期中满分冲刺03之解答压轴题(九上苏科，20大类型50题)-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（江苏专用）

期中满分冲刺之解答压轴题(九上苏科，20大类型50题) 考点一、判别式及根与系数的关系 1．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)当k为何值时，方程有两个不相等的实数根？ (2)说明：无论k为何值，方程总有一个不变的根． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知：关于x的一元二次方程． (1)请说明此方程一定有两个实数根； (2)若方程的两个实数根均为正整数，求整数k的值． 考点二、有关一元二次方程的新定义问题 3．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是和的三边长，易知，这时我们把形如的方程称为关于x的“勾系一元二次方程”，请解决下列问题： (1)写出一个“勾系一元二次方程”； (2)证明：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根． 4．（2024·广东汕头·二模）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”． (1)判断方程是否是“邻近根方程”； (2)若关于x的方程（b，c是常数）是“邻近根方程”，求的最大值． 考点三、一元二次方程的材料阅读题 5．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）求代数式的最小值时，我们通常运用“”这个公式对代数式进行配方来解决．比如， ∵，∴，∴的最小值是．试利用“配方法”解决下列问题： (1)填空：的最小值是 ； (2)求的最小值； (3)如图，将边长为的正方形一边保持不变，另一组对边增加得到如图2所示的新长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加，得到如图3所示的新正方形，此正方形的面积为； ①用含的代数式表示出，； ②比较，的大小． 6．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）解题时，最容易想到的方法未必是最简单的，你可以再想一想，尽量优化解法． 例题呈现 关于的方程的解是（、、均为常数，）， 则方程的解是． 解法探讨 （1）小明的思路如下所示，请你按照他的思路解决这个问题； 小明的思路 第步把、代入到第个方程中求出的值； 第步把的值代入到第个方程中求出的值； 第步解第个方程． （2）小红仔细观察两个方程，她把第个方程中的“”看作第个方程中的“”，则“”的值为，从而更简单地解决了问题． 策略运用 （3）小明和小红认真思考后发现，利用方程结构的特点，无需计算“根的判别式”就能轻松解决以下问题，请用他们说的方法完成解答． 已知方程有两个相等的实数根，其中、、是三边的长，判断的形状． 考点四、一元二次方程的实际问题 7．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）某中学有一块正方形的空地，边长为40m，学校计划将空地分为五部分，种植不同的花束．白老师利用课后延时时间将设计任务交给小明和小芳两位同学，并给两位同学每人一张边长为的正方形硬纸板模型用来设计，下面是小明和小芳的设计方案． 小明：如图1，它是由四个全等的直角三角形以及一个小正方形组成的，其中小正方形与大正方形的相似比为． 小芳：如图2，它是由四个矩形和中间一个小正方形组成的，在该图案中矩形矩形，且相似比为，中间小正方形的边长为． (1)结合小明设计的方案，解决下列问题： ①求出图中的长； ②求出每个小直角三角形部分在学校空地的实际周长是多少米？ (2)求小芳的方案中矩形的面积． 8．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元，经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子，为了使每天获利的利润更多，该店决定把零售单价下降元． (1)零售单价下降元后，该店平均每天可卖出___________只粽子，利润为__________元． (2)不在考虑其他因素的条件下，当定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？ 9．（20-21九年级上·江西南昌·开学考试）在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以1的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以2的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． (1)填空：________， ________（用含的代数式表示）： (2)当为何值时，的长度等于5？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时的值：若不存在，请说明理由． 10．（23-24九年级上·全国·单元测试）社区利用一块矩形空地修建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为的道路．已知铺花砖的面积为． (1)求道路的宽是多少？ (2)该停车场共有车位30个，据调查分析，当每个车位的月租金为400元时，可全部租出．若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．求当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10920元． 考点五、垂径定理的有关计算及应用 11．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦是小圆的切线，切点为点C． (1)求证：C是的中点； (2)若，则两个同心圆组成的圆环面积为______； (3)若以A为圆心，长为半径画弧，交大圆于点D，连接，请在备用图中补全图形，猜想与小圆的位置关系，并说明理由． 12．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，墙壁上的展品最高点与地面的距离，最低点与地面的距离，观赏者的眼睛E距地面，经验表明，当水平视线与过P、Q、E三点的圆相切于点E时，视角最大，站在此处观赏最理想，求此时点E到墙壁的距离． 考点六、圆周角的有关计算 13．（2024·江苏泰州·三模）在一次数学建模活动课上，吴老师制作了一张简易的海域安全监测平面图，在图中标明了三个监测点的位置坐标，，，由三个监测点确定的圆形区域是安全警戒区域．（单位：海里） (1)某天海面上出现可疑船只，在监测点测得位于南偏东，，求在监测点测的方位是什么？ (2)当可疑船只由（1）中位置向正北方向航行时，是否会闯入安全警戒区域？请通过计算作答． 14．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）操作题：如图，是的外接圆，弦AD平分，P是上一点． (1)请你只用无刻度的直尺在圆上找一点P使； (2)在（1）的条件下，当，圆的半径为5的时候，求的面积． 考点七、圆的有关性质的计算与证明 15．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，是的直径，C为上一点，D在上，且，的延长线与交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 16．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，A，P，B，C是上的四个点，，交于点E． (1)判断的形状，证明你的结论； (2)①若P是的中点，求证：； ②若点P在上移动，判断是否成立，证明你的结论 考点八、圆内接四边形的有关计算 17．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，圆内接四边形的对角线交于点E，平分，． (1)求证：为圆的直径； (2)过点C作交的延长线于点F，若，求此圆半径的长． 18．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）“求知”学习小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动： (1)如图1，点在上，点在外，线段与交于点，试猜想 （请填“”、“”或“”）； (2)如图2，点在上、点在内，此时（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请写出你的结论并予以证明； 19．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）（1）如图，四边形内接于，且．试说明：； （2）如图，四边形内接于，且为直径，，过圆心作，垂足为．试说明：； （3）如图，四边形内接于，对角线相交于点．过圆心作，垂足为，且．试说明：． 考点九、三角形的外接圆和外心问题 20．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点、、，请在网格图中进行如下操作： (1)利用网格线找出该弧所在圆的圆心D点，在图上标出D点； (2)连接，则的半径长为__________．（结果保留根号） (3)如果点E坐标为，则E点在__________．(填“内”、“外”或“上”) 21．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，平面直角坐标系中有一个． (1)利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心O，并写出圆心坐标是______； (2)判断点与的位置关系，说明理由； (3)最小覆盖圆的半径为______． 22．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，、、． (1)经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为______； (2)这个圆的半径为______； (3)直接判断点与的位置关系，点在 ______填内、外、上； (4)如图，是的外接圆，，是上一点请你只用无刻度的直尺，分别画出图和图中的平分线． 考点十、直线与圆的位置关系问题 23．（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）如图，已知点、，直线与轴交于点； (1)在直线上取一点，若为直角三角形，则满足条件的点有 个； (2)将直线绕点旋转一定角度后，能否使得直线上只存在3个这样的点的位置，使得为直角三角形？若能，请求出旋转后的直线的函数关系式；若不能，请说明理由； (3)将直线绕点旋转一定角度后，能否使得直线上只存在2个这样的点的位置，使得为直角三角形？