第六章 概率（A考点梳理卷）-2024-2025学年高二数学单元速记·巧练（北师大版2019选择性必修第一册）

第六章 概率单元测试（A考点梳理卷） 姓名______ 班级______ 考号______ 考点一、事件的独立性、条件概率和全概率公式 一、单选题 1．已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知事件，若，，则（    ） A． B． C． D． 3．有一批灯泡寿命超过500小时的概率为0.9，寿命超过800小时的概率为0.8，在寿命超过，500小时的灯泡中寿命能超过800小时的概率为（    ） A． B． C． D． 4．长时间看电脑可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有的学生每天看电脑超过2小时，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是（    ） A． B． C． D． 5．从20以内的质数中不放回地依次取2个数，记事件A为“第一次取到的数是奇数”，事件B为“两次取出的数之和是奇数”，则（    ） A． B． C． D． 6．若，，，则事件与的关系是（    ） A．事件与互斥 B．事件与对立 C．事件与相互独立 D．事件与既互斥又相互独立 7．对于一个古典概型的样本空间和事件，若，，，则下列结论错误的是（    ） A．事件A与事件互斥 B． C．事件与事件相互独立 D． 8．已知甲、乙两人进行扳手腕游戏，且每人各有2个乒乓球．每次扳手腕甲获胜的概率均为，没有平局，且每次扳手腕的结果互不影响．每次负方给胜方1个乒乓球，直到一方没有乒乓球时游戏结束，则第1次甲胜且第4次扳手腕后游戏结束的概率为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．甲、乙两人进行羽毛球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立.设甲在第一、第二、第三局比赛中获胜的概率分别为，，，则甲恰好连胜两局的概率为 . 10．饺子是我国古代传统食物，由东汉末年医学家张仲景发明，最初作为药用．在包饺子时，人们常常将红糖、花生、枣和硬币等包进馅里，红糖代表日子甜美，花生代表健康长寿，枣代表早生贵子，硬币代表财源不断．已知小江一家过年时，在一盘饺子（20个）中，含有红糖、花生的各2个，含枣、硬币的饺子各1个，则小江随机夹的3个饺子中，吃到1个含有硬币的饺子的前提下，吃到2个含有不同特殊馅的饺子的概率为 ． 三、解答题 11．袋子中有6个大小质地完全相同的小球，其中红球有2个，编号分别为1，2；白球有4个，编号分别为3，4，5，6，不放回地随机摸出两个球． (1)求摸出的两个球中有红球的概率； (2)记事件M为“摸出的两个球全是白球”，N为“摸出的两个球的编号之和为偶数”，判断事件M，N是否相互独立． 12．某快递中转站有甲、乙、丙三个快递员，已知各快递员运送量分别占该中转站业务量的25%，35%，40%，据统计各业务员被客户评为满意的依次为5%，4%，2%．现从该中转站随机运送一件快递． (1)求客户满意的概率； (2)若客户满意，则本次满意是甲、乙、丙的概率分别是多少？ 考点二、随机变量及其分布列、数字特征 一、单选题 1．设随机变量的分布列为，，则（    ） A．3 B． C．2 D． 2．已知X服从两点分布，若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 4．随机变量的概率分布列为，其中是常数，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．35 5．如果随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 6．设随机变量的分布列为，，则（    ） A．3 B． C．2 D． 7．已知两个盒子中分别装有形状、大小、质量均相同的小球．其中，盒中有3个红球，1个白球；盒中有1个红球，3个白球，现从两个盒子中同时各取走一个小球，一共取三次，此时记盒中的红球个数为盒中的红球个数为，则（    ） A． B． C． D． 8．设，随机变量取值的概率均为，随机变量取值的概率也均为，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．若，且，则 . 10．设随机变量可能的取值为，．又的期望，则 ． 三、解答题 11．为落实素质教育，促进学生全面发展，某校着重组织社团文化建设，对“心理协会”与“摄影协会”两个社团增设选修课学分，增设学分分别为0.5分和1分，现有一新生进入这两个社团的概率分别为0.7和0.6，求该新生获得社团选修课学分分数的分布列． 12．某品牌汽车4S店搞活动，消费者对"圈圈套西瓜"活动的参与度较高.该活动的游戏规则如下：参加活动的每位消费者可领3个圈圈且均需用完，1个圈圈只能套一次西瓜，每次套中西瓜与否相互独立，套中的西瓜可被消费者带走.