边和顶角为的等腰拼成，将一个角的顶点放在点D处，将角绕D点旋转，该角两边分别交直线于点M、N，交直线于点F，E． (1)当点M，N分别在边上时（如图1），直接写出之间的数量关系 ； (2)当点M，N分别在边的延长线上时（如图2），猜想线段之间有何数量关系？请进行证明；(3)在（2）的条件下，若，请你求出的长． 【答案】(1)(2)，证明见详解(3)10 【分析】（1）延长，在射线上截取，连接．先证明，得到，再证明，进而证明，从而得到，即可证明； （2）在线段上截取，连接．先证明，得到，再证明，进而证明，得到，即可证明； （3）作，交延长线于点H，延长交于点G．先证明是等边三角形，得到，再证明，，，从而得到，，进而证明，，得到，求出． 【详解】（1）解：如图1，延长，在射线上截取，连接． ∵是等边三角形，是等腰三角形，，∴，， ∴，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴，即．∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴．故答案为：； （2）答：．证明：如图，在线段上截取，连接． ∵是等边三角形，是等腰三角形，， ∴，，∴， ∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴，即． ∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴； （3）解：如图，作，交延长线于点H，延长交于点G． ∵，∴，，∴是等边三角形，∴， ∵，∴， ∵，，∴． ∵，∴，∴． ∵，∴，∴，∴， ∵，，，∴． ∵，∴，，∴， ∴，∴，∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，理解题意，根据已知条件添加适当辅助线，构造全等三角形是解题关键． 例3．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在等边中，在边上取两点、，使．若，，，则以、、为边长的三角形的形状为（　　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随的值而定 【答案】C 【分析】将绕点顺时针旋转得到，连接，根据等边三角形的性质及各角之间的等量关系可得：，然后依据全等三角形的判定定理可得，由全等三角形的性质可将、、放在中，即可确定三角形的形状． 【详解】解：如图所示：将绕点顺时针旋转得到，连接， 由旋转性质可知，，，，， ∵是等边三角形，∴，∵，∴， ∴，∴， 在与中，，∴，∴， ∵，，∴， ∴以、、为边长的三角形的形状为钝角三角形,故选：C． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 例4.（2023.上海七年级期中）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB = BC = DC，点E、F分别在AD、AB上，且.（1）求证：；（2）连结AC，若，求的度数. 【答案】（1）见解析；（2）20° 【详解】（1）旋转△BCF使BC与CD重合， ∵AD∥BC，AB=DC，即梯形ABCD为等腰梯形， ∴∠A=∠ADC，∠A+∠ABC=180°，∴∠ADC+∠ABC=180°， 由旋转可知：∠ABC=∠CDF′，∴∠ADC+∠CDF′=180°，即∠ADF′为平角，∴A，D，F′共线， ∵∴∠BCF+∠ECD=∠ECF=∠BCD， ∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF，∴△FCE≌△F′CE， ∴EF′=EF=DF′+ED，∴BF=EF-ED； （2）∵AB=BC，∠B=80°，∴∠ACB=50°，由（1）得∠FEC=∠DEC=70°， 又∵AD//BC，∴∠ECB=70°，而∠B=∠BCD=80°， ∴∠DCE=10°，∴∠BCF=30°，∴∠ACF=∠BCA-∠BCF=20°． 例5．（23-24八年级上·重庆九龙坡·期中）（1）如图1，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，请直接写出图中线段、、之间的数量关系______． （2）如图2，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． （3）如图3，在四边形中，，，、分别是边、延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，线段、、之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，并说明理由． 【答案】(1) (2)成立，见解析 (3)不成立， 【分析】（1）延长到点G，使得，先证明，再证明即可． （2）延长到点G，使得，先证明，再证明即可． （3）在截取，使得，先证明，再证明即可． 【详解】(1) 线段、、之间的数量关系是，理由如下：延长到点G，使得， 因为，，所以， 所以，所以，所以， 因为，所以， 所以，所以，所以， 所以，所以，所以， 所以，所以． (2) 线段、、之间的数量关系是，理由如下：延长到点G，使得， 因为，，所以， 所以，所以，所以， 因为，所以， 所以，所以，所以， 所以，所以，所以， 所以，所以． (3) 结论不成立，，理由如下：在截取，使得， 因为，，所以， 所以，所以，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以， 所以，所以，所以， 所以，所以． 【点睛】本题考查了半角模型，三角形全等的判定和性质，猜想问题，熟练掌握半角模型的实质，活用三角形全等的判定和性质是解题的关键． 1．（2024·重庆·一模）如图，正方形中，是上一点，是延长线上一点，，连接为中点，连接．