期中满分冲刺之解答压轴题（七上苏科2024，10大类型50题）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学上学期期中真题分类汇编（江苏专用）

期中满分冲刺之解答压轴题（七上苏科，10大类型50题） 类型一、以数轴及动点为载体的压轴问题 1．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，、满足，点是数轴原点． (1)点表示的数为_________，点表示的数为_______，线段的长为_______． (2)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点在数轴上表示的数为______________． (3)现有动点、都从点出发，点以每秒个单位长度的速度向终点移动；当点出发秒后，点也从点出发，并以每秒个单位长度的速度向右移动，且当点到达点时，点就停止移动，设点移动的时间为秒，问：当为多少时： ①、两点相距个单位长度； ②、两点到原点的距离相等． 2．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）阅读：表示5与之差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： (1)数轴上表示5与两点之间的距离是______． (2)数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为______． (3)请你找出所有符合条件的整数x，使得，这样的整数是______． (4)由以上探索猜想的最小值是______，此时x的值为______． (5)借助继续探索的最大值为______． 3．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）如图，数轴上从左到右依次有、、、四个点，、之间的距离为，、之间的距离为，B、D之间的距离为，将直径为的圆形纸片按如图所示的方式放置在点处，并沿数轴水平方向向右滚动． (1)若圆形纸片从点处滚到点处，恰好滚动了（为正整数）圈，则__________（用含的代数式表示），是__________（填“有理数”或“无理数”）； (2)若圆形纸片从点处滚动圈后，恰好到达点处，求、之间的距离（结果保留）； (3)若点表示的数为，圆形纸片从点处滚动到点、、处的圈数均为整数，其中圆形纸片从点处滚动圈后，恰好到达点处，求点表示的数． 4．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）在数轴上有理数对应的点为点，有理数对应的点为点，，两点之间的距离表示为，记为．    (1)如图，点在数轴上所对应的数为，，则点对应的数为________． (2)在（1）的条件下，若点在的右侧，同时点以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到所在的点时，求，两点间的距离． (3)在（2）的条件下，若点运动到后静止不动，点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，求经过多长时间，． 5．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，数轴上、两点对应的数分别为． (1)点是数轴上任意一点，且，则点对应的数是__________； (2)点、分别是数轴上的两个动点，点从点出发以每秒3个单位长度的速度运动，同时，点从原点出发以每秒2个单位长度的速度运动． ①若、两点都向数轴正方向运动，经过几秒，点、点分别到原点的距离相等？ ②当、两点运动到时，请直接写出点M在数轴上所有可能对应的数． 类型二、以绝对值为载体的压轴问题 6．（24-25七年级上·甘肃武威·阶段练习）“数形结合”是重要的数学思想．如：表示2与差的绝对值，实际上也可以理解为2与在数轴上所对应的两个点之间的距离．进一步地，数轴上两个点A，，所对应的数分别用，表示，那么A，两点之间的距离表示为．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示和2两点之间的距离是_____； (2)若，则_____； (3)若表示一个有理数，的最小值为_____． 7．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：数轴上点A、点B表示的数分别为a，b，则两点之间的距离． (1)问题情境：已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且． ①写出数轴上点B表示的数为__________． ②数轴上有一点C到点A、点B的距离相等，则C表示的数为__________． (2)情境应用：如的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离．试探索： ①若，则__________； ②的最小值为__________； (3)综合运用：在（1）的条件下，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左运动，动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，若点P、Q同时出发，请问经过几秒后P、Q两点之间的距离为2． 8．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）我们知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索： (1)填空：__________，若，则__________； (2)填空：使得成立的x是__________； (3)由以上探索，猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值，如果没有，说明理由． (4)由以上探索，猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并写出此时x的值，如果没有，说明理由． 9．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）阅读下列材料：，即当时，，当时，，运用以上结论解决下面问题： (1)当时，若，，则______0； (2)当时，若，则______0； (3)已知，，是非零有理数，则______； (4)当与都是整数，且，求的值．（写出分类讨论的过程） 10．（24-25七年级上·山东临沂·阶段练习）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，求的值． (2)当时，求的值． (3)已知，是有理数，当时，试求的值． 类型三、有理数的运算阅读问题 11．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的差最大，如何抽取？最大值是多少？ 答：我抽取的2张卡片是_____、_____，差的最大值为_____． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ 答：我抽取的2张卡片是_____、_____，乘积的最大值为_____； (3)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？ 答：我抽取的2张卡片是_____、_____，商的最小值为_____． (4)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字用学过的运算方法，使结果为一个最大的数，如何抽取？最大的数是多少？ 答：我抽取的2张卡片是_____、_____，组成的最大数为_____． 12．（24-25七年级上·山西临汾·阶段练习）项目化学习： 项目主题：数学活动课，数字游戏设计 在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品．下面我们用四个卡片代表四名同学（如图）： 【列式计算】 （1）列式，并计算： ①经过A、B、C、D的顺序运算后，结果是多少？ ②5经过B、C、A、D的顺序运算后，结果是多少？ 【探究应用】 （2）探究：数a经过D，C，A，B的顺序运算后，结果是5，a是______． 13．（24-25七年级上·辽宁·期末）如图是一个“有理数转换器”（箭头是表示输入的数进入转换器路径，方框是对进入的数进行转换的转换器）． (1)你认为这个“有理数转换器”不可能输出 数． (2)当小羽输入6时，输出的结果是 ；当小羽输入时，输出的结果是 ；当小羽输入2021时，输出的结果是 ． (3)你认为当输入 时，其输出结果是0． (4)有一次，小羽在操作的时候，输入有理数，输出的结果是2，且知道，你判断一下，小羽可能输入的是什么数？请把它们都写出来，并说明理由． 14．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）现有5张卡片写着不同的数，利用所学过的加、减、乘、除运算按要求解答下列问题（每张卡片上的数只能用一次）： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数的差最小，这2张卡片是_________；差的最小值为_________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数相除的商最大，这2张卡片是______；则商的最大值为______； (3)从中取出3张卡片，使这3张卡片上的数的乘积最小，这3张卡片是_______；则乘积的最小值为_______； (4)从中取出乘积为较大负数的4张卡片，使这4张卡片上的数的运算结果为24．写出3个不同的算式，分别为_________，_________，_________． 15．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）“24”点游戏的规则是这样的：在整数范围内任意取四个数，然后进行加、减、乘、除四则运算（每个数只能用一次，可使用小括号、中括号），使其结果等于24． 例如：取2、3、6、9这四个数进行运算，得：或或等． (1)用、、5、3这四个整数，写出1种算式，使其运算结果为24； (2)用、3、4、10这四个整数，写出2种不同的算式，使其运算结果为24； (3)用、2、8、11这四个整数，写出1种算式，使其运算结果为24． 类型四、有理数的实际应用问题 16．（24-25七年级上·山东日照·阶段练习）某工艺厂计划一周生产工艺品2100个，平均每天生产300个，但实际每天生产量与计划相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（单位：个） (1)写出该厂星期一生产工艺品的数量 (2)本周产量最多的一天比最少的一天多生产多少个工艺品？ (3)请求出该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量； (4)已知该厂实行每日计件工资制，每生产一个工艺品可得60元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖40元，少生产一个扣70元．试求该工艺厂在这一周应付出的工资总额． 17．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）刚刚过去的一年是中国新能源市场竞争最为激烈的一年，大量的低价新车扎堆上市，引发了一连串的官方降价，等等党绝对是赢麻了．如今的中国新能源市场，不仅价格持续走低，技术迭代周期也大幅缩短，还有众多传统汽车厂商、科技企业．某电车制造商为测试电车每公里的耗电量，现在一条南北方向的路上进行测试，从地出发，约定向南走为正，当天的行走记录如下（单位：千米）：，，，，，，，，，，，，． (1)测试结束时，该车在地的哪个方向？求此电车与地的距离； (2)若电车每千米耗电0.03度，求该车在测试过程中共耗电多少度． 18．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）国庆假期期间，小小准备每天坚持阅读，已知小小以平时每天阅读30页书为第1天的基准，后面每天的阅读量与前一天相比较，超过前一天的量记为“+”，低于前一天的量记为“”．下表是小小国庆假期期间的阅读量记录情况． 