已知甲每次套中西瓜的概率为，乙每次套中西瓜的概率为. (1)求甲恰好套中1个西瓜的概率； (2)若甲、乙均套完第一次，记此时甲、乙两人套中西瓜的个数之和为，求随机变量的分布列与期望. 考点三、二项分布和超几何分布 一、单选题 1．若随机变量，则的值为（    ） A．0.8 B．4 C．5 D．3 2．袋子中有n个大小质地完全相同的球，其中4个为红球，其余均为黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，已知摸出的2个球都是红球的概率为，则两次摸到的球颜色不相同的概率为（    ） A． B． C． D． 3．已知甲参加青年志愿者的选拔，选拔以现场答题的方式进行．已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，设甲答对的试题数为X，则的概率为（    ） A． B． C． D． 4．2024年5月中国邮政发行了《巢湖》特种邮票3枚，巢湖是继《太湖》（5枚）、《鄱阳湖》（3枚）、《洞庭湖》（4枚）后，第四个登上特种邮票的五大淡水湖.现从15枚邮票中随机抽取2枚，记抽取邮票《巢湖》的枚数为，则（    ） A． B． C．1 D． 5．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次停止，设停止时共取了次球，则（    ） A． B． C． D． 6．甲、乙两名羽毛球运动员进行一场比赛，采用5局3胜制（先胜3局者胜，比赛结束）．已知每局比赛甲获胜的概率均为（不考虑平局），则甲以3比1获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 7．一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动，假设选出的3名代表中的女生人数为变量，男生的人数为变量，则等于（    ） A． B． C． D． 8．已知，记使取最大值时的的值为．把这9个数字排成一列，则的左、右两侧都有数字，且与相邻的数字都比大的排列种数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．某人每次射击命中目标的概率均为0.5，现连续射击3次，则击中目标次数的数学期望为 ． 10．某校举行“书香读书节”读书征文活动，高一年级和高二年级合计上交了9篇文章．学校通过评比后，评出4篇文章获得优胜奖．若这4篇文章恰有3篇是高一年级上交的概率为，则高一年级上交的文章有 篇． 三、解答题 11．已知某计算机网络的服务器有三台设备，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.8，它们之间互相不影响．设能正常工作的设备数为． (1)求的分布列； (2)求和； (3)求计算机网络不会断掉的概率． 12．高三某班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同，现依次从中摸出5个球．规定摸到4个红球，1个白球的就中一等奖． (1)若摸出后放回，求中一等奖的概率； (2)若摸出后不放回，①求中一等奖的概率；②若至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率． 考点四、正态分布 一、单选题 1．已知随机变量服从正态分布，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 2．已知随机变量，随着越来越大，（    ） A．保持不变 B．越来越小 C．越来越大 D．不能确定 3．随机变量服从正态分布，若，，则等于（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．某电商平台2024年初引进了新型“直播带货”技术后，每日交易额（单位：万元），估计第二季度（按90天计算）内交易额在4460万元到4540万元的天数大约为（ ）（） A．50天 B．61天 C．86天 D．88天 5．随机变量服从若 则下列选项一定正确的是（   ） A． B． C． D． 6．一批电阻的阻值（单位：）服从正态分布，根据行业标准，概率低于0.003视为小概率事件，现从甲、乙两箱成品中各随机抽取一个电阻，测得阻值分别为和，则下列结论正确的是（    ） A．甲、乙两箱电阻均可出厂 B．甲、乙两箱电阻均不可出厂 C．甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂 D．甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂 7．设，这两个正态分布密度曲线如图所示，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.棣莫弗在1733年证明了的特殊情形，1812年，拉普拉斯对一般的进行了证明.