九年级数学上学期期中数学试卷01（苏科版九上第1～4章，提高卷）-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（江苏专用）

九年级数学上学期期中数学试卷01（苏科版九上第1-4章，提高卷） 班级：________________ 姓名：_________________ 得分：_______________ 注意事项： 本试卷满分120分，试题共27题，其中选择6道、填空10道、解答11道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知的半径为3，，则点和的位置关系是（    ） A．点在圆上 B．点在圆外 C．点在圆内 D．不确定 2．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）若关于的方程是一元二次方程，则的值是（      ） A．1 B． C． D．无法确定 3．（2024·江苏无锡·中考真题）一组数据：31，32，35，37，35，这组数据的平均数和中位数分别是（    ） A．34，34 B．35，35 C．34，35 D．35，34 4．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）关于x的一元二次方程的根的情况是（  ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 5．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，等边三角形的边长为1，点M，N在上，点P在内，的直径为，将绕点M顺时针旋转，在旋转过程中得到两个结论：①当点P第一次落在上时，旋转角为；②当第一次与相切时，旋转角为，则结论正确的是（    ） A．① B．② C．①② D．均不正确 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请把答案直接填写在横线上 7．（2024九年级上·全国·专题练习）已知，是方程的两个根，则数据：4，，，7的平均数是 ． 8．（2024·江苏泰州·二模）甲、乙、丙三名男同学进行跳远测试，每人10次跳远成绩的平均数都是，方差分别是，则这三名同学跳远成绩最不稳定的是 ． 9．（2024·江苏苏州·模拟预测）地铁四号线有，两个入口，，，三个出口，则青青从入口进，出口出的概率是 ． 10．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）若m是方程的解，则式子的值为 ． 11．（2024·江苏徐州·中考真题）将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为，圆心角θ为，圆锥的底面圆的半径为 ． 12．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）在正实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，根据这个规则，那么方程的解是 ． 13．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，一下水管道横截面为圆形，直径为，下雨前水面宽为．一场雨过后，水面宽变为，则水位上升 ． 14．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，四边形为的内接四边形，，则的大小是 ． 15．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在矩形中，，，点从点A出发沿以的速度向点移动，一直到达点为止；同时，点从点出发沿边以的速度向点移动．设运动时间为，当时，时间 ． 16．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，，点M是射线上一点，，以点M为圆心，r为半径作，若与射线有两个公共点，则半径r的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）解下列方程： (1) (2) 18．（2024·江苏徐州·中考真题）不透明的袋子中装有2个红球与2个白球，这些球除颜色外无其他差别． (1)甲从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为______； (2)甲、乙两人分别从袋子中随机摸出1个球（不放回），用列表或画树状图的方法，求两人摸到相同颜色球的概率． 19．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点、、，请在网格图中进行如下操作： (1)利用网格线找出该弧所在圆的圆心D点，在图上标出D点； (2)连接，则的半径长为__________．（结果保留根号） (3)如果点E坐标为，则E点在__________．(填“内”、“外”或“上”) 20．（22-23九年级上·江苏扬州·单元测试）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 21．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨10元，就少卖100个． (1)若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ (2)商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了个，求这两周的平均增长率． 22．（2023九年级下·江苏南京·专题练习）小王想从甲、乙两家快递公司中选一家做快递员，为了解这两家公司快递员的收入情况，小王从两家公司各抽取名快递员的月收入进行了一项抽样调查，利用收集的数据绘制成如图所示统计图：根据以上统计图，对数据进行分析如表： 平均月收入/千元 中位数/千元 众数/千元 方差 甲公司 乙公司 (1)直接写出表格中，的值： ， ； (2)计算乙公司名快递员月收入的方差； (3)根据表格，小王应选哪家快递公司做快递员？说明理由． 23．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，点P在的一条直径上， (1)在图1中，请用尺规作图法作过点P作的一条弦，使．