第24章 圆易错训练与压轴训练（单元复习 4类易错+4类压轴）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记•巧练（沪科版）

第二十四章 圆易错训练与压轴训练 01 思维导图 目录 易错题型一　对圆的相关概念理解不透彻 1 易错题型二　对垂径定理的推论理解不透彻 4 易错题型三　忽视“弧、弦、圆心角之间的关系” 7 易错题型四　当图形未给出时，没有分类讨论 7 压轴题型一　用圆周角求角度 13 压轴题型二　求图形面积 15 压轴题型三　用与圆的位置关系解决问题 17 压轴题型四　用切线解决问题 17 02 易错题型 易错题型一　对圆的相关概念理解不透彻 例1．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）下列说法，正确的是（   ） A．优弧大于劣弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．直径所对圆周角是直角 巩固训练 1．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）下列语句中正确的说法是（   ） A．垂直于弦的直径平分弦 B．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 C．长度相等的弧是等弧 D．圆内接矩形是正方形 2．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）下列说法，错误的是（　　） A．过三点可以确定一个圆 B．等弧所对的圆心角相等 C．弦的垂直平分线一定经过圆心 D．直径是弦 3．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）下列说法中，正确的个数为（   ） ①面积相等的圆是等圆；②过圆心的线段是直径；③长度相等的弧是等弧；④半径是弦；⑤直径是最长的弦；⑥等弧所在的圆一定是等圆或同圆 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 易错题型二　对垂径定理的推论理解不透彻 例2．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，为的直径，弦于点，于点，若的半径为3，，则的长为（   ） A．1 B． C． D． 巩固训练 1．（22-23九年级上·广东湛江·期中）已知：如图，是的弦，的半径为5，于点D，交于点C，且，那么的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．（2024·河南商丘·三模）如图，在中，直径，弦，交于点C，连接．若，则的长为（   ） A．5 B．4 C．8 D．6 3．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，点，，在圆上，且，垂足为．若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 易错题型三　忽视“弧、弦、圆心角之间的关系” 例3. （2024·陕西西安·三模）如图，是的直径，点C、D、E在上，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（2024·河南南阳·模拟预测）如图，为的直径，、为上的点，．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．（2024·湖北黄石·三模）如图所示，弦，所对的圆心角分别是，，若与互补，，那么的半径为（   ）    A．5 B．10 C． D． 3．（2024·山东德州·一模）如图，A，B，C，D是上的点，，与交于点E，，， ，的半径为（　　） A．6 B． C．5 D． 易错题型四　当图形未给出时，没有分类讨论 例4. （23-24九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 巩固训练 1．（22-23九年级上·天津和平·期末）半径为5，弦，，，则与间的距离为（    ） A．1 B．7 C．1或7 D．3或4 2．（23-24八年级上·山东滨州·开学考试）一个点到圆的最小距离为，最大距离为，则该圆的半径是（ ） A．或 B． C． D．或 3．（23-24九年级上·内蒙古通辽·期中）⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 03 压轴题型 压轴题型一　用圆周角求角度 例1. （23-24九年级下·全国·单元测试）如图，四边形为的内接四边形，，则 的大小是（   ）    A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24九年级上·重庆荣昌·期末）如图，是四边形的外接圆，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，点A，B，C都在上，若，则（　　） 　 A． B． C． D． 3．（2024·湖南·模拟预测）如图，在中，，若，则（    ） A． B． C． D． 压轴题型二　求图形面积 例2. （23-24九年级上·重庆·阶段练习）如图，正方形的边长为2，以A为圆心，为半径画弧．连接，以A为圆心，为半径画弧交的延长线于点E，则图中阴影部分的面积是 ． 巩固训练 1．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，将半径的半圆绕点B按顺时针方向旋转，此时点A到了点，则图中涂色部分的面积为 ． 2．