第24章 圆知识归纳与题型突破（单元复习 17类题型清单）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记•巧练（沪科版）

第二十四章 圆知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 1、 圆的有关概念 定义 注意 弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦 圆中有无数条弦，其中直径是最长的弦 直径 经过圆心的弦叫做直径 弧、半圆、优弧、劣弧 （1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧； （2）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条胡都叫做半圆； （3）小于半圆的弧叫做劣弧； （4）大于半圆的弧叫做优弧 弧包括优弧、劣弧和半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧 等圆 能够重合的两个圆叫做等圆.容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等 等圆只和半径的大小有关，和圆心的位置无关 等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧 等弧只能出现在同圆或等圆中；等弧是全等的，而不仅仅是弧的长度相等 二、垂径定理及其推论 1、垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弦. 2、垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 三、弧、弦、圆心角之间的关系 1、定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等； 2、推论 （1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等； （2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等； 3、弦和弦心距（圆心到弦的距离）之间的关系 在同圆或等圆中，如果两条弦的弦心距相等，那么这两条弦相等. 四、圆周角 1、圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 2、圆周角定理的推论 （1）同弧或等弧所对的圆周角相等； （2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 900的圆周角所对的弦是直径. 3、“五量关系”定理 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弧所对的圆周角、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 五、圆内接多边形 1、圆内接多边形 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆. 2、圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补. 推论：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角. 六、点与圆的位置关系 1、点和圆的位置关系 2、确定一个圆的条件 （1）已知圆心、半径，可以确定一个圆； （2）不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 七、直线和圆的位置关系 八、切线的相关知识 1、切线的判定 （1）判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 （2）判定方法 a.定义法:与圆有唯一公共点的直线是圆的切线; b.数量法:圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线; c.判定定理法:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 2、切线的性质 （1）性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径. （2）切线的性质 a.切线和圆只有一个公共点; b.圆心到切线的距离等于半径; c.圆的切线垂直于过切点的半径; d.经过圆心且垂直于切线的直线必过切点(找切点用); e.经过切点且垂直于切线的直线必过圆心(找圆心用). 3、切线长定理 （1）切线长定义 经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长. （2）切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 九、三角形的外接圆 1、三角形的外接圆 经过三角形的三个项点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.“接”是指三角形的三个顶点都在圆上. 2、三角形的外心 (1)定义:三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂真平分线的交点，叫做这个三角形的外心 (2)性质:三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于 其外接圆的半径. 3、三角形外接圆的作法 作三角形任意两边的垂直平分线，确定其交点;以该交点为圆心，以交点到三个顶点中任意一点的距离为半径作圆即可 十、三角形的内切圆 1、三角形的内切圆 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做这个圆的外切三角形 2、三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心 3、三角形内心的性质 三角形的内心到三角形三条边的距离相等，且等于其内切圆的半径. 十一、弧长和扇形面积 1、弧长公式 2、扇形面积 03 题型归纳 题型一　圆的基本概念辨析 例1. （2024九年级上·全国·专题练习）下列语句中，不正确的是（    ） A．圆既是中心对称图形，又是旋转对称图形 B．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 C．当圆绕它的圆心旋转时，不会与原来的圆重合 D．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个 【答案】C 【分析】此题考查了圆的轴对称性质和圆的旋转不变性，解题的关键是掌握以上知识点． 根据圆是轴对称图形的性质，以及圆的旋转不变性即可求解． 【详解】解：A、因为圆旋转任意一个角度都能够与自身重合，所以圆不仅是中心对称图形，也是旋转对称图形，正确； B、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，正确； C、当圆绕它的圆心旋转时，会与原来的圆重合，错误； D、任意过圆心的直线都是圆的对称轴，有无数条，对称中心即是圆心，有一个，正确． 故选：C． 巩固训练 1．（2024九年级上·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．大于半圆的弧叫做优弧 B．长度相等的两条弧叫做等弧 C．过圆心的线段是直径 D．直径一定大于弦 【答案】A 【分析】此题考查了圆的有关定义及性质，解题的关键是掌握以上知识点． 根据圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、大于半圆的弧叫做优弧，原说法正确，符合题意； B、在同圆或等圆中长度相等的两条弧叫做等弧，原说法错误，不符合题意； C、过圆心的弦是直径，原说法错误，不符合题意； D、在同圆或等圆中，直径一定大于除直径外的弦，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 2.（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）下列说法：①直径是弦；②半圆是弧；③半径相等的两个圆是等圆；④长度相等的两条弧是等弧；⑤平面上任意三点能确定一个圆．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是圆的认识，根据等圆、等弧和半圆的定义以及确定圆的条件，分别进行判断． 【详解】解：直径是弦，故①正确， 半圆是弧，故②正确， 半径相等的圆是等圆，故③正确， 同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故④错误， 平面上不共线的三点能确定一个圆，故⑤错误， 正确的各数为3， 故选：C． 3．（23-24九年级上·宁夏石嘴山·期中）如图，下列说法正确的是（　　） A．线段，，都是的弦 B．线段经过圆心O，线段是直径 C． D．弦把圆分成两条弧，其中是劣弧 【答案】B 【分析】本题考查圆的相关定义，根据弦的定义对A进行判断；根据直径的定义对B进行判断；不能确定，则可对C进行判断；根据劣弧和优弧的定义对D进行判断． 【详解】解：A．线段，都是的弦，不是，所以A选项不符合题意； B．线段经过圆心O，线段是直径，所以B选项符合题意； C．当点D为的中点时，，所以C选项不符合题意； D． 为优弧，所以D选项不符合题意． 故选：B． 题型二　利用垂径定理求平行弦问题 例2．（2023九年级上·全国·专题练习）已知的直径为， ，是的两条弦，，，，则与之间的距离为 cm． 【答案】2或14 【分析】作于E，延长交于F，连接、，如图，利用平行线的性质，根据垂径定理得到，，则利用勾股定理可计算出，，讨论：当点O在与之间时，；当点O不在与之间时，． 【详解】解：作于E，延长交于F，连接、，如图       ∵，， ∴， ∴， ， 在中，， 在中，， 当点O在与之间时，如图1，， 当点O不在与之间时，如图2，， 故答案为：2或14． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论． 巩固训练 1．（2023九年级·全国·专题练习）在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是 ． 