（保留作图痕迹，不写作法） (2)若题（1）中所作的弦长度为，且的直径为，求的长．（请在图2中画出必要的草图） 24．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，中，．以为直径作，交边于点D，交的延长线于点E，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 25．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，点是的直径延长线上一点，，绕点按逆时针方向旋转，点旋转到点，连接交于点，连接． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求阴影部分的面积． 26．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）已知的半径弦于点D，，点P为弦所对的弧上的一点．      (1)如图1，若点P为弦所对的劣弧上的一点，延长交的延长线于点Q，且，则________，________； (2)如图2，若点P为弦所对的优弧上的一点，连接交于点Q，且，过点P作的切线，交的延长线相交于点E，已知，求的长． 27．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图①，在四边形中，过三点的的圆心位置和半径，随着m的变化而变化．解决下列问题：    【特殊情形】 （1）如图②，当时，圆心O在上，求的半径． 【一般情形】 （2）（Ⅰ）当时，求的半径； （Ⅱ）当时，随着m的增大，点O的运动路径是； （填写序号） ①射线；②弧；③双曲线的一部分；④不规则的曲线 【深入研究】 （3）如图③，连接，以O为圆心，作出与边相切的圆，记为小．当小与相交且与相离时，直接写出m的取值范围． ( 8 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学上学期期中数学试卷01（苏科版九上第1-4章，提高卷） 班级：________________ 姓名：_________________ 得分：_______________ 注意事项： 本试卷满分120分，试题共27题，其中选择6道、填空10道、解答11道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知的半径为3，，则点和的位置关系是（    ） A．点在圆上 B．点在圆外 C．点在圆内 D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有三种：设的半径为r，点P到圆心的距离，则有 ①点P在圆外；②点P在圆上；③点P在圆内． 【详解】解：∵的半径为3，， ∴， ∴点在圆外， 故选B 2．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）若关于的方程是一元二次方程，则的值是（      ） A．1 B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据题意可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，且， ∴且， ∴， 故选：B ． 3．（2024·江苏无锡·中考真题）一组数据：31，32，35，37，35，这组数据的平均数和中位数分别是（    ） A．34，34 B．35，35 C．34，35 D．35，34 【答案】C 【分析】本题主要考查了平均数与中位数的定义，根据平均数与中位数的定义求解即可． 【详解】解：这组数据的平均数是：， 这组数据从小大到大排序为：31，32，35，35，37， ∵一共有5个数据， ∴中位数为第3位数，即35， 故选：C． 4．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）关于x的一元二次方程的根的情况是（  ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．对于，当， 方程有两个不相等的实根，当， 方程有两个相等的实根，， 方程没有实根，根据原理作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 所以原方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 5．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何概率的知识，求出小正方形的面积是关键．设，则圆的直径为，求出小正方形的面积，即可求出几何概率． 【详解】解：如图：连接，，设，则圆的直径为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴小正方形的面积为：， 则飞镖落在阴影区域的概率为：． 故选：C． 6．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，等边三角形的边长为1，点M，N在上，点P在内，的直径为，将绕点M顺时针旋转，在旋转过程中得到两个结论：①当点P第一次落在上时，旋转角为；②当第一次与相切时，旋转角为，则结论正确的是（    ） A．① B．② C．①② D．均不正确 【答案】A 【分析】①连接，则是等腰直角三角形，且是等腰直角三角形，即可证明N、、O三点共线，有和，即；②连接并延长与交于点K，连接，则，可求得，，则，即可求得． 【详解】解：①当点P第一次落在上时， 连接，如图， ，， 是等腰直角三角形， ， 又∵，， ∴是等腰直角三角形， ， ∴N、、O三点共线， ， ， ， ， ，故①正确； ②当与相切时，过点P作，连接和，如图， 是正三角形， ∴点K是的中点， 又∵为的弦， ∴， ∴P，O，K三点共线， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， 当第一次与相切时，旋转角为，故②错误， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质、旋转的性质、等边三角形的性质和切线的性质，解题的关键是掌握圆的性质和旋转时对应的边角关系． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请把答案直接填写在横线上 7．