若能，请直接写出旋转后的直线中的的取值范围； 24．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，为正比例函数图象上的一个动点，的半径为，设点的坐标为．    (1)求与直线相切时点的坐标． (2)请直接写出与直线相交、相离时的取值范围． 25．（2023·江苏常州·二模）对于平面直角坐标系中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“最小距离”，记作. 已知点，，连接．    (1)填空： ______； (2)的半径是r，若，直接写出r的取值范围； (3)的半径是r，若将点B绕点A顺时针旋转，得到点C. ①当时，求此时r的值； ②对于取定的r值，若存在两个不同的值使得，直接写出r的取值范围． 考点十一、切线的判定与性质的计算与证明 26．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，点A在的直径的延长线上，点B在上，连接、． (1)给出下列信息：①；②；③与相切．请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，第三个作为结论，组成一个正确的命题并作出证明． 你选择的条件是_____，结论是_____（填写序号，只需写出你认为正确的一种情形)． (2)在（1）的条件下，若，求图中阴影部分的面积． 27．（2024·江苏泰州·二模）如图，中，点为的垂直平分线与的交点，以为圆心，为半径作与的另一个交点为点，且__________，__________． 给出以下信息：①，②，③与相切． (1)请从中选择其中的两个信息作为条件，余下的一个信息作为结论，使之构成真命题，将对应的序号填到下面横线上方，并加以证明． 条件：__________，__________，结论：__________ (2)如图2，在（1）的条件下，点D在上，且，连接，求证∶． 28．（23-24九年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作． (1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)在（1）的条件下，求证：； (3)在（1）的条件下，，，求⊙O的半径． 考点十二、有关切线长定理的计算与证明 29．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，，是的切线，，为切点，连接． (1)若与相切于点，求证； (2)若，求证与相切． 30．（2023·北京海淀·二模）如图，P为外一点，，是⊙O的切线，A、B为切点，点C在上，连接、、．    (1)求证：； (2)连接，若，的半径为5，，的长． 考点十三、三角形的内切圆与内心问题 31．（2024·江苏南京·二模）如图，铁匠师傅要在等边三角形铁皮（）上切一块最大的且无破损的圆形铁皮（）． (1)如图①，三角形铁皮无破损，用直尺和圆规作出．（保留作图痕迹，不写作法） (2)三角形铁皮上有一破损小洞（点P）． ①如图②，点P在的中心，用直尺和圆规作出．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） ②点P不在的中心． i）点P的位置如图③所示，画出的示意图，并写出用直尺和圆规作的思路； ii）随着点P位置的改变，的大小和位置都有可能发生变化．要使与i）中所画的圆的大小和位置都完全相同，那么点P可以在哪些位置？请描述出这些位置． 32．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接、，求证：点D是的外心． 33．（22-23九年级上·山东日照·期中）如图，一块等腰三角形钢板的底边长为，腰长为． (1)求能从这块钢板上截得的最大圆的半径： (2)用一个圆完整覆盖这块钢板，这个圆的最小半径是多少？ (3)求这块等腰三角形钢板的内心与外心之间距离． 考点十四、正多边形与圆的计算 34．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）【问题情境】 （1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的 倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略； 【操作实践】 （2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边、、、之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点为端点的四条线段之间的数量关系； 【探究应用】 （3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求的长； 35．（2024·河北石家庄·一模）如图，正六边形为的内接正六边形，过点D作的切线，交的延长线于点P，连接的半径为6． (1)求的度数； (2)求线段的长； (3)若点M为上一点（不与点F，D重合），连接，直接写出与的面积之和． 36．（2024·陕西渭南·模拟预测）【观察发现】 （1）如图1，在正方形中，点O为对角线的交点，点为正方形外一动点，且满足，连接．若正方形边长为4，则的最大值为______； （2）如图2，已知和都是等边三角形，连接，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3，某地有一个半径为的半圆形（半圆O）人工湖，其中是半圆的直径，在半圆上（不与重合），现计划在的左侧，规划出一个三角形区域，开发成垂钓中心，要求为入口，并沿修建一笔直的观光桥，根据规划要求观光桥的长度尽可能的长，问的长度是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由． 考点十五、弧长与扇形面积的计算 37．（22-23九年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，已知中，，平分，交于点，以上某一点为圆心作使经过点和点，交于点，连接并延长交的延长线于点． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下，求阴影区域的面积； 考点十六、圆锥的有关计算 38．（23-24九年级上·江苏常州·期末）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中就是格点三角形，请建立平面直角坐标系，使点A的坐标为． (1)把以点O为位似中心放大，使放大前后的位似比为，画出△A1B1C1（与在位似中心O点的两侧，A，B，C的对应点分别是，，）； (2)利用本题方格纸标出外接圆的圆心P，P点坐标是 ； (3)在（2）中的条件下，中劣弧的长度为 ． 39．（2024·广东·中考真题）综合与实践 【主题】滤纸与漏斗 【素材】如图1所示： ①一张直径为的圆形滤纸； ②一只漏斗口直径与母线均为的圆锥形过滤漏斗． 【实践操作】 步骤1：取一张滤纸； 步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸； 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形； 步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中． 【实践探索】 (1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明． (2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留） 40．（2024·江苏盐城·三模）公共停车场和收费站都配备了车牌自动识别系统．如图是某停车场的出口直杆道闸，如图2，点O是直杆转动的支点，直杆平行于地面且距离地面的高度，其中直杆．当车辆经过时，直杆绕点O旋转到的位置，如图3，当时， (1)求端点A所经过的路径长（结果保留）； (2)求端点B距离地面的高度．（结果精确到，直杆宽度忽略不计，参考数据：，，．） 考点十七、有关圆的尺规作图问题 41．（2023·浙江·模拟预测）如图，在的方格中，点A，B，C为格点． (1)利用无刻度的直尺在图1中画出的中线． (2)在图2中标出的外心Q并画出外接圆的切线． 42．（2024·江苏无锡·一模）尺规作图： (1)请在图①中以矩形的边为边作菱形，使得点E在上； (2)请在图②中以矩形的边为直径作，并在上确定点P，使得的面积与矩形的面积相等. 43．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，已知圆O的直径是10，点P是圆O内一点． (1)过点P作弦，使P为弦的中点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)若（1）中的弦，点Q为圆O上一动点，则的最小值是__________． 考点十八、圆与动点综合问题 44．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）已知：如图所示，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，在运动过程中，是否存在这样的时刻，使以P为圆心，为半径的圆正好经过点Q？若存在，求出运动时间，若不存在，请说明理由． 45．（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，点P在y轴上，交x轴于A，B两点，连接并延长交于C，过点C的直线交x轴于D，交y轴于点E，且的半径为，． (1)写出点B，P，C的坐标； (2)求证：是的切线； (3)上有一动点M，求的最小值． 考点十九、圆与方程、方程的材料题 46．（2023·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，对于两个图形和直线，若在图形X上存在点A，在图形Y上存在点B，使得点A和点B关于直线对称，就称图形X和Y互为m关联图形． (1)已知点P的坐标为， ①点P与点Q互为关联图形，则点Q的坐标为 ； ②若的半径为1，点P与互为m关联图形，则m的值为 ； (2)已知点，射线OA与线段l：互为t关联图形，求t的取值范围． (3)已知⊙O的半径为2，直线与x轴，y轴分别交于C，D，若关于对称的图形S与点C互为2m关联图形，直接写出m的值及点D与图形S的位置关系． 47．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，，分别以为横坐标和纵坐标得到点，则点为该一元二次方程的衍生点． (1)若一元二次方程，写出该方程的衍生点的坐标_______． (2)若关于的一元二次方程为． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根，并求出该方程的衍生点的坐标． ②若以点为圆心，为半径的与轴、轴都相切，求的值． (3)是否存在，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上？