【答案】2或14 【分析】由于弦与的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦与在圆心同侧；②弦与在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：①当弦与在圆心同侧时，如图①，    过点O作，垂足为F，交于点E，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：，， ∴； ②当弦与在圆心异侧时，如图，    过点O作于点E，反向延长交于点F，连接， 同理，， ， 所以与之间的距离是2或14． 故答案为：2或14． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 2．（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）设AB、CD是⊙O的两条弦，ABCD．若⊙O的半径为13，AB=24，CD=10，则AB与CD之间的距离为 ． 【答案】17或7/7或17 【分析】根据题意画出图形，由于AB、CD在圆心的同侧或异侧不能确定，故应分两种情况进行讨论． 【详解】解：①当AB、CD如图（一）所示时，过O作OE⊥CD，交AB于F，连接OA、OC， ∵ABCD，OE⊥CD， ∴OF⊥AB， 由垂径定理可知AF=AB=×24=12，CE=CD=×10=5， 在Rt△CEO中，OE==12； 同理，OF==5， 故EF=OE﹣OF=12﹣5=7； ②当AB、CD如图（二）所示时，过O作OE⊥CD，交AB于F，连接OA、OC， 同（一）可得OE=12，OF=5，EF=OE+OF=12+5=17； 故答案为：17或7． 【点睛】本题考查的是垂径定理，勾股定理，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解． 3．（21-22九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）已知⊙的直径为26cm，AB、CD是⊙的两条弦，，AB=24cm，CD=10cm，则、之间的距离为 cm． 【答案】7或17/17或7 【分析】首先分先AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况讨论，画出图形，过圆心O作两弦的垂线，利用垂径定理可分别求出圆心到两弦的距离，从而可求出两弦间的距离． 【详解】①当弦AB、CD在圆心的同侧时，如图1 过点O作OF⊥CD交AB于点E，连接OA，OC ∵ ∴OE⊥AB ∵AB=24，CD=10 ∴AE=12，CF=5 又∵⊙的直径为26 ∴OA=OC=13 ∴， ∴EF=OF-OE=7 ②当弦AB、CD在圆心的异侧时，如图2 过点O作OF⊥CD，延长FO交AB于点E，连接OA，OC ∵ ∴OE⊥AB ∵AB=24，CD=10 ∴AE=12，CF=5 又∵⊙的直径为26 ∴OA=OC=13 ∴， ∴EF=OF+OE=17 故答案为：7或17． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，解题是要注意分AB、CD在圆心的同侧和异侧两种情况讨论． 题型三　利用垂径定理求同心圆问题 例3. （22-23九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 【答案】B 【分析】根据图形作线段和的垂直平分线，两线的交点即为圆心，根据图形得出即可． 【详解】解：如图 作线段和的垂直平分线，交于点E，即为弧的圆心， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线性质，坐标与图形性质的应用． 巩固训练 1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长. 【详解】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC， ∵OA=OD=4，CD=2， ∴OC=2， ∴AC=， ∴AB=2AC=. 故答案为C. 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键. 2．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．    (1)求证：； (2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，利用垂径定理构造直角三角形从而利用勾股定理求解是解题的关键． （1）过O作于点E，由垂径定理可得，，再用等式的性质即可得证； （2）连接、，利用垂径定理求出，在中，由勾股定理求出，然后在中，利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明：过O作于点E，如图， 由垂径定理可得，， ∴， ∴； （2）解：连接、，如图，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴在中，， ∴，即小圆的半径r为 3．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点． (1)求证：． (2)若，大圆的半径，求小圆的半径r． 【答案】(1)证明见解析 (2)小圆的半径r为 【分析】（1）过O作于点E，由垂径定理可知E为和的中点，则可证得结论； （2）连接，由条件可求得的长，则可求得和的长，在中，利用勾股定理可求得的长，在中可求得的长； 【详解】（1）证明：过O作于点E，如图1， 由垂径定理可得 ∴ ∴ （2）解：连接，如图2， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， 在中，由勾股定理可得 ∴，即小圆的半径r为． 【点睛】本题考查了垂径定理与勾股定理的知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法． 题型四　利用弧、弦、圆心角的关系求解 例4. （24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，内接于，A为劣弧的中点，，为的直径，连接，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系．先根据圆心角、弧、弦的关系得到，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，接着根据圆周角定理得到，，然后利用含30度角的直角三角形三边的关系求出，从而得到的长． 【详解】解：为劣弧的中点， ， ， ， ， 为的直径， ，则 在中，， ∴， ． 故答案为：． 巩固训练 1．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，四边形是的内接四边形，已知，垂足为，弦的弦心距为．    （1）若，则的度数为 ． （2）若的半径为5，，则的长为 ． 【答案】 6 【分析】本题考查垂径定理及其推论，圆周角定理，圆心角与弧、弦的关系； （1）连接证明和都是等腰直角三角形即可； （2）延长交于点，连接，则是的中位线，可以求出，然后根据垂直证明，根据圆周角相等则所对的弦相等得到． 【详解】如图1，连接   是弦的弦心距， ， 和都是等腰直角三角形， ． （2）如图2，延长交于点，连接，则是的中位线，   ． 在中，， 由勾股定理得 ． ∵是的直径， ∴ ． 2．（22-23九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在中，是上的一条弦，直径，连接，，则的度数是 ． 【答案】38 【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理、弧与圆心角的关系，连接，由垂径定理得出，由弧与圆心角的关系得出，再由圆周角定理得出，即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接， ， ∵是上的一条弦，直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在半圆中，点在半圆上，点在直径上，将半圆沿过所在的直线折叠，使恰好经过点．若，，则半圆的直径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用弧、弦、圆心角的关系求解，结合半圆（或直径）所对的圆周角是直角、圆周角定理、等腰三角形三线合一的性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，熟练掌握知识点推理、正确计算是解题的关键．利用弧、弦、圆心角的关系，证明，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角、圆周角定理、等腰三角形三线合一的性质、勾股定理列出一元二次方程求解，进而得出半圆的直径即可． 【详解】解：如图，点为圆心，过点作交于点，连接、、， ∵在半圆中，点在半圆上，点在直径上，将半圆沿过所在的直线折叠，使恰好经过点， ∴和是等圆中的圆弧，且所对的圆周角都等于，， ∴和所对的圆心角也相等， ∴， ∴， 又∵，，， ∴设，则， ，， ， ， ∵， ∴， 整理得：， ， ∴或， 解得：，（负值舍去）， ∴半圆的直径， 故答案为：． 题型五　利用弧、弦、圆心角的关系求证 例5. （24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，是的两条弦，与相交于点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系．利用弧、弦、圆心角的关系得出，进而可得． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 即． ∴． 巩固训练 1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，于点，于点． (1)求证：． (2)若，，求长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接OC，，，先证明，再证明，进一步可得答案； （2）求解，，结合，再利用勾股定理可得答案． 【详解】（1）证明：连接OC，，， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，弧，弦，圆心角之间的关系，掌握以上基础知识是解本题的关键． 2．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，四边形内接于，D是弧的中点，延长到点E，使，连接，． (1)求证：． (2)若，求的半径， 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆内接四边形，圆周角定理，全等三角形的判定和性质； （1）根据圆内接四边形的性质得到，再证明即可得到； （2）连接并延长交于F，连接，则，根据已知条件得到，，求得，根据直角三角形的性质得到结论． 