期中测试卷02（测试范围：第10-11章+空间向量及其应用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期中真题分类汇编（沪教版2020，上海专用）

2024-2025学年高二数学上学期期中测试卷02 测试范围：第10-11章+空间向量及其应用 一、填空题 1．一条直线与一个平面所成角的取值范围是 .（用区间表示） 2．若直线平面，直线在平面内，则直线与的位置关系为 . 3．已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为 ． 4．圆锥的母线长为2，母线所在直线与圆锥的轴所成角为，则该圆锥的高为 ． 5．已知，，则异面直线AB和CD所成角的大小为 . 6．在空间中，给出下面四个命题，其中真命题为 ．（填序号） ①过平面外的两点，有且只有一个平面与平面垂直； ②若平面内有不共线三点到平面的距离都相等，则； ③若直线与平面内的任意一条直线垂直，则； ④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线． 7．空间四边形中，，，，分别是，，，中点，直线，所成角为，，，则四边形面积为 ． 8．如图所示，半径的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差等于 . 9．如图，四面体中，，，两两垂直，且，则点到平面的距离为 ； 10．如图所示，在大小为的二面角中，是二面角的棱上的一点，B、D在平面内，在平面内，直线，直线，且，，直线满足直线且线段的长为3，则异面直线与所成角的大小为 （结果用反三角函数值表示）． 11．已知四棱锥的高为1，底面是边长为2的正方形，顶点在底面的投影是底面的中心，E是的中点，动点P在棱锥表面上运动，并且总保持，则动点P的轨迹的周长为 . 12．点P是长方体内的动点，已知，Q是平面BC₁D上的动点，满足，则的最小值是 . 二、单选题 13．关于空间向量，以下说法错误的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则与的夹角是锐角 C．已知向量、、是不共面的向量，则、、也是不共面的向量 D．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 14．设正四棱柱的一条对角线长为3，它的四个侧面与两个底面的面积之和是16，则它的体积是（    ） A．4 B．8 C． D．4或 15．如图，点为正方形的中心，△为正三角形，平面⊥平面，是线段的中点，则以下命题中正确的是（    ）． A． B． C．A、、三点共线 D．直线与相交 16．一个棱长为1的正方体容器，在八个顶点处分别有一个出口（出口大小忽略不计）.现从A点放入一个粒子.粒子沿着直线运动，碰到容器壁会进行反射（遵循反射定律），遇到出口就会飞出容器.已知粒子在飞出容器前与容器壁产生了三次碰撞（粒子未与棱产生碰撞），则粒子在容器内的飞行距离有（    ）种不同的值 A．1 B．2 C．3 D．4 三、解答题 17．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，.点M为BC的中点. (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离. 18．如图，圆锥的顶点是S，底面中心为O，P为AS的中点，Q是半圆弧的中点，且，．    (1)求异面直线与所成角的正切值； (2)在该圆锥侧面上，求从P到Q的最短路径的长度． 19．用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥有盖容器（如图），设容器的高为h米，盖子边长为a米． (1)求a关于h的函数表达式； (2)设容器的容积为V立方米，当h为何值时，V最大？并求出V的最大值（不计容器的厚度）． 20．如图，在正方体中，是棱的中点. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)确定平面与平面的交线； (3)在棱上是否存在一点，使得面？请证明你的结论. 21．设四边形为矩形，点为平面外一点，且平面，若，.    (1)求与平面所成角的大小（用反三角函数表示）； (2)在边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)若点是的中点，在内确定一点，使的值最小，并求此时的值. ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高二数学上学期期中测试卷02 测试范围：第10-11章+空间向量及其应用 一、填空题 1．一条直线与一个平面所成角的取值范围是 .（用区间表示） 【答案】 【分析】根据线面角的概念直接得解. 【解析】由线面角的概念知，一条直线与一个平面所成角的取值范围是. 故答案为： 2．若直线平面，直线在平面内，则直线与的位置关系为 . 【答案】平行或异面 【分析】由直线平面，直线在平面内，知，或与异面． 【解析】解：直线平面，直线在平面内， 则直线与平面内任意直线无交点， ，或与异面. 故答案为：平行或异面. 3．