天数 1 2 3 4 5 6 7 阅读量 +3 +5 +3 m +2 +4 例如：第1天的“+3”代表第1天的阅读量是33页；第2天的“”代表第2天的阅读量是31页． (1)求小小第4天的阅读量； (2)若第6天的阅读量是37页，求第5天记录的数据m的值； (3)在（2）的条件下，若小小的平均阅读速度是每分钟1页，则假期7天，小小共花了多少小时阅读？ 19．（24-25七年级上·辽宁辽阳·阶段练习）学校组织七年级同学参观科技馆，共有学生242人，教师8人，科技馆售票处的“购票须知”如表所示． 成人票：每张12元 学生票：每张8元 团体票：每张10元 10人以上（含10人）可以购买团体票 (1)小强说：教师和学生分别购买“成人票”和“学生票”．根据小强的方案购票，需要多少钱？ (2)小红说：2名同学和8名老师一起购买“团体票”，其余同学购买“学生票”．请你算一算小红的购票方案需要多少元？ (3)比一比，谁的购票方案更划算？可以省多少元？ 20．（23-24八年级上·全国·单元测试）“脐橙结硕果，香飘引客来”，赣南脐橙以其“外表光洁美观，肉质脆嫩，风味浓甜芳香”的特点饮誉中外．现欲将一批脐橙运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运走；用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走，现有脐橙，计划同时租用 A 型车a 辆，B 型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满脐橙． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1 辆A 型车和1辆B 型车都载满脐橙一次可分别运送多少吨? (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若1辆A 型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 类型五、关于有理数的运算的新定义问题 21．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）已知m，n均为有理数，现规定两种新的运算： ，． 例如：，． (1)分别计算和的值． (2)观察下面两列等式： ①；        ①； ②；    ②； ③；    ③； ④；    ④； …        … 根据上述规律，直接写出 ． 22．（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）阅读材料并解决问题： 求的值， 解：令，等式两边同时乘2， 得 两式相减，得，所以 依据以上计算方法，请计算：的值． 23．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）小明是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方．小明把记作，记作． (1)直接写出计算结果， ， ； (2)关于“有理数的除方”下列说法正确的是 ．（填序号） ①对于任何正整数，都有； ②，，； ③，； ④对于任何正整数，都有，． (3)小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式，为正整数，，，要求写出推导过程将结果写成幂的形式；（结果用含，的式子表示） (4)请利用（3）问的推导公式计算：，，，，． 24．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）【溯源】“、”号是15世纪德国数学家魏德曼发明的，他在工作中发现用横线加一竖可以表示增加的意思，于是把“+”作为加号，从而“+”号中拿去“”竖，就可表示减少的意思，于是把“”作为减号．“”号是18世纪英国数学家欧德莱发明的，他觉得乘法也是增加的意思，但又和加法不同，于是他就把加号斜过来写，表示数字增加的另一种运算．“”号是“瑞士学者雷恩于1656年出版的一本代数书中提到的，当该书几年后被译成英文时，才逐渐被人们认识和接受．四则运算的性质和规律是许多数学理论的重要组成部分，对四则运算的深入研究和拓展，推动了数学的不断发展！” 【发现问题能力】小华同学通过初中这一个月以来关于有理数运算的学习，他深深感受到四则运算的运算法则是一套来源于生活实际，符合人们认知规律且具有“确定性、普适性，逻辑性、简洁性、自洽性”等特征的一种游戏规则． 【提出问题能力】基于以上学习和认识，小华同学也定义了一个新的运算@，满足以下两个要求：①；②，其中，，可以取任何有理数，问题为：求的值． 【分析问题能力】爱思考的小益同学看到上面的这个问题，做了以下尝试：第一步，先让②中的，于是就有了：，由①可以知道___________，于是有：记为（1）式． 第二步：令②中的，，则有，继续由①的条件，于是就有：____________．（用含字母的式子表示）记为（2）式． 结合（1）式和（2）式，聪明的你应该可以得到___________（用含字母，的式子表示）． 【解决问题能力】的值是_____________． 【拓展问题】已知，其中符号为绝对值，求的倒数． 25．（24-25七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）已知，，，…，按照这个规律完成下列问题： (1) ______． (2)猜想： ． (3)利用（2）中的结论计算：（写出计算过程）． 类型六、整式的加减及求值问题 26．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）已知有理数，，，，，且，互为倒数，，互为相反数，的绝对值为，求式子的值． 27．（24-25七年级上·河南新乡·阶段练习）“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，在多项式化简与求值中应用广泛． (1)把看成一个整体，将合并的结果是__________ (2)①已知，则__________； ②已知，则__________； (3)已知，求代数式的值． 28．（23-24七年级上·广西桂林·期中）已知，． (1)求； (2)当时，求的值； (3)若，求的值． 29．（22-23七年级上·湖南永州·期末）图是湘教版七年级上册数学教材65页的部分内容．    明明同学在做作业时采用的方法如下： 由题意得，所以代数式的值为5． 【方法运用】： (1)若代数的值为5，求代数式的值； (2)当时，代数式的值为8．当，求代数式的值； (3)若，求代数式的值． 30．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）①已知多项式． （1）若多项式的值与字母的取值无关，求的值； （2）在（1）的条件下，先化简多项式，再求它的值； ②有理数a、b、c在数轴上的对应点如图，化简代数式：．    类型七、整式加减中的无关性问题 31．（2024七年级上·贵州·专题练习）已知 (1)化简A； (2)若，且A与B的差不含x的一次项，求a的值． 32．（2024七年级上·全国·专题练习）老师写出一个整式：，其中、为常数，且表示为系数，然后让同学们给、赋予不同的数值进行计算． (1)甲同学给出了一组数据，然后计算的结果为，则甲同学给出、的值分别是　 　，　　； (2)乙同学给出了，，请按照乙同学给出的数值化简整式； (3)丙同学给出一组数，计算的最后结果与x的取值无关，请直接写出丙同学的计算结果． 33．（23-24七年级上·天津·期中）已知：，． (1)化简：； (2)若的值与字母x的取值无关，求y的值． 34．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）学习了整式的加减运算后，老师给同学们性了一个任务： 已知，自行给b取一个喜欢的数．先化简下列式子，再代入求值． ． 小杜、小康、小磊三人经过化简计算，后来交流结果时发现，虽然三人给b取的值都不同，但计算结果却完全一样．请解释出现这种情况的原因，并求这个计算结果． （2）已知代数式． ①当时，求的值； ②若的值与y的取值无关，求x的值． 35．（22-23七年级上·四川达州·期末）如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，，且．    (1)A、B对应的数分别为 、 ； (2)点A、B分别以4个单位/秒和3个单位/秒的速度同时向右运动，点P从原点O以7个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数m，使得为定值，若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 类型八、整式的加减的应用问题 36．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）如图是一块长方形花园，内部修有两个凉亭及过道，其余部分种植花圃（阴影部分）． (1)用整式表示花圃的面积； (2)若米，修建花圃的成本是每平方米80元，求修建花圃所需费用． 37．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知A、B是两个边长不相等的正方形纸片，它们的边长之和是m，边长之差是n． (1)如图1，用含m、n的代数式表示A、B两个正方形纸片的面积之和：________，当，时，A、B两个正方形纸片的面积之和为________． (2)如图2，如果A、B两个正方形纸片的面积之和为5，阴影部分的面积为2，试求m、n的值． (3)现将正方形纸片A、B并排放置后构造新的正方形得图3，将正方形纸片B放在正方形纸片A的内部得图4，如果图3和图4中阴影部分的面积分别为12和1，那么A、B两个正方形纸片的面积之和为________． 38．（2024七年级上·浙江·专题练习）按照“双减”政策，丰富课后托管服务内容，学校准备订购一批篮球和跳绳，经过市场调查后发现篮球每个定价120元，跳绳每条定价20元．某体育用品商店提供A、B两种优惠方案： A方案：买一个篮球送一条跳绳； B方案：篮球和跳绳都按定价的付款． 已知要购买篮球50个，跳绳x条（）． (1)若按A方案购买，一共需付款 元；（用含x的代数式表示），若按B方案购买，一共需付款 元；（用含x的代数式表示） (2)当时，请通过计算说明此时用哪种方案购买较为合算？ (3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？请写出你的购买方案，并计算需付款多少元？ 39．（21-22七年级上·江苏无锡·阶段练习）月历中的数学：观察如图所示的2020年11月的月历，解答下列问题： (1)用形如□的长方形框去框月历里同一行的4个连续的数． ①若框里4个数中的最小数记为，用含的代数式表示这4个数的和为_____，这4个数的和的最大值是_____． ②若框里4个数的和是66，则这4个数分别是多少？ (2)用一个的长方形框去任意框12个数（如图），框里的12个数的和能等于222吗？能等于246吗？若能，请求出框里的12个数中的最小数；若不能，请说明理由． 40．（23-24七年级上·福建三明·期中）如图，A，B和C为公路边在同一直线上的三个村庄，A，B两村相距50千米，B，C两村相距120千米，A村年产河龙贡米50吨，B村年产河龙贡米10吨，C村年产河龙贡米60吨，要在这条公路边修建一个粮食加工厂收购这些河龙贡米，若从A村运往C村方向的运费是1.5元/（吨·千米），从C村运往A村的运费是1元/（吨·千米）． (1)若把加工厂建在线段的中点位置，请你计算此时的总运费是多少元？ (2)若把加工厂建在B，C两村之间，且距离B村x千米处，用含x的代数式表示此时的总运费． (3)请你通过分析比较，粮食加工厂应该建在何处才能使总运费最低？ 类型九、数字的变化规律探究问题 41．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）观察算式： ， ， ； … (1)按规律填空： ①__________________； ②_________________； (2)计算（由此拓展写出具体过程）： ； 42．（24-25七年级上·上海·阶段练习）如图所示，每个圆周上的数是按下述规则逐次标出的：第一次先在圆周上标出，两个数（如图甲）；第二次又在第一次标出的两个数之间的圆周上分别标出这两个数的和（如图乙）；第三次再在第二次标出的所有相邻两数之间的圆周上，分别标出这相邻两数的和（如图丙）；按照此规则，以此类推，一直标下去． (1)设n是大于1的自然数，第次标完数字后，圆周上所有数字的和记为；第n次标完数字后，圆周上所有数字的和记为．试写出与的等量关系； (2)请你求出的值． 43．