若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取中点，连接，根据，，以及直角三角形，可证≌，从而得到，，可证得为等腰直角三角形，则有，根据三角形的外角定理有，，接着证为等腰直角三角形；设，，则，在中，为中位线，有，，，有，又，故为等腰直角三角形，，则，而，则可得，即可求解． 【详解】解：取中点，连接， ∵四边形是正方形，∴，， 在和中，∴≌， ∴，∴， ∴为等腰直角三角形，∴， ∵分别是和的外角，∴，， 设，，则，在中，、分别为、中点， ∴为中位线，∴，，， ，∴P， 又∴，∴，∴为等腰直角三角形，∴， ∴，而，∴．故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的外角定理等知识，作出辅助线，找到等腰直角三角形是求解的关键． 2．（2024.广西八年级期中）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以点D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连结MN，则△AMN的周长是　 　． 【分析】要求△AMN的周长，根据题目已知条件无法求出三条边的长，只能把三条边长用其它已知边长来表示，所以需要作辅助线，延长AB至F，使BF＝CN，连接DF，通过证明△BDF≌△CND，及△DMN≌△DMF，从而得出MN＝MF，△AMN的周长等于AB+AC的长． 【解答】解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°，∴∠BCD＝∠DBC＝30°， ∵△ABC是边长为4的等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝∠BCA＝60°， ∴∠DBA＝∠DCA＝90°，延长AB至F，使BF＝CN，连接DF， 在△BDF和△CND中，，∴△BDF≌△CND（SAS）， ∴∠BDF＝∠CDN，DF＝DN，∵∠MDN＝60°，∴∠BDM+∠CDN＝60°，∴∠BDM+∠BDF＝60°， 在△DMN和△DMF中，，∴△DMN≌△DMF（SAS），∴MN＝MF， ∴△AMN的周长是：AM+AN+MN＝AM+MB+BF+AN＝AB+AC＝6+6＝12．故答案为：12． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质；主要利用等边三角形和等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造另一个三角形是解题的关键． 3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）【问题背景】 在四边形中，，，，分别是、上的点，且，试探究图中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是______． 【探索延伸】 在四边形中如图，，，分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． 【结论运用】 如图，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里小时的速度，前进小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且两舰艇之间的夹角为，此时两舰艇之间的距离是______海里．若此时两个舰艇，同时接到命令，都以海里小时的速度前进并尽快汇合，最短需要______小时． 【答案】初步探索：；探索延伸：结论仍然成立，理由见解析；结论运用：，． 【分析】【初步探索】延长到，使连接， 先证明，再证明则可得到结论； 【探索延伸】延长到，使，连接，证明，再证明则可得到结论； 【结论运用】连接，延长交于点， 利用已知条件得到四边形中， 且符合具备的条件,则； 本题主要考查了四边形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 【详解】【初步探索】延长到，使连接，如图， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 【探索延伸】结论仍然成立：， 证明：延长到，使，连接，如图， ∵，， ∴， 在△ABE和△ADG中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 【结论运用】连接，延长交于点，如图， ∵，， ∴， ∵，， ∴四边形中，，且 ∴四边形符合探索延伸中的条件， ∴结论成立， 即（海里）， 此时两个舰艇，同时接到命令，都以海里小时的速度前进并尽快汇合，最短需要（小时）， 故答案为：；． 4．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）（1）【阅读理解】如图，已知中，，点、是边上两动点，且满足， 求证：． 我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． 小明的解题思路：将半角两边的三角形通过旋转，在一边合并成新的，然后证明与半角形成的全等，再通过全等的性质进行等量代换，得到线段之间的数量关系． 请你根据小明的思路写出完整的解答过程． 证明：将绕点旋转至，使与重合，连接，…… （2）【应用提升】如图，正方形（四边相等，四个角都是直角）的边长为4，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线点运动；点点同时出发，以相同的速度沿射线方向向右运动，当点到达点时，点也停止运动，连接，过点作的垂线交过点平行于的直线于点，与相交于点，连接，设点运动时间为， ①求的度数； ②试探索在运动过程中的周长是否随时间的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，试求这个定值． 