若有，请求出的值；若没有，请说明理由． 考点二十、圆的新定义与材料探究题 48．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图1，，是半圆上的两点，点是直径上一点，且满足，则称是的“相望角”，如图， (1)如图2，若弦，是弧上的一点，连接交于点，连接．求证：是的“相望角”； (2)如图3，若直径，弦，的“相望角”为，求的长． 49．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在四边形中，，，探究线段，，之间的数量关系．小明同学思路如下：将绕点逆时针旋转到处，，两点分别落在，两点处，易证，，三点在同一条直线上，并且是等腰直角三角形，所以，从而得到结论：． (1)在图中，若，，则__________； (2)在图中，是的直径，点是上一点（不与重合），连接，，的角平分线交于点，求证：； (3)在图中，若，，求的长． 50．（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）[模型建立] 如图①、②，点P分别在外、在内，直线分别交于点A、B，则是点P到上的点的最短距离，是点P到上的点的最长距离． [问题解决] 请就图①中为何最长进行证明． [初步应用] （1）已知点P到上的点的最短距离为3，最长距离为7．则的半径为______． （2）如图③，在中，，，．点E在边上，且，动点P在半径为2的上，则的最小值是______． [拓展延伸] 如图④，点，动点B在以为圆心，为半径的圆上，的中点为C，则线段的最大值为______． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中满分冲刺03之解答压轴题(九上苏科，20大类型50题) 考点一、判别式及根与系数的关系 1．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)当k为何值时，方程有两个不相等的实数根？ (2)说明：无论k为何值，方程总有一个不变的根． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系、因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解答的关键． （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出，由方程总有两个不相等的实数根，可得出，解之即可得出，进而可得出当时，这个方程总有两个不相等的实数根； （2）利用因式分解法解一元二次方程，可得出方程的两个根，进而可得出无论k为何值，方程总有一个不变的根为． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵方程总有两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴当时，这个方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵，即， ∴或， ∴，， ∴无论k为何值，方程总有一个不变的根为． 2．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）已知：关于x的一元二次方程． (1)请说明此方程一定有两个实数根； (2)若方程的两个实数根均为正整数，求整数k的值． 【答案】(1)见详解 (2)3或或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键． （1）根据一元二次方程的定义的，再计算判别式得到，然后根据非负数的性质得到，则可根据判别式的意义得出结论； （2）求出方程的根，根据方程的两个实数根均为正整数，求出整数k的值． 【详解】（1）解：， ， 方程一定有两个实数根； （2）解：此方程的根为， ， 方程的两个实数根均为正整数， 或或， 即整数k的值为3或或． 考点二、有关一元二次方程的新定义问题 3．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是和的三边长，易知，这时我们把形如的方程称为关于x的“勾系一元二次方程”，请解决下列问题： (1)写出一个“勾系一元二次方程”； (2)证明：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根． 【答案】(1) (答案不唯一) (2)见详解 【分析】此题考查的是勾股定理的应用、一元二次方程根的情况和完全平方公式，掌握勾股定理、一元二次方程根的情况与的关系和完全平方公式是解决此题的关键． （1）根据勾股定理，找出一组勾股数，再根据“勾系一元二次方程”的定义即可写出结论； （2）求出，然后根据勾股定理和平方的非负性即可证出结论． 【详解】（1）解：当，，时， 勾系一元二次方程为； 故答案为： (答案不唯一) （2）证明： 关于的“勾系一元二次方程”必有实数根． 4．（2024·广东汕头·二模）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”． (1)判断方程是否是“邻近根方程”； (2)若关于x的方程（b，c是常数）是“邻近根方程”，求的最大值． 【答案】(1)方程是“邻近根方程”； (2)48 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根的判别式，根与系数的关系，配方法的应用等等： （1）利用公式法求出，则，据此可得答案； （2）设关于x的方程的两个实数根为，则由根与系数的关系可得，再根据题意得到，则，据此推出，再由即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得， ∴， 解得， ∴， ∴方程是“邻近根方程”； （2）解：设关于x的方程的两个实数根为， 则由根与系数的关系可得， ∵关于x的方程（b，c是常数）是“邻近根方程”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值48，即有最大值48． 考点三、一元二次方程的材料阅读题 5．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）求代数式的最小值时，我们通常运用“”这个公式对代数式进行配方来解决．比如， ∵，∴，∴的最小值是．试利用“配方法”解决下列问题： (1)填空：的最小值是 ； (2)求的最小值； (3)如图，将边长为的正方形一边保持不变，另一组对边增加得到如图2所示的新长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加，得到如图3所示的新正方形，此正方形的面积为； ①用含的代数式表示出，； ②比较，的大小． 【答案】(1)； (2)； (3)①；；②． 【分析】本题主要考查配方法的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用完全平方公式是关键. （1）依据题意，对多项式进行配方，进而根据偶次方的非负性可以得解； （2）依据题意，对多项式进行配方，进而根据偶次方的非负性可以得解； （3）①依据题意，根据图形进行计算即可得解；②依据题意，根据①所求和，通过作差法进行比较大小即可得解， 【详解】（1）解： ∵， ∴ ∴的最小值是， 故答案为：； （2）解： ， ∵，， ∴， ∴的最小值为； （3）解：①边长为的正方形一边保持不变，另一组对边增加得到新长方形，长方形的面积为， ∴， 正方形的边长增加，得到新正方形，正方形的面积为， ∴； ②， ∵， ∴，即， ∴． 6．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）解题时，最容易想到的方法未必是最简单的，你可以再想一想，尽量优化解法． 例题呈现 关于的方程的解是（、、均为常数，）， 则方程的解是． 解法探讨 （1）小明的思路如下所示，请你按照他的思路解决这个问题； 小明的思路 第步把、代入到第个方程中求出的值； 第步把的值代入到第个方程中求出的值； 第步解第个方程． （2）小红仔细观察两个方程，她把第个方程中的“”看作第个方程中的“”，则“”的值为，从而更简单地解决了问题． 策略运用 （3）小明和小红认真思考后发现，利用方程结构的特点，无需计算“根的判别式”就能轻松解决以下问题，请用他们说的方法完成解答． 已知方程有两个相等的实数根，其中、、是三边的长，判断的形状． 【答案】（1）；（2）或；（3）是直角三角形． 【分析】此题考查根的判别式，勾股定理逆定理，一元二次方程的解，解题关键在于掌握根的判别式及勾股定理逆定理． （1）根据题意利用待定系数法求解即可． （2）把后面一个方程中的看作整体，相当于前面一个方程中的求解． （3）先根据方程有两个相等的实数根，求得方程的根，再根据根与系数的关系列出方程，找到、、的关系，从而判断三角形的形状． 【详解】解：（1）将代入到方程中， 得， ∴， 解得 ∴． ∴ 第个方程可变形为， 即， 解得：； （2）∵关于的方程的解是， ∴把第个方程中的“”看作第个方程中的“”，则“”的值为或， 故答案为：或； （3）∵当时， ∴方程必有一根是 ∴方程的两根为． ∴． ∴． ∴是一个直角三角形 考点四、一元二次方程的实际问题 7．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）某中学有一块正方形的空地，边长为40m，学校计划将空地分为五部分，种植不同的花束．白老师利用课后延时时间将设计任务交给小明和小芳两位同学，并给两位同学每人一张边长为的正方形硬纸板模型用来设计，下面是小明和小芳的设计方案． 小明：如图1，它是由四个全等的直角三角形以及一个小正方形组成的，其中小正方形与大正方形的相似比为． 小芳：如图2，它是由四个矩形和中间一个小正方形组成的，在该图案中矩形矩形，且相似比为，中间小正方形的边长为． (1)结合小明设计的方案，解决下列问题： ①求出图中的长； ②求出每个小直角三角形部分在学校空地的实际周长是多少米？ (2)求小芳的方案中矩形的面积． 【答案】(1)①② (2) 【分析】（1）①根据小正方形与大正方形的相似比为，且大正方形边长为，得到正方形的边长为，设，，根据勾股定理即可得到结论；②根据①中的结果求出模型中小直角三角形的面积，再根据模型和实际的比例关系进行求解即可； （2）设矩形的长为，宽为．根据矩形矩形相似，相似比为，得到矩形的长为，宽为，列出方程进行求解即可得到结论． 【详解】（1）①小正方形与大正方形的相似比为，且大正方形边长为， 正方形的边长为， 设，， ，， ， 整理可得， 解得， 负数舍去， ，即： ②由①知：，， ∴小直角三角形的周长是． 每个小三角形的实际周长为． （2）解：设矩形的长为，宽为． 矩形矩形相似，相似比为， 矩形的长为，宽为， 由图可知，，， 解得，， 矩形的面积为． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，勾股定理，解一元二次方程，综合运用以上知识是解题的关键． 