（2024·广东清远·模拟预测）如图，在边长为3的等边三角形中，以为直径构造半圆，则图中阴影部分的面积为 ． 3．（24-25七年级上·重庆·开学考试）如图所示，在直角三角形中，，，从中剪掉两个半径相等的扇形，求阴影部分的面积为 ．（结果保留π） 压轴题型三　用与圆的位置关系解决问题 例3. （24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，中，，，，D是上一点，E是上一点，，若以为直径的圆交于M、N点，则的最大值为 ． 巩固训练 1．（2024·安徽合肥·二模）已知三个顶点的坐标为，点P为边上一动点，点Q为平面内一点，连接，我们把线段的最小值称为“点Q到的距离”，记为． （1）若Q在原点O时， ； （2）若点Q是以点为圆心，以1为半径的上一动点，且，则t的取值范围是 ． 2．（2024·安徽芜湖·一模）如图，在中，，，，点D为上一点，点P在上，且，将绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接，． （1）当点D是的中点时，的最小值为 ； （2）当，且点Q在直线上时，的长为 ．    3．（2024·广东广州·二模）如图，是的外接圆，，于点，的延长线交于点． （1） （填“，或”）： （2）若，，则 ． 压轴题型四　用切线解决问题 例3. （22-23九年级上·广东湛江·期中）已知：如图，是的直径，是的切线，与相交于点，连接并延长与相交于点，且点为的中点，，． (1)求的半径； (2)求证：与相切． 巩固训练 1．（2024·湖北恩施·模拟预测）如图，已知四边形中，，点是的中点，，以为直径作半圆． (1)求证：是的切线； (2)若与的交点是的中点，的半径为2，求的长． 2．（2024九年级下·云南昆明·专题练习）如图，在中，，以为直径的交于点D（点D与点A不重合），交于点E，过点E作于点F，交的延长线于点G． (1)求证：是的切线； (2)如图1，若；求的半径； (3)如图2，连接，交点为H，当时，求线段的长． 3．（2024·贵州铜仁·一模）如图，已知点是以为直径的上一点，于点，过点作的切线交直线于点，点为的中点，连接并延长交于点，射线交的延长线于． (1)则与的数量关系为_________； (2)求证：是的切线； (3)若，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十四章 圆易错训练与压轴训练 01 思维导图 目录 易错题型一　对圆的相关概念理解不透彻 1 易错题型二　对垂径定理的推论理解不透彻 4 易错题型三　忽视“弧、弦、圆心角之间的关系” 7 易错题型四　当图形未给出时，没有分类讨论 7 压轴题型一　用圆周角求角度 13 压轴题型二　求图形面积 15 压轴题型三　用与圆的位置关系解决问题 17 压轴题型四　用切线解决问题 17 02 易错题型 易错题型一　对圆的相关概念理解不透彻 例1．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）下列说法，正确的是（   ） A．优弧大于劣弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．直径所对圆周角是直角 【答案】D 【分析】此题主要考查了圆的有关概念，熟练掌握相关概念是解决此题的关键. 根据圆的有关概念进行逐项辨析即可得解. 【详解】A、同圆或等圆中，优弧一定大于劣弧，故该选项错误； B、平分弦的直径，当被平分的弦是直径时，直径不垂直于弦，故该选项错误； C、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故该选项错误； D、直径所对圆周角是直角，故该选项正确； 故选：D． 巩固训练 1．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）下列语句中正确的说法是（   ） A．垂直于弦的直径平分弦 B．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 C．长度相等的弧是等弧 D．圆内接矩形是正方形 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理，等弧的定义，圆的有关性质，解题的关键是熟练掌握相关基本知识．根据垂径定理，等弧的定义，圆的有关性质逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、垂直于弦的直径平分弦，说法正确，符合题意； B、圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，原说法错误，不符合题意； C、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，原说法错误，不符合题意； D、圆内接矩形是不一定是正方形，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）下列说法，错误的是（　　） A．过三点可以确定一个圆 B．等弧所对的圆心角相等 C．弦的垂直平分线一定经过圆心 D．直径是弦 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的基本知识，熟练掌握圆的基本定义，垂径定理，是解题的关键． 根据直径定义，圆心角、弧间的关系，垂径定理，确定圆的条件进行判断即可． 【详解】解：A．过不在同一直线上的三点可以确定一个圆，原说法错误； B．等弧所对的圆心角相等，正确； C．弦的垂直平分线一定经过圆心，正确； D．直径是弦，正确． 故选：A． 3．