【详解】（1）证明：∵D是弧的中点， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴； （2）解：连接并延长交于F，连接， 则， ∵D是弧的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的半径． 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，的直径为10，弦为6，D是的中点，弦和交于点F，且． (1)求证：； (2)求证： (3)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得，再根据对顶角相等及同弧所对的圆周角相等得，即可证明； （2）根据题意可得，则，再证明，即可证明； （3）过B作于点H，连接，利用等弧所对的圆周角相等证明是等腰直角三角形，再根据勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ∴； （2）证明：是的中点， ∴， ， ， ， 即， ∴； （3）解：过B作于点H，连接， 为的直径， ， 由（2）可知， ∴， ， 在等腰直角三角形中， ， 在中，， ． 【点睛】本题主要考查了弧与弦，圆周角的关系，勾股定理，等腰三角形的性质和判定，正确作出辅助线是解题的关键． 题型六　求圆弧的度数 例6．（22-23九年级上·全国·单元测试）已知，是的直径，弦，，则的度数是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了考查了圆的有关性质，等腰三角形的有关性质，平行线的性质，根据题意画图分情况分析即可，熟练掌握知识点的应是解题的关键． 【详解】如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵弦， ∴ ， ∴ ∴的度数是； 如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵弦， ∴ ， ∴ ∴的度数是； 综上可知：的度数是或， 故选：． 巩固训练 1．（23-24九年级上·山东聊城·期中）如图，是的弦，延长相交于点E，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，圆心角等知识．明确角度之间的数量关系是解题的关键． 如图，连接，由三角形内角和求，，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为， 故选：C． 2．（2023·福建·模拟预测）如图，点，，在上，，，连接交于点，则的度数是（    ） A．108° B．109° C．110° D．112° 【答案】B 【分析】连接，由已知条件求得，由，得，继而求得，再根据三角形内角和性质，即可求得． 【详解】如解图，连接，， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查了圆心角定理，圆周角定理，三角形内角和定理，等边对等角，熟悉以上知识是解题的关键． 3．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，是的两条弦，且，点分别在和上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角或弧的度数的一半． 根据圆内接四边形对角互补求得的度数，即可求得的度数，进而求得的度数，的度数，则的度数即可求解． 【详解】解：在圆内接四边形中，， 则的度数是， 又∵， ∴的度数=的度数， ∴的度数是， ∴． 故选：A． 题型七　利用圆周角定理求角度 例7. （24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）已知的半径，弦的长为，若在上找一点，则 ． 【答案】或． 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理逆定理，先由勾股定理逆定理求出，分别在优弧和劣弧取点和，连接，，，，则，然后根据圆内接四边形的性质可求出，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 如图，分别在优弧和劣弧取点和，连接，，，， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， 故答案为：或． 巩固训练 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的外接圆，若，则的度数为 ． 【答案】65 【分析】本题考查了圆周角定理.根据等腰三角形的性质由得，再根据三角形内角和定理计算出，然后根据圆周角定理求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：65． 2．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，以的边为直径的分别交、于点、，连接、．若，则 °． 【答案】56 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，熟悉圆周角定理的应用是解题的关键．连接，由为直径，得到，，然后根据三角形内角和定理得到，最后利用圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：连接，如图 是的直径 ，则 故答案为：56． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知是的弦，点在上，连接，，，． （1）如图①，当时， ； （2）如图②，当时， ； （3）如图③，当时， ． 【答案】 70 100 100 【分析】本题考查圆周角定理，平行线的性质，等边三角形的判定及性质等知识点，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据圆周角定理及等腰三角形的性质即可求解； （2）根据平行线的性质及等腰三角形的性质即可求解； （3）先证明为等边三角形，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：70； （2）∵， ∴， ∵， ∴，则， 故答案为：100； （3）∵，， ∴，即：为等边三角形， ∴，则， 故答案为：100． 题型八　利用圆内接四边形的性质求角度 例8. （24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质，连接，由是的直径，，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得，最后由圆内接四边形的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 巩固训练 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在的内接四边形中，，，则的度数为 ． 【答案】100 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，等边对等角的知识，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键． 连接，先根据圆内接四边形的性质求出的度数，再由等边对等角的性质以及三角形内角和的定理求出的度数，由圆内接四边形的性质即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是圆内接四边形，， ∴． ∵， ∴． ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴． 故答案为： 2．（23-24九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，四边形内接于，延长交于点E，连接，若，，则的大小为 °． 【答案】50 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆周角定理得到，求出，根据圆内接四边形的性质得到，计算即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， 又， ∴， ∵四边形内接于，， ∴， ∴， 故答案为：50． 3．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查圆周角定理、圆内接四边形的性质等，灵活运用以上知识点是解题的关键．根据圆周角定理先求出，再根据圆内接四边形的性质求出的度数，最后根据邻补角的定义即可求出答案． 【详解】解：， ， 四边形是的内接四边形， ， ． 故答案为：． 题型九　利用圆周角定理的推论进行探究证明 例9. （24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，四边形内接于，，，过点C作，使得，交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据，推出，根据，得到，根据圆内接四边形性质得到，得到，结合共用，推出，得到； （2）证明是的直径，得到，根据，得到．根据勾股定理得到，根据等腰直角三角形性质即得． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：如图，连接． ∵， ∴是的直径， ∴， 由（1）可得． ∵， ∴． ∴在中，， 在中，． 【点睛】本题主要考查圆有关性质．熟练掌握弧，弦，圆周角之间的关系，圆内接四边形的性质，等边对等角，勾股定理解直角三角形，圆周角定理及推论，全等三角形的性质与判定，作出辅助线构造全等三角形和直角三角形，是解题的关键． 巩固训练 1．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，是半圆O的直径，C，D是圆上的两点，，且，与交于点E． (1)求证：E为的中点． (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查圆周角定理，平行线的性质，勾股定理，垂径定理等知识点，熟练掌握运用这些知识点是解题关键． （1）根据直径的性质可得，根据平行线的性质可证，根据垂径定理即可得证； （2）设圆O的半径为，在中用勾股定理建立方程，求解即可． 【详解】（1）证明：∵是半圆O的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即为的中点； （2）解：设圆O的半径为， 则，，． 