（23-24七年级上·广东广州·期中）将正整数，排成如图的数表，用图中所示的方框出9个数，不改变方框的大小，把方框任意移动． 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第六列 第一行 1 2 3 4 5 6 第二行 7 8 9 10 11 12 第三行 13 14 15 16 17 18 第四行 19 20 21 22 23 24 第五行 25 26 27 28 29 30 …… …… (1)若方框正中心数为17，则方框中的9个数的和为 ． (2)设方框正中心数为，则方框中的9个数的和与方框正中心的数有什么关系？为什么？ (3)方框中9个数的和可能是3330吗？若可能，请求出方框正中心数落在第几行，第几列？若不可能，说说你的理由． 44．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）阅读材料： 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式________________． (2)求的值． (3)依照上述方法，试计算 45．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）定义一种对整数的“”运算：，以表示对整数进行次“”运算．例如，表示对1进行2次“”运算，由于1是奇数，因此，第一次运算的结果为，由于第一次运算的结果6是偶数，故第二次运算的结果为，所以的运算结果是3．据此回答下列问题： (1)求的运算结果． (2)若为奇数，且的运算结果为6，求的值． (3)若为奇数，且的运算结果为4，直接写出的值． 类型十、图形的变化规律探究问题 46．（23-24七年级上·安徽·单元测试）观察下列图形中点的个数． (1)图2中点的个数是 ； (2)若按其规律再画下去，如果图形中有36个点，那它是第 个图形； (3)若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为 （用含n的代数式表示）． 47．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）如下图，通过观察，小丽同学发现可以用这样的方法确定每个图形中黑色和白色小正方形的总个数：图（）中共有个黑色小正方形，图（）中共有个黑白小正方形，图（）中共有个黑白小正方形，图（）中共有个黑白小正方形，回答下列问题： (1)根据前四个图中计算黑白小正方形的总个数的方法和规律，则第（）个图中计算小正方形个数的等式是：___________； (2)根据规律，第个图比第个图多___________个小正方形； (3)根据每个图中计算黑白小正方形总个数的方法和规律，计算 ； ． 48．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，图1是个正五边形，分别连接这个正五边形各边中点得到图2，再分别连接图2小正五边形各边中点得到图3： (1)填写下表： 图形标号 1 2 3 正五边形个数 三角形个数 (2)按上面方法继续连下去，第n个图中有多少个三角形？ (3)能否分出246个三角形？简述你的理由． 49．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，一张圆桌的周围有20个箱子，按顺时针方向编号1～20．小明在1号箱子中丢入一颗红球后，沿着圆桌按顺时针方向行走，每经过一个箱子就依下列规则丢入一颗球： ①若前一个箱子丢红球，则经过的箱子就丢绿球； ②若前一个箱子丢绿球，则经过的箱子就丢白球； ③若前一个箱子丢白球，则经过的箱子就丢红球． 如果他沿着圆桌走了100圈，那么4号箱内红球共有多少颗？说说你是如何思考的． 50．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）将正方形（如图1）作如下划分，第次划分：分别连接正方形对边的中点（如图），得线段和，它们交于点，此时图中共有个正方形；第次划分：将图左上角正方形再划分，得图，则图中共有个正方形； (1)若把左上角的正方形依次划分下去，则第次划分后，图中共有______个正方形． (2)继续划分下去，第次划分后图中共有______个正方形； (3)能否将正方形划分成有个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中满分冲刺之选择压轴题（七上苏科，10大类型50题） 类型一、以数轴及动点为载体的压轴问题 1．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，、满足，点是数轴原点． (1)点表示的数为_________，点表示的数为_______，线段的长为_______． (2)若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，请在数轴上找一点，使，则点在数轴上表示的数为______________． (3)现有动点、都从点出发，点以每秒个单位长度的速度向终点移动；当点出发秒后，点也从点出发，并以每秒个单位长度的速度向右移动，且当点到达点时，点就停止移动，设点移动的时间为秒，问：当为多少时： ①、两点相距个单位长度； ②、两点到原点的距离相等． 【答案】(1)，， (2)或 (3)①秒；②秒或秒 【分析】本题考查数轴上的动点问题，绝对值的性质，非负数的性质，解题的关键是分类讨论． （1）根据非负数的性质可得和的值，再利用两点间的距离公式可得线段的长； （2）设点在数轴上表示的数为，则，，再根据题意列出方程即可求解； （3）①经过后，点表示的数为，点表示的数为，分情况讨论：点在点的左侧时；点在点的右侧时；根据题意列方程即可求解；②经过后，点表示的数为，点表示的数为，根据题意可得：，即可求解． 【详解】（1）解：， ，， 解得：，， 点表示的数为，点表示的数为，线段的长为， 故答案为：，，； （2）设点在数轴上表示的数为，则，， ， ， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：（不合题意，舍去）， 综上所述，点在数轴上表示的数为或， 故答案为：或； （3）①经过后，点表示的数为，点表示的数为， 分情况讨论： 情况一：点在点的左侧时， ， 解得：； 情况二：点在点的右侧时， ， 解得：， 又， 当点从点到达点的时间为：， ， 舍去； 综上所述，当为秒时，、两点相距个单位长度； ②经过后，点表示的数为，点表示的数为， ，， 根据题意得：， 即， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：（舍去）； 综上所述，当为秒或秒时，、两点到原点的距离相等． 2．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）阅读：表示5与之差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： (1)数轴上表示5与两点之间的距离是______． (2)数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为______． (3)请你找出所有符合条件的整数x，使得，这样的整数是______． (4)由以上探索猜想的最小值是______，此时x的值为______． (5)借助继续探索的最大值为______． 【答案】(1) (2) (3)，，，， (4)， (5) 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离、绝对值的意义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可得解； （2）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可得解； （3）由绝对值的意义可得表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，利用数轴并结合即可得解； （4）由绝对值的意义可得表示数轴上有理数所对应的点到、和所对应的点的距离之和，再结合数轴即可得解； （5）分情况讨论：当时，当时，当时，结合绝对值的意义计算即可得解． 【详解】（1）解：数轴上表示5与两点之间的距离是； （2）解：数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为； （3）解：∵表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，且， ∴ 结合数轴可得，这样的整数有，，，，； （4）解：∵表示数轴上数所对应的点到、和所对应的点的距离之和， ∴结合数轴可得，当时，由最小值，最小值为； （5）解：当时，，，故； 当时，，，故，此时当时，的值最大，为； 当时，，，故； 综上所述，的最大值为． 3．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）如图，数轴上从左到右依次有、、、四个点，、之间的距离为，、之间的距离为，B、D之间的距离为，将直径为的圆形纸片按如图所示的方式放置在点处，并沿数轴水平方向向右滚动． (1)若圆形纸片从点处滚到点处，恰好滚动了（为正整数）圈，则__________（用含的代数式表示），是__________（填“有理数”或“无理数”）； (2)若圆形纸片从点处滚动圈后，恰好到达点处，求、之间的距离（结果保留）； (3)若点表示的数为，圆形纸片从点处滚动到点、、处的圈数均为整数，其中圆形纸片从点处滚动圈后，恰好到达点处，求点表示的数． 【答案】(1)，无理数 (2) (3)或 【分析】本题考查数轴表示数，无理数的意义，掌握数轴上两点距离的计算方法是解决问题的关键． （1）表示圆的周长，再根据滚动的圈数得出滚动的距离即可得出答案； （2）圆形纸片从点处滚动圈到达点处，可得，再得出，整体代入即可； （3）根据“圆形纸片从点处滚动到点、、处的圈数均为整数，且从点处滚动到点滚动3圈”，因此分两种情况进行解答，即为圈，为圈，或为圈，为圈． 【详解】（1）解：圆形纸片的直径为，因此周长为，滚动圈的距离为， 而， 所以， 即，是无理数， 故答案为：，无理数； （2）圆形纸片从点处滚动圈到达点处，所以有， 所以， 答：、之间的距离为； （3）由（2）得，， 由于圆形纸片从点处滚动到点、、处的圈数均为整数，且从点处滚动到点C滚动圈， 因此有①当、的距离为时，则、的距离为，、之间的距离为， 所以、之间的距离为， 又因为点表示的数为， 所以点D所表示的数为， ②当、的距离为时，则、的距离为，、之间的距离为， 所以、之间的距离为， 又因为点表示的数为， 所以点所表示的数为， 答：点表示的数为或． 4．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）在数轴上有理数对应的点为点，有理数对应的点为点，，两点之间的距离表示为，记为．    (1)如图，点在数轴上所对应的数为，，则点对应的数为________． (2)在（1）的条件下，若点在的右侧，同时点以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点运动到所在的点时，求，两点间的距离． (3)在（2）的条件下，若点运动到后静止不动，点以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，求经过多长时间，． 【答案】(1)2或 (2)6 (3)4或8 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的点表示有理数，绝对值的意义，对于（1），分两种情况根据两点间的距离判断即可； 对于（2），先确定点B，再根据两点之间的距离可得点A运动的路程，即可得出运动的时间，进而得出答案； 对于（3），结合（2）分两种情况用两点之间的距离除以速度可得答案． 【详解】（1）设点B对应的数是b， 因为， 所以， 解得或． 故答案为：2或； （2）由（1）知点B对应的数是2， 点A运动了（单位长度）， ∴（秒）， ∴点B向左运动了（单位长度）， 则点B运动到了点， 所以A，B之间的距离是； （3）因为， 解得或， ， 所以经过4秒或8秒． 5．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，数轴上、两点对应的数分别为． (1)点是数轴上任意一点，且，则点对应的数是__________； (2)点、分别是数轴上的两个动点，点从点出发以每秒3个单位长度的速度运动，同时，点从原点出发以每秒2个单位长度的速度运动． ①若、两点都向数轴正方向运动，经过几秒，点、点分别到原点的距离相等？ ②当、两点运动到时，请直接写出点M在数轴上所有可能对应的数． 【答案】(1) (2)①或；②或或或 【分析】本题主要考查了数轴以及一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程求解． （1）利用两点间的距离公式，依据列方程求解可得结果； （2）①由数轴知，当，重合时，，可得；当，在点异侧时，，解得；②分三种情况讨论，由列方程求得的值，进而得到点在数轴上对应的数． 【详解】（1）解：设点表示的数为， 由题意得， 解得， 故答案为：3； （2）解：①由数轴知，当，重合时，， 解得（秒； 当，在点异侧时，， 解得（秒； 综上所述，经过1.2或6秒，点、点分别到原点的距离相等； ②由题可得，，， 当点在线段上时，， 由，可得，解得， 若点向右移动，则点表示的数为， 若点向左移动，则点表示的数为； 当点在线段的延长线上时，， 由，可得，解得（负值，舍去）； 当点在线段的延长线上时，， 由，可得，解得， 若点向右移动，则点表示的数为， 若点向左移动，则点表示的数为； 综上所述，在数轴上对应的数为，，，． 类型二、以绝对值为载体的压轴问题 6．（24-25七年级上·甘肃武威·阶段练习）“数形结合”是重要的数学思想．如：表示2与差的绝对值，实际上也可以理解为2与在数轴上所对应的两个点之间的距离．进一步地，数轴上两个点A，，所对应的数分别用，表示，那么A，两点之间的距离表示为．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示和2两点之间的距离是_____； (2)若，则_____； (3)若表示一个有理数，的最小值为_____． 【答案】(1)5 (2)或0 (3)3 【分析】题考查数轴上的点之间的距离，绝对值的意义，解题的关键是掌握数轴上表示、的点之间的距离为． （1）由已知直接可得答案； （2）表示的点与表示的点之间的距离是2，即可得答案； （3）是表示的点到表示和2的点的距离之和，数形结合即可得最小值． 【详解】（1）解：数轴上表示和2两点之间的距离是5， 故答案为：5； （2），则表示的点与表示的点之间的距离是2， 或0， 故答案为：或0； （3）是表示的点到表示和2的点的距离之和， 时，最小为3； 故答案为：3． 7．（24-25七年级上·广西南宁·阶段练习）【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：数轴上点A、点B表示的数分别为a，b，则两点之间的距离． (1)问题情境：已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且． ①写出数轴上点B表示的数为__________． ②数轴上有一点C到点A、点B的距离相等，则C表示的数为__________． (2)情境应用：如的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示有理数x的点之间的距离．试探索： ①若，则__________； ②的最小值为__________； (3)综合运用：在（1）的条件下，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左运动，动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动，若点P、Q同时出发，请问经过几秒后P、Q两点之间的距离为2． 【答案】(1)①；②18； (2)①6或10；②20 (3)或6 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，根据题意找到等量关系，利用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）①根据点A表示的数和求解即可； ②根据题意得到点C在点A和点B中间，然后列式求解即可； （2）①根据题意得到表示的是有理数x到有理数8的距离为2，然后分x在8左边和x在8右边两种情况，然后分别列式求解即可； ②根据题意得到表示的是有理数x到的距离加上有理数x到8的距离，然后得出当有理数x在和8之间时，的值最小进而列式求解即可； （3）设时间为t，根据题意得，点P表示的数为，点Q表示的数为，根据题意得到，然后求解即可． 【详解】（1）解：①∵数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且 ∴数轴上点B表示的数为； ②∵数轴上有一点C到点A、点B的距离相等， ∴点C在点A和点B中间 ∵点A表示的数为8，点B表示的数为28 ∴C表示的数为； （2）解：①表示的是有理数x到8的距离为2 ∴当x在8左边时，； 当x在8右边时，； ②表示的是有理数x到的距离加上有理数x到8的距离， ∴当有理数x在和8之间时，的值最小 ∴此的最小值为； （3）解：设时间为t，根据题意得，点P表示的数为，点Q表示的数为 ∴ 整理得， ∴或 ∴或 ∴经过或6秒后P、Q两点之间的距离为2． 8．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）我们知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索： (1)填空：__________，若，则__________； (2)填空：使得成立的x是__________； (3)由以上探索，猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值，如果没有，说明理由． (4)由以上探索，猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，直接写出最小值，并写出此时x的值，如果没有，说明理由． 【答案】(1)9，6或 (2)或3 (3)有最小值，原式最小值为7 (4)有，当时，最小值为3 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离，涉及绝对值的知识，综合性比较强，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示，能够结合数轴确定式子的最小值是解决本题的关键． （1）直接运算得到的值，根据，则与1的距离等于5，进行解答即可； （2）由题可知，为表示x的点到表示到和2的点的距离和为8，据此进行分情况解答即可； （3）为表示x的点到表示和5的点的距离和，由图可知，当x处于和5之间时，根据两点之间线段最短，式子有最小值； （4）为表示x的点到表示1、3和4的点的距离和，先观察1和3两数，x点到这两点距离之和最小值需处在1和3之间，x又必须离4最近，则当时，以上条件均符合． 【详解】（1）解：根据题意可得，， 若，则与1的距离等于5，则或； 故答案为：9，6或 （2）表示在数轴上x到和2的距离之和为8， 当时，，解得， 当时，，x不存在， 当时，，解得， 综上可知，使得成立的x是或， 故答案为：或 （3）有最小值，最小值为7，理由是： 当时，根据两点之间线段最短，得到有最小值，最小值为； （4）有最小值， 为表示x的点到表示1、3和4的点的距离和， 由题可得，先观察1和3两数， ∴x点到这两点距离之和最小值需处在1和3之间，x又必须离4最近， 则当时，以上条件均符合， 当时，为最小值， 有最小值，当的时，最小值为3． 9．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）阅读下列材料：，即当时，，当时，，运用以上结论解决下面问题： (1)当时，若，，则______0； (2)当时，若，则______0； (3)已知，，是非零有理数，则______； (4)当与都是整数，且，求的值．（写出分类讨论的过程） 【答案】(1) (2) (3)或 (4)，过程见解析 【分析】本题考查了有理数的乘法和加法，绝对值的化简，运用分类讨论思想是解答本题的关键． （1）根据有理数的乘法法则和加法法则即可确定； （2）根据有理数的乘法法则即可确定； （3）分别对当a，b，c都是正数时，a，b，c都是负数时，当a，b，c中有两个正数，一个负数时，当a，b，c中有两个负数，一个正数时，四种情况下分别计算即可； （4）a与b都是整数，且，分情况讨论∶①，；②，；③，；④，，分别计算的值即可． 【详解】（1）解∶ 因为，， 所以， 因为， 所以， 故答案为：； （2）解：因为，， 所以， 故答案为：； （3）解∶ 当、、均为正数时，； 当、、均为负数时，； 当、、中有两个正数一负数时，不妨设，，，则 ； 当、、中有一个正数两个负数时，不妨设，，，则 ， 综上，的值为或， 故答案为：或； （4）解∶因为与都是整数，且， 分情况讨论： ①，，此时； ②，，此时； ③，，此时； ④，，此时， 所以的值为． 10．（24-25七年级上·山东临沂·阶段练习）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，求的值． (2)当时，求的值． (3)已知，是有理数，当时，试求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了化简绝对值，代数式求值等知识点，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）由可得，将代入原式即可得解； （2）由可得，将代入原式即可得解； （3）当时，可分为，同为正数或，同为负数两种情况，即可得解． 【详解】（1）解：当时，； （2）解：当时，； （3）解：， ，同为正数或，同为负数， 当，同为正数，即，时， ，， ； 当，同为负数，即，时， ，， ； 当时，的值为或． 类型三、有理数的运算阅读问题 11．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的差最大，如何抽取？最大值是多少？ 答：我抽取的2张卡片是_____、_____，差的最大值为_____． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ 答：我抽取的2张卡片是_____、_____，乘积的最大值为_____； (3)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？ 答：我抽取的2张卡片是_____、_____，商的最小值为_____． (4)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字用学过的运算方法，使结果为一个最大的数，如何抽取？最大的数是多少？ 答：我抽取的2张卡片是_____、_____，组成的最大数为_____． 【答案】(1)，，9 (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查有理数的运算： （1）抽取最大数和最小数，进行相减即可； （2）根据两个有理数相乘，同号为正，异号为负，得到积最大时，两数的符号相同，确定抽取的卡片即可； （3）根据商最小，为负数，分子为最大的负数，分母为最小的正数，确定卡片并计算即可； （4）根据结果最大为正数，以及乘方的结果最大，确定卡片并计算即可． 【详解】（1）抽取的卡片为：，，差为：； 故答案为：，，9； （2）∵， ∴抽取的卡片为，积为； 故答案为：，； （3）要使商最小，则商为负数，且分子为最大的负数，分母为最小的正数， ∴抽取的卡片为：，商为：； 故答案为：，； （4）运算结果最大，则结果为正数，根据整数的运算中，乘方运算的结果较大，选择卡片为：，最大数为：； 故答案为：，． 12．（24-25七年级上·山西临汾·阶段练习）项目化学习： 项目主题：数学活动课，数字游戏设计 在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品．下面我们用四个卡片代表四名同学（如图）： 【列式计算】 （1）列式，并计算： ①经过A、B、C、D的顺序运算后，结果是多少？ ②5经过B、C、A、D的顺序运算后，结果是多少？ 【探究应用】 （2）探究：数a经过D，C，A，B的顺序运算后，结果是5，a是______． 【答案】（1）①7；②206；（2） 【分析】（1）①根据题意，经过A、B、C、D的顺序运算，列式为，按照运算顺序计算即可． ②根据题意，5经过B、C、A、D的顺序运算，列式为，按照运算顺序计算即可． （2）根据题意，数a经过D，C，A，B的顺序运算，列式为，结果是5，得到，进而解答即可． 本题考查了根据程序式计算，含有乘方的混合运算，解方程，熟练掌握混合运算法则，解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：①根据题意，经过A、B、C、D的顺序运算， 列式为 ． ②解：根据题意，5经过B、C、A、D的顺序运算， 列式为， ． （2）解：根据题意，数a经过D，C，A，B的顺序运算，列式为，结果是5， 得到， 整理，得， ， 解得． 13．（24-25七年级上·辽宁·期末）如图是一个“有理数转换器”（箭头是表示输入的数进入转换器路径，方框是对进入的数进行转换的转换器）． (1)你认为这个“有理数转换器”不可能输出 数． (2)当小羽输入6时，输出的结果是 ；当小羽输入时，输出的结果是 ；当小羽输入2021时，输出的结果是 ． (3)你认为当输入 时，其输出结果是0． (4)有一次，小羽在操作的时候，输入有理数，输出的结果是2，且知道，你判断一下，小羽可能输入的是什么数？请把它们都写出来，并说明理由． 【答案】(1)负 (2)1；； (3)0或为正整数） (4)小羽可能输入的是或或2或9或13.5或16或，理由见解析 【分析】（1）逆向观察转换器，从输出结果倒推求解； （2）将三个数分别代入转化器中进行计算； （3）结合绝对值和倒数的意义，从转化器倒推分析求解； （4）设输入的数为n，分7种情况分析讨论，然后结合转换器中的运算程序计算求解． 【详解】（1）解：观察转化器可得：当取到相反数环节后，为正数时取倒数输出，非正数时取绝对值输出， 输出的结果一定是非负数， 即这个“有理数转换器”不可能输出负数． 故答案为：负； （2）解：当输入6时，， ，， 的相反数为1，， 1的倒数为1， 输出的结果为1； 当输入时，， 的相反数为，， 的倒数为， 输出的结果为； 当输入2021时，， ，， 的相反数为2，， 2的倒数为， 输出的结果为． 故答案为：1；；； （3）解：没有倒数，0的相反数是0，0的绝对值是0， 当输入的数小于等于4时，输入0时，输出的结果为0， 当输入的数大于4时，输入7的倍数时，输出结果为0， 综上，当输入0或为正整数）时，输出结果为0． 故答案为：0或为正整数）； （4）解：①当时，， 则的相反数为，且， 由于输出结果为2， ，即； ②当时，其相反数为，且， 由于输出结果为2， ，即； ③当时，其相反数为，且， 的绝对值为， 由于输出的结果为2， 此时； ④当时，，且， 的相反数为，且， 输出结果为2， ，即； ⑤当时，，且， 的相反数为，且， 输出结果为2， ，即； ⑥当时，，且， 的相反数为，且， 输出结果为2， ，即； ⑦当时，，且， 的相反数为，且， 输出结果为2， ，即， 综上，小羽可能输入的是或或2或9或13.5或16或． 【点睛】本题考查的是倒数、绝对值及相反数的概念，有理数混合运算，一元一次方程的应用等知识．解答此题的关键是弄清图表中所给的程序，在解（4）时要注意分类讨论． 14．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）现有5张卡片写着不同的数，利用所学过的加、减、乘、除运算按要求解答下列问题（每张卡片上的数只能用一次）： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数的差最小，这2张卡片是_________；差的最小值为_________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数相除的商最大，这2张卡片是______；则商的最大值为______； (3)从中取出3张卡片，使这3张卡片上的数的乘积最小，这3张卡片是_______；则乘积的最小值为_______； (4)从中取出乘积为较大负数的4张卡片，使这4张卡片上的数的运算结果为24．写出3个不同的算式，分别为_________，_________，_________． 【答案】(1)，； (2)，；6 (3)，，5； (4)；； 【分析】本题考查了有理数的加减乘除以及混合运算，熟知有理数的运算法则是解题关键． （1）根据图中卡片上的数字，结合有理数减法运算法则，列式进行计算即可； （2）根据图中卡片上的数字，结合有理数除法运算法则，列式进行计算即可； （3）根据图中卡片上的数字，结合有理数乘法运算法则，列式进行计算即可； （4）根据乘积为较大负数的4张卡片为、、、2，然后根据有理数四则混合运算法则，写出等式即可． 【详解】（1）解：这五个数中，最小的两个数是，最大的数是5，因此从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数的差最小，这2张卡片是，，差的最小值为； （2）解： 取出和，相除得． 所以商的最大值为6； （3）解：取出，，5，则乘积的最大值为． （4）解：从中取出乘积为较大负数的4张卡片为、、、2， 则：， ， ． 15．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）“24”点游戏的规则是这样的：在整数范围内任意取四个数，然后进行加、减、乘、除四则运算（每个数只能用一次，可使用小括号、中括号），使其结果等于24． 例如：取2、3、6、9这四个数进行运算，得：或或等． (1)用、、5、3这四个整数，写出1种算式，使其运算结果为24； (2)用、3、4、10这四个整数，写出2种不同的算式，使其运算结果为24； (3)用、2、8、11这四个整数，写出1种算式，使其运算结果为24． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】本题考查的是有理数的加减乘除混合运算，掌握有理数的加减乘除混合运算的运算顺序与运算法则是解题的关键． （1）利用，而，从而可得答案； （2）利用和，从而可得答案 （3）利用，从而可得答案． 【详解】（1）解：用、、5、3这四个整数，使其运算结果为24， 这个算式为； （2）用、3、4、10这四个整数，使其运算结果为24， 这个算式为或； （3）用、2、8、11这四个整数，使其运算结果为24， 这个算式为． 类型四、有理数的实际应用问题 16．（24-25七年级上·山东日照·阶段练习）某工艺厂计划一周生产工艺品2100个，平均每天生产300个，但实际每天生产量与计划相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减（单位：个） (1)写出该厂星期一生产工艺品的数量 (2)本周产量最多的一天比最少的一天多生产多少个工艺品？ (3)请求出该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量； (4)已知该厂实行每日计件工资制，每生产一个工艺品可得60元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖40元，少生产一个扣70元．试求该工艺厂在这一周应付出的工资总额． 【答案】(1)305 (2)26个 (3)个 (4)元 【分析】本题主要考查了正负数的意义、有理数混合运算的应用等知识，熟练掌握正负数表示相反意义的量以及相关运算法则是解题关键． （1）结合正负数的意义，计算该厂星期一生产工艺品的数量即可； （2）根据正负数的意义确定产量中最多的一天和最少的一天，然后求解即可； （3）300乘以7，然后加上把该工艺厂在本周每天生产工艺品的增减数量相加即可 （4）根据题意判断该工厂任务完成情况，根据本周的增减数量列出算式求解即可． 【详解】（1）解：（个）， 答：周一的产量为305个； 故答案为：305； （2）解：（个）， 答：产量最多的一天比产量最少的一天多生产26个； （3）解：（个）， 答：该工艺厂在本周实际生产工艺品的数量为2110个； （4）解：， （元）， 则该工艺厂在这一周应付出的工资总额为：， 答：该工艺厂在这一周应付出的工资总额为元． 17．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）刚刚过去的一年是中国新能源市场竞争最为激烈的一年，大量的低价新车扎堆上市，引发了一连串的官方降价，等等党绝对是赢麻了．如今的中国新能源市场，不仅价格持续走低，技术迭代周期也大幅缩短，还有众多传统汽车厂商、科技企业．某电车制造商为测试电车每公里的耗电量，现在一条南北方向的路上进行测试，从地出发，约定向南走为正，当天的行走记录如下（单位：千米）：，，，，，，，，，，，，． (1)测试结束时，该车在地的哪个方向？求此电车与地的距离； (2)若电车每千米耗电0.03度，求该车在测试过程中共耗电多少度． 【答案】(1)该车在地的南方，此电车与地的距离为2千米 (2)该车在测试过程中共耗电1.92度 【分析】本题考查正负数的实际应用和有理数运算的实际应用， （1）将所有数据相加后，根据和的情况以及正负进行判断即可； （2）用总路程乘以每千米的耗电，进行求解即可． 【详解】（1）解： （千米）， 答：测试结束时，该车在地的南方，此电车与地的距离为2千米； （2）解： （千米）， （度）， 答：该车在测试过程中共耗电1.92度． 18．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）国庆假期期间，小小准备每天坚持阅读，已知小小以平时每天阅读30页书为第1天的基准，后面每天的阅读量与前一天相比较，超过前一天的量记为“+”，低于前一天的量记为“”．下表是小小国庆假期期间的阅读量记录情况． 天数 1 2 3 4 5 6 7 阅读量 +3 +5 +3 m +2 +4 例如：第1天的“+3”代表第1天的阅读量是33页；第2天的“”代表第2天的阅读量是31页． (1)求小小第4天的阅读量； (2)若第6天的阅读量是37页，求第5天记录的数据m的值； (3)在（2）的条件下，若小小的平均阅读速度是每分钟1页，则假期7天，小小共花了多少小时阅读？ 【答案】(1)小小第4天的阅读量为39页； (2)； (3)小时 【分析】本题考查正负数的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列出算式是解答的关键． （1）根据“”计算即可求解； （2）根据“”计算即可求解； （3）计算出假期7天的阅读总量，再计算即可求解． 【详解】（1）解：小小第4天的阅读量为（页）； （2）解：∵第6天的阅读量是37页， ∴第5天记录的数据； （3）解：假期7天的阅读总量为（页）， （分钟）， 分钟（小时）， 答：小小共花了小时阅读． 19．（24-25七年级上·辽宁辽阳·阶段练习）学校组织七年级同学参观科技馆，共有学生242人，教师8人，科技馆售票处的“购票须知”如表所示． 成人票：每张12元 学生票：每张8元 团体票：每张10元 10人以上（含10人）可以购买团体票 (1)小强说：教师和学生分别购买“成人票”和“学生票”．根据小强的方案购票，需要多少钱？ (2)小红说：2名同学和8名老师一起购买“团体票”，其余同学购买“学生票”．请你算一算小红的购票方案需要多少元？ (3)比一比，谁的购票方案更划算？可以省多少元？ 【答案】(1)根据小强的方案购票，需要2032元钱 (2)小红的购票方案需要2020元 (3)小红的购买方案更划算，可以省12元 【分析】（1）根据费用=票价×人数，总费用=教师费用+学生费用，解答即可． （2）根据费用=票价×人数，总费用=教师费用+学生费用，解答即可． （3）比较大小，计算差值即可得解． 本题考查了有理数加减乘的混合运算，大小比较，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得 （元）， 答：根据小强的方案购票，需要2032元钱； （2）解：由题意得， （元）， 答：小红的购票方案需要2020元； （3）解：（元）， 答：小红的购买方案更划算，可以省12元． 20．（23-24八年级上·全国·单元测试）“脐橙结硕果，香飘引客来”，赣南脐橙以其“外表光洁美观，肉质脆嫩，风味浓甜芳香”的特点饮誉中外．现欲将一批脐橙运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运走；用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走，现有脐橙，计划同时租用 A 型车a 辆，B 型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满脐橙． 根据以上信息，解答下列问题： (1)1 辆A 型车和1辆B 型车都载满脐橙一次可分别运送多少吨? (2)请你帮该物流公司设计租车方案； (3)若1辆A 型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)1辆A 型车载满脐橙一次可运送，1 辆B 型车载满脐橙一次可运送 (2)一共有3种租车方案，方案一：租A型车1辆，B型车7辆；方案二：租A型车5辆，B 型车4辆；方案三：租A 型车 9辆，B 型车1辆 (3)最省钱的租车方案是方案一，即租A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为940元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程． （1）设1辆 A 型车载满脐橙一次可运送，1辆B 型车载满脐橙一次可运送，根据2辆A型车和1辆B型车载满脐橙一次可运走，用1辆A型车和2辆B型车载满脐橙一次可运走，列出方程组，解方程组即可； （2）根据1辆A 型车载满脐橙一次可运送，1 辆B 型车载满脐橙一次可运送，现有脐橙，列出二元一次方程，再求出二元一次方程的正整数解即可； （3）分别求出三种方案的租车费用，然后进行比较，即可得出答案． 【详解】（1）解：设1辆 A 型车载满脐橙一次可运送，1辆B 型车载满脐橙一次可运送，依题意得： 解得：， 答：1辆A 型车载满脐橙一次可运送，1 辆B 型车载满脐橙一次可运送； （2）解：依题意得：， ∵a，b均为正整数， ∴或或， ∴一共有3种租车方案： 方案一：租A型车1辆，B型车7辆； 方案二：租A型车5辆，B 型车4辆； 方案三：租A 型车 9辆，B 型车1辆． （3）解：方案一所需租金为：（元）； 方案二所需租金为：（元）； 方案三所需租金为： （元）； ∵， ∴最省钱的租车方案是方案一，即租A型车1辆，B型车7辆，最少租车费为940元． 类型五、关于有理数的运算的新定义问题 21．（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）已知m，n均为有理数，现规定两种新的运算： ，． 例如：，． (1)分别计算和的值． (2)观察下面两列等式： ①；        ①； ②；    ②； ③；    ③； ④；    ④； …        … 根据上述规律，直接写出 ． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，有理数的混合计算： （1）根据所给新定义直接列式计算即可； （2）观察前面的4个式子可得，两个连续的自然数做“”的运算结果为较小的数的2倍加1，两个连续的自然数做“”的运算结果为较小的数的2倍加1，据此规律先计算出，再计算出的结果即可． 【详解】（1）解：由题意得，； ； （2）解：①；        ①； ②；    ②； ③；    ③； ④；    ④； ……， 以此类推，，， ∴ ． 22．（24-25七年级上·辽宁鞍山·阶段练习）阅读材料并解决问题： 求的值， 解：令，等式两边同时乘2， 得 两式相减，得，所以 依据以上计算方法，请计算：的值． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，能根据阅读材料得出解题方法是解题的关键．根据所给阅读材料，依照所给方法，在所令的等式两边都乘3即可解决问题． 【详解】令， 等式两边同时乘以3得：． 两式相减得：， 所以． 23．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）小明是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同有理数（均不能为的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方．小明把记作，记作． (1)直接写出计算结果， ， ； (2)关于“有理数的除方”下列说法正确的是 ．（填序号） ①对于任何正整数，都有； ②，，； ③，； ④对于任何正整数，都有，． (3)小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式，为正整数，，，要求写出推导过程将结果写成幂的形式；（结果用含，的式子表示） (4)请利用（3）问的推导公式计算：，，，，． 【答案】(1)， (2)③ (3) (4) 【分析】本题考查有理数的运算．掌握除方的定义，是解题的关键． （1）根据除方的定义可得表示3个相除，表示4个3相除，再进行计算即可； （2）利用除方的定义，分别列式，再逐一进行计算判断即可； （3）根据除方的定义可得：表示个相除，再列式进行计算即可； （4）结合（3）中结论：，转换为乘方再进行求解即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解：①对于任何正整数n，当为奇数时：；故①错误； ②， ∴；故②错误； ③，故③正确； ④对于任何正整数n，为偶数，都有，故④错误； 故答案为：③ （3）解：； （4）解： ． 24．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）【溯源】“、”号是15世纪德国数学家魏德曼发明的，他在工作中发现用横线加一竖可以表示增加的意思，于是把“+”作为加号，从而“+”号中拿去“”竖，就可表示减少的意思，于是把“”作为减号．“”号是18世纪英国数学家欧德莱发明的，他觉得乘法也是增加的意思，但又和加法不同，于是他就把加号斜过来写，表示数字增加的另一种运算．“”号是“瑞士学者雷恩于1656年出版的一本代数书中提到的，当该书几年后被译成英文时，才逐渐被人们认识和接受．四则运算的性质和规律是许多数学理论的重要组成部分，对四则运算的深入研究和拓展，推动了数学的不断发展！” 【发现问题能力】小华同学通过初中这一个月以来关于有理数运算的学习，他深深感受到四则运算的运算法则是一套来源于生活实际，符合人们认知规律且具有“确定性、普适性，逻辑性、简洁性、自洽性”等特征的一种游戏规则． 【提出问题能力】基于以上学习和认识，小华同学也定义了一个新的运算@，满足以下两个要求：①；②，其中，，可以取任何有理数，问题为：求的值． 【分析问题能力】爱思考的小益同学看到上面的这个问题，做了以下尝试：第一步，先让②中的，于是就有了：，由①可以知道___________，于是有：记为（1）式． 第二步：令②中的，，则有，继续由①的条件，于是就有：____________．（用含字母的式子表示）记为（2）式． 结合（1）式和（2）式，聪明的你应该可以得到___________（用含字母，的式子表示）． 【解决问题能力】的值是_____________． 【拓展问题】已知，其中符号为绝对值，求的倒数． 【答案】分析问题能力：0，，；解决问题能力：；拓展问题：的倒数为或 【分析】本题考查定义新运算，绝对值方程，掌握新运算的法则是解题的关键： 分析问题能力：按照新定义的法则，进行作答即可； 解决问题能力：按照新定义的法则，进行计算即可； 拓展问题：按照新定义的法则，列出方程，求出的值，进而求出倒数即可． 【详解】解：分析问题能力：，， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：0，，； 解决问题能力：∵， ∴； 故答案为：12； 拓展问题：， ∴ ∴或， ∴的倒数为或． 25．（24-25七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）已知，，，…，按照这个规律完成下列问题： (1) ______． (2)猜想： ． (3)利用（2）中的结论计算：（写出计算过程）． 【答案】(1)225，5，6 (2) (3)669375 【分析】本题考查了数字的变化类问题，仔细的观察题目提供的算式并找到规律是解决此题的关键． （1）根据题目提供的三个算式利用类比法可以得到的结果； （2）根据上面的四个算式总结得到规律； （3）转化为后利用总结的规律即可求得答案． 【详解】（1）解：∵，，， 故答案为：225，5，6； （2）猜想： 故答案为： （3）解：原式 ． 类型六、整式的加减及求值问题 26．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）已知有理数，，，，，且，互为倒数，，互为相反数，的绝对值为，求式子的值． 【答案】 【分析】先根据倒数，相反数，绝对值的含义分别得到：，，，再整体代入求解代数式的值即可． 【详解】，互为倒数，，互为相反数，的绝对值为， ，，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是倒数、相反数、绝对值的含义，求代数式的值，掌握“整体代入的方法求解代数式的值”是解题的关键． 27．（24-25七年级上·河南新乡·阶段练习）“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，在多项式化简与求值中应用广泛． (1)把看成一个整体，将合并的结果是__________ (2)①已知，则__________； ②已知，则__________； (3)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】本题考查了整式的化简及求值，解题的关键是熟练掌握整式的运算法则以及整体代入思想． （1）把看成一个整体，根据乘法分配律的逆运算，即可进行化简； （2）①把看成一个整体进行化简，再代入值计算即可； ②把看成一个整体进行化简，再代入值计算即可； （3）将代数式提取一个，化为，再将，整体代入计算即可． 【详解】（1）解： ， ； 故答案为： （2）解：①， ， 故答案为：； ②， ； 故答案为： （3）解：，， ． 28．（23-24七年级上·广西桂林·期中）已知，． (1)求； (2)当时，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)7 (3) 【分析】本题考查整式加减中的化简求值、非负数的性质，熟练掌握非负数的性质是解答的关键． （1）根据整式的加减运算法则求解即可； （2）先根据绝对值和平方式的非负性求得a、b，然后代入（1）中化简式子中求解即可； （3）将代入（1）中化简式子中求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵， ∴，， 解得，， ∴ ； （3）解：∵， ∴， ∴ ． 29．（22-23七年级上·湖南永州·期末）图是湘教版七年级上册数学教材65页的部分内容．    明明同学在做作业时采用的方法如下： 由题意得，所以代数式的值为5． 【方法运用】： (1)若代数的值为5，求代数式的值； (2)当时，代数式的值为8．当，求代数式的值； (3)若，求代数式的值． 【答案】(1)5； (2)； (3) 【分析】本题考查了求代数式的值，能够整体代入是解此题的关键． （1 ）根据题意得出，求出，变形后代入，即可求出答案； （2 ）根据题意求出，求出，再把代入代数式，最后整体代入，即可求出答案； （3 ）根据，利用即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， 即， 所以； （2）∵当时，代数式的值为8， ∴， ∴， 当时， ； （3）∵， ∴，得， 整理得． 30．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）①已知多项式． （1）若多项式的值与字母的取值无关，求的值； （2）在（1）的条件下，先化简多项式，再求它的值； ②有理数a、b、c在数轴上的对应点如图，化简代数式：．    【答案】①（1），；（2），；② 【分析】本题考查了整式的加减运算和代数式求值． ①（1）先去括号、合并同类项，然后根据题意可得关于a、b的方程，进一步即可求出结果； （2）先去括号、合并同类项，然后把a、b的值代入化简后的式子计算即可； ②根据有理数，，在数轴上的位置可判断且，再根据绝对值性质去绝对值符号，然后合并同类项即可． 【详解】解：①（1）∵ ， ∵多项式的值与字母的取值无关， ∴，， ∴，； （2） , 当，时， 原式； ②由图可得，，且， ∴，，，， ． 类型七、整式加减中的无关性问题 31．（2024七年级上·贵州·专题练习）已知 (1)化简A； (2)若，且A与B的差不含x的一次项，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减运算，整式加减运算中的无关型问题，熟练掌握去括号，合并同类项的法则，是解题的关键： （1）去括号，合并同类项，进行化简即可； （2）先求出A与B的差，根据结果不含x的一次项，得到含x的一次项的系数为0，进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2） ， ∵A与B的差不含x的一次项， ∴， ∴． 32．（2024七年级上·全国·专题练习）老师写出一个整式：，其中、为常数，且表示为系数，然后让同学们给、赋予不同的数值进行计算． (1)甲同学给出了一组数据，然后计算的结果为，则甲同学给出、的值分别是　 　，　　； (2)乙同学给出了，，请按照乙同学给出的数值化简整式； (3)丙同学给出一组数，计算的最后结果与x的取值无关，请直接写出丙同学的计算结果． 【答案】(1)4，2 (2) (3) 【分析】本题考查了整式的加减，掌握去括号、合并同类项法则是解决本题的关键． 先算出整式的结果． （1）根据甲同学的计算结果，算出、的值即可； （2）根据，，代入化简整式即可； （3）根绝最后的结果与取值无关，计算出最后的结果． 【详解】（1）解： ． 甲计算的结果为， ，． ，． 故答案为：4，2； （2）解：乙同学给出了，， 计算结果为 ． （3）解：丙同学计算的最后结果与的取值无关， ，． ，． 当，时，丙同学的计算结果． 33．（23-24七年级上·天津·期中）已知：，． (1)化简：； (2)若的值与字母x的取值无关，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查整式的加减，属于基础的代数计算题，难度不大．解题的关键是熟知整式的加减运算法则． （1）根据整式的加减运算法则即可求解； （2）把化为，根据值与x的取值无关得到，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：由（1）知：， ∵的值与字母x的取值无关， ∴， ∴． 34．（2024七年级上·全国·专题练习）（1）学习了整式的加减运算后，老师给同学们性了一个任务： 已知，自行给b取一个喜欢的数．先化简下列式子，再代入求值． ． 小杜、小康、小磊三人经过化简计算，后来交流结果时发现，虽然三人给b取的值都不同，但计算结果却完全一样．请解释出现这种情况的原因，并求这个计算结果． （2）已知代数式． ①当时，求的值； ②若的值与y的取值无关，求x的值． 【答案】（1）原式的化简结果与b的取值无关，结果为29；（2）①；②1 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，整式加减中的无关型问题： （1）先把所求式子去括号，然后合并同类项化简得到，据此可得化简的结果与b的取值无关，在代入a的值计算即可； （2）①先根式整式的加减计算法则求出的结果，再代值计算即可； ②先根式整式的加减计算法则求出的结果，再根据的值与y的取值无关，即化简结果含y的项的系数为0，据此求解即可． 【详解】解：（1） ， 当时，原式； ∴无论b取何值，的化简结果都与b的值结果无关； （2）①∵ ∴ ， 当时，原式； ②∵， ∴ ， ∵的值与y的取值无关， ∴， ∴． 35．（22-23七年级上·四川达州·期末）如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，，且．    (1)A、B对应的数分别为 、 ； (2)点A、B分别以4个单位/秒和3个单位/秒的速度同时向右运动，点P从原点O以7个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数m，使得为定值，若存在，请求出m值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在使得的值是定值，定值为55 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，整式加减中的无关型问题： （1）根据题意计算出，再根据数轴上两点距离计算公式可得答案； （2）设运动时间为t，则点A表示的数为，点B表示的数为，点P表示的数为，据此分别表示出，再根据整式的加减计算法则求出，再根据是定值，即值与t无关进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴点A对应的数为，点B对应的数为， 故答案为：；； （2）解：设运动时间为t，则点A表示的数为，点B表示的数为，点P表示的数为， ∴，，， ∴ ， ∵是定值， ∴， ∴， ∴存在使得的值是定值，定值为55． 类型八、整式的加减的应用问题 36．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）如图是一块长方形花园，内部修有两个凉亭及过道，其余部分种植花圃（阴影部分）． (1)用整式表示花圃的面积； (2)若米，修建花圃的成本是每平方米80元，求修建花圃所需费用． 【答案】(1) (2)17600元 【分析】此题考查了代数式求值，整式的加减，以及列代数式，根据题意列出关系式是解本题的关键． （1）根据大矩形面积减去两个小矩形面积表示出花圃面积即可； （2）把a的值代入计算即可求出． 【详解】（1）解：根据题意得： （）； 答：花圃的面积是． （2）解：当时，花圃面积为（）， 修建花圃所需费用：（元）． 答：修建花圃所需费用是17600元． 37．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知A、B是两个边长不相等的正方形纸片，它们的边长之和是m，边长之差是n． (1)如图1，用含m、n的代数式表示A、B两个正方形纸片的面积之和：________，当，时，A、B两个正方形纸片的面积之和为________． (2)如图2，如果A、B两个正方形纸片的面积之和为5，阴影部分的面积为2，试求m、n的值． (3)现将正方形纸片A、B并排放置后构造新的正方形得图3，将正方形纸片B放在正方形纸片A的内部得图4，如果图3和图4中阴影部分的面积分别为12和1，那么A、B两个正方形纸片的面积之和为________． 【答案】(1)，； (2)，； (3) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，完全平方公式的应用，整式的加减的应用，熟练掌握完全平方公式，正确找出题目中的等量关系是解题关键． （1）设A、B两个正方形纸片的边长分别为、，根据图形的特点列出方程组，从而求出大正方形的面积与小正方形的边长，进而得到面积和，再代入计算即可； （2）设A、B两个正方形纸片的边长分别为、，由题意得：，，进而求出，，即可求出m、n的值； （3）设A、B两个正方形纸片的边长分别为、，由题意得：，，进而求得，即可求出面积和． 【详解】（1）解：设A、B两个正方形纸片的边长分别为、， 由题意得：，解得：， A、B两个正方形纸片的面积之和为， 当，时，A、B两个正方形纸片的面积之和为， 故答案为：，； （2）解：设A、B两个正方形纸片的边长分别为、， 由题意得：，， ，， ， ， ，； （3）解：设A、B两个正方形纸片的边长分别为、， 由题意得：，， ， ， A、B两个正方形纸片的面积之和为， 故答案为：． 38．（2024七年级上·浙江·专题练习）按照“双减”政策，丰富课后托管服务内容，学校准备订购一批篮球和跳绳，经过市场调查后发现篮球每个定价120元，跳绳每条定价20元．某体育用品商店提供A、B两种优惠方案： A方案：买一个篮球送一条跳绳； B方案：篮球和跳绳都按定价的付款． 已知要购买篮球50个，跳绳x条（）． (1)若按A方案购买，一共需付款 元；（用含x的代数式表示），若按B方案购买，一共需付款 元；（用含x的代数式表示） (2)当时，请通过计算说明此时用哪种方案购买较为合算？ (3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？请写出你的购买方案，并计算需付款多少元？ 【答案】(1) (2)购买150根跳绳时，A种方案所需要的钱数为8000元，B种方案所需要的钱数为8100元 (3)按A方案买50个篮球，剩下的100条跳绳按B方案购买，付款7800元 【分析】本题考查列代数式，代数式求值，根据题意，正确的列出代数式，是解题的关键： （1）由题意按A方案购买可列式：，在按B方案购买可列式：； （2）把代入（1）中的结果计算AB两种方案所需要的钱数即可； （3）先算全按同一种方案进行购买，计算出两种方案所需付款金额，再根据A方案是买一个篮球送跳绳，B方案是篮球和跳绳都按定价的付款，考虑可以按A方案买50个篮球，剩下的50条跳绳按B方案购买，计算出所需付款金额，进行比较即可． 【详解】（1）解：A方案购买可列式：元； 按B方案购买可列式：元； 故答案为：； （2）由（1）可知， 当，A种方案所需要的钱数为（元）， 当，B种方案所需要的钱数为（元）， 答：购买150根跳绳时，A种方案所需要的钱数为8000元，B种方案所需要的钱数为8100元． （3）按A方案购买50个篮球配送50个跳绳，按B方案购买150个跳绳合计需付款： （元）； ∵， ∴省钱的购买方案是： 按A方案买50个篮球，剩下的100条跳绳按B方案购买，付款7800元． 39．（21-22七年级上·江苏无锡·阶段练习）月历中的数学：观察如图所示的2020年11月的月历，解答下列问题： (1)用形如□的长方形框去框月历里同一行的4个连续的数． ①若框里4个数中的最小数记为，用含的代数式表示这4个数的和为_____，这4个数的和的最大值是_____． ②若框里4个数的和是66，则这4个数分别是多少？ (2)用一个的长方形框去任意框12个数（如图），框里的12个数的和能等于222吗？能等于246吗？若能，请求出框里的12个数中的最小数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)①，106；②15，16，17，18 (2)能等于222，最小数为10，不能等于246，理由见解析 【分析】本题主要考查了整式加减的应用，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并能结合月历的特点是解题的关键． （1）①根据日历的特点分别表示出其他三个数，然后求和即可；根据月历的特点，可以找到框25，26，27，28时，和最大；②若框里4个数中的最小数记为，那么其它三个数分别为，，，那么这4个数的和为，然后解方程求出的值，进而求出其他三个数； （2）设最小数为，那么第一行的四个数分别是，，，，那么第一行的和为，第二行的四个数分别是，，，， 第二行的和为，第三行的四个数分别是，，，，第三行的和为，由题意可知，分别等于222和246，分别解得答案，然后结合月历，看是否符合月历的特点． 【详解】（1）解：①若框里4个数中的最小数记为，那么其它三个数分别为，， 那么这4个数的和为 从月历上看，可知当框起来的数是25，26，27，28时，和最大，最大值为106． ②若框里4个数中的最小数记为，那么其它三个数分别为，， 那么这4个数的和为，由题意可知 解得 那么这4个数分别为15，16，17，18． （2）解：设最小数为，那么第一行的四个数分别是，，，，那么第一行的和为，第二行的四个数分别是，，，， 第二行的和为，第三行的四个数分别是，，，，第三行的和为，由题意可知 解得： 从月历看，这12个数分别是10，11，12，13，17，18，19，20，24，25，26，27； ∴能等于222，这12个数分别是10，11，12，13，17，18，19，20，24，25，26，27；最小的数字是10， 不能等于246，理由如下： 当 解得： 从月历看，最小的数字是12，一行只有三个数，不符合要求． 40．（23-24七年级上·福建三明·期中）如图，A，B和C为公路边在同一直线上的三个村庄，A，B两村相距50千米，B，C两村相距120千米，A村年产河龙贡米50吨，B村年产河龙贡米10吨，C村年产河龙贡米60吨，要在这条公路边修建一个粮食加工厂收购这些河龙贡米，若从A村运往C村方向的运费是1.5元/（吨·千米），从C村运往A村的运费是1元/（吨·千米）． (1)若把加工厂建在线段的中点位置，请你计算此时的总运费是多少元？ (2)若把加工厂建在B，C两村之间，且距离B村x千米处，用含x的代数式表示此时的总运费． (3)请你通过分析比较，粮食加工厂应该建在何处才能使总运费最低？ 【答案】(1)元 (2)元 (3)粮食加工厂应该建在村 【分析】本题考查了有理数的加法和乘法的应用，列代数式，整式的运算，正确理解题意是解题的关键． （1）分别计算送到的费用，再进行加法计算即可； （2）同（1）用的代数式表示送到的费用，再进行加法计算即可； （3）当点在两村之间，设距离村，则表示出总费用为元，可发现代数的值随着距离的增大而增大，即可求出最小值，再与点在两村之间时求出的最小值进行比较即可． 【详解】（1）解：如图： 由题意得，， ∴， ∴A送到M的费用为：元， 送到的费用为：元， 送到的费用为：元， ∴总费用为：元 （2）解：如图： 由题意得，总费用为：， ∴总费用为元； （3）解：当点在两村之间，设距离村， 如图： 此时的总费用为：， 当点在两村之间，可以发现代数式的值随着路程距离的增大而增大，则当时，费用最低为元； 由（2）知当点在两村之间，可以发现代数式的值随着路程距离的增大而增大，则当时，费用最低为元， 由得，粮食加工厂应该建在村，费用最低且为元． 类型九、数字的变化规律探究问题 41．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）观察算式： ， ， ； … (1)按规律填空： ①__________________； ②_________________； (2)计算（由此拓展写出具体过程）： ； 【答案】(1)①；；②； (2) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索： （1）观察前面几个式子可得规律，据此规律求解即可； （2）观察，，，可得，据此把所求式子裂项求解即可． 【详解】（1）解：， ， ； ……， 以此类推可知，； ①， 故答案为：；； ② ； 故答案为：；； （2）解：， ， ， ……， 以此类推可知，， ∴ ． 42．（24-25七年级上·上海·阶段练习）如图所示，每个圆周上的数是按下述规则逐次标出的：第一次先在圆周上标出，两个数（如图甲）；第二次又在第一次标出的两个数之间的圆周上分别标出这两个数的和（如图乙）；第三次再在第二次标出的所有相邻两数之间的圆周上，分别标出这相邻两数的和（如图丙）；按照此规则，以此类推，一直标下去． (1)设n是大于1的自然数，第次标完数字后，圆周上所有数字的和记为；第n次标完数字后，圆周上所有数字的和记为．试写出与的等量关系； (2)请你求出的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分析总结归纳能力，关键在于通过计算每次标注完的和，由数的变化推出数的变化规律． （1）由题意可求出，，，即推出，，从而得出； （2）将代入，求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， …… ， ， 所以，，……，； （2）解：由（1）可知． 43．（23-24七年级上·广东广州·期中）将正整数，排成如图的数表，用图中所示的方框出9个数，不改变方框的大小，把方框任意移动． 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第六列 第一行 1 2 3 4 5 6 第二行 7 8 9 10 11 12 第三行 13 14 15 16 17 18 第四行 19 20 21 22 23 24 第五行 25 26 27 28 29 30 …… …… (1)若方框正中心数为17，则方框中的9个数的和为 ． (2)设方框正中心数为，则方框中的9个数的和与方框正中心的数有什么关系？为什么？ (3)方框中9个数的和可能是3330吗？若可能，请求出方框正中心数落在第几行，第几列？若不可能，说说你的理由． 【答案】(1)153 (2)方框中的9个数是方框正中心的数的9倍 (3)第62行，第4列 【分析】本题考查了整式的加减，一元一次方程的应用，理清中间数与周围8个数的关系是解答本题的关键． （1）根据表格列式求解即可； （2）根据中间数与周围8个数的关系列方程求解即可； （2）根据中间数与周围8个数的关系列方程求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴方框中的9个数是方框正中心的数的9倍． （3）解：设方框正中心数为， 由题意，得， ∴， ∵第1行最后一个数是， 第2行最后一个数是， 第3行最后一个数是， …， ∴第n行最后一个数是， ∴第61行最后一个数是， ∴370落在第62行，第4列． 44．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）阅读材料： 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 请解答下列问题： (1)按以上规律列出第5个等式________________． (2)求的值． (3)依照上述方法，试计算 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律． （1）根据题意发现规律：等号后面的式子分子不变，均为1；分母是两个连续奇数的乘积，最后等于两个连续奇数分之一差的一半，即可得到第5个等式； （2）根据题目式子的规律得到，再代入计算求值即可． （3）根据规律，结合所给的等式的形式，对所求的式子进行整理，再求解即可． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ∴第5个等式， 故答案为：； （2）解：由题意可得， ∴ ； （3）解： ． 45．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）定义一种对整数的“”运算：，以表示对整数进行次“”运算．例如，表示对1进行2次“”运算，由于1是奇数，因此，第一次运算的结果为，由于第一次运算的结果6是偶数，故第二次运算的结果为，所以的运算结果是3．据此回答下列问题： (1)求的运算结果． (2)若为奇数，且的运算结果为6，求的值． (3)若为奇数，且的运算结果为4，直接写出的值． 【答案】(1)2 (2)7 (3)11 【分析】本题主要考查了新定义下的运算、代数式求值、解一元一次方程，数字类规律探索等知识，理解新定义的对正整数进行次“”运算是解题关键． （1）根据新定义的对正整数进行次“”运算求解即可； （2）根据是奇数，进行2次计算求解即可； （3）是奇数，可得第一次运算结果为，第二次运算结果为， 为偶数求解即可． 【详解】（1）解：依题意可得，表示对4进行1次“”运算， ， ； （2）若为奇数，且的运算结果为6， 第一次运算结果为， 为偶数， 第二次运算结果为， （3）若为奇数，且的运算结果为4， 第一次运算结果为， 为偶数， 第二次运算结果为， 为偶数，第三次运算结果为 解得：． 类型十、图形的变化规律探究问题 46．（23-24七年级上·安徽·单元测试）观察下列图形中点的个数． (1)图2中点的个数是 ； (2)若按其规律再画下去，如果图形中有36个点，那它是第 个图形； (3)若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为 （用含n的代数式表示）． 【答案】(1)9； (2)5； (3)． 【分析】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字的运算规律，利用规律解决问题． （1）图2中点的个数为： （2）由第1个图形中点的个数为：， 第2个图形中点的个数为：，第3个图形中点的个数为：，得出第n个图形中点的个数为：，进一步得出也就是第5个图形； （3）利用 （2）中的规律得出答案即可． 【详解】（1）解：图2中点的个数是：， 故答案为：； （2）解：第1个图形中点的个数为： 第2个图形中点的个数为： 第3个图形中点的个数为：， … ∴第n个图形中点的个数为： ， ∴ ∴是第5个图形， 故答案为：5； （3）解：第n个图形中点的个数为： 故答案为：． 47．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）如下图，通过观察，小丽同学发现可以用这样的方法确定每个图形中黑色和白色小正方形的总个数：图（）中共有个黑色小正方形，图（）中共有个黑白小正方形，图（）中共有个黑白小正方形，图（）中共有个黑白小正方形，回答下列问题： (1)根据前四个图中计算黑白小正方形的总个数的方法和规律，则第（）个图中计算小正方形个数的等式是：___________； (2)根据规律，第个图比第个图多___________个小正方形； (3)根据每个图中计算黑白小正方形总个数的方法和规律，计算 ； ． 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】（）根据各图形中小正方形个数的变化可找出变化规律即可求出结论； （）根据各图形中小正方形个数的变化可找出变化规律“第个图形中有小正方形的个数为：（个）”，然后把和代入即可求解； （）利用（）的规律即可求解； 利用（）的规律即可求解； 【详解】（1）解：图（）中共有个黑色小正方形， 图（）中共有个黑白小正方形， 图（）中共有个黑白小正方形， 图（）中共有个黑白小正方形， ∴图（）中共有个黑白小正方形， 故答案为：； （2）解：∵图（）中共有个黑色小正方形， 图（）中共有个黑白小正方形， 图（）中共有个黑白小正方形， 图（）中共有个黑白小正方形， 图（）中共有个黑白小正方形， ， 则图（）中共有个黑白小正方形， ∴第个图比第个图多（个）， 故答案为：； （3）由（）得图（）中共有个黑白小正方形， ∴，解得：， ∴； ，解得：， ∴ ． 48．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，图1是个正五边形，分别连接这个正五边形各边中点得到图2，再分别连接图2小正五边形各边中点得到图3： (1)填写下表： 图形标号 1 2 3 正五边形个数 三角形个数 (2)按上面方法继续连下去，第n个图中有多少个三角形？ (3)能否分出246个三角形？简述你的理由． 【答案】(1)第一行：1，2，3；第二行：0，5，10 (2)个 (3)不能分出246个三角形 【分析】本题考查图形变化类的规律探究问题，找准图形变化中的一般规律是解题关键． （1）根据每个图形直接分析出结果即可； （2）根据前三个图形总结出一般规律即可； （3）利用（2）的结论，建立方程，判断求解出的n是否为正整数即可． 【详解】（1）解：观察图形可得： 图1，正五边形：1个，三角形：0个； 图2，正五边形：2个，三角形：5个； 图3，正五边形：3个，三角形：10个； 故答案为：第一行：1，2，3；第二行：0，5，10； （2）解：由前三个图形中三角形的个数得出： 第n个图形中，三角形的个数为：个； （3）解：不能，理由如下： 要使得分出246个三角形， 即满足，其中n为正整数即可， 而上式解得，，并非正整数， ∴不能分出246个三角形． 49．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，一张圆桌的周围有20个箱子，按顺时针方向编号1～20．小明在1号箱子中丢入一颗红球后，沿着圆桌按顺时针方向行走，每经过一个箱子就依下列规则丢入一颗球： ①若前一个箱子丢红球，则经过的箱子就丢绿球； ②若前一个箱子丢绿球，则经过的箱子就丢白球； ③若前一个箱子丢白球，则经过的箱子就丢红球． 如果他沿着圆桌走了100圈，那么4号箱内红球共有多少颗？说说你是如何思考的． 【答案】走100圈，4号箱内会有34颗红球． 【分析】本题考查找规律，解题的关键是能够找出题目的中的规律．根据图形的变化规律得第圈会在4号箱内丢一颗红球，即可求出结果． 【详解】解：第一圈红球在1、4、7、10、13、16、19号箱内， 第二圈红球在2、5、8、11、14、17、20号箱内， 第三圈红球在3、6、9、12、15、18号箱内， 第四圈红球在1、4、7、10、13、16、19号箱内， … 第1、4、7、10…圈会在4号箱内丢一颗红球， ， ∴走100圈，4号箱内会有34颗红球． 50．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）将正方形（如图1）作如下划分，第次划分：分别连接正方形对边的中点（如图），得线段和，它们交于点，此时图中共有个正方形；第次划分：将图左上角正方形再划分，得图，则图中共有个正方形； (1)若把左上角的正方形依次划分下去，则第次划分后，图中共有______个正方形． (2)继续划分下去，第次划分后图中共有______个正方形； (3)能否将正方形划分成有个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查图形规律题， （1）根据题意找出规律进行计算即可； （2）探究规律，利用规律即可解决问题； （3）构建方程即可解决问题； 解题的关键是学会并掌握从特殊到一般的探究规律的方法．也考查了一元一次方程的应用． 【详解】（1）解：∵第次可得个正方形，即：（个）， 第次可得个正方形，即：（个）， 第次可得个正方形，即：（个）， ∴第次可得正方形：（个）， 第次可得正方形：（个）， 故答案为：； （2）由（1）得：第次可得个正方形， 故答案为：； （3）不能， 理由：依题意得：， 解得：， ∵是正整数， ∴当时不符合题意， ∴不能将正方形划分成个正方形的图形． ( 63 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$