已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为 ． 【答案】 【分析】先求出向量在方向上的投影,再求出与同向的单位向量，进而求出向量在方向上的投影向量. 【解析】由题意，向量在方向上的投影为：，， 则与同向的单位向量为， 所以向量在方向上的投影向量为：. 故答案为： 4．圆锥的母线长为2，母线所在直线与圆锥的轴所成角为，则该圆锥的高为 ． 【答案】 【分析】直接根据圆锥的图形特点计算即可. 【解析】由已知得该圆锥的高为. 故答案为：. 5．已知，，则异面直线AB和CD所成角的大小为 . 【答案】 【分析】根据向量数量积求出和夹角的余弦，再根据异面直线所成夹角的范围为，即可求出异面直线AB和CD所成角的大小． 【解析】， 因为异面直线所成角的范围为， 所以异面直线AB和CD所成角的大小为. 故答案为：. 6．在空间中，给出下面四个命题，其中真命题为 ．（填序号） ①过平面外的两点，有且只有一个平面与平面垂直； ②若平面内有不共线三点到平面的距离都相等，则； ③若直线与平面内的任意一条直线垂直，则； ④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线． 【答案】③ 【分析】利用直线和平面、平面和平面的位置关系判断各命题即可. 【解析】①过平面外两点可确定一条直线，当这条直线垂直于平面时，有无数个平面垂直于平面，故①错误； ②若三点在平面同侧，则；若三点在平面两侧，则与相交，故②错误； ③直线与平面内的任意一条直线垂直，则垂直于平面内两条相交直线，由线面垂直的判定定理可得，故③正确； ④两条异面直线在同一个平面内的射影有可能是两条相交直线，也可能是两条平行直线，还可能是一个点和一条直线，故④错误； 故答案为：③ 7．空间四边形中，，，，分别是，，，中点，直线，所成角为，，，则四边形面积为 ． 【答案】 【分析】根据题设四边形为平行四边形，利用已知及三角形面积公式求其面积即可. 【解析】由题设，可得如下示意图，且， 所以四边形为平行四边形， 由中位线性质，有， 直线，所成角为或其补角，即为或， 所以四边形的面积. 故答案为： 8．如图所示，半径的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差等于 . 【答案】 【分析】设出圆柱的上底面半径为r，球的半径与上底面夹角为，求出圆柱的侧面积表达式，由正弦型函数的单调性求出圆柱侧面积的最大值，求出球的表面积，即可求得两者的差值. 【解析】设圆柱的上底面半径为r，球的半径与上底面夹角为（），则，圆柱的高为，圆柱的侧面积为：， 当，即时，取最大值1，圆柱的侧面积取最大值为， 所以当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差为. 故答案为： 【点睛】本题考查柱体、球体的表面积，球的内接几何体，将面积用三角函数表示使计算过程更加简洁，属于中档题. 9．如图，四面体中，，，两两垂直，且，则点到平面的距离为 ； 【答案】 【分析】由题意可知，可得；设点到平面的距离为；又，可得，由此即可求出结果. 【解析】∵四面体中，两两垂直，且， ∴，所以三角形的面积为 设点到平面的距离为； 又， 所以 所以． 故答案为：． 【点睛】本题查点到平面的距离的求法，利用等体积法是解题的关键，考查运算求解能力，是中档题． 10．如图所示，在大小为的二面角中，是二面角的棱上的一点，B、D在平面内，在平面内，直线，直线，且，，直线满足直线且线段的长为3，则异面直线与所成角的大小为 （结果用反三角函数值表示）． 【答案】 【分析】由二面角平面角的定义，结合余弦定理，可得线段的长，根据正切函数，可得答案. 【解析】由题意，，为二面角的平面角，则， 由，为异面直线与所成角或其补角，连接， 在中，，则， 在CDB中，可得． 所以异面直线CD与l所成角的大小为． 故答案为：. 11．已知四棱锥的高为1，底面是边长为2的正方形，顶点在底面的投影是底面的中心，E是的中点，动点P在棱锥表面上运动，并且总保持，则动点P的轨迹的周长为 . 【答案】 【分析】先根据线面垂直确定点P的轨迹，再解三角形得周长. 【解析】设底面的中心为，则面,由正方形得面 取，的中点为G，F，易得面面，所以面，因此动点P的轨迹为，因为，，因此动点P的轨迹的周长为. 故答案为： 【点睛】本题考查线面垂直判定与性质定理以及立体几何中轨迹问题，考查综合分析论证与求解能力，属中档题. 12．点P是长方体内的动点，已知，Q是平面BC₁D上的动点，满足，则的最小值是 . 【答案】 【分析】根据三点共线定理可得点在线段上运动时，点Q的运动范围是以点为圆心，半径为2的圆面，再结合三角换元，正弦型函数的最值得出结果. 【解析】取底面的中心， 因为，所以点在平面上，且， 所以点在线段上， 由得， 所以由，得， 由，得，又平面， 所以平面. 因为Q是平面BC₁D上的动点，满足， 所以当在点时，点Q在点；当在点时，点Q在点为圆心，半径为2的圆上； 所以点在线段上运动时，点Q的运动范围是以点为圆心，半径为2的圆面， 以为坐标原点，以分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，设,，R， 过点作于点，，则点为的中点，所以,， ，,， ， 当时，取最小，为最小值， 因为，所以，设，R， ，当时，取最大值， 所以取最小值. 