现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数不超过45次的概率为（    ）（附：若，则 A．0.1587 B．0.0228 C．0.0027 D．0.0014 二、填空题 9．已知，且，则 . 10．2023年3月3日，教育部于《教育系统关于新时代学习弘扬雷锋精神深入开展学雷锋活动的实施方案》中提出“教育系统要坚持将雷锋精神深度融入学校教育教学和人才培养的全过程、各方面”．某校积极的参与到该方案实施中，组织全体师生（共1600人）进行了一次“雷锋精神”相关的知识竞赛，经统计，所有参赛者的成绩X近似服从正态分布，估计成绩不低于75分的参赛者人数为 ． 三、解答题 11．在某次数学考试中，考生的成绩X服从正态分布. (1)试求考试成绩X位于区间内的概率； (2)若这次考试共有3000名考生，试估计考试成绩位于区间内的考生人数. （参考数据：，） 12．随着“绿水青山就是金山银山”的环保理念不断深入人心，某地区相关部门实施了对当地现有水库及湖泊的环境改造，从而进一步提高了水中生物的生存环境，改善了当地的生态环境，为了调查某湖泊的环境保护情况，在该湖泊中随机捕捞了50条鱼进行称重，经过相关人员对数据的整理和分析发现鱼的重量（单位：kg）近似服从以2为数学期望的正态分布． (1)已知，在该湖泊中随机捕捞一条鱼，求鱼的重量在的概率； (2)①若从捕捞的50条鱼中随机挑出6条鱼进行称重，得到的数据如下表所示： 重量 条数 3 1 2 现从这6条鱼中随机选3条，设其重量在的条数为，求的数学期望； ②为了获得更大的经济效益，当地渔民计划购买一批饲料对水体中的鱼进行喂养，试从数学建模的观点分析如何才能达到经济效益的最大化？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 概率单元测试（A考点梳理卷） 姓名______ 班级______ 考号______ 考点一、事件的独立性、条件概率和全概率公式 一、单选题 1．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件概率的计算公式计算即可. 【详解】． 故选：C． 2．已知事件，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用条件概率公式求解即可． 【详解】由题可知，， 故选：A． 3．有一批灯泡寿命超过500小时的概率为0.9，寿命超过800小时的概率为0.8，在寿命超过，500小时的灯泡中寿命能超过800小时的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件概率公式求解即可. 【详解】记灯泡寿命超过500小时为事件，灯泡寿命超过800小时为事件， 则，所以. 故选：A 4．长时间看电脑可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有的学生每天看电脑超过2小时，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全概率公式计算即可. 【详解】设“任意调查一名学生，他每天看电脑超过2小时”为事件，则，. 设“从该校任意调查一名学生，他是近视”为事件，则，. 所以：. 故选：B 5．从20以内的质数中不放回地依次取2个数，记事件A为“第一次取到的数是奇数”，事件B为“两次取出的数之和是奇数”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先明确20以内的质数个数，接着求出和即可由条件概率公式得解. 【详解】20以内的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，共8个， 由题意得，， 所以. 故选：D. 6．若，，，则事件与的关系是（    ） A．事件与互斥 B．事件与对立 C．事件与相互独立 D．事件与既互斥又相互独立 【答案】C 【分析】由条件概率计算公式得到，由得到事件与相互独立. 【详解】由得， 因为，，所以事件与相互独立， 无法判断事件与是否互斥. 故选：C. 7．对于一个古典概型的样本空间和事件，若，，，则下列结论错误的是（    ） A．事件A与事件互斥 B． C．事件与事件相互独立 D． 【答案】A 【分析】根据已知条件计算，判断B选项，再根据判断C选项，通过计算D选项，通过判断A选项. 【详解】因为，，， 所以，又，则，所以，B正确； 因为，所以事件与事件相互独立，C正确； 所以，D正确； 因为，所以事件与事件不是互斥事件，A错误. 故选：A 8．已知甲、乙两人进行扳手腕游戏，且每人各有2个乒乓球．每次扳手腕甲获胜的概率均为，没有平局，且每次扳手腕的结果互不影响．每次负方给胜方1个乒乓球，直到一方没有乒乓球时游戏结束，则第1次甲胜且第4次扳手腕后游戏结束的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分甲获胜和乙获胜两种情况讨论即可. 