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）下列说法中，正确的个数为（   ） ①面积相等的圆是等圆；②过圆心的线段是直径；③长度相等的弧是等弧；④半径是弦；⑤直径是最长的弦；⑥等弧所在的圆一定是等圆或同圆 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了等圆、等弧、弦的相关定义，利用等圆及弧、弦的概念对说法进行判断即可得到答案． 【详解】解：①面积相等的圆是等圆，故原说法正确； ②连接圆周上两点并通过圆心的线段是圆的直径，故原说法错误； ③等弧，是在同圆或等圆中，能够互相重合的弧，故原说法错误； ④连接圆上任意两点的线段叫作弦，半径不是弦，故原说法错误； ⑤连接圆上任意两点的线段叫做弦，直径是最长的弦，故原说法正确； ⑥等弧，是在同圆或等圆中，能够互相重合的弧，即等弧所在的圆一定是等圆或同圆，故原说法正确 ∴正确的说法有①⑤⑥，共3个． 故选：C． 易错题型二　对垂径定理的推论理解不透彻 例2．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，为的直径，弦于点，于点，若的半径为3，，则的长为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理．利用勾股定理求出，，再利用垂径定理求得，再求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵的半径为3，， ∴，， 在中，， 在中，， ， ， 在中，． 故选：C． 巩固训练 1．（22-23九年级上·广东湛江·期中）已知：如图，是的弦，的半径为5，于点D，交于点C，且，那么的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】此题考查了垂径定理、勾股定理等知识．连接，根据垂径定理得到，利用勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵于点D， ∴， 在中，， 即， 解得：. ∴ 故选：C． 2．（2024·河南商丘·三模）如图，在中，直径，弦，交于点C，连接．若，则的长为（   ） A．5 B．4 C．8 D．6 【答案】B 【分析】本题考查的是垂径定理、勾股定理的应用，根据垂径定理得到，利用勾股定理求得，即可得到的值，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键． 【详解】解：弦，，直径， ，， ， ， 故选：B． 3．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，点，，在圆上，且，垂足为．若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，掌握垂径定理是解题关键． 先根据勾股定理得，再根据垂径定理即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 易错题型三　忽视“弧、弦、圆心角之间的关系” 例3. （2024·陕西西安·三模）如图，是的直径，点C、D、E在上，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接四边形性质，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，连接，利用圆内接四边形性质得到，结合圆周角定理得到，进而推出，最后根据，结合弧、弦、圆心角的关系即可解题． 【详解】解：连接， ， ， 是圆的直径， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 巩固训练 1．（2024·河南南阳·模拟预测）如图，为的直径，、为上的点，．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系，利用其求得的度数为解题的关键．根据圆周角定理可得，及圆心角、弧、弦的关系易得，从而求得的度数． 【详解】解：如图，连接，，   ， ， ， ， ， ， 故选：A 2．（2024·湖北黄石·三模）如图所示，弦，所对的圆心角分别是，，若与互补，，那么的半径为（   ）    A．5 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查圆的基本性质、圆周角定理，延长交于点E，连接，由知，据此可得，在中利用勾股定理求解可得． 【详解】解：如图，延长交于点E，连接，    则， 又∵， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴的半径， 故选A． 3．（2024·山东德州·一模）如图，A，B，C，D是上的点，，与交于点E，，， ，的半径为（　　） A．6 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】连接，易得，即可求出，连接，由垂径定理可得，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，如图： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∵，即A是的中点， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，三角形相似的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 易错题型四　当图形未给出时，没有分类讨论 例4. （23-24九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（    ） A．