故答案为：.    【点睛】空间立体几何轨迹问题：先根据已知条件确定与待求点相关的平行、垂直等关系；可建立空间直角坐标系，表示动点的坐标以及相关点的坐标，然后代入点的坐标所满足的几何关系，整理化简可得出动点的轨迹方程，根据轨迹形状即可求解出轨迹的长度等其它量. 二、单选题 13．关于空间向量，以下说法错误的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则与的夹角是锐角 C．已知向量、、是不共面的向量，则、、也是不共面的向量 D．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 【答案】B 【分析】A由空间向量的概念及性质判断；B注意同向共线的情况；C由向量共面定理判断；D根据空间向量共面的推论判断. 【解析】A：若三个空间向量有两个向量共线，而空间中任意两个向量是共面的，故共线的两个向量必与第三个向量共面，对； B：对于两个同向共线的非零向量也有，但它们的夹角为0度，不是锐角，错； C：若、、是共面的向量，则存在且， 显然无解，所以、、是不共面的向量，对； D：由，且，根据空间向量共面的推论知，，，四点共面，对. 故选：B 14．设正四棱柱的一条对角线长为3，它的四个侧面与两个底面的面积之和是16，则它的体积是（    ） A．4 B．8 C． D．4或 【答案】D 【分析】设正四棱柱的底面边长为，高为，根据已知列出方程求解即可. 【解析】设正四棱柱的底面边长为，高为， 则①，即②， ①②得，，即或， 当时，解得，体积， 当时，解得，体积， 故选：D 15．如图，点为正方形的中心，△为正三角形，平面⊥平面，是线段的中点，则以下命题中正确的是（    ）． A． B． C．A、、三点共线 D．直线与相交 【答案】D 【分析】分别求得的长度判断选项A；利用反证法否定选项B和选项C；求得直线与的位置关系判断选项D. 【解析】取中点F，连接,取中点H，连接. 又△为正三角形，则，， 又平面⊥平面，平面平面， 则平面，平面， 又平面，平面， 则，， 设，则, 则， 则.故选项A判断错误； 假设， 又，，平面， 则平面，又平面，则， 这与矛盾，故假设不成立，不互相垂直. 故选项B判断错误； 由平面，可得直线平面， 假设A、、三点共线，则，则平面， 这与平面矛盾，故假设不成立. 故选项C判断错误； 由，可得，， 则四边形为梯形，则直线与相交. 故选项D判断正确. 故选：D 16．一个棱长为1的正方体容器，在八个顶点处分别有一个出口（出口大小忽略不计）.现从A点放入一个粒子.粒子沿着直线运动，碰到容器壁会进行反射（遵循反射定律），遇到出口就会飞出容器.已知粒子在飞出容器前与容器壁产生了三次碰撞（粒子未与棱产生碰撞），则粒子在容器内的飞行距离有（    ）种不同的值 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用正方体的对称性，根据粒子碰撞次数可分别讨论在轴方向上的运动距离，进而判断各情况粒子在容器内的飞行距离，即可得结果. 【解析】因为不能与棱相碰，所以粒子在x，y，z每个方向上的运动路程都不会为0，否则就会在面上运动，必然与棱相碰. 其次，只看x方向上运动(y , z方向同理，因为正方形有对称性)， 如果碰撞0次，那么就是运动了1，如果碰撞1次，就是运动了2，以此类推，在x方向上碰撞了n次最后出射的时候在该方向的运动距离就是(n+1)，相当于多运动了n. 题目中经过3次碰撞，可以先从碰撞0次入手，3个方向上的位移就是1，1，1(不能与棱相碰)，现在碰撞3次，也就是在某个方向上要加距离，每次碰撞则加1：(1)在同一个方向碰撞3次，即距离分别是4，1，1(1，4，1或者1，1，4)，结果是.  (2)在一个方向碰撞2次，另外一个方向碰撞一次，即3，2，1(2，3，1或1，2，3)，结果是根号.  (3)在三个方向各碰撞1次，即距离分别是2，2，2，结果是. 综上，粒子飞行距离有三种结果. 这三种情况都可以举出实际例子∶4,1,1，可以看做从A入射，C处射出；3，2，1可以看做从A入射，D处射出；2，2，2可以看做从A入射，B处射出. 故选：C 三、解答题 17．如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，.点M为BC的中点. (1)证明：平面平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由线面垂直性质得，根据已知可证，再应用线面、面面垂直的判定证结论； （2）AM与BD交于点E，连接PE，过点B作BH垂直于PE交其于点H，由面面垂直的性质有面PAM，即BH的长为B到面PAM的距离，等面积法求长度即可. 【解析】（1）因为底面，平面，所以. 底面为矩形，且，，则， 所以Rt△Rt△，易知. 又，面，所以平面，而平面， 所以平面平面. （2）设AM与BD交于点E，连接PE，过点B作BH垂直于PE交其于点H， 由①知，面面PBD，面面，且面， 因此面PAM，线段BH的长为点B到平面PAM的距离. 由，解得. 