精品解析：江苏省海州高级中学2024-2025学年高一上学期第一次阶段测试数学试题

江苏省海州高级中学高一年级第一次阶段测试——数学 （时间：120分钟，满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用交集定义直接求解. 【详解】∵集合，， ∴. 故选：B. 2. 设命题，则的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定方法即可得解. 【详解】由存在量词命题的否定方法， 得命题的否定为. 故选：D. 3. 设，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用“1”的技巧及均值不等式求最值即可. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故选：D 4. 已知实数满足，则的值为（ ） A. 14 B. 16 C. 12 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】由，变形代值即可. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 5. 对于实数，下列说法正确的是（  ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质及恰当的特殊值可逐一判断. 【详解】对于A选项，若或，或显然无意义.故A选项错误； 对于B选项，若，则.故B选项错误； 对于C选项，因为，所以各项同时乘以得.故C正确； 对于D选项，因为，所以，所以， 所以，即.因为根据题意不知道的符号， 所以无法满足同向可乘性的条件.故D错误. 故选：C. 6. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的范围及充分条件、必要条件的概念得解. 【详解】因为，而不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 7. 对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论，当不等式为二次不等式时，根据开口方向及判别式列出不等式组求解. 【详解】当即时，原不等式可化为，对任意实数恒成立，符合题意； 当时，由二次不等式恒成立可知，， 即，解得， 综上，实数a取值范围. 故选：B 8. 已知命题p：“，”，命题q：“，”.若命题p和命题都是真命题，则实数a的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由命题p是真命题，命题是假命题，根据二次函数的单调性和二次方程有解列不等式组可得． 【详解】命题p和命题都是真命题，即命题p是真命题，命题是假命题， 所以，解得， 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于给定实数，关于的不等式的解集可能是（ ） A. B. C. R D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据的大小分类讨论. 【详解】时，不等式化为，，解集为， 时，不等式化，解集为， 时，不等式化为，，即解集为， 时，不等式化为， 时，或，解集为或， 时，或，解集为或， 故选：ACD． 10. 已知命题“恒成立”为真命题，下列选项中可以作为的充分不必要条件的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由已知命题为真，根据一元二次不等式恒成立有求参数范围，再由充分、必要性定义判断的充分不必要条件. 【详解】由“恒成立”为真命题，故， 所以、是的充分不必要条件，是的充要条件，是的必要不充分条件. 故选：AD 11. 已知，下列选项正确的是（ ） A. 若，则的最小值为 B. 若，则的最小值为 C. 若，则的最小值为 D. 的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】用基本不等式求最值后判断各选项：选项A，利用.选项B，利用.选项C，没有定值，先利用不等式进行放缩，然后解不等式得最值.选项D，根据定值的要求把两项都与相应常数求代数和，然后凑出积为定值，再求得最值． 【详解】由已知， 选项A，， 当且仅当时等号成立，A错， 选项B，，则， 所以，当且仅当， 即时等号成立，B正确； 选项C，由得， 当且仅当时等号成立，又，故解得，C正确； 选项D， ， 当且仅当即时等号成立，D正确． 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：用基本不等式求最值，需要满足三个条件：一正，二定，三相等，即在中，首先两项均为正，其次需有定值才能有最值，即和定积最大，积定和最小，第三，要取得等号成立（即最值取得到），需要能成立，否则也不能得出最值．一正常常在已知条件中就能满足或者简单变形一下即可满足，难点是二定，这个定值有时需要凑配，本题中选项ABD均凑配出了定值，“1”的代换是凑配定值常用方法． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某班共有45人，其中20人喜爱跑步运动，15人喜爱篮球运动，20人对两项运动都不喜爱，则对两项运动都喜爱的人数为______. 【答案】10 【解析】 【分析】根据集合并集、交集的运算求解. 【详解】由题意，对两项运动都喜爱的人数为人. 故答案为：10 13. 设，，则y的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】先配凑，再利用均值不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 故答案为： 14. 已知关于x的方程（其中p，q均为实数）有两个不等实根，.若，满足，则p的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据根与系数的关系及判别式建立不等式求解. 【详解】由题意，，即，且， 因为， 所以，则， 由可得，即， 解得或， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）用分数指数幂的形式表示下式：； （2）求值：； （3）化简：. 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 【分析】（1）根据根式与分数指数幂的转化化简； （2）根据实数指数幂的运算法则化简； （3）由根式与分数指数幂的转化及实数指数幂运算法则化简. 