【答案】（1）见解析；（2）①；②不变，2 【分析】（1）如图1，将绕点旋转至，使与重合，连接，根据旋转的性质结合已知可证，再根据三角形三边关系定理即可证得结论； （2）①如图2，根据已知结合正方形性质证得，推出，即可证出结论； ②如图3，延长到，使，连接，证出，得到，，证出，由全等三角形的性质得出，由此可得出的周长是定值8． 【详解】（1）如图1，将绕点旋转至，使与重合，连接， ∵绕点旋转至，∴∴，，， ∵，， ∴∴ ∵∴ ∵∴∴∵∴ （2）①如图2，由题意：∵四边形是正方形，∴， ∵∴ ∵∴ ∴ ∴ 在和中∵∴∴∴ ②的周长不随时间的变化而变化，如图3，延长到，使，连接， 在和中∵∴∴， ∵，∴，∴ 在和 中∵∴ ∴∴ ∵正方形（四边相等，四个角都是直角）的边长为4 ∴的周长∴的周长是定值8． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，学会添加常用辅助线，构造全等三角形是解决本题的关键． 5．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，中两边、上有两点M、N，D为外一点，且，，，．      (1)猜想线段、、之间的数量关系并证明；(2)若，，求的周长． 【答案】(1)；理由见解析(2)13 【分析】（1）延长，则的延长线上取，连接，证明，得出，，证明，得出，根据，即可得出答案； （2）根据，得出求出结果即可． 【详解】（1）解：；理由如下： 延长，则的延长线上取，连接，如图所示：    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，补角的性质，四边形内角和，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． 6．（23-24八年级上·重庆渝北·期中）如图，在中，，，边沿着过点的某条直线对折得到，连接，以为边在左侧作，其中，，与交于点，连接． (1)如图1，连接，当点在外部时，试说明； (2)如图2，连接，当点在的斜边上时，试判断的形状并说明理由； (3)如图3，当点在的内部时，若点为的中点，且，求的长． 【答案】(1)见解析(2)是等腰三角形；理由见解析(3) 【分析】（1）根据证明三角形全等即可； （2）是等腰三角形．证明即可； （3）延长到T，使得，连接，延长交于点M，证明是等腰三角形，推出点E是三角形的重心，可得，再证明，可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在和中 ， ∴． （2）解：结论：是等腰三角形．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （3）解：延长到T，使得，连接，延长交于点M，如图所示： ∵，， ∴（SAS） ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分， ∵， ∴点E是是重心， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的重心的性质，属于中考压轴题． 7．（2023·广东八年级课时练习）四边形是由等边和顶角为的等腰排成，将一个角顶点放在处，将角绕点旋转，该交两边分别交直线、于、，交直线于、两点．（1）当、都在线段上时（如图1），请证明：； （2）当点在边的延长线上时（如图2），请你写出线段，和之间的数量关系，并证明你的结论；（3）在（1）的条件下，若，，请直接写出的长为 ． 【答案】（1）证明见解析；（2）．证明见解析；（3）． 【分析】（1）把△DBM绕点D逆时针旋转120°得到△DAQ，根据旋转的性质可得DM=DQ，AQ=BM，∠ADQ=∠BDM，然后求出∠QDN=∠MDN，利用“边角边”证明△MND和△QND全等，根据全等三角形对应边相等可得MN=QN，再根据AQ+AN=QN整理即可得证； （2）把△DAN绕点D顺时针旋转120°得到△DBP，根据旋转的性质可得DN=DP，AN=BP，根据∠DAN=∠DBP=90°可知点P在BM上，然后求出∠MDP=60°，然后利用“边角边”证明△MND和△MPD全等，根据全等三角形对应边相等可得MN=MP，从而得证； （3）过点M作MH∥AC交AB于G，交DN于H，可以证明△BMG是等边三角形，根据等边三角形的性质可得BM=MG=BG，根据全等三角形对应角相等可得∠QND=∠MND，再根据两直线平行，内错角相等可得∠QND=∠MHN，然后求出∠MND=∠MHN，根据等角对等边可得MN=MH，然后求出AN=GH，再利用“角角边”证明△ANE和△GHE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=GE，再根据BG=AB-AE-GE代入数据进行计算即可求出BG，从而得到BM的长． 【详解】解：（1）证明：把△DBM绕点D逆时针旋转120°得到△DAQ， 则DM=DQ，AQ=BM，∠ADQ=∠BDM，∠QAD=∠CBD=90°，∴点Q在直线CA上， ∵∠QDN=∠ADQ+∠ADN=∠BDM+∠ADN=∠ABD-∠MDN=120°-60°=60°， ∴∠QDN=∠MDN=60°，∵在△MND和△QND中，， ∴△MND≌△QND（SAS），∴MN=QN，∵QN=AQ+AN=BM+AN，∴BM+AN=MN； （2）：.理由如下：如图，把△DAN绕点D顺时针旋转120°得到△DBP，则DN=DP，AN=BP， ∵∠DAN=∠DBP=90°，∴点P在BM上， ∵∠MDP=∠ADB-∠ADM-∠BDP=120°-∠ADM-∠ADN=120°-∠MDN=120°-60°=60°， ∴∠MDP=∠MDN=60°，∵在△MND和△MPD中，， ∴△MND≌△MPD（SAS），∴MN=MP，∵BM=MP+BP，∴MN+AN=BM； （3）如图，过点M作MH∥AC交AB于G，交DN于H， ∵△ABC是等边三角形，∴△BMG是等边三角形，∴BM=MG=BG， 根据（1）△MND≌△QND可得∠QND=∠MND，根据MH∥AC可得∠QND=∠MHN， ∴∠MND=∠MHN，∴MN=MH，∴GH=MH-MG=MN-BM=AN，即AN=GH， ∵在△ANE和△GHE中，，∴△ANE≌△GHE（AAS），∴AE=EG=2.1， ∵AC=7，∴AB=AC=7，∴BG=AB-AE-EG=7-2.1-2.1=2.8，∴BM=BG=2.8．