因此点B到平面PAM的距离为. 18．如图，圆锥的顶点是S，底面中心为O，P为AS的中点，Q是半圆弧的中点，且，．    (1)求异面直线与所成角的正切值； (2)在该圆锥侧面上，求从P到Q的最短路径的长度． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，求出，，根据向量求解得出夹角的余弦值.然后根据同角三角函数的基本关系，即可得出答案； （2）将圆锥沿剪开得到扇形，根据已知得出扇形的有关量，结合已知在中，根据余弦定理求解，即可得出答案. 【解析】（1）连接，由已知可得. 由已知可得，，，. 如图1，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 则，， 所以，. 设异面直线与所成角为，则，， 所以，.    （2）   如图2，将圆锥沿剪开得到扇形，则图中即为所求最小值. 由已知可得，该扇形的半径即等于圆锥的母线，弧长即等于原圆锥底面圆的周长， 所以，扇形的圆心角为. 又Q是半圆弧的中点，所以. 则在中，有，，， 由余弦定理可得，， 所以，, 所以，从P到Q的最短路径的长度为. 19．用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥有盖容器（如图），设容器的高为h米，盖子边长为a米． (1)求a关于h的函数表达式； (2)设容器的容积为V立方米，当h为何值时，V最大？并求出V的最大值（不计容器的厚度）． 【答案】(1)； (2)时，V最大，最大值为立方米. 【解析】（1）连接AC，BD，交点为O，则PO即为正四棱锥的高， 取CD的中点E，连接OE，PE，则， 由勾股定理得：， 由题意得：， 整理得：，即. （2）， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 即棱锥的高为1米，底面边长为米时，V的最大值为立方米. 20．如图，在正方体中，是棱的中点. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)确定平面与平面的交线； (3)在棱上是否存在一点，使得面？请证明你的结论. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)存在，理由见解析 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可； （2）利用正方体的性质，结合三角形中位线定理、平行线的性质进行求解即可； （3）利用直线与平面平行的向量表示求解即可. 【解析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系， ， 由正方体的性质可知：平面， 所以平面的法向量为，， 设直线与平面所成角为， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为； （2）设的中点为，连接，因为是棱的中点， 所以， 由正方体的性质可知：， 所以四边形是平行四边形，因此， 所以，所以平面就是平面， 所以平面与平面的交线为； （3）， 设， ， ， 设平面的法向量为， 所以有， 假设在棱上存在一点，使得面， 因此有， 因此当是的中点时，面. 21．设四边形为矩形，点为平面外一点，且平面，若，.    (1)求与平面所成角的大小（用反三角函数表示）； (2)在边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)若点是的中点，在内确定一点，使的值最小，并求此时的值. 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）连接，由平面，可得即为与平面所成角的平面角，进而可得出答案； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可； （3）延长到，使得，连接，取的中点，连接，证明平面，可得关于平面对称，则，进而可得出答案. 【解析】（1）（1）连接， 因为平面，所以即为与平面所成的角， ， 则， 所以与平面所成角的大小为； （2）存在一点G，使得点D到平面PAG的距离为，且， 如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则，设， 故， 设平面的法向量为， 则有，可取， 则点到平面的距离为， 解得（舍去）， 所以存在，且；    （3）如图，延长到，使得，连接，取的中点，连接， 因为点是的中点，所以且， 因为平面，平面， 所以平面， 因为平面，平面，所以， 又平面， 所以平面， 所以关于平面对称， 则，当且仅当三点共线时取等号， 设，连接， 因为平面，平面平面，平面， 所以，所以， 因为，所以， 所以， 所以，所以， 因为，，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以.    【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 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