6或12 B．2或14 C．6或14 D．2或12 【答案】B 【分析】由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论：①当和位于圆心同侧时和②当和位于圆心异侧时，即可求解． 【详解】解：分类讨论：①当和位于圆心同侧时，如图，连接，过点O作于点E，交于点F．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是2； ②当和位于圆心异侧时，如图，连接，过点O作于点P，延长交于点Q．    ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是14． 综上可知AB与CD间的距离是2或14． 故选B． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，解题关键是分两种情况讨论，作辅助线构造直角三角形． 巩固训练 1．（22-23九年级上·天津和平·期末）半径为5，弦，，，则与间的距离为（    ） A．1 B．7 C．1或7 D．3或4 【答案】C 【分析】过点作，为垂足，交与，连，，由，得到，根据垂径定理得，，再在中和在中分别利用勾股定理求出，，然后讨论：当圆点在、之间，与之间的距离；当圆点不在、之间，与之间的距离． 【详解】解：过点作，为垂足，交与，连，，如图， ， ， ，， 而，， ，， 在中，，； 在中，，； 当圆点在、之间，与之间的距离； 当圆点不在、之间，与之间的距离； 所以与之间的距离为7或1． 故选：C． 【点睛】本题考查了垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理以及分类讨论的思想的运用． 2．（23-24八年级上·山东滨州·开学考试）一个点到圆的最小距离为，最大距离为，则该圆的半径是（ ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查圆的基本性质，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．设此点为点，圆为，最大距离为，最小距离为，有两种情况：当此点在圆内；当此点在圆外；分别求出半径值即可． 【详解】解：设此点为点，圆为，最大距离为，最小距离为，则： 此点与圆心的连线所在的直线与圆的交点即为此点到圆心的最大、最小距离 有两种情况： 当此点在圆内时，如图所示， 半径； 当此点在圆外时，如图所示， 半径； 故圆的半径为或 故选：． 3．（23-24九年级上·内蒙古通辽·期中）⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用．作于E，于F，由垂径定理得，由于，易得E、O、F三点共线，在和中，利用勾股定理分别计算出与，然后讨论：当圆心O在弦与之间时，与的距离；当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 【详解】解：如图，作于E，于F，连， 则， ∵， ∴E、O、F三点共线， 在中，， 在中，， 当圆心O在弦与之间时，与的距离； 当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 所以与的距离是14或2． 故选：C． 03 压轴题型 压轴题型一　用圆周角求角度 例1. （23-24九年级下·全国·单元测试）如图，四边形为的内接四边形，，则 的大小是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，由根据圆内接四边形的性质得，求出，然后由圆周角定理即可求解，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补． 【详解】∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴， ∴， 故选：． 巩固训练 1．（23-24九年级上·重庆荣昌·期末）如图，是四边形的外接圆，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆内接四边形的对角互补即可得到结论． 【详解】解：∵四边形内接于，， ， 故选：B 2．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，点A，B，C都在上，若，则（　　） 　 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理，等边对等角和三角形内角和定理， 首先根据得到，然后利用三角形内角和定理求出，然后利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴． 故选：C． 3．（2024·湖南·模拟预测）如图，在中，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理等，连接，根据圆周角定理求出，根据可求得的度数．掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接． ， ， ， ． 故选：． 压轴题型二　求图形面积 例2. （23-24九年级上·重庆·阶段练习）如图，正方形的边长为2，以A为圆心，为半径画弧．连接，以A为圆心，为半径画弧交的延长线于点E，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，扇形的面积的计算，图中阴影部分的面积扇形的面积的面积正方形的面积扇形的面积，据此计算即可． 