故答案为：2.8 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，根据等边三角形的性质，旋转变换的性质作辅助线构造全等三角形是解题的关键，（3）作平行线并求出AN=GH是解题的关键，也是本题的难点． 8．（2024·重庆市育才中学二模）回答问题 （1）【初步探索】如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是_______________； （2）【灵活运用】如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）【拓展延伸】知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD，请直接写出∠EAF与∠DAB的数量关系． 【答案】（1）∠BAE+∠FAD=∠EAF；（2）仍成立，理由见解析；（3）∠EAF=180°-∠DAB 【分析】（1）延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF，据此得出结论； （2）延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF； （3）在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，先判定△ADG≌△ABE，再判定△AEF≌△AGF，得出∠FAE=∠FAG，最后根据∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，推导得到2∠FAE+∠DAB=360°，即可得出结论． 【详解】解：（1）∠BAE+∠FAD=∠EAF．理由： 如图1，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG， ∵∠B=∠ADF=90°，∠ADG=∠ADF=90°，∴∠B=∠ADG=90°， 又∵AB=AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE=∠DAG，AE=AG， ∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，∴△AEF≌△AGF（SSS）， ∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF；故答案为：∠BAE+∠FAD=∠EAF； （2）仍成立，理由：如图2，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG， ∵∠B+∠ADF=180°，∠ADG+∠ADF=180°，∴∠B=∠ADG， 又∵AB=AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE=∠DAG，AE=AG， ∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，∴△AEF≌△AGF（SSS）， ∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF； （3）∠EAF=180°-∠DAB．证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG， ∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°，∴∠ADC=∠ABE， 又∵AB=AD，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴AG=AE，∠DAG=∠BAE， ∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠FAE=∠FAG， ∵∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，∴2∠FAE+（∠GAB+∠BAE）=360°， ∴2∠FAE+（∠GAB+∠DAG）=360°，即2∠FAE+∠DAB=360°，∴∠EAF=180°-∠DAB． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． 9．（2024·江西景德镇·九年级期中）（1）【特例探究】 如图1，在四边形中，，，，，猜想并写出线段，，之间的数量关系，证明你的猜想； （2）【迁移推广】如图2，在四边形中，，，．请写出线段，，之间的数量关系，并证明； （3）【拓展应用】如图3，在海上军事演习时，舰艇在指挥中心（处）北偏东20°的处．舰艇乙在指挥中心南偏西50°的处，并且两舰艇在指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正西方向以80海里/时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/时的速度前进，半小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为75°．请直接写出此时两舰艇之间的距离． 【答案】（1）EF=BE+DF，理由见解析；（2）EF=BE+DF，理由见解析；（3）85海里 【分析】（1）延长CD至点G，使DG=BE，连接AG，可证得△ABE≌△ADG，可得到AE=AG，∠BAE=∠DAG，再由，，可证得△AEF≌△AGF，从而得到EF=FG，即可求解；（2）延长CD至点H，使DH=BE，连接AH，可证得△ABE≌△ADH，可得到AE=AH，∠BAE=∠DAH，再由，可证得△AEF≌△AHF，从而得到EF=FH，即可求解； （3）连接CD，延长AC、BD交于点M，根据题意可得∠AOB=2∠COD，∠OAM+∠OBM=70°+110°=180°，再由（2）【迁移推广】得：CD=AC+BD，即可求解． 