【详解】若甲获胜，则第2次乙胜，第3次甲胜，第4次甲胜， 则其概率为， 若乙获胜，则第2次，3次，4次乙胜， 则其概率为， 则第1次甲胜且第4次扳手腕后游戏结束的概率为. 故选：D. 二、填空题 9．甲、乙两人进行羽毛球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立.设甲在第一、第二、第三局比赛中获胜的概率分别为，，，则甲恰好连胜两局的概率为 . 【答案】 【分析】甲恰好连胜两局有两种不同的情况，根据独立事件概率乘法公式可计算每种情况的概率，加和即为所求结果. 【详解】甲恰好连胜两局有：前两局获胜，第三局失利和第一局失利，后两局获胜两种情况， 甲恰好连胜两局的概率. 故答案为：. 10．饺子是我国古代传统食物，由东汉末年医学家张仲景发明，最初作为药用．在包饺子时，人们常常将红糖、花生、枣和硬币等包进馅里，红糖代表日子甜美，花生代表健康长寿，枣代表早生贵子，硬币代表财源不断．已知小江一家过年时，在一盘饺子（20个）中，含有红糖、花生的各2个，含枣、硬币的饺子各1个，则小江随机夹的3个饺子中，吃到1个含有硬币的饺子的前提下，吃到2个含有不同特殊馅的饺子的概率为 ． 【答案】 【分析】由条件概率的计算公式进行求解. 【详解】记事件为“小江随机夹的3个饺子中吃到1个含有硬币的饺子”， 事件为“小江随机夹的3个饺子中吃到2个含有不同特殊馅的饺子”， 所以， 所以． 故答案为：. 三、解答题 11．袋子中有6个大小质地完全相同的小球，其中红球有2个，编号分别为1，2；白球有4个，编号分别为3，4，5，6，不放回地随机摸出两个球． (1)求摸出的两个球中有红球的概率； (2)记事件M为“摸出的两个球全是白球”，N为“摸出的两个球的编号之和为偶数”，判断事件M，N是否相互独立． 【详解】（1）从6个球中不放回地随机摸出两个球，总共有种情况. 假设摸出的两个球中没有红球，则列举出所有组合情况， 即，共6种. 则摸出的两个球全是白球概率为：.所以摸出的两个球中有红球的概率为. （2）由（1），事件M的概率为， 事件N为“摸出的两个球的编号之和为偶数”，有两类情况：两球均为奇数或两球均为偶数. 两球均为奇数的情况有，3种；两球均为偶数的情况有, 3种； 共6种，则； 即摸出的两个球全是白球且编号之和为偶数，有,共2种，则概率为. 因为不成立，所以事件M，N不相互独立. 12．某快递中转站有甲、乙、丙三个快递员，已知各快递员运送量分别占该中转站业务量的25%，35%，40%，据统计各业务员被客户评为满意的依次为5%，4%，2%．现从该中转站随机运送一件快递． (1)求客户满意的概率； (2)若客户满意，则本次满意是甲、乙、丙的概率分别是多少？ 【详解】（1）从该中转站随机运送一件快递，是甲运送且被客户评为满意的概率为：； 从该中转站随机运送一件快递，是乙运送且被客户评为满意的概率为：； 从该中转站随机运送一件快递，是丙运送且被客户评为满意的概率为：. 所以从该中转站随机运送一件快递，客户满意的概率为：. （2）设“客户满意”为事件，此快递由甲，乙，丙运送分别记为事件， 则客户满意且是甲运送的概率为：, 客户满意且是乙运送的概率为：, 客户满意且是丙运送的概率为：. 考点二、随机变量及其分布列、数字特征 一、单选题 1．设随机变量的分布列为，，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据概率和为1列式求解即可. 【详解】根据题意，随机变量的分布列为，， 则有，解可得. 故选：A. 2．已知X服从两点分布，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点分布的特征计算即可. 【详解】由题意得，则． 故选：. 3．已知随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据随机变量的分布列结合互斥事件概率和公式计算即可. 【详解】. 故选：D. 4．随机变量的概率分布列为，其中是常数，则的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．35 【答案】A 【分析】运用概率分布列的性质求出参数，结合方差公式和结论即可解题. 【详解】因为，所以，解得， 所以， 所以， 故． 故选：A． 5．如果随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得到，根据二项分别的期望与方差，列出方程组，即可求解. 【详解】由随机变量，且， 因为，可得， 则，解得. 故选：C. 6．设随机变量的分布列为，，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】先利用离散型随机变量的分布列的性质求出，再根据公式求得均值，进而求得方差． 【详解】因为随机变量的分布列为，， 所以， 由分布列的性质可得，，解得， 所以， 所以， 所以， 故选：D． 7．已知两个盒子中分别装有形状、大小、质量均相同的小球．