（2024九年级上·全国·专题练习）已知，是方程的两个根，则数据：4，，，7的平均数是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．利用根与系数的关系求出即可解决问题． 【详解】解：，是方程的两个根， ， 则， 即4，，，7的平均数是． 故答案为：． 8．（2024·江苏泰州·二模）甲、乙、丙三名男同学进行跳远测试，每人10次跳远成绩的平均数都是，方差分别是，则这三名同学跳远成绩最不稳定的是 ． 【答案】甲 【分析】本题考查了方差的意义，若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，理解方差的意义是解题的关键．根据方差越小，成绩越稳定，反之，则最不稳定，即可求解． 【详解】解：∵甲、乙、丙三名同学进行跳远测试，每人10次跳远成绩的平均数都是，方差分别是， ∴甲的方差最大， ∴这三名同学跳远成绩最不稳定的是甲， 故答案为：甲． 9．（2024·江苏苏州·模拟预测）地铁四号线有，两个入口，，，三个出口，则青青从入口进，出口出的概率是 ． 【答案】 【分析】此题考查的是树状图法求概率．画树状图，所有等可能的结果有6种，其中青青从A入口进，F出口出的有1种结果，再由概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如图： 由树形图可知，所有等可能的结果有6种，其中青青从A入口进，F出口出的有1种结果， ∴青青从A入口进，F出口出的概率为， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）若m是方程的解，则式子的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，m是方程的解，得，化简代入计算即可． 本题考查了方程的根，求代数式的值，熟练掌握方程的根是解题的关键． 【详解】解：∵m是方程的解， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（2024·江苏徐州·中考真题）将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为，圆心角θ为，圆锥的底面圆的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是圆锥的计算、扇形面积公式，熟记扇形面积公式是解题的关键．先根据扇形面积公式求出扇形的半径，再根据扇形面积公式求出弧长，最后根据圆的周长公式计算即可． 【详解】解：设扇形的半径为，弧长为， 由题意得：， 解得：（负值舍去）， 则， 解得：， ∴圆锥的底面圆的半径为：， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）在正实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，根据这个规则，那么方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查新定义运算及解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．根据题意列方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意得：，即， 整理得：， ， 解得：（舍去，不符合题意），， ， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，一下水管道横截面为圆形，直径为，下雨前水面宽为．一场雨过后，水面宽变为，则水位上升 ． 【答案】或 【分析】本题考查了垂径定理的应用，过圆心作垂直于弦的线段，构造直角三角形，再分水位分别在圆心上方和下方的两种情况去讨论，垂径定理与勾股定理结合求解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，过作于，交与连接， 由题意得：， ∴， ∴，，， ∴由勾股定理得：，， ∴， ∴水位上升； 如图，过作于，交与连接， 由题意得：， ∴， ∴，，， ∴由勾股定理得：，， ∴， ∴水位上升； 综上可知：水位上升或， 故答案为：或． 14．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，四边形为的内接四边形，，则的大小是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了圆的内接四边形互补，以及圆周角定理，由题意得，根据即可求解． 【详解】解：∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴ 故答案为： 15．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在矩形中，，，点从点A出发沿以的速度向点移动，一直到达点为止；同时，点从点出发沿边以的速度向点移动．设运动时间为，当时，时间 ． 【答案】或 【分析】此题考查了一元二次方程的运用．利用作垂线，构造直角三角形，运用勾股定理列方程是解题关键． 过点P作于点H，用t表示线段长，求出的长，在中，用勾股定理列方程求解． 【详解】解：当运动时间为时，，， 过点P作于点H， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，四边形是矩形， ∴， ∴. ∵在中，， 即， 解得，． 故答案为：或 16．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，，点M是射线上一点，，以点M为圆心，r为半径作，若与射线有两个公共点，则半径r的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，解答本题的关键要画出图形，利用数形结合可轻松解答． 根据直线与圆的位置关系及直角三角形的性质解答.若，则直线与圆相交；若则直线与圆相切；若，则直线与圆相离． 【详解】解：作由图可知，的取值范围在和之间． 在直角三角形中， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 则的取值范围是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程特点选择合适的方法是解题的关键． （1）运用因式分解法即可求解； （2）将方程化为一般形式后，运用公式法即可求解． 