8．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元，经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子，为了使每天获利的利润更多，该店决定把零售单价下降元． (1)零售单价下降元后，该店平均每天可卖出___________只粽子，利润为__________元． (2)不在考虑其他因素的条件下，当定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？ 【答案】(1)， (2)0.4 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，依据题意，正确建立方程是解题关键． （1）零售单价下降m元，每天可多卖出只粽子，再加上300即可得卖出的粽子数量；然后根据“降价前卖出1只粽子的利润是1元”可得降价m元后，卖出1只粽子的利润为元，据此乘以卖出的粽子数量即可得； （2）根据“每天的利润每只粽子的利润每天卖出的粽子数量”可建立一个关于m的一元二次方程，解方程，取较大的根即可． 【详解】（1）解：由题意得：零售单价下降m元，每天可多卖出粽子（只）， 则该店平均每天可卖出的粽子数量为只， 降价前卖出1只粽子的利润是1元， 降价m元后，卖出1只粽子的利润为元， 则每天的利润为元， 故答案为：，； （2）由题意得：， 整理得：， 解得或， 当时，每天可卖出的粽子数量为（只）， 当时，每天可卖出的粽子数量为（只）， ∵要求卖出的粽子更多， ， 答：当m定为时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多． 9．（20-21九年级上·江西南昌·开学考试）在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以1的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以2的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒． (1)填空：________， ________（用含的代数式表示）： (2)当为何值时，的长度等于5？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时的值：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当的值为0秒或2秒时，的长度等于5 (3)存在，当秒时，使得五边形的面积等于 【分析】本题考查了列代数式，勾股定理，一元二次方程的应用等知识．熟练掌握列代数式，勾股定理，一元二次方程的应用是解题的关键． （1）由题意得，，则，然后作答即可； （2）由题意知，当时，，当时，由勾股定理得，，即，计算求出满足要求的解即可； （3）由题意知，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：∵点从点开始沿边向终点以1的速度移动，点从点开始沿边向终点以2的速度移动． ∴， ∴， 故答案为：；； （2）解：当时，， 当时，由勾股定理得，，即， 解得：（舍去），； 综上所述，当的值为0秒或2秒时，的长度等于5； （3）解：存在， 由题意知，， 解得，（舍去）， ∴存在，当秒时，使得五边形的面积等于． 10．（23-24九年级上·全国·单元测试）社区利用一块矩形空地修建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为的道路．已知铺花砖的面积为． (1)求道路的宽是多少？ (2)该停车场共有车位30个，据调查分析，当每个车位的月租金为400元时，可全部租出．若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．求当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10920元． 【答案】(1)6m (2)20元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． （1）由题意知，道路的宽为米，根据矩形的面积公式列出方程并解答即可； （2）设车位的月租金上涨元，则租出的车位数量是个，根据：月租金每个车位的月租金车位数，列出方程并解答即可． 【详解】（1）解：由题意得 ， 整理得：， 解得：（舍去），， 答：道路的宽为米． （2）解：设当每个车位的月租金上涨a元时，停车场的月租金收入为10 920元， 根据题意得， ， 整理得，， 解得或（舍去）． 答：当每个车位的月租金上涨20元时，停车场的月租金收入为10 920元． 考点五、垂径定理的有关计算及应用 11．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦是小圆的切线，切点为点C． (1)求证：C是的中点； (2)若，则两个同心圆组成的圆环面积为______； (3)若以A为圆心，长为半径画弧，交大圆于点D，连接，请在备用图中补全图形，猜想与小圆的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)与小圆相切，理由见解析 【分析】（1）直接利用垂径定理即可求证； （2）利用勾股定理和圆环的面积即大圆面积减去小圆面积即可求解； （3）先构造全等三角形证明平分，再作垂直证明半径即可求证． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵是小圆的切线， ∴， ∴平分，即C是的中点． （2）解：如图，连接、， ∵平分， ∴， ∴， ∴圆环的面积为， 故答案为． （3）解：与小圆相切，理由如下： 如图，连接、、、，过O点作于E， ∵，，， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴与小圆相切． 【点睛】本题考查了垂径定理、圆的面积、全等三角形的判定与性质、切线的性质与判定，解题关键是牢记以上相关定理，构造出全等三角形． 12．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，墙壁上的展品最高点与地面的距离，最低点与地面的距离，观赏者的眼睛E距地面，经验表明，当水平视线与过P、Q、E三点的圆相切于点E时，视角最大，站在此处观赏最理想，求此时点E到墙壁的距离． 【答案】 【分析】作于，连接，如图，根据垂径定理得到，再计算出，则，根据切线的性质得，于是可判断四边形为矩形，所以，，然后在中，利用勾股定理计算出，从而得到． 【详解】解：作于，连接，，如图，， ，， ， ， ， ， ， 与相切， ， 而，， 四边形为矩形， ，， 在中，，， ， ． 答：此时点到墙壁的距离为． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查垂径定理，矩形的性质和勾股定理． 考点六、圆周角的有关计算 13．（2024·江苏泰州·三模）在一次数学建模活动课上，吴老师制作了一张简易的海域安全监测平面图，在图中标明了三个监测点的位置坐标，，，由三个监测点确定的圆形区域是安全警戒区域．（单位：海里） (1)某天海面上出现可疑船只，在监测点测得位于南偏东，，求在监测点测的方位是什么？ (2)当可疑船只由（1）中位置向正北方向航行时，是否会闯入安全警戒区域？请通过计算作答． 【答案】(1)南偏东60°， (2)不会闯入安全警戒区域，过程见解析． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、直线与圆的位置关系．垂径定理的应用； （1）过点C作轴于点D，设，则，解直角三角形求得x，进而求得； （2）由（1）知，根据三角函数的定义得到，过点C作轴于点G，过点作于点E，交于H，过点作于点F，则四边形是矩形，根据矩形的性质得到，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：过点C作轴于点D，    依题意，得，， 设，则， ∵， ∴， ∴， 在中， ，， ∴ ∵ ∴ 解得：，即 ∴ ∴ ∴ ∴监测点测的方位是南偏东60° （2）解：不会，计算如下： 由（1）知， ∵， ∴， ∴， 过点C作轴于点G，过点作于点E，交于H，    ∴， ∴， 过点作于点F， 则四边形是矩形， ∴， 由已知得，， ∵， ∴线段是的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴直线与相离，C船不会闯入安全警戒区域． 14．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）操作题：如图，是的外接圆，弦AD平分，P是上一点． (1)请你只用无刻度的直尺在圆上找一点P使； (2)在（1）的条件下，当，圆的半径为5的时候，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了弧与弦，圆周角之间的关系，垂径定理的推论，勾股定理等等： （1）如图所示，连接并延长交于点P，点P即为所求； （2）先由垂径定理的推论得到，再利用勾股定理求出的长，进而求出的长，即可根据三角形面积公式求出答案． 【详解】（1）解：如图所示，连接并延长交于点P，点P即为所求； 由角平分线的定义得到，则，则，则； （2）解：设交于H，连接， 角平分线的定义得到，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点七、圆的有关性质的计算与证明 15．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，是的直径，C为上一点，D在上，且，的延长线与交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是得出，再根据直角三角形的性质及三角形的内角和即可推导得解； （2）连接并延长交于点F，连接，则，，根据勾股定理得出，即可得到，结合，，进而得出，由（1）知，据此即可得解． 【详解】（1）证明：∵是圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，连接并延长交于点F，连接， ∵与都是圆的直径，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是圆的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了圆周角定理、勾股定理、直角三角形的性质及三角形的内角和等知识，根据圆周角定理、勾股定理得出是解题的关键． 16．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，A，P，B，C是上的四个点，，交于点E． (1)判断的形状，证明你的结论； (2)①若P是的中点，求证：； ②若点P在上移动，判断是否成立，证明你的结论 【答案】(1)是等边三角形，证明见解析 (2)详见解析；成立，证明见解析 【分析】（1）根据圆周角定理得到，，根据等边三角形的判定定理证明； （2）①证明垂直平分，得到为直径，根据三线合一和含30度角的直角三角形的性质，得到，即可得证； ②在上截取，得到为等边三角形，证明，根据全等三角形的性质，结合图形证明即可． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： 由圆周角定理得，，， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：①∵P是的中点， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴垂直平分， ∴为直径，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②成立，理由如下： 在上截取， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是圆周角定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，中垂线的判定，含30度角的直角三角形，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 考点八、圆内接四边形的有关计算 17．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，圆内接四边形的对角线交于点E，平分，． (1)求证：为圆的直径； (2)过点C作交的延长线于点F，若，求此圆半径的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）由圆内接四边形性质得，由及同弧对的圆周角相等得，即平分，再结合已知即可得，问题得证； （2）由题意得是等边三角形，则得；再由平行得，利用含30度直角三角形的性质可分别求得，从而可求得半径． 【详解】（1）证明：∵四边形是圆内接四边形， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， 即平分， ∴； ∵平分， ∴， ∴， ∴， 即是圆的直径； （2）解：∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴圆的半径为． 【点睛】本题考查了圆内接四边形性质，同弧或等弧对的圆周角相等，直角对的弦为直径，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，含30度直角三角形性质等知识，掌握这些知识是关键． 18．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）“求知”学习小组在学完“圆内接四边形的对角互补”这个结论后进行了如下的探究活动： (1)如图1，点在上，点在外，线段与交于点，试猜想 （请填“”、“”或“”）； (2)如图2，点在上、点在内，此时（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，请予以证明；若不成立，请写出你的结论并予以证明； 【答案】(1) (2)不成立，，证明见解析 【分析】本题考查了圆内接四边形，三角形外角的性质，作辅助线构造圆内接四边形，掌握圆内接四边形的对角互补是解题关键． （1）连接，根据圆内接四边形的对角互补，得到，再根据三角形外角的性质，得到，即可得到答案； （2）延长交圆于点，连接，根据圆内接四边形的对角互补，得到，再根据三角形外角的性质，得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，连接， 四边形是圆内接四边形， ， 是的外角， ， ， 故答案为：； （2）解：结论不成立，，证明如下： 如图，延长交圆于点，连接， 四边形是圆内接四边形， ， 是的外角， ， ． 19．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）（1）如图，四边形内接于，且．试说明：； （2）如图，四边形内接于，且为直径，，过圆心作，垂足为．试说明：； （3）如图，四边形内接于，对角线相交于点．过圆心作，垂足为，且．试说明：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】（1）连接，由，可得，从而得到，即可求证； （2）先证明是的中位线，据此即可证明结论成立； （3）作直径，连接，证明是的中位线，推出，再证明，得到，再根据圆周角定理即可得到，即可证明结论成立． 【详解】解：（1）连接， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵四边形内接于，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴； （3）作直径，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，相似三角形的判定和性质，三角形中位线的判定和性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 考点九、三角形的外接圆和外心问题 20．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点、、，请在网格图中进行如下操作： (1)利用网格线找出该弧所在圆的圆心D点，在图上标出D点； (2)连接，则的半径长为__________．（结果保留根号） (3)如果点E坐标为，则E点在__________．(填“内”、“外”或“上”) 【答案】(1)见解析 (2) (3)上 【分析】本题考查与圆有关的综合题，熟练掌握垂直平分线的性质，点与圆的位置关系是解题的关键． （1）连接，分别作的垂直平分线，交于点D即为所求，标出坐标即可； （2）利用点与点D的坐标结合勾股定理即可得到的半径； （3）利用两点的距离公式求出点E和点D的距离，再与的半径比较，即可得到E点与的位置关系． 【详解】（1）解：连接，分别作的垂直平分线，交于点D即为所求，坐标为：，如图： （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∴的半径长为， 故答案为：． （3）解：∵，， ∴点到圆心的距离为：， ∵的半径长为， ∴E点在上， 故答案为：上． 21．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，平面直角坐标系中有一个． (1)利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心O，并写出圆心坐标是______； (2)判断点与的位置关系，说明理由； (3)最小覆盖圆的半径为______． 【答案】(1)，图见解析 (2)点在圆外 (3) 【分析】（1）分别作边的垂直平分线，交点即为圆心O； （2）用勾股定理分别求出，，比较即可； （3）取中点P，连接，最小覆盖圆的半径为的长，用勾股定理求解即可． 【详解】（1） 分别作边的垂直平分线，相交于点 （2）∵， ∴ 由图可得： ∴ ∴ ∴点在圆外； （3）取中点P，连接， 最小覆盖圆的半径为的长， ∴ 【点睛】本题考查勾股定理，点与圆的位置关系，三角形的外接圆等，灵活运用所学知识是关键． 22．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，、、． (1)经过、、三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为______； (2)这个圆的半径为______； (3)直接判断点与的位置关系，点在 ______填内、外、上； (4)如图，是的外接圆，，是上一点请你只用无刻度的直尺，分别画出图和图中的平分线． 【答案】(1)； (2)； (3)内； (4)见解析 【分析】 （1）的垂直平分线所在直线为，可知圆心在直线上，设，根据，可求点坐标； （2）由（1）求出，即可求圆的半径； （3）根据，即可判断点位置； （4）连接，则平分；连接与弧交于，连接，则平分． 本题考查圆的综合应用，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，角平分线的性质是解题的关键． 【详解】（1） 解：、， 的垂直平分线所在直线为， 圆心在直线上， 设， ， ， 解得， ， 故答案为：； （2） 解：， ， 故答案为：； （3） 解：，， ， 点在内， 故答案为：内； （4） 解：图，即为所求， 连接， ， ， ， 平分； 图，即为所求， 连接与弧交于，连接， ， 平分， ， ， ， 平分． 考点十、直线与圆的位置关系问题 23．（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）如图，已知点、，直线与轴交于点； (1)在直线上取一点，若为直角三角形，则满足条件的点有 个； (2)将直线绕点旋转一定角度后，能否使得直线上只存在3个这样的点的位置，使得为直角三角形？若能，请求出旋转后的直线的函数关系式；若不能，请说明理由； (3)将直线绕点旋转一定角度后，能否使得直线上只存在2个这样的点的位置，使得为直角三角形？若能，请直接写出旋转后的直线中的的取值范围； 【答案】(1)4 (2)或 (3)或 【分析】（1）分，，三种情况讨论即可； （2）以为直径作，过P作的切线，，连接，过点Q作于H，证明，可求出点Q的坐标，然后利用待定系数法求直线解析式，同理求直线解析式即可； （3）当直线l与（2）中相离时，直线上只存在2个这样的点的位置，使得为直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：当时，即， ∵， ∴点C的横坐标为， 把代入直线，得， ∴； 当时，即， ∵， ∴点C的横坐标为2， 把代入直线，得， ∴； 当时，设， 则，即， 解得， ∴或， ∴符合题意的点C一共有4个， 故答案为：4； （2）解：能， 以为直径作，过P作的切线，，连接，过点Q作于H， 则， ∵、， ∴中点，即，， 对于直线，当时，， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∴， 设直线解析式为， 把P、Q坐标代入，得， 解得， ∴直线解析式为； 同理直线解析式为； ∴直线上只存在3个这样的点的位置，使得为直角三角形，这样的直线为或； （3）解：当直线l与（2）中相离时，直线上只存在2个这样的点的位置，使得为直角三角形， ∴b的取值范围为或． 24．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，为正比例函数图象上的一个动点，的半径为，设点的坐标为．    (1)求与直线相切时点的坐标． (2)请直接写出与直线相交、相离时的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据直线和圆相切应满足圆心到直线的距离等于半径，首先求得点的横坐标，再根据直线的解析式求得点的纵坐标． （2）根据（1）的结论，即可分析出相离和相交时的取值范围． 