在中，， ∴， 解得 ， ∴． 2．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图所示，四边形是半径为r的的内接四边形，是的直径，，直线l与三条线段、、的延长线分别交于点E、F、G．且满足． (1)求证：直线直线； (2)若． ①求证：； ②若半径，求四边形ABCD的周长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）在中，根据同弧所对的圆周角相等可得，结合已知在中根据三角形内角和定理可求得； （2）①根据圆内接四边形的性质和邻补角可得，由直径所对的圆周角是直角和（1）可得，结合已知即可证得； ②在中由，可得，结合题意易证，在中由勾股定理可求得，由①可知易得，最后代入计算即可求得周长． 【详解】（1）证明：在中， ， ，即， 在中， ， ， 即直线直线； （2）解：①四边形是半径为r的的内接四边形， ， ， ， 是的直径， ， 由（1）可知， ， 在与中， ， ， ②在中，， ， 是的直径， ， ， ， ， 在中， ， 即， 解得：， 由①可知， ， ， 四边形的周长为： ． 【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等、三角形内角和定理、垂直的定义、圆内接四边形的性质、邻补角互补、直径所对的圆周角是直角、全等三角形的判定和性质、勾股定理解直角三角形以及周长的计算；解题的关键是灵活运用以上知识，综合求解． 3．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，为的直径，为弦，于点E，连接并延长交于点F，连接交于点G，，连接． (1)求证：； (2)①_____； ②若，由①中结论求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据得到，再根据圆周角定理得出，进而得到，即可求证； （2）①由题意可得，，证明，得到，，然后利用，得到，求出，然后利用圆周角定理求解即可； ②利用勾股定理求出，进而得到，再证明，推出，则． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴； ②根据勾股定理可得：， 则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了圆与三角形综合问题、圆周角定理、垂径定理、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，找到边长之间的关系以及角之间的关系是解题的关键． 题型十　切线的性质和判定的综合应用 例10. （2024九年级上·全国·专题练习）如图，是的直径，与相切于点A，，的延长线交于点P，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】本题主要考查了圆相关．熟练掌握圆切线判定和性质，等腰三角形性质，三角形外角性质，是解决问题的关键． 由等腰三角形的性质得到，由三角形外角的性质求出的度数，由切线的性质得到，由直角三角形的性质即可求出的度数． 【解答】解： ∵， ∴， ∴， ∵与相切于点A， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 巩固训练 1．（2024·四川德阳·模拟预测）如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆综合．熟练掌握圆切线的判断和性质，全等三角形的判断和性质，勾股定理解直角三角形，正切定义，是解决问题的关键． 连接，，根据平行线性质得到，证明是的切线，根据为的切线，得到，，证明，得到，得到，得到，根据，设，，得到，得到，即得． 【详解】解：如图，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴是的切线， ∵为的切线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设， 则， ∴， ∴， ∴． 故选：Ｄ． 2．（23-24九年级上·四川绵阳·期中）如图，是圆的弦，，，相交于点，且．连接，当，时，则线段的长为（　　）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质与判定，勾股定理；连接，由，利用等边对等角得到，再由垂直于，得到三角形为直角三角形，得到两锐角互余，等量代换得到垂直于，即可证得为圆的切线；设，则，在中，根据勾股定理得出，通过解方程即可求得． 【详解】解：连接，   ，， ，， ， ，即， ， ，即， 则为圆的切线； 解：设，则，而， 在中， ， 即， 解得， 线段的长是． 故选：B． 3．（2023九年级·全国·专题练习）如图，在中，，以边为直径作交于点，过点作的切线，交于点，交的延长线于点；若半径为3，且，则线段的长是（　　） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】连接，如图，利用等腰三角形的性质和平行线的判定得到，再根据切线的性质得到，则，接着在中利用正弦的定义求出，然后在中利用正弦定义可求出的长． 【详解】解：连接，如图， ∵， ， ， ， ， ， ∵为切线， ， ， 在中， ， ， 在中， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了解直角三角形． 题型十一　利用切斜长定理求解 例11. （23-24九年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，是的切线，D、E为切点，与相切于点F，分别交于点B、C．若的周长为16，则切线长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了切线长定理，对于定理的认识，在图形中找到切线长定理的基本图形是解决本题的关键．利用切线长定理，可以得到：，再根据的周长为16，即可求解． 【详解】解：∵是的切线，． ∴， 同理，， 三角形的周长． ， 故选：C． 巩固训练 1．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，直线、、分别与相切于点、、且，若，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要是考查了切线长定理，平行线的性质，勾股定理，根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明，再根据勾股定理即可求得的长，再结合切线长定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接， 根据切线长定理得：，，，；   ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：． 2．（22-23九年级上·辽宁盘锦·开学考试）以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交边于点，若的周长为12，则直角梯形周长为（    ）． A．12 B．13 C．14 D．18 【答案】C 【分析】本题考查的是切线长定理，切线长定理图提供了很多等线段，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长．根据切线的性质知：，；根据的周长可求出正方形的边长；在中，利用勾股定理可将的长求出，进而可求出直角梯形的周长． 【详解】解：设的长为，正方形的边长为， 与半圆相切于点， ，， ， ， ， 正方形的边长为4； 在中，，即，解得：， ， 直角梯形周长为14． 故选：C． 3．（2024·四川泸州·中考真题）如图，，是的切线，切点为A，D，点B，C在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，切线长定理，等腰三角形的性质等知识点，正确作辅助线是解题关键． 根据圆的内接四边形的性质得，由得，由切线长定理得，即可求得结果． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵，是的切线，根据切线长定理得， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 题型十二　利用切线长定理求证 例12. （2024九年级下·辽宁·专题练习）如图，点A 在外， 分别与相切于点B，D， 的延长线相交于点C，交于点 E，连接并延长，交于点F，连接． (1)求证：； (2)若，求的半径及的长． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为6， 【分析】（1）切线的性质结合切线长定理，得到，，根据，得到，圆周角定理得到，即可得证； （2）切线长定理，得到，求出的长，勾股定理求出的长，根据，求出的长，连接，圆周角定理，得到，利用，列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵ 分别与相切于点B，D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵ 分别与相切于点B，D， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即的半径为6， 连接， ∵连接并延长，交于点F， ∴为直径， ∴，， 由（1）知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，勾股定理，解直角三角形，圆周角定理等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 巩固训练 1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，已知是的直径，过点A作射线，点P为l上一个动点，点C为上异于点A的一点，且，过点B作的垂线交的延长线于点D，连接． (1)求证：为的切线； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明，求得，据此即可证明为的切线； （2）过点作，设，求得，，利用勾股定理求得，再求得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径，过点A作射线， ∴， ∵，，， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴为的切线； （2）解：过点作，垂足为点， 设， ∴， ∵， ∴为的切线， ∵、、为的切线， ∴，， ∴， ∵射线，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了切线长定理，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 2．