根据正方形的性质和扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：正方形的边长为2， ，，， ， 图中阴影部分的面积， 故答案为：． 巩固训练 1．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，将半径的半圆绕点B按顺时针方向旋转，此时点A到了点，则图中涂色部分的面积为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查求阴影部分面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．利用，进行求解即可． 【详解】解∶ ∵半径的半圆绕点B按顺时针方向旋转， ∴，， ∴ ， 故答案为： ． 2．（2024·广东清远·模拟预测）如图，在边长为3的等边三角形中，以为直径构造半圆，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】连接，，，根据等边三角形的判定与性质求出、、是边长相等的等边三角形，再根据阴影部分的面积求解即可．此题考查了扇形的面积、等边三角形的性质，熟记扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，，， 是等边三角形的边长为3， ，， 以为直径构造半圆， ， 、是等边三角形， ，， ， 是等边三角形， ， ， ， 阴影部分的面积， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·重庆·开学考试）如图所示，在直角三角形中，，，从中剪掉两个半径相等的扇形，求阴影部分的面积为 ．（结果保留π） 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形的面积和扇形的面积的计算，用直角三角形的面积减去两个半径相等的扇形的面积，就是剩余部分的面积． 【详解】解：， ， 故答案为：． 压轴题型三　用与圆的位置关系解决问题 例3. （24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，中，，，，D是上一点，E是上一点，，若以为直径的圆交于M、N点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理以及轨迹等知识，如图，作于H，于K，由题意，，推出欲求的最大值，只要求出的最小值即可． 【详解】如图，连接，作于H，于K， ， ， ， ， ， 欲求的最大值，只要求出的最小值即可， ， 点O的运动轨迹是以C为圆心，为半径的圆， 在中，，， ， ， ， 当C、O、H共线，且与重合时，的值最小， 的最小值为， 的最小值为， 故答案为：． 巩固训练 1．（2024·安徽合肥·二模）已知三个顶点的坐标为，点P为边上一动点，点Q为平面内一点，连接，我们把线段的最小值称为“点Q到的距离”，记为． （1）若Q在原点O时， ； （2）若点Q是以点为圆心，以1为半径的上一动点，且，则t的取值范围是 ． 【答案】 2 或或 【分析】本题考查的是点和圆的位置关系及点到直线的距离，解题关键是分情况画出相应图形， （1）由点的坐标推出平行，用待定系数法求出直线表达式，进而求出原点到距离； （2）根据题意分三种情况讨论，结合图形找出临界点，利用三角函数求出关键线段的长度，进而求出对应圆心坐标． 【详解】解：（1）作于点H，如下图， ， 轴，轴， 原点Q到的距离都是2， 设直线表达式为，把代入， ， 解得：， 直线表达式为， 当时，；当时， ， ， 当Q在原点O时，点Q到的距离最小值为， 故答案为2； （2）与位置关系有三种情况： ①在左侧，此时到的距离， 半径为1， ， 则； ②在内部， 当圆心正好在原点时，到的距离， 则， 作于点G，到的距离， ， ， 轴，轴， 则 时，均成立； ③在右侧，此时到距离， 作，于点N， 则， 则 综上所述，t的取值范围是或或， 故答案为：或或． 2．（2024·安徽芜湖·一模）如图，在中，，，，点D为上一点，点P在上，且，将绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接，． （1）当点D是的中点时，的最小值为 ； （2）当，且点Q在直线上时，的长为 ．    【答案】 或 【分析】本题考查勾股定理，旋转的性质，分两种情况进行讨论是解题的关键． （1）根据勾股定理得到长，当点Q在上时，最小，计算即可； （2）现根据三角形的面积求出长，然后利用勾勾股定理求出长，分两种情况：当点在上，当点在的延长线上，利用勾股定理分别进行计算即可解答． 【详解】（1）解：当点D是的中点时，如图所示，以为圆心，以长为半径作圆C，交于点Q，则为最小值， ∵，，， ∴， 又∵D是的中点， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：；    （2）如图：    ∵， ∴ ， ∴， ∴点在同一条直线上，由旋转得： ， 分两种情况： 当点在上, 在 中，， ； 当点在的延长线上，在 中, 综上所述：当时, 的长为或 ， 故答案为：或 ． 3．（2024·广东广州·二模）如图，是的外接圆，，于点，的延长线交于点． （1） （填“，或”）： （2）若，，则 ． 【答案】 【分析】（1）延长交于点，连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，根据直角三角形两锐角互余可得，，根据在同圆中，等弧所对的圆周角相等可得，根据等角的余角相等可得，根据等边对等角可得，即可推得； （2）根据直角三角形两锐角互余可得，结合（1）中结论和根据等角的余角相等可得，结合对顶角相等可得，根据等角对等边可得，设，则，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方列方程，解方程求出的值，即可求出、的值，根据即可求解． 