4.1：指数【5大题型】-2024-2025学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第一册）

4.1指数 【考点梳理】 · 考点一：指数和指数幂的运算 · 考点二：利用根式的性质化简或求值 · 考点三：根式与分数指数幂的互化 · 考点四：运用指数幂运算公式化简求值 · 考点五：分数指数幂运算的综合应用 【知识梳理】 知识点一：n次方根、n次根式 1．a的n次方根的定义:一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. 2．a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 a∈R n为偶数 ± [0，＋∞) 3.根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 知识点二：根式的性质 1.＝0(n∈N*，且n>1)． 2．()n＝a(a≥0，n∈N*，且n>1)． 3.＝a(n为大于1的奇数)． 4.＝|a|＝(n为大于1的偶数)． 知识点三：分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 负分数指数幂 规定：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义 知识点四：有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 【题型归纳】 题型一：指数和指数幂的运算 1．（24-25高一上·江苏宿迁）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）下列运算结果中，正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（22-23高一上·浙江台州）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二：利用根式的性质化简或求值 4．（23-24高一上·江苏连云港·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（21-22高一上·全国·课后作业）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 6．（21-22高一·江苏·单元测试）有下列四个式子： ① ； ② ； ③ ； ④ 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 题型三：根式与分数指数幂的互化 7．（24-25高一上·全国）下列根式与分数指数幂的互化错误的是（   ） A． B． C． D． 8．（22-23高一上·上海徐汇·阶段练习）化简： ． 9．（23-24高一上·山西临汾·期中） （1）计算； （2）化简． 题型四：运用指数幂运算公式化简求值 10．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·江苏镇江·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知，求下列各式的值： (1)；(2) 题型五：分数指数幂运算的综合应用 13．（23-24高一上·广东广州·期中）计算下列各式： (1)； (2) 14．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）（1）计算：； （2）计算：； （3）已知，求的值． 15．（23-24高一上·广东广州·期中）化简求值： (1) (2)若，求下列各式的值： ① ； ②. 【高分达标】 一、单选题 16．（24-25高一上·全国）化简的结果是（    ） A． B． C．3 D．5 17．（24-25高一上·全国·课后作业）下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 18．（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）下列式子中成立的是（    ）． A． B． C． D． 19．（23-24高一上·上海·期中）已知，将表示成有理指数幂，其结果是（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一上·江苏泰州·期中）已知，则等于（    ） A．6 B．12 C．14 D．16 21．（23-24高三上·广东中山）设，将表示成指数幂的形式，其结果是（    ） A． B． C． D． 22．（22-23高一上·黑龙江大庆·期中）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 23．（2020高三·全国·专题练习）化简(，)的结果是（    ） A． B． C． D． 24．（20-21高一·江苏·课后作业）若，，且，则（    ） A．-2 B．-4 C．2 D．4 二、多选题 25．（2022高一上·全国·专题练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 26．（2023高一·全国）下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 27．（22-23高一上·江苏连云港·阶段练习）已知，则下列选项中正确的有（     ） A． B． C． D． 28．（21-22高一上·江苏南京·期中）已知实数a满足，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 29．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知实数满足：，则 . 30．（24-25高一上·全国）若，则 . 31．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为 . 32．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·期中）若，则 . 33．（2023高一上·全国·专题练习）已知，则的值为 ． 四、解答题 34．（25-26高一上·全国·课前预习）化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4). 35．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）（1）用分数指数幂的形式表示下式：； （2）求值：； （3）化简：. 36．（23-24高一上·天津和平·期中）计算或化简下列各式： (1)； (2)． 37．（2023高一·上海·专题练习）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4) 38．（24-25高一上·江苏南通） （1）计算：； （2）已知，求下列各式的值： ①； ②. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.1指数 【考点梳理】 · 考点一：指数和指数幂的运算 · 考点二：利用根式的性质化简或求值 · 考点三：根式与分数指数幂的互化 · 考点四：运用指数幂运算公式化简求值 · 考点五：分数指数幂运算的综合应用 【知识梳理】 知识点一：n次方根、n次根式 1．