5.2 导数的运算6题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第二册）

2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第二册） 5.2导数的运算6题型分类 一、基本初等函数的导数公式: 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 二、导数的运算法则: 已知f(x)，g(x)为可导函数，且g(x)≠0. (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，特别地，[cf(x)]′＝cf′(x)． (3)′＝. 三、复合函数的导数 1．复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))． 2．复合函数的求导法则 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对 u的导数与u对x的导数的乘积． （一） 利用导数公式求导 基本初等函数的导数公式: 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 题型1：利用导数公式求函数的导数 1-1．（2024高二下·天津北辰·期中）函数，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 1-2．（24-25高二下·全国·课后作业）已知，则等于（    ） A． B． C．0 D．不存在 1-3．（24-25高二上·全国·课后作业）设函数，则（    ） A． B． C． D． 1-4．（2024高三上·河北邯郸·阶段练习）下列求导运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 1-5．（2024高二下·安徽马鞍山·期中）若，，则的值等于（    ） A． B． C． D． （二） 导数的运算法则 1.导数的运算法则: 已知f(x)，g(x)为可导函数，且g(x)≠0. (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，特别地，[cf(x)]′＝cf′(x)． (3)′＝. 2.求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. 题型2：导数的运算 2-1．（2024高二下·新疆阿克苏·阶段练习）求下列函数的导数. (1) (2). 2-2．（2024高二下·全国·课后作业）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3). 2-3．（2024高二下·河北石家庄·阶段练习）函数的导数是（    ） A． B． C． D． 2-4．（2024高二下·重庆·期末）若函数，则（    ） A． B． C．3 D．4 2-5．（2024高二下·海南省直辖县级单位·期末）函数的导函数为，且满足，则的值为（    ） A．5 B．1 C．6 D．-2 （三） 复合函数求导 1.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.1.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 2.求复合函数导数的步骤： 题型3：复合函数求导 3-1．（2024高二下·福建龙岩·阶段练习）函数的导函数为（    ） A． B． C． D． 3-2．（2024高二·全国·随堂练习）写出下列函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则分别求出函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． 3-3．（2024高二下·陕西榆林·阶段练习）求下列函数的导数． (1) (2) 3-4．（2024高二下·黑龙江佳木斯·阶段练习）求下列函数的导数： (1)； (2). （四） 与切线有关的综合问题 1.求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解. 2.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上. 题型4：求切线斜率与方程 4-1．（2024高三上·云南昆明·期中）曲线在点处的切线方程是 4-2．（2024高三下·安徽·期中）已知，则曲线在点处的切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 4-3．（2024·北京东城·一模）过坐标原点作曲线的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 4-4．（2024·广东·一模）函数的图象在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 4-5．（2024高二下·湖南·阶段练习）曲线在处的切线的斜率为（    ）． A．4 B．3 C．2 D．1 4-6．（2024高二下·北京海淀·期中）若直线过原点，且与函数的图像相切，则该直线的斜率为（    ） A．1 B． C． D． 题型5：已知切线斜率求参数 5-1．（2024高二下·山东淄博·阶段练习）已知直线是函数的图象在点处的切线，则 . 5-2．（2024高二下·山东枣庄·阶段练习）已知函数在处的切线与函数的图象相切，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 5-3．（2024高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知曲线在处的切线与直线垂直，则的值是 5-4．（2024高二下·河南周口·阶段练习）已知曲线在处的切线过点，则实数（    ） A． B． C．1 D．3 题型6：利用切线求距离最值 6-1．（2024高二下·江西赣州·期中）设点A在直线上，点B在函数的图象上，则的最小值为 . 6-2．（2024高二下·湖北·阶段练习）若点是曲线上任意一点，点是直线上任意一点，则的最小距离为 . 6-3．