【详解】解：（1）延长交于点，连接，如图：    ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，等角对等边，等边对等角，勾股定理，直角三角形的性质等；熟练掌握圆的相关性质是解题的关键． 压轴题型四　用切线解决问题 例3. （22-23九年级上·广东湛江·期中）已知：如图，是的直径，是的切线，与相交于点，连接并延长与相交于点，且点为的中点，，． (1)求的半径； (2)求证：与相切． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先设的半径为，由于是的直径，是的切线，根据切线性质可知，在中，利用勾股定理可得，解方程可得出答案； （2）连接，由于，，可知是的中位线，那么，于是，根据三角形外角性质可得，易证，而，，利用可证，那么，于是，从而可证是的切线． 【详解】（1）解：（1）设的半径为， 是的直径，是的切线， ， 在中，， ， 解得， 的半径为； （2）证明：连接， ，， 是的中位线， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， 即， 与相切． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、中位线的性质，解题的关键是证明． 巩固训练 1．（2024·湖北恩施·模拟预测）如图，已知四边形中，，点是的中点，，以为直径作半圆． (1)求证：是的切线； (2)若与的交点是的中点，的半径为2，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定与性质，解直角三角形，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及等边三角形的判定和性质是正确解答的关键． （1）根据全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质以及切线的判定方法进行解答即可； （2）根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半可得，进而可得是等边三角形，再根据直角三角形的边角关系进行计算即可． 【详解】（1）证明：如图，延长交的延长线于点，过点作，垂足为， 点是的中点， ， 又，， ， ， ，即， ， ， 即点在上， 是的切线； （2）解：如图，连接， 点是的中点，， ， 是等边三角形， ， 的半径， ， 在中，，， ． 2．（2024九年级下·云南昆明·专题练习）如图，在中，，以为直径的交于点D（点D与点A不重合），交于点E，过点E作于点F，交的延长线于点G． (1)求证：是的切线； (2)如图1，若；求的半径； (3)如图2，连接，交点为H，当时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，由圆周角定理可得，即，再根据等腰三角形性质可得，由半径相等和等边对顶角得出，推出，根据平行线的判定可得，由得出半径，再运用切线的判定即可证得结论； （2）先证得，得出，求得，即可求得答案； （3）先证得是等边三角形，可得，，再利用直角三角形性质可得，推出，进而得出． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴的半径为； （3）解：如图2，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的判定，等腰三角形性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造基本图形解决问题，属于中考常考题型． 3．（2024·贵州铜仁·一模）如图，已知点是以为直径的上一点，于点，过点作的切线交直线于点，点为的中点，连接并延长交于点，射线交的延长线于． (1)则与的数量关系为_________； (2)求证：是的切线； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)． 【分析】（1）利用圆的切线的性质定理，平行线的判定得到，利用相似三角形的判定与性质得到，再利用线段中点的定义解答即可； （2）连接，，，利用圆的切线的性质定理，直角三角形的斜边上的中线的性质，全等三角形的判定与性质得到，再利用圆的切线的判定定理解答即可； （3）连接，，利用等腰三角形的性质，直角三角形的性质和等角的余角相等的性质得到，，利用等腰三角形的性质得到，设圆的半径为，则，，，利用勾股定理求得，则，最后利用直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论． 【详解】（1）解：与的数量关系为． 过点作的切线交直线于点， ， ， ， ，， ，， ， 点为的中点， ， ． 与的数量关系为． 故答案为：． （2）证明：连接，，，如图， 为圆的切线， ， ， 为直径， ． 由（1）知：， 为斜边上的中线， ． 在和中， ， ， ， ， 为的半径， 是的切线； （3）解：连接，，如图， 由（2）知：， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 设圆的半径为，则，，． 在中， ， ， ． 在中， ， ， （不合题意，舍去）或． ． 在中，． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，连接经过切点的半径和直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$