（2023·湖北黄冈·模拟预测）如图，的内切圆切三边于点D，E，F，过F作的平行线交的延长线于点G，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了切线长定理、相似三角形的判定与性质，连接，过作的平行线交、的延长线于点、，由切线长定理得出，，，证明得出，同理可得：，从而得出，再证明，，得出，即可得证． 【详解】证明：如图，连接，过作的平行线交、的延长线于点、， ， ∵的内切圆切三边于点D，E，F， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 3．（23-24九年级下·北京·期末）如图，是的直径，，是的两条切线，切点分别为B，C．连接交于点D，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若点E是的中点，的半径为6，求的长． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）根据切线长定理得到，．根据等腰三角形的性质和中位线定理即可得到结论； （2）根据题意得出为等边三角形，得出，得出，再由含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵，是的两条切线，切点分别为，， ∴，， ∴，， ∵， ∴是的中位线， ∴； （2）∵，点是的中点， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵的半径为6， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，中位线定理，等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等知识点．熟练掌握切线的性质和切线长定理是解题的关键． 题型十三　圆的综合问题 例13. （2023·辽宁丹东·中考真题）如图，已知是的直径，是的弦，点P是外的一点，，垂足为点C，与相交于点E，连接，且，延长交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据，得出，进而得出，易得，根据，得出，则，即可求证是的切线； （2）易得，则，根据，求出，，则，根据勾股定理求出，，进而求出，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，则， ∴，即， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴，则， ∴， ∴， 根据勾股定理可得：，， ∴， ∴， ∴根据勾股定理可得：． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，解题直角三角形，解题的关键是熟练掌握经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，以及解直角三角形的方法和步骤． 巩固训练 1．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是的直径，是上一点过点作于点，交于点，点是延长线上一点，连接，，．    (1)求证：是切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据垂径定理和圆周角定理可推出，利用已知条件进行等量转换即可求出，最后利用可证明，从而证明是切线． （2）根据互余的两个角相等，利用可求出，设参数表示出和，再根据勾股定理用参数表示出和，最后利用即可求出参数的值，从而求出长度，即可求的长． 【详解】（1）解：连接，，如图所示，   ，为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是切线． （2）解：连接，如图所示，    由（1）得，， ， ， ． ， ． 设则， 在中，， ． 在中，． ， ， ． ． ， ． ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，切线的判定和性质，三角函数和勾股定理，解题的关键在于利用参数表达线段长度． 2．（2023·湖南永州·中考真题）如图，以为直径的是的外接圆，延长到点D．使得，点E在的延长线上，点在线段上，交于N，交于G．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的长； (3)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由是的直径得到，则，由得到，则，结论得证； （2）证明，则，可得，解得或3，由即可得到的长； （3）先证明，则，得到，由得到，则，由同角的余角相等得到，则，得，进一步得到，则，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， 解得或3， 当时，， 当时，， ∵，即， ∴； （3）证明：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 3．（2023·四川雅安·中考真题）如图，在中，，以为直径的与交于点D，点是的中点，连接，．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下，点P是上一动点，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【分析】（1）连接，由圆周角定理得到，由直角三角形斜边中线的性质结合等腰三角形的性质证得，由等腰三角形的性质得到，根据，得到，由切线的判定即可证得与相切； （2）由直角三角形斜边中线的性质求出，根据三角函数的定义即可求出；， （3）设的边高为，由可得，即可得出当取最大值时，取最大值，根据进而求解即可． 【详解】（1）证明：连接，如图所示，    ∵为的直径， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴与相切； （2）解：由（1）知，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，， 又∵在中，，即：， ∴（负值以舍去）， ∴； （3）设的边高为，    由（2）可知， 又∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴当取最大值时，也取最大值， 又∵， ∴当取最大值时，取最大值， 此时边高为取最大值为半径， ∴， ∴ ∴， ∴， 综上所述：的最大值为． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定以及直角三角形的性质，解题的关键是：（1）熟练掌握切线的判定方法；（2）通过解直角三角形斜边中线的性质证得．（3）将的最大值转化为的面积最大值． 题型十四　三角形的周长、面积与内切圆半径的关系 例14. （23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，为的内切圆，切点分别为，点分别为上的点，且为的切线．    (1)若，求的度数； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2)11 【分析】本题考查了切线长定理，内切圆的性质，解题的关键是： （1）利用三角形内角和求出，再根据内切圆的性质和切线长定理得出，，再求出，最后利用三角形内角和求出结果； （2）设的切点为，根据内切圆的性质得到，，推出的周长为，再结合切线长定理可得，再计算即可 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵为的内切圆， ∴，， ∴， ∴； （2）∵为的内切圆，为的切线，设切点为， ∴，， ∴的周长为： ∵，，， ∴ ．    巩固训练 1．（22-23九年级上·贵州黔西·期中）如图，已知O是的内心，连接，，．若内切圆的半径为2，的周长为12，求的面积． 【答案】12 【分析】设切点为D，E，F，连接，，，将三角形面积表示为，结合周长可得结果． 【详解】解：设切点为D，E，F，连接，，， ∴， ∵的周长为12， ∴， ∴的面积为： ． 【点睛】本题考查了三角形的面积，内切圆的性质，解题的关键是将面积用三个三角形的和表示． 1．（2024·湖北武汉·二模）如图， 的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据切线的性质可得，由三角形的内角和定理可得，等量代换即可判断选项B；根据切线长定理可设设，，，由，，，可列出方程组，求解即可判断选项C；过点C作于点H，根据勾股定理得到，构造方程可求出，得到，设的半径为r，即，根据即可求出的半径，从而判断选项D；由，得到，用反证法即可证得不成立，从而判断选项A． 【详解】解：∵，是的切线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，故B选项正确； ∵的内切圆与，，分别相切于点，，， ∴，，， ∵，，， 设，，， ∴，解得， ∴，，，故C选项正确； 过点C作于点H， ∴， 设，则， ∵在中，， 在中，， ∴，解得， ∴， ∴， 连接，，，， 设的半径为r，即， ∵的内切圆与，，分别相切于点，，， ∴，，， ∴， ∴，解得：， ∴，故D选项正确； ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵ ∴， 若成立， 则，这与矛盾， ∴不成立，故A选项错误． 故选：A 【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，勾股定理，三角形的内角和定理，圆周角定理等，综合运用相关知识是解题的关键． 3．（22-23九年级上·湖北襄阳·自主招生）圆内切于正三角形，半径为R，圆与圆及，均相切，圆的半径为r，则等于（   ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【分析】设圆、圆分别与相切于点，圆与相切于点，连接，，，，，，求出，根据三角形内切圆的性质可得，，且点在一条直线上，从而可得，由此即可得． 【详解】解：如图，设圆、圆分别与相切于点，圆与相切于点，连接，，，，，，    ∵圆与圆相切，圆的半径为，圆的半径为， ， 圆内切于正三角形， ，，，平分， ， ， ∵圆与，均相切， ，， 是的角平分线， ，且点在一条直线上， ，即， 解得， 则， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形内切圆的性质、角平分线的判定定理、等边三角形的性质、圆与圆的位置关系，熟练掌握三角形内切圆的性质是解题关键． 