a的n次方根的定义:一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. 2．a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 a∈R n为偶数 ± [0，＋∞) 3.根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 知识点二：根式的性质 1.＝0(n∈N*，且n>1)． 2．()n＝a(a≥0，n∈N*，且n>1)． 3.＝a(n为大于1的奇数)． 4.＝|a|＝(n为大于1的偶数)． 知识点三：分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 负分数指数幂 规定：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义 知识点四：有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 【题型归纳】 题型一：指数和指数幂的运算 1．（24-25高一上·江苏宿迁）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法运算法则依次进行运算即可求解． 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确； 故选：D． 2．（23-24高一上·河南南阳·阶段练习）下列运算结果中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数幂的运算性质和分数的运算性质逐个分析判断. 【详解】对于A，，所以A错误， 对于B，，所以B错误， 对于C，，所以C错误， 对于D，，所以D正确， 故选：D 3．（22-23高一上·浙江台州）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数幂运算法则进行计算. 【详解】A选项，，A错误； B选项，，B错误； C选项，，C正确； D选项，，D错误. 故选：C 题型二：利用根式的性质化简或求值 4．（23-24高一上·江苏连云港·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用根式的运算性质即可判断出正误. 【详解】，，故A错误； ，故B错误； ∵，∴当为奇数时，；当为偶数时，，故C错误； 成立，故D正确. 故选：D. 5．（21-22高一上·全国·课后作业）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分析的取值范围，再进行根式化简. 【详解】由题意得，，即， 所以. 故选：B 6．（21-22高一·江苏·单元测试）有下列四个式子： ① ； ② ； ③ ； ④ 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用公式进行求解. 【详解】① 正确；② ，② 错误；③ ，③ 错误；④ ，若，则，若，则，故④ 错误． 故选：A 题型三：根式与分数指数幂的互化 7．（24-25高一上·全国）下列根式与分数指数幂的互化错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分数指数幂的运算法则求解. 【详解】对于A选项，，故A正确； 对于B选项，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：B． 8．（22-23高一上·上海徐汇·阶段练习）化简： ． 【答案】 【分析】将根式转化为分数指数幂，再利用指数幂的运算法则进行计算. 【详解】. 故答案为：. 9．（23-24高一上·山西临汾·期中）（1）计算； （2）化简． 【答案】（1）41；（2） 【分析】（1）由指数幂的运算规则化简计算； （2）由分数指数幂与根式的关系和指数幂的运算规则化简计算 【详解】（1）； （2）. 题型四：运用指数幂运算公式化简求值 10．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据式子结构，对所求式子平方后即可求解. 【详解】由，可得. 故选：B. 11．（23-24高一上·江苏镇江·期中）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将两边平方得代入所求的式子可得答案. 【详解】将两边平方，得，即， 所以. 故选：A. 12．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知，求下列各式的值： (1)；(2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将原式平方后可得，再配方后可得，故可求原式的值； （2）结合（1）中的结果配方可得，故可求原式的值. 【详解】（1）因为，故， 故，而，故， 故. （2）由（1）可得，故， 故，故. 题型五：分数指数幂运算的综合应用 13．（23-24高一上·广东广州·期中）计算下列各式： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】利用分数指数幂和根式运算法则计算出结果. 【详解】（1） ； （2） 14．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）（1）计算：； （2）计算：； （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）利用根式及指数运算计算即得. （2）利用指数运算法则化简即得. （3）利用分数指数幂的运算计算即得. 【详解】（1）. （2）. （3）由，得，， 所以. 15．（23-24高一上·广东广州·期中）化简求值： (1) (2)若，求下列各式的值： ① ； ②. 【答案】(1) (2)①，②或 【分析】（1）由指数幂运算性质运算求解即可； （2）①将原式平方后求解即可；②设，平方后求解即可. 【详解】（1）原式 （2）①∵，∴，即，∴， ∴. ②当时，设，则，即，∴， 又∵，∴，∴. ∴或. 【高分达标】 一、单选题 16．（24-25高一上·全国）化简的结果是（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】A 【分析】根据指数幂的运算性质求解即可. 【详解】由题意可得：. 故选：A. 17．（24-25高一上·全国·课后作业）下列运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分数指数幂的运算性质逐个分析判断即可. 【详解】对于A，，所以A错误， 对于B，，所以B错误， 对于C，当，即时，，所以C错误， 对于D，，所以D正确. 故选：D 18．（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）下列式子中成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由得，对于A，由和即可判断；对于BD，由时无意义即可判断；对于C，由得得解. 