【详解】（1）解：过作直线的垂线，垂足为； 当点在直线右侧时，，解得； ∴； 当点在直线左侧时，，得， ∴，    ∴当与直线相切时，点的坐标为或． （2）解：由（1）可知当时，与直线相交 当或时，与直线相离． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，掌握直线和圆的不同位置关系应满足的数量关系，根据数量关系正确求解是解题的关键． 25．（2023·江苏常州·二模）对于平面直角坐标系中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“最小距离”，记作. 已知点，，连接．    (1)填空： ______； (2)的半径是r，若，直接写出r的取值范围； (3)的半径是r，若将点B绕点A顺时针旋转，得到点C. ①当时，求此时r的值； ②对于取定的r值，若存在两个不同的值使得，直接写出r的取值范围． 【答案】(1)3 (2) (3)①，② 【分析】（1）由题意得出轴，则可根据“最小距离”的定义得出答案； （2）根据题意画出图形，由直角三角形的性质及“最小距离”的定义得出答案； （3）①过点C作于点H，由直角三角形的性质可得出答案； ②由题意可知线段在旋转过程中与有两个交点，画出图形即可得出答案． 【详解】（1）∵，， ∴轴， ∴， 故答案为：3； （2）如图所示，表示与线段有交点，    此时, ∴； （3）①当时，点C恰好落在x轴上，如图，    过点C作，垂足为H， ，， ，， 点C落在x轴上， ， ； ②存在两个不同的值使得，即线段在旋转的过程中与有两个交点，如图，    此时，， ∴． 【点睛】本题是圆的综合问题，解题的关键是理解并掌握“最小距离”的概念，旋转的性质，直角三角形的性质及分类讨论思想的运用等知识点． 考点十一、切线的判定与性质的计算与证明 26．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，点A在的直径的延长线上，点B在上，连接、． (1)给出下列信息：①；②；③与相切．请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，第三个作为结论，组成一个正确的命题并作出证明． 你选择的条件是_____，结论是_____（填写序号，只需写出你认为正确的一种情形)． (2)在（1）的条件下，若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）若选择①②，证明③．连接，根据等边对等角得到，，从而得到，根据三角形的内角和可证明，由此即可证得与相切．若选择①③，证明②．连接，由等边对等角与三角形外角的性质得到，根据切线的性质得到，从而，将代入后即可求解．若选择②③，证明①．连接，由切线的性质得到，从而求得，由等边对等角与三角形外角的性质得到，，即可求得，从而，得证． （2）过点O作于，在中，可求出，在中，可求出，，根据三角形的面积公式求出，根据扇形面积公式求出，根据，即可求解． 【详解】（1）解：选择①②可证明③，或选择①③可证明②，或选择②③可证明①， 若选择的条件是①②，结论是③，证明如下： 如图，连接， ， ， ∵， ∴ ， ， ∴， ∵是半径， ∴与相切． 若选择的条件是①③，结论是②，证明如下： 如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线，是半径， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 若选择的条件是②③，结论是①，证明如下： 如图，连接， ∵是的切线，是半径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：①②，③，或①③，②，或②③，①． （2）解：如图所示，过点O作于， ∴在中， ∴， ∴在中，， ， ∵，， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查圆的基础知识，切线的证明与性质，等腰三角形的判定及性质，三角形外角的性质，不规则图形的面积，解直角三角形，熟练运用相关知识是解题的关键． 27．（2024·江苏泰州·二模）如图，中，点为的垂直平分线与的交点，以为圆心，为半径作与的另一个交点为点，且__________，__________． 给出以下信息：①，②，③与相切． (1)请从中选择其中的两个信息作为条件，余下的一个信息作为结论，使之构成真命题，将对应的序号填到下面横线上方，并加以证明． 条件：__________，__________，结论：__________ (2)如图2，在（1）的条件下，点D在上，且，连接，求证∶． 【答案】(1)选择①②作为条件，③作为结论或选择①③作为条件，②作为结论或选择②③作为条件，①作为结论，证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，弧与圆周角之间的关系，圆周角定理，切线的性质与判定，等边对等角等等： （1）选择①②作为条件，③作为结论，根据圆周角定理和等边对等角得到，则可证明；选择①③作为条件，②作为结论，根据圆周角定理和切线的性质推出即可证明结论；选择②③作为条件，①作为结论，根据切线的和圆周角定理得到，则； （2）根据弧与圆周角之间的关系求出，则，由垂径定理的推论即可得到． 【详解】（1）解：选择①②作为条件，③作为结论，证明如下： 如图所示，连接， ∵点O在的垂直平分线上， ∴， ∴点C在圆O上， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是圆O的半径， ∴是圆O的切线； 选择①③作为条件，②作为结论，证明如下： ∵是圆O的切线； ∴， ∵， ∴， ∴； 选择②③作为条件，①作为结论，证明如下： ∵是圆O的切线； ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 28．（23-24九年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作． (1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)在（1）的条件下，求证：； (3)在（1）的条件下，，，求⊙O的半径． 【答案】(1)画图见解析 (2)证明见解析 (3)⊙O的半径为． 【分析】（1）根据尺规作图，过点作的垂线，交于点，即可求解； （2）根据题意切线的性质以及直径所对的圆周角是直角，证明，根据平行线的性质以及等腰三角形的性质得出，进而证明，即可得证． （3）由（2）得：，，设，再利用勾股定理可得，再解方程即可. 【详解】（1）解：方法不唯一，如图所示． . （2）∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵点在以为直径的圆上， ∴， ∴． 又∵为的切线， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵在和中， ∴． ∴． （3）由（2）得：， ∵， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴⊙O的半径为． 【点睛】本题考查了作圆的切线，切线的性质，直径所对的圆周角是直角，全等三角形的性质与判定，勾股定理的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 考点十二、有关切线长定理的计算与证明 29．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，，是的切线，，为切点，连接． (1)若与相切于点，求证； (2)若，求证与相切． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）利用切线长定理证明，即可求证； （）延长到点，使得，连，过点作，垂足为G，连接，，，，证明，再由证明，根据性质再证明，最后由性质即可求证； 此题考查了切线长定理和切线的判定与性质，全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点的的应用及正确添加辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵与相切，切点为，且，是的切线，，为切点， ∴ ，， ∵， ∴； （2）证明：延长到点，使得，连接，过点作，垂足为G，连接，，，， ∵，， ∴ ， ∵，是的切线，，为切点， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴平分， 又∵，， ∴， ∴与相切． 30．（2023·北京海淀·二模）如图，P为外一点，，是⊙O的切线，A、B为切点，点C在上，连接、、．    (1)求证：； (2)连接，若，的半径为5，，的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)10 【分析】（1）过作于，得到，根据切线的性质得到，根据余角的性质得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论； （2）连接，延长交于，根据切线的性质得到，，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：过作于，如图所示： ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：连接，延长交于，如图所示：    ∵，是的切线， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，勾股定理，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 35．（2024·河北石家庄·一模）如图，正六边形为的内接正六边形，过点D作的切线，交的延长线于点P，连接的半径为6． (1)求的度数； (2)求线段的长； (3)若点M为上一点（不与点F，D重合），连接，直接写出与的面积之和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了圆内接正六边形，圆周角定理，切线性质，求三角形面积等知识点，熟练应用基本性质和定理是解题的关键． （1）连接，根据圆内接正六边形性质求出，进而由圆周角定理得出度数； （2）由切线性质得，在中，利用三角函数即可求解； （3）分别表达，再求和即可． 【详解】（1）解：如图1，连接， 正六边形为的内接正六边形， 是的直径，， ， ； （2）与相切，是的直径， ， 正六边形为的内接正六边形， ， 在中，， ； （3）正六边形为的内接正六边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 36．（2024·陕西渭南·模拟预测）【观察发现】 （1）如图1，在正方形中，点O为对角线的交点，点为正方形外一动点，且满足，连接．