题型十五　三角形内切圆与外接圆综合 例15. （2023·湖北武汉·模拟预测）如图，是的外心，是的内心，连接并延长交和于，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）欲证明，只要证明； （2）连接，由，可得，设，，则，，同法可证：，推出，推出，推出，设，，由，可得，推出，即解得，由此即可解决问题； 【详解】（1）是的内心， 平分，平分， ，， ，， ， ， ； （2）连接． ， ， ， ，， ， ，设，，则，， 同法可证：， ， ， ：：，设，， ，， ， ， ， 或舍弃， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心，相似三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等角对等边等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题． 巩固训练 1．（2024·上海·模拟预测）已知的内心为O，． (1)如果的外心也为O，求证：为等边三角形，并尺规作线段； (2)延长交边于E，求证：=． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图——作角平分线，角平分线的性质，三角形的内心与外心，垂径定理等知识点，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）根据三角形的内心点为角平分线的交点，根据尺规作图作角平分线的方法作平分，平分，，，，进而证明，即可证明，得为等边三角形； （2）由题意可知平分，作，，得，设边上的高为，根据，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵的内心为O， ∴点为角平分线的交点， 如图，作平分，平分，，，， 则， ∵， ∴， ∴，同理，，， ∵的外心也为O， 由垂径定理可知，，，， ∴，则， ∴为等边三角形， 即为所求； （2）证明：∵的内心为O， ∴点为角平分线的交点， ∴平分， 作，， ∴， 设边上的高为， 则， ∴， ∴． 2．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接、，求证：点D是的外心． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据三角形内心的定义得，再由圆周角与弧之间的关系即可得证； （2）连接，证出即可得证； （3）连接，，，证出即可得证． 【详解】（1）证明：点I是的内心， 平分， ， ， ， ． （2）证明：如图，连接， 点I是的内心， 平分，平分， ， 又， ， ，， ， ． （3）证明：如图，连接，，， ， ． ， ∴点D是的外心． 【点睛】本题考查了三角形内心和外心的定义，圆的基本性质中圆周角与弧之间的关系等，理解定义，掌握圆的基本性质，根据题意作出辅助线是解题的关键. 3．（21-22九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BE， (1)若∠CBD=34°,求∠BEC的度数； (2)求证：DE=DB． 【答案】(1)124° (2)证明见解析 【分析】（1）根据圆周角定理求出，根据三角形的内心的概念，三角形内角和定理求出∠EBC； （2）根据内心的性质，三角形的外角定理证明． 【详解】（1）解：∵∠CBD=34° ∴∠CAD=34° ∵点E是△ABC的的内心 ∴∠BAC=2∠CAD=68° ∴∠EBC+∠ECB=（180°-68°）÷2=56° ∴∠BEC=180°-56°=124° （2）∵E是△ABC的内心 ∴∠BAD=∠CAD，∠EBA=∠EBC ∵ ∠DEB=∠BAD+∠EBA,∠DBE=∠EBC+∠CBD，∠CBD=∠CAD ∴∠DEB=∠DBE ∴DE=DB ． 【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理，三角形的内心的概念，三角形的外角的性质是解题的关键． 题型十六　正多边形与圆的综合 例16. （24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，正方形内接于，M为弧中点，连接． (1)求证：； (2)连接，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了正多边形的性质、圆心角、弧、弦的关系定理，掌握正方形的性质、圆心角、弧、弦的关系定理是解题的关键． （1）根据正方形的性质得到，根据圆心角、弧、弦的关系得到，得到，即可得到结论； （2）连接，根据正方形的性质求出和，计算即可． 【详解】（1）∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵M为的中点， ∴， ∴， ∴； （2）连接． ∵四边形是正方形， ∴． ∵M为弧的中点， ∴， ∴． 巩固训练 1．（23-24九年级上·云南红河·期末）如图，正六边形内接于，半径为4． (1)求点O到的距离； (2)求正六边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是正多边形与圆、锐角三角函数的应用． （1）连接、，作于H，先求出，再由三线合一定理得到，最后根据余弦的定义计算即可； （2）先解直角三角形得到，则，再根据正六边形的性质、三角形的面积公式计算． 【详解】（1）解：连接、，作于H， ∵六边形是正六边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点O到的距离为； （2）解：在中，， ∴， ∴正六边形的面积． 2．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，正方形的外接圆为，点P在劣弧上（不与点C重合）．    (1)求的度数； (2)若的半径为8，求正方形的边长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆与正多边形，圆周角定理： （1）连接，根据中心角的计算公式求出的度数，圆周角定理，求出的度数即可； （2）勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：连接，    由题意得：， ∴； （2）由（1）知：， 又∵， ∴， 即正方形的边长为：． 3．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，正六边形的边长为2，求该正六边形的外接圆与内切圆所形成的圆环面积． 【答案】π 【分析】本题考查了正六边形的性质、 等边三角形的判定与性质、 勾股定理；由正六边形的性质得出正六边形的边长与它的外接圆的半径的关系和与内切圆的半径的关系是解决问题的关键 ．连接、，作于，证明是等边三角形， 得出，，由勾股定理求出，再由圆的面积公式即可得出圆环的面积 ． 【详解】解： 连接、，作于，如图所示： 则， ， 是等边三角形， ，， ， 即正六边形外接圆的半径， 它的内切圆的半径， 所以圆环的面积． 题型十七　弧长与扇形面积 例17. （2024·安徽·模拟预测）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质，扇形面积公式，由是等边三角形，得，，过作于点，然后由勾股定理得，求出，，然后代入求值即可，熟练掌握等边三角形的性质和扇形面积公式是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 设， 如图，过作于点， ∴，，， ∴由勾股定理得：， ∴，即， 则， ∴， 故选：． 巩固训练 1．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在中，，与相切于点，点在上，若的半径为1，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了切线的性质、三角形内角和定理、等边对等角、弧长公式，连接、，由切线的性质得出，求出，由等边对等角并结合三角形内角和定理得出，最后由弧长公式计算即可得出答案． 【详解】解：如图，连接、， ， ∵与相切于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．（2024·山西晋中·一模）如图，在中，，，，以边为直径作半圆交边于点．以点为圆心，边长为半径作交边于点，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求不规则图形的面积，勾股定理，直角三角形的性质，扇形的面积，利用直角三角形的性质和勾股定理求出，再根据计算即可求解，由图形得到是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴ ， ， 故选：． 3．（2023·山东青岛·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据圆内接四边形的性质得出，再根据三角形的内角和求出，进而得出，最后根据弧长公式即可求解． 【详解】解：连接， ∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C．    【点睛】本题主要考查了圆的内接四边形，圆周角定理，三角形的内角和，弧长公式，解题的关键是掌握圆的内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角是圆心角的一半，三角形的内角和为，弧长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十四章 圆知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 1、 圆的有关概念 定义 注意 弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦 圆中有无数条弦，其中直径是最长的弦 直径 经过圆心的弦叫做直径 弧、半圆、优弧、劣弧 （1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧； （2）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条胡都叫做半圆； （3）小于半圆的弧叫做劣弧； （4）大于半圆的弧叫做优弧 弧包括优弧、劣弧和半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧 等圆 能够重合的两个圆叫做等圆.