其中，盒中有3个红球，1个白球；盒中有1个红球，3个白球，现从两个盒子中同时各取走一个小球，一共取三次，此时记盒中的红球个数为盒中的红球个数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】得到与的所有可能取值及其对应概率后即可得其分布列，借助分布列即可得其期望与方差. 【详解】由已知， ， ， 则的分布列为： 0 1 可得，； 由已知， ， ， 则的分布列为： 0 1 可得，； 所以. 故选：A. 8．设，随机变量取值的概率均为，随机变量取值的概率也均为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由期望与方程的公式计算即可表示出两随机变量的期望与方差，再比较两者大小即可得. 【详解】， ， 故，故A、B错误； 设， 则 ， 同理： ， 由，，故， 同理，则有 ， 即，故C正确，D错误； 故选：C. 二、填空题 9．若，且，则 . 【答案】 【分析】运用二项分布的方差性质求解即可. 【详解】因为，所以， 由题意得，故. 故答案为：40 10．设随机变量可能的取值为，．又的期望，则 ． 【答案】 【分析】根据分布列的性质及期望公式计算即可. 【详解】由题意可得，解得， 所以. 故答案为：. 三、解答题 11．为落实素质教育，促进学生全面发展，某校着重组织社团文化建设，对“心理协会”与“摄影协会”两个社团增设选修课学分，增设学分分别为0.5分和1分，现有一新生进入这两个社团的概率分别为0.7和0.6，求该新生获得社团选修课学分分数的分布列． 【详解】设“该新生获得社团选修课学分分数”为，则的可能取值为． 所以； ； ；． 所以的分布列为： 0 0.5 1 1.5 0.12 0.28 0.18 0.42 12．某品牌汽车4S店搞活动，消费者对"圈圈套西瓜"活动的参与度较高.该活动的游戏规则如下：参加活动的每位消费者可领3个圈圈且均需用完，1个圈圈只能套一次西瓜，每次套中西瓜与否相互独立，套中的西瓜可被消费者带走.已知甲每次套中西瓜的概率为，乙每次套中西瓜的概率为. (1)求甲恰好套中1个西瓜的概率； (2)若甲、乙均套完第一次，记此时甲、乙两人套中西瓜的个数之和为，求随机变量的分布列与期望. 【详解】（1）依题意，甲恰好套中1个西瓜的概率为. （2）随机变量的所有可能取值为. 则随机变量的分布列为 0 1 2 故. 考点三、二项分布和超几何分布 一、单选题 1．若随机变量，则的值为（    ） A．0.8 B．4 C．5 D．3 【答案】B 【分析】根据二项分布的期望公式运算求解. 【详解】因为，所以. 故选：B. 2．袋子中有n个大小质地完全相同的球，其中4个为红球，其余均为黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，已知摸出的2个球都是红球的概率为，则两次摸到的球颜色不相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用超几何分布求解. 【详解】设事件“依次随机摸出2个球，已知摸出的2个球都是红球”为事件,即解得设事件“两次摸到的球颜色不相同”为事件B, 故选：C. 3．已知甲参加青年志愿者的选拔，选拔以现场答题的方式进行．已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，设甲答对的试题数为X，则的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知：随机抽出3道题有2题答对，1题打错，结合组合数运算求解. 【详解】由题意可知：表示答对2题，即随机抽出3道题有2题答对，1题打错， 所以. 故选：D. 4．2024年5月中国邮政发行了《巢湖》特种邮票3枚，巢湖是继《太湖》（5枚）、《鄱阳湖》（3枚）、《洞庭湖》（4枚）后，第四个登上特种邮票的五大淡水湖.现从15枚邮票中随机抽取2枚，记抽取邮票《巢湖》的枚数为，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】利用超几何分布概率公式，分别求出，再求. 【详解】依题意，的可能取值有0，1，2. 则，，， 则. 故选:A. 5．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次停止，设停止时共取了次球，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二项分布的定义即可得到答案. 【详解】由题意知第12次取到红球，前11次中恰有9次取到红球，2次取到白球，由于每次取到红球的概率为． 由二项分布知识可知， 故选：D． 6．甲、乙两名羽毛球运动员进行一场比赛，采用5局3胜制（先胜3局者胜，比赛结束）．已知每局比赛甲获胜的概率均为（不考虑平局），则甲以3比1获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意分析前4局甲的胜负情况，再根据二项分布计算即可. 【详解】若甲以3比1获胜，则甲、乙两人共比赛4局，其中前3局中甲胜2局，第4局甲必胜， 故所求概率为. 