【详解】（1）解：， 因式分解，得， ∴或， 解得，； （2）解：， 整理，得， ∵，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ， 即，． 18．（2024·江苏徐州·中考真题）不透明的袋子中装有2个红球与2个白球，这些球除颜色外无其他差别． (1)甲从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为______； (2)甲、乙两人分别从袋子中随机摸出1个球（不放回），用列表或画树状图的方法，求两人摸到相同颜色球的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了列表法与树状图法，熟练掌握概率＝所求情况数与总情况数之比是解题的关键． （1）根据概率公式即可得到结论； （2）画树状图得出所有等可能的情况数，找出两人都摸到相同颜色的小球的情况数，即可求出所求的概率． 【详解】（1）解：摸到红球的概率为：； （2）解：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，两人都摸到相同颜色的小球的有4种情况， ∴两人都摸到相同颜色的小球的概率为：． 答：两人摸到相同颜色球的概率为． 19．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点、、，请在网格图中进行如下操作： (1)利用网格线找出该弧所在圆的圆心D点，在图上标出D点； (2)连接，则的半径长为__________．（结果保留根号） (3)如果点E坐标为，则E点在__________．(填“内”、“外”或“上”) 【答案】(1)见解析 (2) (3)上 【分析】本题考查与圆有关的综合题，熟练掌握垂直平分线的性质，点与圆的位置关系是解题的关键． （1）连接，分别作的垂直平分线，交于点D即为所求，标出坐标即可； （2）利用点与点D的坐标结合勾股定理即可得到的半径； （3）利用两点的距离公式求出点E和点D的距离，再与的半径比较，即可得到E点与的位置关系． 【详解】（1）解：连接，分别作的垂直平分线，交于点D即为所求，坐标为：，如图： （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∴的半径长为， 故答案为：． （3）解：∵，， ∴点到圆心的距离为：， ∵的半径长为， ∴E点在上， 故答案为：上． 20．（22-23九年级上·江苏扬州·单元测试）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握根的判别式、根与系数的关系是解题的关键． （1）利用判别式来判断，即可得到结果； （2）根据根与系数的关系即可得出，，再由，求出，，代入列式求解即可． 【详解】（1）解：， 无论取什么实数值，方程总有两个实数根； （2）解：方程的两个实数根分别为，， ，， ， ， ， ， 解得：或． 故的值为或． 21．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）2024年巴黎奥运会顺利闭幕，吉祥物“弗里热”深受奥运迷的喜爱，一商场以20元的进价进一批“弗里热”纪念品，以30元每个的价格售出，每周可以卖出500个，经过市场调查发现，价格每涨10元，就少卖100个． (1)若商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为多少钱？ (2)商场改变销售策略，在不改变（1）的销售价格基础上，销售量稳步提升，两周后销售量达到了个，求这两周的平均增长率． 【答案】(1)售价应定为每个元． (2)这两周的平均增长率为． 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，确定相等关系是解本题的关键； （1）设售价应定为每个元，则每个利润为元，销量为个，再利用总利润为元，再建立方程解题即可； （2）由（1）得：当售价为每个元时，销量为个，设这两周的平均增长率为，再结合增长率的含义建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设售价应定为每个元，则 ， 整理得：， 解得：，； ∵更大优惠让利消费者， ∴不符合题意， ∴商场计划一周的利润达到8000元，并且更大优惠让利消费者，售价应定为每个元． （2）解：由（1）得：当售价为每个元时，销量为（个）， 设这两周的平均增长率为，则 ， 解得：，（不符合题意舍去）， ∴这两周的平均增长率为． 22．（2023九年级下·江苏南京·专题练习）小王想从甲、乙两家快递公司中选一家做快递员，为了解这两家公司快递员的收入情况，小王从两家公司各抽取名快递员的月收入进行了一项抽样调查，利用收集的数据绘制成如图所示统计图：根据以上统计图，对数据进行分析如表： 平均月收入/千元 中位数/千元 众数/千元 方差 甲公司 乙公司 (1)直接写出表格中，的值： ， ； (2)计算乙公司名快递员月收入的方差； (3)根据表格，小王应选哪家快递公司做快递员？说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)小王应选甲公司做快递员收入会较高，见解析 【分析】本题考查了数据的分析，熟练掌握数据分析中平均数、众数、中位数、方差的定义以及意义是解题的关键． （1）根据平均数、中位数的定义进行解答即可； （2）根据加权平均数和方差公式即可得出答案； （3）根据平均数、中位数、众数和方差的意义进行选择即可． 【详解】（1）解：， 乙公司的中位数（千元）， 故答案为：，； （2）解：乙公司名快递员月收入的平均数为：， 则； （3）解：选甲公司，理由如下： 因为甲、乙两家快递公司平均数相差不大，但是甲公司的中位数、众数都大于乙公司，且甲公司的方差小，更稳定， 所以小王应选甲公司做快递员收入会较高． 23．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，点P在的一条直径上， (1)在图1中，请用尺规作图法作过点P作的一条弦，使．（保留作图痕迹，不写作法） (2)若题（1）中所作的弦长度为，且的直径为，求的长．（请在图2中画出必要的草图） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理和经过直线上一点作直线的垂线，熟练掌握作图和定理是解题的关键． （1）根据尺规基本作图的经过一点作直线的垂线，根据垂径定理，即可得证． （2）连接，利用垂径定理，勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：根据尺规基本作图，作图如下： 则弦即为所求． （2）解：连接， ∵弦长度为，且的直径为， ∴，， ∴． ． 24．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，中，．以为直径作，交边于点D，交的延长线于点E，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理． （1）根据直径所对的圆周角为直角，得出，结合等腰三角形三线合一，即可求证； （2）根据圆周角定理和等边对等角推出，则，由（1）可得，，最后根据勾股定理，即可解答． 【详解】（1）证明：∵为直径， ∴，即， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得：，， ∵， ∴． 25．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，点是的直径延长线上一点，，绕点按逆时针方向旋转，点旋转到点，连接交于点，连接． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)是的切线，理由见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据题意推出是等边三角形，进而推出是等边三角形，根据等边三角形的性质得到，，根据等腰三角形的性质、三角形外角性质求出，则，根据切线的判定定理即可得解； （2）根据阴影部分的面积，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：是的切线； 理由如下： 连接，如图所示： 根据题意得，， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积． 【点睛】本题考查了圆综合，涉及等边三角形判定与性质、等腰三角形判定与性质、三角形外角和、切线的判定与性质、勾股定理、扇形面积的计算、旋转的性质等知识，熟练切线的判定与性质、扇形面积的计算是解题的关键． 26．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）已知的半径弦于点D，，点P为弦所对的弧上的一点．      (1)如图1，若点P为弦所对的劣弧上的一点，延长交的延长线于点Q，且，则________，________； (2)如图2，若点P为弦所对的优弧上的一点，连接交于点Q，且，过点P作的切线，交的延长线相交于点E，已知，求的长． 【答案】(1)、 (2) 【分析】（1）连接，则，由，根据垂径定理得，则，所以，由，求得，由，得，求得，则，于是得到问题的答案； （2）连接，则，由，，得，，由，得，则，所以，而，可求得，由切线的性质得，则，所以，则． 【详解】（1）解：如图1，连接，则， ∴， ∵于点D，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：30，45； （2）解：如图2，连接，则， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵与相切于点P， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴PE的长是 【点睛】此题重点考查垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、四边形的内角和等于360°、切线的性质定理、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 27．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图①，在四边形中，过三点的的圆心位置和半径，随着m的变化而变化．解决下列问题：    【特殊情形】 （1）如图②，当时，圆心O在上，求的半径． 【一般情形】 （2）（Ⅰ）当时，求的半径； （Ⅱ）当时，随着m的增大，点O的运动路径是； （填写序号） ①射线；②弧；③双曲线的一部分；④不规则的曲线 【深入研究】 （3）如图③，连接，以O为圆心，作出与边相切的圆，记为小．当小与相交且与相离时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）；（2）（Ⅰ）；（Ⅱ）①；（3） 【分析】（1）根据垂径定理以及勾股定理直接求解即可； （2）（I）构造矩形，根据矩形的性质以及勾股定理求解即可； （Ⅱ）参考(I)的方法，得出到直线的距离与的关系，然后根据到直线的距离随线性变化，得出两个距离的函数表达式，类比平面直角坐标系中坐标的几何意义，从而得出的轨迹形状； （3）参考（2）的方法，求出小圆的半径，以及圆心到的距离，根据圆与直线位置关系，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：连接，在中，设，则． 在中，， ∴，即．解得． （2）（I）解：过点分别作，连接，    ∵过圆心，， ∴． ∵， ∴四边形是矩形． ∴． ∴． 设，则， 在中， 在中， ∴，即． 解得， ∴，即． （II）过点分别作，连接，如图：    由（I）知：， 设，则， ∵， ∴， 即， 整理得：， ∵到的距离， 类比平面直角坐标系内的几何意义， ∴的轨迹是一条射线， 故答案为：①； （3）过作，交于，交于，过作于，作于，连接，过作于，如图：    由（II）知，， 四边形是矩形， 小与相交且与相离， 即 解得：． 【点睛】本题主要考查了圆的综合题，综合考查了垂径定理“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧”、勾股定理“直角三角形两直角边的平方之和等于斜边的平方”、矩形的性质和判定、圆与直线的位置关系等知识，题目较难，求出小圆的半径的代数式是本题解题的关键． ( 27 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 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