【详解】由可知， 对于A，，，故A错误； 对于B，时，，而无意义，故B错误； 对于C，，，且，故C正确； 对于D，时，，而无意义，故D错误； 故选：C. 19．（23-24高一上·上海·期中）已知，将表示成有理指数幂，其结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将根式化为分数指数幂形式，再进行指数运算. 【详解】由，则， 故选：C. 20．（23-24高一上·江苏泰州·期中）已知，则等于（    ） A．6 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【分析】对两边同时平方，即可得出答案. 【详解】由可得：， 则. 故选：C. 21．（23-24高三上·广东中山·阶段练习）设，将表示成指数幂的形式，其结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合根式与分数指数幂的互化，根据指数运算法则化简即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：C 22．（22-23高一上·黑龙江大庆·期中）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式与指数幂的互化逐项判断可得答案. 【详解】对于A选项：，，故A错误； 对于B选项：，故B错误； 对于C选项：，故C正确； 对于D选项：当时，，而当时，没有意义，故D错误. 故选：C 23．（2020高三·全国·专题练习）化简(，)的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据实数指数幂的运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】根据实数指数幂的运算法则得：原式. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了实数指数幂的化简、求值，其中解答中熟记指数幂的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查计算能力. 24．（20-21高一·江苏·课后作业）若，，且，则（    ） A．-2 B．-4 C．2 D．4 【答案】A 【分析】对两边平方，可得的值，进而可计算出，再根据已知条件判断出的符号，开方即可． 【详解】，则，故， ，，，故，故. 故选：A 【点睛】本题考查指数幂的运算，考查完全平方公式的应用，属于基础题． 二、多选题 25．（2022高一上·全国·专题练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据分式与指数幂的互化逐项判断可得答案. 【详解】对A：，错； 对B：，错； 对C：，对； 对D：，对. 故选：CD 26．（2023高一·全国·专题练习）下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】BC 【分析】根据指数幂和根式的的概念相互转化. 【详解】对于A，（），故A错误； 对于B，（），故B正确； 对于C，（），故C正确； 对于D，，而无意义，故D错误. 故选：BC 27．（22-23高一上·江苏连云港·阶段练习）已知，则下列选项中正确的有（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】A选项，对两边平方可得结果； B选项，先计算，开方即可； C选项，先计算，再结合，开方求出答案； D选项，使用立方和即可求解. 【详解】两边平方得：， 所以，A正确； ， 因为的大小不确定，所以，B正确； ， 因为，所以，C错误； 由立方和公式可得： ， D正确. 故选：ABD 28．（21-22高一上·江苏南京·期中）已知实数a满足，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由结合完全平方公式分别求出各个选项式子的值，即可判断正误． 【详解】,，，故选项A正确; ，，故选项B错误; ,，故选项C正确; ,且 ，，，故选项D正确. 故选：ACD 三、填空题 29．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）已知实数满足：，则 . 【答案】 【分析】由立方和公式以及完全平方公式即可求解. 【详解】. 故答案为：18 30．（24-25高一上·全国·课后作业）若，则 . 【答案】 【分析】根据算术平方根可解得，，代入即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以 所以，， 所以. 故答案为：. 31．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用基本不等式直接求解最值即可. 【详解】因为是正数，，所以， 当且仅当时取等号，即当时，的最小值为. 故答案为： 32．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·期中）若，则 . 【答案】 【分析】化简已知与所求式子，再代入求值. 【详解】由题意，，所以， 又， 所以原式. 故答案为：. 33．（2023高一上·全国·专题练习）已知，则的值为 ． 【答案】6 【分析】两边平方求出，再利用立方和公式求出，从而求出结果. 【详解】因为，所以， 即，所以， 所以 ， 所以． 四、解答题 34．（25-26高一上·全国·课前预习）化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4)答案见解析 【分析】利用根式的运算性质求解即可. 【详解】（1）； （2） ； （3） ； （4） ， 当时，， 当时，， 所以当时，， 当时，. 35．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）（1）用分数指数幂的形式表示下式：； （2）求值：； （3）化简：. 【答案】（1）（2）（3） 【分析】（1）根据根式与分数指数幂的转化化简； （2）根据实数指数幂的运算法则化简； （3）由根式与分数指数幂的转化及实数指数幂运算法则化简. 【详解】（1）; （2）； （3）. 36．（23-24高一上·天津和平·期中）计算或化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】利用指数幂的运算法则计算即可. 【详解】（1）易知 ； （2）由题意可知：，则 . 37．（2023高一·上海·专题练习）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2)100 (3)3 (4) 【分析】由指数幂的运算规则，化简计算各式的值. 【详解】（1）原式. （2）原式 . （3）原式 . （4）原式. 38．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）（1）计算：； （2）已知，求下列各式的值： ①； ②. 【答案】（1）；（2）①7；② 【分析】（1）利用分数指数幂和根式的运算性质求解； （2）利用平方关系求解. 【详解】（1）原式； （2）①因为，所以，即，所以； ②因为，又因为，所以 2 学科网（北京）股份有限公司 $$