（2024高三上·贵州黔东南·阶段练习）已知点P在函数的图象上，点Q在函数的图象上，则的最小值为 . 6-4．（2024高二上·广东广州·期末）若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为（    ） A． B． C． D． 6-5．（2024高二下·江西吉安·期末）若动点在曲线上，则动点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 6-6．（2024高二下·陕西安康·期中）若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 一、单选题 1．（2024高三上·河北保定·阶段练习）函数的图象在处切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三上·广东江门·阶段练习）若曲线在点处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C．1 D．2 3．（2024高三上·江苏连云港·阶段练习）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2024高三上·陕西汉中·阶段练习）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024高三上·江苏南京·阶段练习）下列求导正确的是（     ） A． B． C． D． 6．（2024高三上·陕西汉中·阶段练习）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（2024高三上·广东揭阳·阶段练习）已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则（     ） A． B． C．-2 D． 8．（2024高二下·重庆渝北·阶段练习）已知函数，过点作该函数曲线的切线，则该切线方程为（    ）． A． B． C． D． 9．（2024高二下·河南洛阳·阶段练习）点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（    ） A．[0， B． C． D．[0， 10．（2024高二下·陕西宝鸡·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 11．（2024高二上·江苏盐城·期中）已知函数（是的导函数），则（ ） A． B．1 C．2 D． 12．（2024高二下·四川雅安·阶段练习）已知函数，则（    ） A．－1 B．0 C．1 D． 13．（2024高二下·江西·期末）在可导函数，中，已知，，，，则在时的导数值是（    ） A． B．4 C． D．2 14．（2024高二上·浙江宁波·期中）函数在处的导数是（    ） A． B． C．2 D．4 15．（2024·四川攀枝花·一模）已知函数，则（    ） A． B． C．6 D．14 16．（2024高二下·吉林长春·期中）若，则等于（    ） A．2 B．0 C．-2 D．-4 17．（2024高二下·浙江·阶段练习）若点，，则、两点间距离的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 18．（2024高二下·北京·阶段练习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 19．（2024高二下·甘肃天水·阶段练习）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 20．（2024高二下·陕西渭南·阶段练习）下列求导数运算中正确的是（    ） A． B．​ C． D． 21．（2024·四川绵阳·模拟预测）若曲线与直线相切，则实数（    ） A． B．1 C．2 D． 22．（2024高二下·重庆南岸·期中）已知点为函数的图象上一点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 23．（2024高二下·上海浦东新·阶段练习）若直线是曲线和的公切线，则实数k的值是（    ） A． B． C．0 D．1 24．（2024高二下·浙江·阶段练习）已知函数，下列直线不可能是曲线的切线的是（    ） A． B． C． D． 25．（2024高三上·广东揭阳·期中）设，函数的导函数为，若是偶函数，则曲线在原点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 26．（2024高三上·河南·阶段练习）已知，过作曲线的切线，切点在第一象限，则切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 27．（2024·海南省直辖县级单位·一模）函数（b＞0，a∈R）在点处的切线斜率的最小值是（    ） A．2 B． C． D．1 28．（2024高二下·安徽滁州·阶段练习）已知函数，则（    ） A．4 B．2 C．-2 D．-4 29．（2024高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 30．（山西省晋中市太谷区职业中学校2023-2024学年高二普高班下学期3月月考数学试题）下列函数求导正确的是（     ） A． B． C． D． 31．（2024高二下·江苏苏州·阶段练习）下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 32．（2024高二下·贵州黔东南·阶段练习）已知函数，则过点且与曲线相切的直线方程可以为（    ） A． B． C． D． 33．（2024高二下·吉林长春·阶段练习）下列各式中正确的有（    ） A． B． C． D． 34．（2024高二上·江苏扬州·阶段练习）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 35．（2024高三·全国·专题练习）（多选）下列导数的运算中正确的是（    ） A． B． C．＝ D． 36．（2024高二下·湖北武汉·阶段练习）下列求函数的导数正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 37．（2024高二下·河北沧州·阶段练习）已知函数，则的值为 ． 38．（2024高二下·上海黄浦·期中）函数的导函数为 ． 39．（2024高三上·贵州黔西·阶段练习）曲线在处的切线方程为 ． 40．（2024高三上·山东滨州·阶段练习）已知函数，则= . 41．（2024高三上·广东惠州·阶段练习）已知函数，则 . 42．（2024高三·全国·专题练习）曲线上的点到直线的距离的最小值为 43．（2024高二下·内蒙古赤峰·阶段练习）已知曲线与曲线在处的切线互相垂直，则 ． 44．（2024高二下·宁夏银川·阶段练习）若直线与曲线相切于点，则 ． 45．（2024高二下·广东汕头·阶段练习）若直线是曲线在某点处的切线，则实数 ． 46．（2024高三上·山西·阶段练习）过点与曲线相切的切线方程为 ． 47．（2024高二下·山东威海·期末）写出曲线过坐标原点的一条切线方程 . 48．（2024高三上·四川成都·阶段练习）已知函数，则的图象在处的切线方程为 49．（2024高三上·浙江·阶段练习）已知函数，曲线在点处的切线方程是 ． 50．（2024高二下·山东·阶段练习）已知函数，是的导函数，则 ． 51．（2024·广东佛山·一模）已知曲线与曲线（）相交，且在交点处有相同的切线，则 . 52．（2024高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数，直线．若A，B分别是曲线和直线l上的动点，则的最小值是 53．（2024高二下·辽宁铁岭·期末）已知点A在函数的图象上，点B在直线上，则A，B两点之间距离的最小值是 ． 54．（2024高二下·四川绵阳·阶段练习）已知函数，若曲线在处的切线也与曲线相切，则 ． 55．（2024高二下·四川眉山·期末）已知函数，则曲线所有的切线中斜率最小的切线方程为 ． 56．（2024高三上·安徽·阶段练习）已知函数，过原点作曲线的切线，则切线的斜率为 ． 57．（2024高二下·北京大兴·阶段练习）函数，则 . 58．（2024高二下·山东菏泽·阶段练习）已知，则函数的图像过点的切线方程为 . 四、解答题 59．（2024高二下·四川雅安·阶段练习）求下列函数的导数． (1)； (2)． 60．（2024高三上·黑龙江·阶段练习）已知函数. (1)若曲线在点处的切线与轴，轴分别交于点，，求的面积（为坐标原点）； (2)求与曲线相切，并过点的直线方程. 61．（2024高二下·新疆和田·期中）已知函数，点在曲线上. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线过点的切线方程. 62．（2024高二下·安徽滁州·阶段练习）已知函数． (1)用导数的定义，求函数在处的导数； (2)过点作的切线，求切线方程． 63．（2024高二下·河南南阳·期中）已知函数． (1)若曲线在其上一点Q处的切线与直线平行，求Q的坐标； (2)求曲线的过坐标原点O的切线的方程． 64．（2024高二下·河北邯郸·阶段练习）求下列函数的导数： (1)； (2). 65．（2024高二·全国·课堂例题）求下列函数的导数： (1)； (2)． 66．（2024高二·全国·随堂练习）写出下列函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则分别求出函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 67．（2024高二上·全国·课后作业）在函数的图象上求一点P，使P到直线的距离最短，并求这个最短的距离． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第二册） 5.2导数的运算6题型分类 一、基本初等函数的导数公式: 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 二、导数的运算法则: 已知f(x)，g(x)为可导函数，且g(x)≠0. (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，特别地，[cf(x)]′＝cf′(x)． (3)′＝. 三、复合函数的导数 1．复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))． 2．复合函数的求导法则 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对 u的导数与u对x的导数的乘积． （一） 利用导数公式求导 基本初等函数的导数公式: 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 题型1：利用导数公式求函数的导数 1-1．（2024高二下·天津北辰·期中）函数，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】直接求导代入即可得解. 【详解】，则. 故选：A. 1-2．（24-25高二下·全国·课后作业）已知，则等于（    ） A． B． C．0 D．不存在 【答案】C 【分析】由基本初等函数的导数公式即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：C. 1-3．（24-25高二上·全国·课后作业）设函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的求导法则即可求解. 【详解】． 故选：D 1-4．（2024高三上·河北邯郸·阶段练习）下列求导运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本初等函数的导数公式计算可得； 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D 1-5．（2024高二下·安徽马鞍山·期中）若，，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由幂函数导数公式可求，由条件列方程求. 【详解】因为，所以， 又， 所以， 所以. 故选：A. （二） 导数的运算法则 1.