若正方形边长为4，则的最大值为______； （2）如图2，已知和都是等边三角形，连接，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3，某地有一个半径为的半圆形（半圆O）人工湖，其中是半圆的直径，在半圆上（不与重合），现计划在的左侧，规划出一个三角形区域，开发成垂钓中心，要求为入口，并沿修建一笔直的观光桥，根据规划要求观光桥的长度尽可能的长，问的长度是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）4；（2）见解析；（3）存在， 【分析】本题考查了正方形的性质，圆的基本性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，掌握相关性质是解题的关键． （1）以为直径作，连接，点和点在上，当为直径时，最长即可求解； （2）通过等边三角形的性质，证明，即可求证； （3）过点作的垂线并截取点使，如图，以点为圆心，为半径，作半圆， 则点在半圆上运动， 当三点共线时， ，此时长度取到最大值，即可求解． 【详解】解：（1）以为直径作，连接，如图： ∵是正方形， ∴， 又∵， ∴点和点在上， 当在一条直线上时，即为直径时，最长， ∵正方形边长为4， ∴； （2）∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）过点作的垂线并截取点使，如图，以点为圆心，为半径，作半圆， 则点在半圆上运动， 理由如下： 作，交半圆于点， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即且， ∴当点在上运动时，点在上运动， 连接，当三点不共线时， ， 当三点共线时， ，此时长度取到最大值， 即∶如图中，点在位置时，， ∵，， ∴，， ∴， 即最大值为． 考点十五、弧长与扇形面积的计算 37．（22-23九年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，已知中，，平分，交于点，以上某一点为圆心作使经过点和点，交于点，连接并延长交的延长线于点． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下，求阴影区域的面积； 【答案】(1)直线与相切，理由见解析； (2)6； (3)． 【分析】（1）连接，根据角平分线的定义得出，由等边对等角得出，即可得出，进而判定，根据平行线的性质得到，即，即可得解； （2）由是直径得出，进而得到，，根据两角相等的两个三角形相似得到，即可得出，求出，在根据锐角三角函数定义求出，即得，再根据直角三角形中的角所对的直角边等于斜边的一半得出，即可根据求解； （3）根据阴影部分面积等于的面积减去扇形的面积求解即可． 【详解】（1）证明：直线与相切，理由如下： 如图，连接， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）解：是直径， ， ， 平分，， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ； （3）解：，，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题是圆的综合题，考查了切线的判定与性质、锐角三角函数、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟记相关的定理及证明直线与相切是解题的关键． 考点十六、圆锥的有关计算 38．（23-24九年级上·江苏常州·期末）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中就是格点三角形，请建立平面直角坐标系，使点A的坐标为． (1)把以点O为位似中心放大，使放大前后的位似比为，画出△A1B1C1（与在位似中心O点的两侧，A，B，C的对应点分别是，，）； (2)利用本题方格纸标出外接圆的圆心P，P点坐标是 ； (3)在（2）中的条件下，中劣弧的长度为 ． 【答案】(1)见解析 (2)作图见解析，； (3)． 【分析】本题考查了作图-位似变换、弧长公式、外心的概念：解集此题的关键是清楚位似的概念以及外心的概念． （1）把点、、的横纵坐标分别乘得到点，，的坐标，然后依次连接各点即可； （2）利用网格特点可知，为等腰直角三角形，则为外接圆的直径，其中点为圆心，即可求解； （3）由（1）知，利用圆周角定理得到，然后利用弧长公式计算劣弧的长度． 【详解】（1）解：如图，为所求； （2）如图，点为所作， 由图可知，，， 则， ∴为等腰直角三角形，则为外接圆的直径，其中点为圆心， 由图可知，， 故答案为：； （3）由（1）可知，，， ∴劣弧的长度． 39．（2024·广东·中考真题）综合与实践 【主题】滤纸与漏斗 【素材】如图1所示： ①一张直径为的圆形滤纸； ②一只漏斗口直径与母线均为的圆锥形过滤漏斗． 【实践操作】 步骤1：取一张滤纸； 步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸； 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形； 步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中． 【实践探索】 (1)滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明． (2)当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留） 【答案】(1)能，见解析 (2) 【分析】本题考查了圆锥，解题的关键是： （1）利用圆锥的底面周长＝侧面展开扇形的弧长求出圆锥展开图的扇形圆心角，即可判断； （2）利用圆锥的底面周长＝侧面展开扇形的弧长，求出滤纸围成圆锥形底面圆的半径，利用勾股定理求出圆锥的高，然后利用圆锥体积公式求解即可． 【详解】（1）解：能， 理由：设圆锥展开图的扇形圆心角为， 根据题意，得， 解得， ∴将圆形滤纸对折，将其中一层撑开，围成圆锥形，此时滤纸能紧贴此漏斗内壁； （2）解：设滤纸围成圆锥形底面圆的半径为，高为， 根据题意，得， 解得， ∴， ∴圆锥的体积为． 40．（2024·江苏盐城·三模）公共停车场和收费站都配备了车牌自动识别系统．如图是某停车场的出口直杆道闸，如图2，点O是直杆转动的支点，直杆平行于地面且距离地面的高度，其中直杆．当车辆经过时，直杆绕点O旋转到的位置，如图3，当时， (1)求端点A所经过的路径长（结果保留）； (2)求端点B距离地面的高度．（结果精确到，直杆宽度忽略不计，参考数据：，，．） 【答案】(1)端点A经过的路径长为m (2)端点B距离地面的高度约为 【分析】本题考查了求弧长，解直角三角形的应用； （1）根据弧长公式即可求解； （2）过点B作，垂足为E，由正弦函数得，即可求解； 掌握弧长公式：及直角三角形的解法是解题的关键． 【详解】（1）解：绕点O旋转得到到， 端点A经过的路径长为 ； （2）解：如图，过点B作，垂足为E， ， ， 在中，，， ， ， 答：端点B距离地面的高度约为． 考点十七、有关圆的尺规作图问题 41．（2023·浙江·模拟预测）如图，在的方格中，点A，B，C为格点． (1)利用无刻度的直尺在图1中画出的中线． (2)在图2中标出的外心Q并画出外接圆的切线． 【答案】(1)图见详解； (2)图见详解； 【分析】本题考查作垂直平分线，作垂线： （1）根据格点作垂直平分线找到中点，连接即可得到答案； （2）根据边的垂直平分线结合（1）得到圆心，根据切线垂直即可得到答案； 【详解】（1）解：如图所示，根据正方形对角线互相垂直平分得到与交点，连接即为所求， ； （2）解：如图所示，点是，边垂直平分线的交点，连接根据格点垂直即为所求， ． 42．（2024·江苏无锡·一模）尺规作图： (1)请在图①中以矩形的边为边作菱形，使得点E在上； (2)请在图②中以矩形的边为直径作，并在上确定点P，使得的面积与矩形的面积相等. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）结合菱形的判定，以点D为圆心，的长为半径画弧，交为点E，再分别以点E、点A为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点F，连接、、即可； （2）作线段的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆，即可得，以点O为圆心，的长为半径画弧，在的上方交于点E，再作，作直线，分别交于点、，即可求解． 【详解】（1）解：如图，菱形即为所求， （2）解：如图，点、即为所求， 【点睛】本题考查作图−复杂作图、菱形的判定、矩形的性质、垂直平分线的性质，理解题意、灵活运用相关知识是解题的关键． 43．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，已知圆O的直径是10，点P是圆O内一点． (1)过点P作弦，使P为弦的中点（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)若（1）中的弦，点Q为圆O上一动点，则的最小值是__________． 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】本题考查了点和圆的位置关系、垂径定理、勾股定理等知识点，掌握垂径定理成为解题的关键． （1）利用垂径定理以及尺规作图即可； （2）由于是定值，当最小时的值最小，再利用垂线段最短，求出的延长线与的交点即为Q点． 【详解】（1）解：如图，连接，过点P作，则弦即为所求． （2）解：当延长，交于点Q，此时，的值最小， ∵， ∴， ∵的直径是10， ∴， ∴， ∴， ∴，即的最小值是7． 故答案为7． 考点十八、圆与动点综合问题 44．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）已知：如图所示，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动． (1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，在运动过程中，是否存在这样的时刻，使以P为圆心，为半径的圆正好经过点Q？若存在，求出运动时间，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1秒 (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）经过x秒钟的面积等于，根据点P从A点开始沿边向点B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，表示出和的长可列方程求解； （2）设运动时间为x秒，则， ，，再由勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：设经过x秒以后，面积为，此时， ， ， 由，得， 整理得：， 解得：，（舍）； 答：1秒后，面积为； （2）解：设运动时间为x秒，以P为圆心，为半径的圆正好经过点Q时，则 ， ，， 由勾股定理，得， 整理，得， ∵， ∴方程无实数解， ∴不存在． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理的应用，由勾股定理列方程求解是解决问题的关键． 考点十九、圆与方程、方程的材料题 45．（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，点P在y轴上，交x轴于A，B两点，连接并延长交于C，过点C的直线交x轴于D，交y轴于点E，且的半径为，． (1)写出点B，P，C的坐标； (2)求证：是的切线； (3)上有一动点M，求的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据垂径定理求出B点坐标，根据勾股定理得出P点，根据全等或相似求出C点； （2）只需证明，即，故证明，进而求得； （3）在上截取，进而证明，得出，进而根据三角形三边关系找出M点使其最小． 【详解】（1）解：如图1， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 作于H， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵过， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴是的切线； （3）解：如图2， 由得：， ∴ 在上截取， 在中，， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当D、M．I共线时，最小值为， 即最小值为， ∵， ∴的最小值为 ． 【点睛】本题考查了圆的有关性质及与圆有关的位置关系，相似三角形的判定和性质，三角形三边关系等知识，解决问题的关键是 构造相似三角形． 46．（2023·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，对于两个图形和直线，若在图形X上存在点A，在图形Y上存在点B，使得点A和点B关于直线对称，就称图形X和Y互为m关联图形． (1)已知点P的坐标为， ①点P与点Q互为关联图形，则点Q的坐标为 ； ②若的半径为1，点P与互为m关联图形，则m的值为 ； (2)已知点，射线OA与线段l：互为t关联图形，求t的取值范围． (3)已知⊙O的半径为2，直线与x轴，y轴分别交于C，D，若关于对称的图形S与点C互为2m关联图形，直接写出m的值及点D与图形S的位置关系． 【答案】(1)①；②1或2； (2)； (3)，，D在S上，，D在S内部． 【分析】本题考查了轴对称的性质，与圆有关的位置关系等知识，解决问题的关键是理解题意，求对称点． （1）①求出点P关于的对称点即可；②求点P和以及点P和对称得m的值； （2）求出和点对称时的 t的值，以及和对称时t的值，从而确定范围； （3）圆心O关于的对称点是，设图形S上的点J与C点关于对称，设，由得，将代入得，求出m的值，进而求出D个图形S的位置关系． 【详解】（1）解：①如图1， ∵， ∴， ②如图2， ∵，， ∴或1． （2）解：如图3， 由题意得， ∵， ∴直线的解析式是：， ∴当时，， ∵， ， ∴． （3）解：如图4， 圆心O关于的对称点是，设图形S上的点J与C点关于对称， 设，由得， ， 由得， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴D在S上， 当时，， ∴， ∴D在S内部． 47．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，，分别以为横坐标和纵坐标得到点，则点为该一元二次方程的衍生点． (1)若一元二次方程，写出该方程的衍生点的坐标_______． (2)若关于的一元二次方程为． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根，并求出该方程的衍生点的坐标． ②若以点为圆心，为半径的与轴、轴都相切，求的值． (3)是否存在，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上？若有，请求出的值；若没有，请说明理由． 【答案】(1) (2)①证明见解析，点的坐标为② (3)， 【分析】（）解方程即可求解； （）①求出根的判别式的值可证该方程总有两个不相等的实数根，再求出方程的根即可得到衍生点的坐标；②根据相切可得，求出的值即可得到的值； （）由直线经过点，可得方程的两个根，，代入方程得到关于的方程组，解方程组即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， ∴，， ∴该方程的衍生点的坐标为， 故答案为：； （2）①证明：∵， ∴不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根， ∴， ∴，， ∴该方程的衍生点的坐标为； ②∵以点为圆心，为半径的与轴、轴都相切， ∴， 解得， ∴， ∴； （3）解：存在． ∵直线 ∴当时，， ∴无论为何值，直线始终经过点， ∴关于的方程的衍生点的坐标为， ∴方程的两个根为，， ∴，， 解得，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，直线与圆相切，一次函数的图象和性质，一元二次方程根和系数的关系，理解题意是解题的关键． 考点二十、圆的新定义与材料探究题 48．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图1，，是半圆上的两点，点是直径上一点，且满足，则称是的“相望角”，如图， (1)如图2，若弦，是弧上的一点，连接交于点，连接．求证：是的“相望角”； (2)如图3，若直径，弦，的“相望角”为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，垂直平分线的性质，圆周角定理，勾股定理等知识．熟练掌握考查了垂径定理，垂直平分线的性质，圆周角定理，勾股定理是解题的关键． （1）由直径，弦，可知垂直平分弦，则，由，可得，进而可得是的“相望角”； （2）由题意得，，由直径，弦，可得，，则，，如图1，记圆心为，连接，则，由，可得，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵直径，弦， ∴垂直平分弦， ∴， ∵， ∴， ∴是的“相望角”； （2）解：由题意知，是的“相望角”， ， ∴， ∵直径，弦， ∴，， ∴，， 如图1，记圆心为，连接，则，          ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴的长为． 49．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在四边形中，，，探究线段，，之间的数量关系．小明同学思路如下：将绕点逆时针旋转到处，，两点分别落在，两点处，易证，，三点在同一条直线上，并且是等腰直角三角形，所以，从而得到结论：． (1)在图中，若，，则__________； (2)在图中，是的直径，点是上一点（不与重合），连接，，的角平分线交于点，求证：； (3)在图中，若，，求的长． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（）先证明，代入即可求解； （）先证明，将绕点逆时针旋转到处，，两点分别落在，两点处，然后证明点，，三点在同一条直线上，从而可得是等腰直角三角形，根据勾股定理和线段和差即可求解； （）先由勾股定理求出的长，然后代入（）中结论即可求解． 【详解】（1）解：如图，将绕点逆时针旋转到处，，两点分别落在，两点处， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴点，，三点在同一条直线上， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵是的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 如图，将绕点逆时针旋转到处，，两点分别落在，两点处， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴点，，三点在同一条直线上， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； （3）解：由（）得：，， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，弦和弧的关系，勾股定理，旋转的性质，圆内接四边形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 50．（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）[模型建立] 如图①、②，点P分别在外、在内，直线分别交于点A、B，则是点P到上的点的最短距离，是点P到上的点的最长距离． [问题解决] 请就图①中为何最长进行证明． [初步应用] （1）已知点P到上的点的最短距离为3，最长距离为7．则的半径为______． （2）如图③，在中，，，．点E在边上，且，动点P在半径为2的上，则的最小值是______． [拓展延伸] 如图④，点，动点B在以为圆心，为半径的圆上，的中点为C，则线段的最大值为______． 【答案】[问题解决]证明见解析；[初步应用]（1）2或5；（2）；[拓展延伸] 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，勾股定理，三角形中位线的性质等，掌握题意中的模型是解题的关键． [初步应用]（1）根据三角形的任意两边之和大于第三边即可得解； （2）分两种情况讨论：①点P在外，②点P在内，根据线段的和差即可求解； 连接，交于点D，则的最小值是的长，根据勾股定理即可求出，进而得到的长，即可解答； [拓展延伸]取点，连接，可得是的中位线，因此当线段取得最大值时，线段也取得最大值．连接，并延长交于点，当点B位于点时，线段有最大值，根据点P，点D的坐标与的半径即可求出的长，进而即可解答． 【详解】解：[问题解决] 如图，点C为上任意一点，连接，， 当点C与点B不重合时， ∵在中，， 又， ∴，即， 当点C与点B重合时，， ∴综上可得，， ∵点C为上任意一点， ∴的长是点P到上的点的最长距离． [初步应用] （1）若点P在外，如图①， 则，， ∴， ∴的半径为2； 若点P在内，如图②， 则，， ∴， ∴的半径为5； 综上所述，的半径为2或5． 故答案为：2或5 （2）连接，交于点D，由[模型建立]可得的长是点A到上的点的最短距离， ∴的最小值是的长 ∵在中，，， ∴， ∴， ∴的最小值是． [拓展延伸] 取点，连接， ∵，， ∴点A是线段的中点， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴当线段取得最大值时，线段也取得最大值， 连接，并延长交于点， ∴当点B位于点时，线段有最大值， ∵，， ∴， ∵的半径为，即， ∴， ∴线段有最大值为， ∴线段的最大值为． 故答案为： ( 80 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$