故选：. 7．一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动，假设选出的3名代表中的女生人数为变量，男生的人数为变量，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合超几何分布运算求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 8．已知，记使取最大值时的的值为．把这9个数字排成一列，则的左、右两侧都有数字，且与相邻的数字都比大的排列种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项分布的概率公式得到，即可求出取最大值时的值即，再计算排列数即可. 【详解】因为，则（且）， 所以， 当时，，当时，， 所以时，最大，所以， 首先将排到中间个位置中的一个位置， 再从、、、、、六个数字中选两个数字排在的左右， 其余数字全排列即可，所以符合条件的排列种数为． 故选：C． 二、填空题 9．某人每次射击命中目标的概率均为0.5，现连续射击3次，则击中目标次数的数学期望为 ． 【答案】1.5 【分析】根据二项分布求解即可. 【详解】依题意，， 所以. 故答案为：1.5 10．某校举行“书香读书节”读书征文活动，高一年级和高二年级合计上交了9篇文章．学校通过评比后，评出4篇文章获得优胜奖．若这4篇文章恰有3篇是高一年级上交的概率为，则高一年级上交的文章有 篇． 【答案】5 【分析】设高一上交篇文章，表示出事件： “这4篇获奖文章恰有3篇是高一年级上交的”的概率，根据该事件的概率为，可求的值. 【详解】设高一年级上交了篇文章，则高二年级上交了篇文章． 设“这4篇优胜文章恰有3篇是高一年级上交的”为事件， 则， 又，所以 故高一年级上交的文章有5篇． 故答案为：5 三、解答题 11．已知某计算机网络的服务器有三台设备，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.8，它们之间互相不影响．设能正常工作的设备数为． (1)求的分布列； (2)求和； (3)求计算机网络不会断掉的概率． 【详解】（1）由题意得的可能取值为0，1，2，3，且， ， ， ， ， 所以的分布列如下． 0 1 2 3 0.008 0.096 0.384 0.512 （2）因为，所以，． （3）要使得计算机网络不会断掉，也就是要求能正常工作的设备至少有一台，即， 因此所求概率为． 12．高三某班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同，现依次从中摸出5个球．规定摸到4个红球，1个白球的就中一等奖． (1)若摸出后放回，求中一等奖的概率； (2)若摸出后不放回，①求中一等奖的概率；②若至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率． 【详解】（1）若摸出后放回，设摸到白球的个数为，则， 中一等奖的概率为． （2）若以30个球为一批产品，其中红球为不合格产品，随机抽取5个球，表示取到的红球数，则服从超几何分布， ①由公式得，， 所以中一等奖的概率为． ②的可能取值为0，1，2，3，4，5， 根据公式可得至少摸到3个红球的概率为 ， 故中奖的概率约为． 考点四、正态分布 一、单选题 1．已知随机变量服从正态分布，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】B 【分析】根据正态分布的对称性即可求解. 【详解】由于服从正态分布，则， 故. 故选：B 2．已知随机变量，随着越来越大，（    ） A．保持不变 B．越来越小 C．越来越大 D．不能确定 【答案】A 【分析】由为定值，与的变化无关，即可得出答案. 【详解】为定值，与的变化无关． 故选：A. 3．随机变量服从正态分布，若，，则等于（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用正态曲线的图象对称性由即可求得的值. 【详解】，， ， 即， . 故选：B. 4．某电商平台2024年初引进了新型“直播带货”技术后，每日交易额（单位：万元），估计第二季度（按90天计算）内交易额在4460万元到4540万元的天数大约为（ ）（） A．50天 B．61天 C．86天 D．88天 【答案】B 【分析】根据正态分布的特殊区间的概率公式进行求解即可. 【详解】由， 因为， 所以， 即， 所以第二季度（按90天计算）内交易额在4460万元到4540万元的天数大约为： ， 故选：B 5．随机变量服从若 则下列选项一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正态分布的性质逐项判定即可. 【详解】因为 由正态分布的对称性，可得，正态分布方差无法判断， ，， 所以ABD错误. 故选:：C 6．一批电阻的阻值（单位：）服从正态分布，根据行业标准，概率低于0.003视为小概率事件，现从甲、乙两箱成品中各随机抽取一个电阻，测得阻值分别为和，则下列结论正确的是（    ） A．甲、乙两箱电阻均可出厂 B．甲、乙两箱电阻均不可出厂 C．甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂 D．甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂 【答案】C 【分析】根据定义结合正态分布的概率得出结论. 【详解】依题意，所以， 所以，，， 因为， 所以甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂． 故选：C. 7．设，这两个正态分布密度曲线如图所示，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抓住平均数和标准差这两个关键量，结合正态曲线的图形特征分析即可． 【详解】由题可知两曲线分别关于对称，的分布曲线“高瘦”，的分布曲线“矮胖”， 所以由图可知，，A错误； ，故的曲线关于对称，且与的分布曲线一样“矮胖”，故，B错误； 因为，所以，C错误； ，D正确． 故选：D. 8．我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量.概率论中有一个重要的结论是棣莫弗一拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量，当充分大时，二项随机变量可以由正态随机变量来近似，且正态随机变量的期望和方差与二项随机变量的期望和方差相同.棣莫弗在1733年证明了的特殊情形，1812年，拉普拉斯对一般的进行了证明.现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数不超过45次的概率为（    ）（附：若，则 A．0.1587 B．0.0228 C．0.0027 D．0.0014 【答案】A 【分析】由题意，根据二项分布的期望与方差公式分别求出和，然后再利用正态分布的对称性即可求解. 【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币100次，设硬币正面向上次数为，则， 所以， 由题意，，且，则， 因为， 所以利用正态分布近似估算硬币正面向上次数不超过45次的概率为， 故选：A. 二、填空题 9．已知，且，则 . 【答案】0.6/ 【分析】根据分析可知，结合正态分布密度曲线的对称性运算求解即可. 【详解】因为，所以， 则. 因为，所以. 故答案为：0.6. 10．2023年3月3日，教育部于《教育系统关于新时代学习弘扬雷锋精神深入开展学雷锋活动的实施方案》中提出“教育系统要坚持将雷锋精神深度融入学校教育教学和人才培养的全过程、各方面”．某校积极的参与到该方案实施中，组织全体师生（共1600人）进行了一次“雷锋精神”相关的知识竞赛，经统计，所有参赛者的成绩X近似服从正态分布，估计成绩不低于75分的参赛者人数为 ． 【答案】1346 【分析】根据求得，再求即可. 【详解】依题意可知， 所以， 所以， 所以估计成绩不低于75分的参赛者人数为． 故答案为：1346 三、解答题 11．在某次数学考试中，考生的成绩X服从正态分布. (1)试求考试成绩X位于区间内的概率； (2)若这次考试共有3000名考生，试估计考试成绩位于区间内的考生人数. （参考数据：，） 【详解】（1）∵， ∴. ∵， . 且， ∴. （2）∵， ， 且， ∴， ∴考试成绩位于区间内的考生人数为（人）. 12．随着“绿水青山就是金山银山”的环保理念不断深入人心，某地区相关部门实施了对当地现有水库及湖泊的环境改造，从而进一步提高了水中生物的生存环境，改善了当地的生态环境，为了调查某湖泊的环境保护情况，在该湖泊中随机捕捞了50条鱼进行称重，经过相关人员对数据的整理和分析发现鱼的重量（单位：kg）近似服从以2为数学期望的正态分布． (1)已知，在该湖泊中随机捕捞一条鱼，求鱼的重量在的概率； (2)①若从捕捞的50条鱼中随机挑出6条鱼进行称重，得到的数据如下表所示： 重量 条数 3 1 2 现从这6条鱼中随机选3条，设其重量在的条数为，求的数学期望； ②为了获得更大的经济效益，当地渔民计划购买一批饲料对水体中的鱼进行喂养，试从数学建模的观点分析如何才能达到经济效益的最大化？ 【详解】（1）由于服从以2为数学期望的正态分布，所以其总体分布密度曲线关于直线对称， 所以． （2）①由题意可得的所有可能取值为0，1，2，3,所以，． 所以． ②（答案不唯一，合理即可）可以先抽取部分鱼单独加饲料喂养，从数学建模的角度出发，建立鱼的重量与投放饲料量的函数关系模型，若近似成正相关，则渔民可以在可承受的条件下适当增加饲料投放量；若不是，则可以进行曲线拟合，建立函数关系，通过计算拟合函数的最值确定最佳饲料投放量来达到经济效益的最大化． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$