容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，同圆或等圆的半径相等 等圆只和半径的大小有关，和圆心的位置无关 等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧 等弧只能出现在同圆或等圆中；等弧是全等的，而不仅仅是弧的长度相等 二、垂径定理及其推论 1、垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弦. 2、垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 三、弧、弦、圆心角之间的关系 1、定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等； 2、推论 （1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等； （2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等； 3、弦和弦心距（圆心到弦的距离）之间的关系 在同圆或等圆中，如果两条弦的弦心距相等，那么这两条弦相等. 四、圆周角 1、圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 2、圆周角定理的推论 （1）同弧或等弧所对的圆周角相等； （2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 900的圆周角所对的弦是直径. 3、“五量关系”定理 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弧所对的圆周角、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 五、圆内接多边形 1、圆内接多边形 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆. 2、圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补. 推论：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角. 六、点与圆的位置关系 1、点和圆的位置关系 2、确定一个圆的条件 （1）已知圆心、半径，可以确定一个圆； （2）不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 七、直线和圆的位置关系 八、切线的相关知识 1、切线的判定 （1）判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 （2）判定方法 a.定义法:与圆有唯一公共点的直线是圆的切线; b.数量法:圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线; c.判定定理法:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 2、切线的性质 （1）性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径. （2）切线的性质 a.切线和圆只有一个公共点; b.圆心到切线的距离等于半径; c.圆的切线垂直于过切点的半径; d.经过圆心且垂直于切线的直线必过切点(找切点用); e.经过切点且垂直于切线的直线必过圆心(找圆心用). 3、切线长定理 （1）切线长定义 经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长. （2）切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 九、三角形的外接圆 1、三角形的外接圆 经过三角形的三个项点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形.“接”是指三角形的三个顶点都在圆上. 2、三角形的外心 (1)定义:三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂真平分线的交点，叫做这个三角形的外心 (2)性质:三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于 其外接圆的半径. 3、三角形外接圆的作法 作三角形任意两边的垂直平分线，确定其交点;以该交点为圆心，以交点到三个顶点中任意一点的距离为半径作圆即可 十、三角形的内切圆 1、三角形的内切圆 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做这个圆的外切三角形 2、三角形的内心 三角形的内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心 3、三角形内心的性质 三角形的内心到三角形三条边的距离相等，且等于其内切圆的半径. 十一、弧长和扇形面积 1、弧长公式 2、扇形面积 03 题型归纳 题型一　圆的基本概念辨析 例1. （2024九年级上·全国·专题练习）下列语句中，不正确的是（    ） A．圆既是中心对称图形，又是旋转对称图形 B．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 C．当圆绕它的圆心旋转时，不会与原来的圆重合 D．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个 巩固训练 1．（2024九年级上·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ） A．大于半圆的弧叫做优弧 B．长度相等的两条弧叫做等弧 C．过圆心的线段是直径 D．直径一定大于弦 2.（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）下列说法：①直径是弦；②半圆是弧；③半径相等的两个圆是等圆；④长度相等的两条弧是等弧；⑤平面上任意三点能确定一个圆．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24九年级上·宁夏石嘴山·期中）如图，下列说法正确的是（　　） A．线段，，都是的弦 B．线段经过圆心O，线段是直径 C． D．弦把圆分成两条弧，其中是劣弧 题型二　利用垂径定理求平行弦问题 例2．（2023九年级上·全国·专题练习）已知的直径为， ，是的两条弦，，，，则与之间的距离为 cm． 巩固训练 1．（2023九年级·全国·专题练习）在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是 ． 2．（22-23九年级上·江苏南通·阶段练习）设AB、CD是⊙O的两条弦，ABCD．若⊙O的半径为13，AB=24，CD=10，则AB与CD之间的距离为 ． 3．（21-22九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）已知⊙的直径为26cm，AB、CD是⊙的两条弦，，AB=24cm，CD=10cm，则、之间的距离为 cm． 题型三　利用垂径定理求同心圆问题 例3. （22-23九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，O三点，那么这条圆弧所在圆的圆心为图中的（　　） A．点D B．点E C．点F D．点G 巩固训练 1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（　　）cm. A．6 B． C． D． 2．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．    (1)求证：； (2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值． 3．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点． (1)求证：． (2)若，大圆的半径，求小圆的半径r． 题型四　利用弧、弦、圆心角的关系求解 例4. （24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，内接于，A为劣弧的中点，，为的直径，连接，若，则的长为 ． 巩固训练 1．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，四边形是的内接四边形，已知，垂足为，弦的弦心距为．    （1）若，则的度数为 ． （2）若的半径为5，，则的长为 ． 2．（22-23九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在中，是上的一条弦，直径，连接，，则的度数是 ． 3．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在半圆中，点在半圆上，点在直径上，将半圆沿过所在的直线折叠，使恰好经过点．若，，则半圆的直径为 ． 题型五　利用弧、弦、圆心角的关系求证 例5. （24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，是的两条弦，与相交于点，．求证：． 巩固训练 1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，于点，于点． (1)求证：． (2)若，，求长． 2．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，四边形内接于，D是弧的中点，延长到点E，使，连接，． (1)求证：． (2)若，求的半径， 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，的直径为10，弦为6，D是的中点，弦和交于点F，且． (1)求证：； (2)求证： (3)求的长． 题型六　求圆弧的度数 例6．（22-23九年级上·全国·单元测试）已知，是的直径，弦，，则的度数是（   ） A． B． C． D．或 巩固训练 1．（23-24九年级上·山东聊城·期中）如图，是的弦，延长相交于点E，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·福建·模拟预测）如图，点，，在上，，，连接交于点，则的度数是（    ） A．108° B．109° C．110° D．112° 3．