【详解】（1）; （2）； （3）. 16. 某公司建造一个长方体的粮仓，粮仓底面的长为x米，底面面积为64m2，粮仓仓壁每平方米的造价为120元，仓顶的总造价为4800元.如果仓壁高为3米，且不计粮仓底面的费用，设建造此粮仓的总造价为y元. （1）设粮仓仓壁的面积为S，用x表示S，并求出x的取值范围； （2）粮仓底面的长x为多少米时，粮仓的总造价y最低？最低总造价是多少？ 【答案】（1），， （2）粮仓底面的长为8米时，粮仓的总造价y最低，最低总造价是16320元． 【解析】 【分析】（1）求出底面的宽后利用矩形面积公式可得仓壁面积函数； （2）利用基本不等式求最小值即可． 【小问1详解】 由题意，， 【小问2详解】 由已知元， 当且仅当，即时取得最小值． 所以粮仓底面的长为8米时，粮仓的总造价y最低，最低总造价是16320元． 17. 设全集，不等式的解集为A，集合，集合，. （1）求集合A. （2）若，求. （3）若，求a的取值范围. 【答案】（1）； （2）或； （3） 【解析】 【分析】（1）解分式不等式得集合； （2）解一元二次不等式得集合，再由集合的运算法则计算； （3）由得，然后由集合的包含关系得参数范围． 【小问1详解】 可化为，所以或， 所以； 【小问2详解】 ，或， ，， 或； 【小问3详解】 由得， 若，即时，满足题意， 时，由题意，解得， 综上的范围是． 18. （1）已知正数a、b满足.求ab的最小值； （2）若，且，求的最小值； （3）已知，求的最小值； （4）已知正数a、b满足.求的最小值. 【答案】（1）4；（2）8；（3）9；（4） 【解析】 【分析】（1）直接利用基本不等式，变形即可得解； （2）利用基本不等式建立不等式后，解二次不等式得解； （3）对函数式变形并配凑后应用基本不等式得解； （4）对已知式子变形后利用“1”的变形技巧及基本不等式得解. 【详解】（1），，当且仅当时等号成立， 则，即，可得，即的最小值为4. （2）因为，由，当且仅当时等号成立， 即，解得或（舍去）， 即时，有最小值8. （3）， ，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为9. （4）由可得， 所以 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 19. 设函数. （1）若关于x的不等式有实数解，求实数a的取值范围； （2）解关于x的不等式：，； （3）若对任意的，不等式，(且)恒成立，求的最大值. 【答案】（1） （2） 当时不等式的解集为， 当时不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）对分类讨论，利用二次不等式无解得出范围，求其补集即可； （2）分解因式后分类讨论，结合二次不等式的解法得解； （3）根据不等式恒成立得出，化简后换元，利用基本不等式求最大值. 【小问1详解】 当时，由原不等式可得，显然有解，满足题意； 当时，不等式无解，则， 即，解得， 所以有解时，实数a的取值范围且. 综上，实数a的取值范围. 【小问2详解】 由，可得， 当时，解得， 当时，原不等式可化为， 由，解得 当时，不等式可化为， ①当时，即，解得； ②当，即时，解得或； ③当，即时，解得或. 综上所述， 当时不等式的解集为， 当时不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【小问3详解】 由可得， 由不等式恒成立知，， 所以，所以， 令，因为，所以. 所以 当时，， 当时，，当且仅当，即时，也即时等号成立. 综上，的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省海州高级中学高一年级第一次阶段测试——数学 （时间：120分钟，满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设命题，则的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 设，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 4. 已知实数满足，则的值为（ ） A. 14 B. 16 C. 12 D. 18 5. 对于实数，下列说法正确的是（  ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a取值范围（ ） A. B. C. D. 8. 已知命题p：“，”，命题q：“，”.若命题p和命题都是真命题，则实数a的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于给定实数，关于的不等式的解集可能是（ ） A. B. C. R D. 10. 已知命题“恒成立”为真命题，下列选项中可以作为的充分不必要条件的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知，下列选项正确的是（ ） A. 若，则的最小值为 B. 若，则的最小值为 C. 若，则的最小值为 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某班共有45人，其中20人喜爱跑步运动，15人喜爱篮球运动，20人对两项运动都不喜爱，则对两项运动都喜爱的人数为______. 13. 设，，则y的最小值为________. 14. 已知关于x的方程（其中p，q均为实数）有两个不等实根，.若，满足，则p的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）用分数指数幂的形式表示下式：； （2）求值：； （3）化简：. 16. 某公司建造一个长方体的粮仓，粮仓底面的长为x米，底面面积为64m2，粮仓仓壁每平方米的造价为120元，仓顶的总造价为4800元.如果仓壁高为3米，且不计粮仓底面的费用，设建造此粮仓的总造价为y元. （1）设粮仓仓壁的面积为S，用x表示S，并求出x的取值范围； （2）粮仓底面的长x为多少米时，粮仓的总造价y最低？最低总造价是多少？ 17. 设全集，不等式的解集为A，集合，集合，. （1）求集合A. （2）若，求. （3）若，求a的取值范围. 18. （1）已知正数a、b满足.求ab的最小值； （2）若，且，求的最小值； （3）已知，求的最小值； （4）已知正数a、b满足.求的最小值. 19. 设函数. （1）若关于x的不等式有实数解，求实数a的取值范围； （2）解关于x的不等式：，； （3）若对任意的，不等式，(且)恒成立，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $