期中测试卷02（测试范围：第1-3章+函数的概念与性质）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学上学期期中真题分类汇编（沪教版2020必修第一册，上海专用）

2024-2025学年高一数学上学期期中测试卷02 测试范围：第1-3章+函数的概念与性质 一、填空题 1．已知集合，则 . 2．用反证法证明命题“若，则、、都不为”时，应假设 ． 3．设，则 （填“”､“”､“”或“”）. 4．若，且，则的最大值为 . 5．化简（其中 ． 6．若关于的一元二次不等式的解集为，则实数的取值范围是______. 7．设是定义在区间上的严格增函数．若，则a的取值范围是 ． 8．商品批发市场中，某商品的定价每天随市场波动，甲乙两名采购员在每月的同一天去该市场购买同一种商品，甲每次购买公斤，乙每次购买元（，互不相等），该方案实施2次后 的购买方案平均价格更低.（填“甲”或“乙”） 9．若函数的最小值为，则实数的取值范围是 . 10．命题：方程有实数解，命题有正解，若命题与有且只有一个为假命题，则实数的取值范围是 11．已知集合{为正整数}，则的所有真子集的个数是 12．函数的定义域为，其图象上任一点满足．命题： ①函数一定是偶函数； ②函数可能既不是偶函数，也不是奇函数； ③函数可以是奇函数； ④函数是偶函数，则值域是或； ⑤若函数值域是，则一定是奇函数． 其中正确命题的序号是 ．（填上所有正确的序号） 二、单选题 13．对于任意两个集合A与B，下列命题中是假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则或 14．已知，则（    ） A．-2 B．2 C． D． 15．函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   16．已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 三、解答题 17．设全集，集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，，求. 18．已知为实数，设. (1)若，求函数，的最小值； (2)判断函数，的奇偶性，并说明理由. 19．在自由声场（开阔空间）条件下，点声源的声波遵循球面发散规律，在与声源距离为（单位：m）处，声音强度的衰减量 （单位:dB）. 若在位置的声源的强度为(单位: dB),与声源距离为(单位：m)的位置的声音强度为(单位: dB),则, (1)有两个距离某一声源分别为20m和50m的声音探测仪和，它们的读数相差多少分贝?（结果精确到1dB） (2)已知某单一声源、两个声音探测仪与，依次在同一条直线上，与间的距离为400m. 假设两个探测仪的读数分别为61.05dB和47.07dB，试求声源与探测仪的距离（结果精确到1m）以及声源处的声音强度（结果精确到1dB）.参考数据：， 20．已知集合 (1)判断8，9，10是否属于集合A； (2)已知集合，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件； (3)写出所有满足集合A的偶数. 21．若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是区间上的“阶自伴函数”． (1)判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由： (2)若函数为区间上的“1阶自伴函数”，求的值； (3)若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学上学期期中测试卷02 测试范围：第1-3章+函数的概念与性质 一、填空题 1．已知集合，则 . 【答案】 【分析】根据题意结合交集运算求解. 【解析】由题意可得：. 故答案为：. 2．用反证法证明命题“若，则、、都不为”时，应假设 ． 【答案】、、至少有一个为 【分析】利用反证法的概念可得出结论. 【解析】用反证法证明命题“若，则、、都不为”时, 应假设、、至少有一个为. 故答案为：、、至少有一个为. 3．设，则 （填“”､“”､“”或“”）. 【答案】 【分析】利用作差法分析判断即可 【解析】因为 ， 所以， 故答案为： 4．若，且，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据基本不等式，即可求解. 【解析】，所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：1 5．化简（其中 ． 【答案】/ 【分析】根据指数的运算法则计算可得. 【解析】原式． 故答案为：. 6．若关于的一元二次不等式的解集为，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】等价转换为的图象在轴上方，计算，可得结果． 【解析】由题意知，问题等价转换为的图象在轴上方， 所以，解得， ∴实数的取值范围是. 故答案为：． 7．设是定义在区间上的严格增函数．若，则a的取值范围是 ． 【答案】. 【分析】根据题意，列出不等式组，即可求解. 【解析】由题意，函数是定义在区间上的严格增函数， 因为，可得，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 8．商品批发市场中，某商品的定价每天随市场波动，甲乙两名采购员在每月的同一天去该市场购买同一种商品，甲每次购买公斤，乙每次购买元（，互不相等），该方案实施2次后 的购买方案平均价格更低.（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【分析】设每次购买时商品的价格分别为元/公斤、元/公斤，可将甲乙2次购买的平均价格用，表示出来，再用基本不等式比较即可得答案. 【解析】设每次购买时商品的价格分别为元/公斤、元/公斤， 则甲的平均价格为：；乙的平均价格为：， 因为，所以；, （当且仅当时取“=”号）， 所以（当且仅当时取“=”号），故乙的平均价格更低， 故答案为：乙. 9．若函数的最小值为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由二次函数、分式型函数的性质分别求分段函数两段上的性质，并确定且，即可求参数范围. 【解析】由在上递减，在上递增， 若，则最小值为，不满足题设， 所以， 在上，，当且仅当时等号成立， 所以最小值，则，可得. 综上，. 故答案为： 10．命题：方程有实数解，命题有正解，若命题与有且只有一个为假命题，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】首先求出命题、为真命题时参数的取值范围，再分为真命题，为假命题，为假命题，为真命题两种情况讨论，分别计算可得. 【解析】若命题：方程有实数解，为真命题，则，解得； 若命题有正解，为真命题，则，解得； 因为命题与有且只有一个为假命题， 当为真命题，为假命题，则，解得； 当为假命题，为真命题，则，解得； 综上可得，即实数的取值范围是. 故答案为： 11．已知集合{为正整数}，则的所有真子集的个数是 【答案】511 【分析】根据为正整数可计算出集合中的元素，然后根据真子集个数的计算公式（是元素个数）计算出结果. 【解析】因为为正整数，所以， 所以集合中共有9个元素， 因此所有真子集的个数为， 故答案为：. 12．函数的定义域为，其图象上任一点满足．命题： ①函数一定是偶函数； ②函数可能既不是偶函数，也不是奇函数； ③函数可以是奇函数； ④函数是偶函数，则值域是或； ⑤若函数值域是，则一定是奇函数． 其中正确命题的序号是 ．（填上所有正确的序号） 【答案】③⑤ 【分析】结合的奇偶性、值域等知识确定正确答案. 【解析】由于的定义域是， 则，，所以④错误. 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以的图象有如下四种情况： （1） （2） （3） （4） 根据图象可知③⑤正确，①②④ 故答案为： 二、单选题 13．对于任意两个集合A与B，下列命题中是假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则或 【答案】D 【分析】由集合的运算及基本关系求解． 【解析】解：对于A项，若，则对，有，则，则A项正确； 对于B项，若，则对，有，则，则B项正确； 对于C项，对，有，对，有， 所以，集合的所有元素相同，即，则C项正确； 对于D项，如，显然，故D项错误， 故选：D 14．已知，则（    ） A．-2 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】首先根据对数运算公式化简为同底数的对数，再化简为真数相等的等式，求的值，以及的值. 【解析】由已知化简为， 所以 ， 即 ，整理为， 因为，所以， 解得：或（舍）， 当时，， . 故选：B 【点睛】本题考查对数的化简，重点考查计算能力，属于基础题型. 15．函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】先判断函数的奇偶性，再结合函数情况，即可得答案. 【解析】令函数，其定义域为R，满足 即为奇函数，故排除A，C 当时，，当时，，， 可知D中图象符合题意， 故选：D 16．已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合基本不等式分析判断即可. 【解析】因为，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当，时取等号， 即时，必有，， 所以成立， 所以由，可推出， 因为 ， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，必有成立， 此时，不一定成立， 所以由推不出， 所以“”是“”的充分非必要条件， 故选：A 三、解答题 17．设全集，集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）转化为判别式大于等于0即可； （2）根据题意得到元素与集合关系，得到方程，解出即可. 【解析】（1）由得，解得，即； （2），，，解得， ，，，解得， 则，， ，，满足题意，. 18．已知为实数，设. (1)若，求函数，的最小值； (2)判断函数，的奇偶性，并说明理由. 【答案】(1) (2)当时为偶函数，当时为非奇非偶函数. 【分析】（1）首先得到的解析式，将其写成分段函数，再分段利用函数的单调性分别求出函数的最小值，即可得解； （2）分别判断、的奇偶性，即可得解. 