（23-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，是的两条弦，且，点分别在和上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 题型七　利用圆周角定理求角度 例7. （24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）已知的半径，弦的长为，若在上找一点，则 ． 巩固训练 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的外接圆，若，则的度数为 ． 2．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，以的边为直径的分别交、于点、，连接、．若，则 °． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知是的弦，点在上，连接，，，． （1）如图①，当时， ； （2）如图②，当时， ； （3）如图③，当时， ． 题型八　利用圆内接四边形的性质求角度 例8. （24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，则的度数为 ． 巩固训练 1．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在的内接四边形中，，，则的度数为 ． 2．（23-24九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，四边形内接于，延长交于点E，连接，若，，则的大小为 °． 3．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于 ． 题型九　利用圆周角定理的推论进行探究证明 例9. （24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，四边形内接于，，，过点C作，使得，交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，求的长． 巩固训练 1．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，是半圆O的直径，C，D是圆上的两点，，且，与交于点E． (1)求证：E为的中点． (2)若，，求的长度． 2．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图所示，四边形是半径为r的的内接四边形，是的直径，，直线l与三条线段、、的延长线分别交于点E、F、G．且满足． (1)求证：直线直线； (2)若． ①求证：； ②若半径，求四边形ABCD的周长． 3．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，为的直径，为弦，于点E，连接并延长交于点F，连接交于点G，，连接． (1)求证：； (2)①_____； ②若，由①中结论求的长． 题型十　切线的性质和判定的综合应用 例10. （2024九年级上·全国·专题练习）如图，是的直径，与相切于点A，，的延长线交于点P，则的度数是（　　） A． B． C． D． 巩固训练 1．（2024·四川德阳·模拟预测）如图，在四边形中，，，以D为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为E，若，则的值是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·四川绵阳·期中）如图，是圆的弦，，，相交于点，且．连接，当，时，则线段的长为（　　）    A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2023九年级·全国·专题练习）如图，在中，，以边为直径作交于点，过点作的切线，交于点，交的延长线于点；若半径为3，且，则线段的长是（　　） A． B．5 C． D． 题型十一　利用切斜长定理求解 例11. （23-24九年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，是的切线，D、E为切点，与相切于点F，分别交于点B、C．若的周长为16，则切线长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．无法确定 巩固训练 1．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，直线、、分别与相切于点、、且，若，，则等于（　　） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·辽宁盘锦·开学考试）以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交边于点，若的周长为12，则直角梯形周长为（    ）． A．12 B．13 C．14 D．18 3．（2024·四川泸州·中考真题）如图，，是的切线，切点为A，D，点B，C在上，若，则（    ） A． B． C． D． 题型十二　利用切线长定理求证 例12. （2024九年级下·辽宁·专题练习）如图，点A 在外， 分别与相切于点B，D， 的延长线相交于点C，交于点 E，连接并延长，交于点F，连接． (1)求证：； (2)若，求的半径及的长． 巩固训练 1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，已知是的直径，过点A作射线，点P为l上一个动点，点C为上异于点A的一点，且，过点B作的垂线交的延长线于点D，连接． (1)求证：为的切线； (2)若，求的值． 2．（2023·湖北黄冈·模拟预测）如图，的内切圆切三边于点D，E，F，过F作的平行线交的延长线于点G，求证：． 3．（23-24九年级下·北京·期末）如图，是的直径，，是的两条切线，切点分别为B，C．连接交于点D，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若点E是的中点，的半径为6，求的长． 题型十三　圆的综合问题 例13. （2023·辽宁丹东·中考真题）如图，已知是的直径，是的弦，点P是外的一点，，垂足为点C，与相交于点E，连接，且，延长交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，，求的长． 巩固训练 1．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是的直径，是上一点过点作于点，交于点，点是延长线上一点，连接，，．    (1)求证：是切线； (2)若，，求的长． 2．（2023·湖南永州·中考真题）如图，以为直径的是的外接圆，延长到点D．使得，点E在的延长线上，点在线段上，交于N，交于G．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的长； (3)若，求证：． 3．（2023·四川雅安·中考真题）如图，在中，，以为直径的与交于点D，点是的中点，连接，．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下，点P是上一动点，求的最大值． 题型十四　三角形的周长、面积与内切圆半径的关系 例14. （23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，为的内切圆，切点分别为，点分别为上的点，且为的切线．    (1)若，求的度数； (2)若，求的周长． 巩固训练 1．（22-23九年级上·贵州黔西·期中）如图，已知O是的内心，连接，，．若内切圆的半径为2，的周长为12，求的面积． 1．（2024·湖北武汉·二模）如图， 的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·湖北襄阳·自主招生）圆内切于正三角形，半径为R，圆与圆及，均相切，圆的半径为r，则等于（   ） A．4 B．2 C．3 D．5 题型十五　三角形内切圆与外接圆综合 例15. （2023·湖北武汉·模拟预测）如图，是的外心，是的内心，连接并延长交和于，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 巩固训练 1．（2024·上海·模拟预测）已知的内心为O，． (1)如果的外心也为O，求证：为等边三角形，并尺规作线段； (2)延长交边于E，求证：=． 2．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接、，求证：点D是的外心． 3．（21-22九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BE， (1)若∠CBD=34°,求∠BEC的度数； (2)求证：DE=DB． 题型十六　正多边形与圆的综合 例16. （24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，正方形内接于，M为弧中点，连接． (1)求证：； (2)连接，求的度数． 巩固训练 1．（23-24九年级上·云南红河·期末）如图，正六边形内接于，半径为4． (1)求点O到的距离； (2)求正六边形的面积． 2．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，正方形的外接圆为，点P在劣弧上（不与点C重合）．    (1)求的度数； (2)若的半径为8，求正方形的边长． 3．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，正六边形的边长为2，求该正六边形的外接圆与内切圆所形成的圆环面积． 题型十七　弧长与扇形面积 例17. （2024·安徽·模拟预测）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在中，，与相切于点，点在上，若的半径为1，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山西晋中·一模）如图，在中，，，，以边为直径作半圆交边于点．以点为圆心，边长为半径作交边于点，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·山东青岛·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，，．若的半径为5，则的长为（　　）    A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$