【详解】解：（1）EF=BE+DF，理由如下：如图，延长CD至点G，使DG=BE，连接AG， ∵，∴∠ADG=∠ABC=90°， ∵AB=AD，∴△ABE≌△ADG，∴AE=AG，∠BAE=∠DAG， ∵，，∴∠BAE+∠DAF=50°，∴∠FAG=∠EAF=50°， ∵AF=AF，∴△AEF≌△AGF，∴EF=FG，∵FG=DG+DF，∴EF=DG+DF=BE+DF； （2）EF=BE+DF，理由如下：如图，延长CD至点H，使DH=BE，连接AH， ∵，∠ADC+∠ADH=180°，∴∠ADH=∠ABC， ∵AB=AD，∴△ABE≌△ADH，∴AE=AH，∠BAE=∠DAH， ∵∴∠EAF=∠BAE+∠DAF=∠DAF+∠DAH，∴∠EAF=∠HAF， ∵AF=AF，∴△AEF≌△AHF，∴EF=FH，∵FH=DH+DF，∴EF=DH+DF=BE+DF； （3）如图，连接CD，延长AC、BD交于点M， 根据题意得： ∠AOB=20°+90°+40°=150°，∠OBD=60°+50°=110°，∠COD=75°，∠OAM=90°-20°=70°，OA=OB， ∴∠AOB=2∠COD，∠OAM+∠OBM=70°+110°=180°， ∵OA=OB，∴由（2）【迁移推广】得：CD=AC+BD， ∵AC=80×0.5=40，BD=90×0.5=45，∴CD=40+45=85海里．即此时两舰艇之间的距离85海里． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的运用、等腰直角三角形的性质，题目的综合性较强，难度较大，解题的关键是正确的作出辅助线构造全等三角形，解答时，注意类比思想的应用． 10．（2024·浙江·九年级阶段练习）如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC，DC于点E，F，连接EF．（1）猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想； （2）在图1中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系； （3）如图2，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E，F分别是BC，CD边上的点，∠EAF=∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M，试猜想AM与AB之间的数量关系．并证明你的猜想． 【答案】（1）EF=BE+DF．证明见解析；（2）AM=AB；（3）AM=AB．证明见解析 【分析】（1）延长CB到Q，使BQ=DF，连接AQ，根据四边形ABCD是正方形求出AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABE=∠ABQ=90°，证△ADF≌△ABQ，推出AQ=AF，∠QAB=∠DAF，求出∠EAQ=∠F，证△EAQ≌△EAF，推出EF=BQ即可． （2）根据△EAQ≌△EAF，EF=BQ，得出×BQ×AB=×FE×AM，求出即可； （3）延长CB到Q，使BQ=DF，连接AQ，根据折叠和已知得出AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABE=90°，∠BAC=∠DAC=∠BAD，证得△ADF≌△ABQ，推出AQ=AF，∠QAB=∠DAF，求出∠EAQ=∠FAE，从而证得△EAQ≌△EAF，推出EF=BQ即可． 【详解】解：（1）EF=BE+DF．证明如下： 如答图1，延长CB到Q，使BQ=DF，连接AQ， ∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABE=∠ABQ=90°． 在△ADF和△ABQ中，∵AB=AD，∠ABQ=∠D，BQ=DF， ∴△ABQ≌△ADF（SAS）．∴AQ=AF，∠QAB=∠DAF． ∵∠DAB=90°，∠FAE=45°，∴∠DAF+∠BAE=45°． ∴∠BAE+∠BAQ=45°，即∠EAQ=∠EAF． 在△EAQ和△EAF中，∵AE=AE，∠EAQ=∠EAF，AQ=AF， ∴△EAQ≌△EAF（SAS）．∴EF=BQ=BE+EQ=BE+DF． （2）解：AM=AB，理由是：∵△EAQ≌△EAF，EF=EQ， ∴×BQ×AB=×FE×AM．∴AM=AB． （3）AM=AB．证明如下：如答图，延长CB到Q，使BQ=DF，连接AQ， ∵折叠后B和D重合，∴AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABE=90°，∠BAC=∠DAC=∠BAD． 在△ADF和△ABQ中，∵AB=AD，∠ABQ=∠D，BQ=DF， ∴△ADF≌△ABQ（SAS）．∴AQ=AF，∠QAB=∠DAF． ∵∠FAE=∠BAD，∴∠DAF+∠BAE=∠BAE+∠BAQ=∠EAQ=∠BAD，即∠EAQ=∠FAE． 在△EAQ和△EAF中，∵AE=AE，∠EAQ=∠EAF，AQ=AF， ∴△EAQ≌△EAF（SAS）．∴EF=BQ．∵△EAQ≌△EAF，EF=BQ， ∴×BQ×AB=×FE×AM．∴AM=AB． 11．（2024·湖北武汉·九年级期中）（1）如图1，正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点，EF＝BE+DF，请你直接写出∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系：　 　． （2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，，点E、F分别是边BC、CD上的点，EF＝BE+FD，请问：（1）中结论是否成立？若成立，请证明结论． （3）若（2）中的点E、点F分别在边CB、CD的延长线上（如图3所示），其他条件不变，则下列两个关于∠EAF与∠BAD的关系式，哪个是正确的？请证明结论． ①∠EAF＝∠BAD；②2∠EAF+∠BAD＝360°． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）②正确 【分析】（1）如图1，将△ADF顺时针旋转，使AD与AB重合，得到，则 ， ， ， ，可得点 三点共线，从而可证得，从而得到 ，即可求证； （2）如图2，将△ADF顺时针旋转，使AD与AB重合，得到，则 ， ， ， ，先证明，即可求证； （3）在DC的延长线上取一点H，使DH=BE，连接AH，可先证明，可得到AH=AE，∠DAH=∠BAE，从而EF= FH，从而得到，进而∠FAE=∠FAH，再由∠FAE+∠FAH+∠HAE=360°，即可求解． 【详解】解：（1），理由如下：如图1，将△ADF顺时针旋转，使AD与AB重合，得到，则 ， ， ， ， 在正方形ABCD中，∠BAD=∠ABC=∠D =90°，∴，∴点 三点共线， ∵EF＝BE+DF，∴ ，∵AE=AE，∴ ，∴ ， ∴ ； （2），理由如下：如图2，将△ADF顺时针旋转，使AD与AB重合，得到，则 ， ， ， ， ∵，∴，∴点 三点共线， ∵EF＝BE+DF，∴ ，∵AE=AE，∴ ，∴ ， ∴ ； （3）在DC的延长线上取一点H，使DH=BE，连接AH， ∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°，∴∠ADC=∠ABE， ∵AB=AD∴ ，∴AH=AE，∠DAH=∠BAE， ∵EF=BE+FD，∴EF=DH+FD=FH，∵AF=AF，∴ ，∴∠FAE=∠FAH， ∵∠FAE+∠FAH+∠HAE=360°，∴2∠FAE+（∠HAB+∠BAE）=360°， ∴2∠FAE+（∠HAB+∠DAH）=360°，即2∠FAE+∠BAD=360°，故②正确． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，正方形的性质，能够利用旋转的性质构造全等三角形是解题的关键． 12．（2023秋·江苏扬州·八年级校考期末）综合与实践 （1）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝45°，则MN，AM，CN的数量关系为 　 　． （2）如图2，在四边形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，试探索线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明． （3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN＝∠ABC，试探究线段MN、AM、CN的数量关系为 　 　． 【答案】（1）MN=AM+CN；（2）MN=AM+CN，理由见解析；（3）MN=CN-AM，理由见解析 【分析】（1）把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，可得到点M'、C、N三点共线，再由∠MBN=45°，可得∠M'BN=∠MBN，从而证得△NBM≌△NBM'，即可求解；（2）把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，由∠A+∠C＝180°，可得点M'、C、N三点共线，再由∠MBN＝∠ABC，可得到∠M'BN=∠MBN，从而证得△NBM≌△NBM'，即可求解；（3）在NC上截取C M'=AM，连接B M'，由∠ABC+∠ADC＝180°，可得∠BAM=∠C，再由AB＝BC，可证得△ABM≌△CB M'，从而得到AM=C M'，BM=B M'，∠ABM=∠CB M'，进而得到∠MA M'=∠ABC，再由∠MBN＝∠ABC，可得∠MBN＝∠M'BN，从而得到△NBM≌△NBM'，即可求解． 【详解】解：（1）如图，把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，在正方形ABCD中，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，AB=BC    ， ∴∠BCM'+∠BCD=180°，∴点M'、C、N三点共线，∵∠MBN=45°，∴∠ABM+∠CBN=45°， ∴∠M'BN=∠M'BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=45°，即∠M'BN=∠MBN， ∵BN=BN，∴△NBM≌△NBM'，∴MN= M'N，∵M'N= M'C+CN，∴MN= M'C+CN=AM+CN； （2）MN=AM+CN；理由如下：如图，把△ABM绕点B顺时针旋转使AB边与BC边重合，则AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC， ∵∠A+∠C＝180°，∴∠BCM'+∠BCD=180°，∴点M'、C、N三点共线， ∵∠MBN＝∠ABC，∴∠ABM+∠CBN=∠ABC＝∠MBN， ∴∠CBN+∠M'BC =∠MBN，即∠M'BN=∠MBN， ∵BN=BN，∴△NBM≌△NBM'，∴MN= M'N，∵M'N= M'C+CN，∴MN= M'C+CN=AM+CN； （3）MN=CN-AM，理由如下：如图，在NC上截取C M'=AM，连接B M'， ∵在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠C+∠BAD=180°， ∵∠BAM+∠BAD=180°，∴∠BAM=∠C，∵AB＝BC，∴△ABM≌△CB M'， ∴AM=C M'，BM=B M'，∠ABM=∠CB M'，∴∠MA M'=∠ABC， ∵∠MBN＝∠ABC，∴∠MBN＝∠MA M'=∠M'BN， ∵BN=BN，∴△NBM≌△NBM'，∴MN= M'N， ∵M'N=CN-C M'，  ∴MN=CN-AM．故答案是：MN=CN-AM． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，图形的旋转，根据题意做适当辅助线，得到全等三角形是解题的关键． 13．（2023春·浙江·八年级专题练习）（1）如图①，在正方形中，、分别是、上的点，且，连接，探究、、之间的数量关系，并说明理由； （2）如图②，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】（1），理由见解析；（2）成立，理由见解析 【分析】（1）典型的“夹半角模型”，延长到使得，先证，再证，最后根据边的关系即可证明；（2）图形变式题可以参考第一问的思路，延长到使得，先证 ，再证，最后根据边的关系即可证明； 【详解】解：（1） 证明：延长到，使得 连接 ∵四边形是正方形∴， 又∵∴     ∴， ∵ ∴ ∴ 又∵∴∴  又∵  ∴ （2）证明：延长到，使得  连接 ∵，  ∴ 又∵， ∴∴， ∵∴∴  又∵ ∴∴ 又∵ ∴ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确的根据“夹半角模型”作出辅助线是解题的关键． 14．（2024·山西吕梁·九年级校考期中）在练习课上，慧慧同学遇到了这样一道数学题：如图，把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，∠ACD＝30°，以D为顶点作∠MDN，交边AC，BC于点M，N，∠MDN＝60°，连接MN． 探究AM，MN，BN三条线段之间的数量关系． 慧慧分析：可先利用旋转，把其中的两条线段“接起来”，再通过证明两三角形全等，从而探究出AM，MN，BN三条线段之间的数量关系． 慧慧编题：在编题演练环节，慧慧编题如下： 如图（1），把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，∠ACD＝45°，以D为顶点作∠MDN，交边AC，BC于点M，N，，连接MN． （1）先猜想AM，MN，BN三条线段之间的数量关系，再证明． （2）∠MDN绕点D旋转，当M，N分别在CA，BC的延长线上，完成图（2），其余条件不变，直接写出AM，MN，BN三条线段之间的数量关系． 请你解答：请对慧慧同学所编制的问题进行解答． 【答案】【探究】AM＋BN＝MN，证明见解析；（1）AM＋BN＝MN，证明见解析；（2）BN−AM＝MN，证明见解析 【分析】探究：延长CB到E，使BE＝AM，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，证△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可； （1）延长CB到E，使BE＝AM，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，证△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可；（2）在CB截取BE＝AM，连接DE，证△DAM≌△DBE，推出∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，证△MDN≌△EDN，推出MN＝NE即可． 【详解】探究：AM＋BN＝MN，证明：延长CB到E，使BE＝AM， ∵∠A＝∠CBD＝90°，∴∠A＝∠EBD＝90°， 在△DAM和△DBE中∴△DAM≌△DBE，∴∠BDE＝∠MDA，DM＝DE. ∵∠MDN＝∠ADC＝60°，∴∠ADM＝∠NDC，∴∠BDE＝∠NDC，∴∠MDN＝∠NDE. 在△MDN和△EDN中，∴△MDN≌△EDN，∴MN＝NE. ∵NE＝BE＋BN＝AM＋BN，∴AM＋BN＝MN． 解：（1）AM＋BN＝MN.证明：延长CB到E，使BE＝AM，连接DE， ∠ACD＝45°，，。∠MDN＋∠ACD＝90°， ∵∠A＝∠CBD＝90°，∴∠A＝∠DBE＝90°. ∵∠CDA＋∠ACD＝90°，∠MDN＋∠ACD＝90°，∴∠MDN＝∠CDA. ∵∠MDN＝∠BDC，∴∠MDA＝∠CDN，∠CDM＝∠NDB. 在△DAM和△DBE中,∴△DAM≌△DBE， ∴∠BDE＝∠MDA＝∠CDN，DM＝DE.∵∠MDN＋∠ACD＝90°，∠ACD＋∠ADC＝90°， ∴∠NDM＝∠ADC＝∠CDB，∴∠ADM＝∠CDN＝∠BDE. ∵∠CDM＝∠NDB ∴∠MDN＝∠NDE. 在△MDN和△EDN中,∴△MDN≌△EDN，∴MN＝NE. ∵NE＝BE＋BN＝AM＋BN，∴AM＋BN＝MN． 解：（2）BN−AM＝MN，证明：在CB截取BE＝AM，连接DE， ∠ACD＝45°，，∠MDN＋∠ACD＝90°. ∵∠CDA＋∠ACD＝90°，∠MDN＋∠ACD＝90°，∴∠MDN＝∠CDA. ∵∠ADN＝∠ADN，∴∠MDA＝∠CDN.∵∠B＝∠CAD＝90°，∴∠B＝∠DAM＝90°. 在△DAM和△DBE中∴△DAM≌△DBE，∴∠BDE＝∠ADM＝∠CDN，DM＝DE. ∵∠ADC＝∠BDC＝∠MDN，∴∠MDN＝∠EDN. 在△MDN和△EDN中,∴△MDN≌△EDN，∴MN＝NE. ∵NE＝BN−BE＝BN−AM，∴BN−AM＝MN． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，可先利用旋转，把其中的两条线段“接起来”，再通过证明两三角形全等是解题的关键． 15．（2024·河北邢台·九年级期末）学完旋转这一章，老师给同学们出了这样一道题： “如图1，在正方形ABCD中，∠EAF＝45°，求证：EF＝BE＋DF．” 小明同学的思路：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°． 