【解析】（1）当时， 当时，函数在上单调递增，则， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 综上可得. （2）因为定义域为， 又为偶函数，为偶函数， 所以当时为偶函数， 当时关于对称，此时为非奇非偶函数， 所以为非奇非偶函数， 综上可得：当时为偶函数，当时为非奇非偶函数. 19．在自由声场（开阔空间）条件下，点声源的声波遵循球面发散规律，在与声源距离为（单位：m）处，声音强度的衰减量 （单位:dB）. 若在位置的声源的强度为(单位: dB),与声源距离为(单位：m)的位置的声音强度为(单位: dB),则, (1)有两个距离某一声源分别为20m和50m的声音探测仪和，它们的读数相差多少分贝?（结果精确到1dB） (2)已知某单一声源、两个声音探测仪与，依次在同一条直线上，与间的距离为400m. 假设两个探测仪的读数分别为61.05dB和47.07dB，试求声源与探测仪的距离（结果精确到1m）以及声源处的声音强度（结果精确到1dB）.参考数据：， 【答案】(1)8dB (2)声源与探测仪的距离为100m, 声源处的声音强度为100dB 【分析】（1）根据所给公式即可代入求解， （2）根据，结合对数的运算即可求解距离，进而可求解声源处的声音强度. 【解析】（1）设对应的声音强度分别为，声音强度分别为， 所以， 则 （2）设声源与探测仪的距离为，声源强度为,声音强度衰减量为 则声源与探测仪的距离为，声源强度为，声音强度衰减量为, 所以， 所以，故，解得， 所以, 故声源处的声音强度为100dB. 20．已知集合 (1)判断8，9，10是否属于集合A； (2)已知集合，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件； (3)写出所有满足集合A的偶数. 【答案】(1)，， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由，即可证，若，而，列方程组判断是否存在整数解，即可判断10是否属于A. （2）由，结合集合A的描述知，由（1），而，即可证结论； （3）由集合A的描述：，讨论m，n同奇或同偶、一奇一偶，即可确定的奇偶性，进而写出所有满足集合A的偶数. 【解析】（1），，故，， 假设，，则，且， 由，得或，显然均无整数解， ∴， 综上，有：，，； （2）集合，则恒有， ∴，即一切奇数都属于A，即，则必有； 又，而，即，推不出， ∴“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件； （3）集合，， ①当m，n同奇或同偶时，均为偶数，为4的倍数； ②当m，n一奇一偶时，均为奇数，为奇数， 综上，所有满足集合A的偶数为． 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于根据集合的性质，应用因式分解、恒等转化、代数式的奇偶性讨论，判断元素与集合的关系，证明条件间的充分、必要关系，确定满足条件的数集. 21．若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是区间上的“阶自伴函数”． (1)判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由： (2)若函数为区间上的“1阶自伴函数”，求的值； (3)若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围． 【答案】(1)不是，理由见解析； (2)1； (3). 【分析】（1）根据给定的定义，取，判断 在没有实数解，即可得解. （2）根据给定的定义，当时，用表示并判断单调性，求出值域，借助集合的包含关系求解即得. （3）根据给定的定义，函数在区间,上的值域包含函数在区间,上的值域，再结合二次函数的性质，分类讨论即可求解． 【解析】（1）假定函数是区间上的“2阶自伴函数”， 取，，由，得，显然此方程无实数解， 所以函数不是区间上的“2阶自伴函数”. （2）函数为区间上的“1阶自伴函数”， 则对任意，总存在唯一的，使得， 即，整理得，显然函数在上单调递减， 且当时，，当时，， 因此对内的每一个，在内有唯一值与之对应，而， 于是，则有，解得，即， 所以的值是1. （3）由函数在上单调递减，得函数的值域为， 由函数是在区间上的“2阶伴随函数”， 得对任意的，总存在唯一的时，使得成立， 于是，则在区间上的值域必定包含区间， 且的值域在对应的自变量是唯一的，而函数图象开口向上，对称轴为， 显然，， ①当时，在上单调递增，则， 即，解得； ②当时，在上单调递减，则， 即，解得； ③当时，在上单调递减，在上单调递增，则， 即，解得； ④当时，在上单调递减，在上单调递增，则， 即，解得， 所以a的取值范围是. 【点睛】思路点睛：本题首先要理解“m阶自伴函数”或“m阶伴随函数”的意义，然后根据每一小问函数的类型设计出解决问题的思路，对于第三问，存在对称轴问题，需要仔细分类讨论，特别是当时，要考虑对称轴在区间时，二次函数的图像的形状，以此来建立不等式求出a的范围. 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