把△ABE绕点A逆时针旋转到的位置，然后证明，从而可得． ，从而使问题得证． (1)【探究】请你参考小明的解题思路解决下面问题：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，，直接写出EF，BE，DF之间的数量关系．(2)【应用】如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，，求证：EF＝BE＋DF． 【答案】(1)BE＋DF＝EF(2)证明见解 【分析】（1）将△ABE绕A点逆时针旋转，旋转角等于∠BAD得△，证明△AEF≌△，等量代换即得结论；（2）将△ABE绕点A逆时针旋转，旋转角等于∠BAD，先证明∠EAF=，再证明△AEF≌△，等量代换即得结论； （1）解：结论：BE＋DF＝EF，理由如下：证明：将△ABE绕点A逆时针旋转，旋转角等于∠BAD，使得AB与AD重合，点E转到点的位置，如图所示， 可知，∴．由∠ADC+∠=180°知，C、D、共线， ∵，∴∠BAF+∠DAF=∠EAF，∴∠+∠DAF=∠EAF=， ∴△AEF≌△，∴EF==BE+DF． （2）证明：将△ABE绕点A逆时针旋转，旋转角等于∠BAD，使得AB与AD重合，点E转到点的位置，如图所示，由旋转可知，∴，，，． ∵∠B＋∠ADC＝180°，∴，∴点C，D，在同一条直线上． ∵，∴， ∴，∴，∴． ∵AF＝AF，∴，∴，即BE＋DF＝EF． 【点睛】本题考查了旋转与全等三角形的综合应用、等腰直角三角形的判定及性质等知识点．解题关键是利用旋转构造全等三角形． 16．（2023春·成都·七年级专题练习）在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，在探究图1中线段，，之间的数量关系过程中． (1)你尝试添加了怎样的辅助线？成功了吗？（真实大胆作答即可得分） (2)小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系是 ．(3)如图3，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？并证明；(4)如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以70海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 【答案】(1)见解析(2)(3)仍然成立，证明见解析(4)195海里 【分析】（1）在上方作，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系； （3）延长到，使，连接，证明和，得到答案； （4）连接，延长、交于点，得到，根据距离、速度和时间的关系计算即可． 【详解】（1）在上方作，使，连接， 在和中，，，， ，，， ，在和中，，，， ，即， 添加辅助线：在上方作，使，连接，成功了； （2）延长到点，使，连接， ，，在和中，， ，，，，， ，， 在和中，，，， ，即，故答案为：； （3）结论仍然成立，证明：延长到，使，连接， ，，， 在和中，，，，， ，，， 在和中，，， ，； （4）如图4，连接，延长、交于点， ，，， ，， 符合（3）中的条件，结论成立， 即（海里），答：此时两舰艇之间的距离是195海里． 【点睛】本题考查的是四边形知识的综合运用，掌握三角形全等的判定和性质、理解方位角的概念是解题的关键，注意规律的总结和运用． 17．（2023·绵阳市·八年级专题练习）如图，正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交、或它们的延长线于点、． (1)当绕点旋转到时如图，证明：；(2)绕点旋转到时如图，求证：；(3)当绕点旋转到如图位置时，线段、和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)，见解析 【分析】（1）把绕点顺时针旋转，得到，证得、、三点共线，即可得到≌，从而证得；（2）证明方法与（1）类似； （3）在线段上截取，判断出≌，同（2）的方法，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图， ∵把绕点顺时针旋转，得到，≌，，， 四边形是正方形，， ，点、、三点共线．， 又，在与中，， ≌，， ，， ，． （2）证明：如图， 把绕点顺时针旋转，得到， ≌，，， 四边形是正方形，， ，点、、三点共线． ， 又，在与中， ，≌，， ，． （3）解： 理由如下：如图，在线段上截取，连接， 在与中，，≌， ，． 在和中，，≌， ，． 【点睛】本题是四边形综合题，考查正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 18．（2023春·重庆南岸·八年级校考阶段练习）（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程） （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由． 【答案】（1）；（2）．理由见解析． 【分析】（1）线段、、之间的数量关系是．如图，延长至，使，连接，利用全等三角形的性质解决问题即可． （2）结论：．如图中，在上截取，连接，证明，推出，，再证明，可得结论． 【详解】（1）解：线段、、之间的数量关系是． 如图，延长至，使，连接， ∵，，即：， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． （2）结论：． 理由：在上截取，连接， ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴，，则， ∴ ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴， 即， 即， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$