导数的运算法则: 已知f(x)，g(x)为可导函数，且g(x)≠0. (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，特别地，[cf(x)]′＝cf′(x)． (3)′＝. 2.求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. 题型2：导数的运算 2-1．（2024高二下·新疆阿克苏·阶段练习）求下列函数的导数. (1) (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）利用导数的运算法则和求导公式可得答案. 【详解】（1）整理可得， . （2）. 2-2．（2024高二下·全国·课后作业）求下列函数的导数． (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用复合函数求导求出即可. 【详解】（1） （2） （3） 2-3．（2024高二下·河北石家庄·阶段练习）函数的导数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据乘法的导数公式即可得到结论． 【详解】. 故选：C 2-4．（2024高二下·重庆·期末）若函数，则（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】先求出，再将代入即可得到答案. 【详解】，则. 故选：B 2-5．（2024高二下·海南省直辖县级单位·期末）函数的导函数为，且满足，则的值为（    ） A．5 B．1 C．6 D．-2 【答案】C 【分析】利用导数公式及求导法则求出导数，再赋值计算作答. 【详解】函数，求导得， 当时，，解得， 因此，所以. 故选：C （三） 复合函数求导 1.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.1.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 2.求复合函数导数的步骤： 题型3：复合函数求导 3-1．（2024高二下·福建龙岩·阶段练习）函数的导函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据复合函数的求导法则即可求解. 【详解】由得， 故选：B 3-2．（2024高二·全国·随堂练习）写出下列函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则分别求出函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)中间变量为， (2)中间变量为， (3)中间变量为， (4)中间变量为， 【分析】利用复合函数的求导法则求导即可得解. 【详解】（1）对于，中间变量为，则， 所以. （2）对于，中间变量为，则， 所以. （3）对于，中间变量为，则， 所以. （4）对于，中间变量为，则， . 3-3．（2024高二下·陕西榆林·阶段练习）求下列函数的导数． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）利用导数运算规则即可求得该式的导数； （2）利用复合函数的导数及导数运算规则即可求得该式的导数. 【详解】（1） （2） 3-4．（2024高二下·黑龙江佳木斯·阶段练习）求下列函数的导数： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）利用简单复合函数的求导法则即可求解； （2）求商的导数，，由复合函数的的导数得. 【详解】（1）因为， 所以. （2） . （四） 与切线有关的综合问题 1.求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解. 2.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上. 题型4：求切线斜率与方程 4-1．（2024高三上·云南昆明·期中）曲线在点处的切线方程是 【答案】 【分析】求导，由导数的几何意义可得切线斜率，由点斜式即可求解直线方程． 【详解】由可得，所以， 所以由点斜式可得切线方程为，即， 故答案为： 4-2．（2024高三下·安徽·期中）已知，则曲线在点处的切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的几何意义，写出切线方程的公式，直接计算求解即可 【详解】对， 求导可得，，得到，所以， ，所以，， 故选D 4-3．（2024·北京东城·一模）过坐标原点作曲线的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设切点坐标为，求得切线方程为，把原点代入方程，得到，解得，即可求得切线方程. 【详解】由函数，可得， 设切点坐标为，可得切线方程为， 把原点代入方程，可得，即， 解得，所以切线方程为，即. 故选：A. 4-4．（2024·广东·一模）函数的图象在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求导数，得切线的斜率，再根据点斜式得切线方程. 【详解】因为，所以．因为， 所以切线方程为，即． 故选：D. 4-5．（2024高二下·湖南·阶段练习）曲线在处的切线的斜率为（    ）． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义，即可求出结果. 【详解】∵， ∴曲线在处的切线的斜率为， 故选：D． 4-6．（2024高二下·北京海淀·期中）若直线过原点，且与函数的图像相切，则该直线的斜率为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】 求导，由切点坐标可得切线斜率，由点斜式即可得切线方程，代入坐标原点即可求解，进而可求斜率. 【详解】因为，所以，设切点为，所以 ， 所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得， 所以切线方程的斜率为. 故选：B 题型5：已知切线斜率求参数 5-1．（2024高二下·山东淄博·阶段练习）已知直线是函数的图象在点处的切线，则 . 【答案】5 【分析】 利用函数的导数与切线的关系求解. 【详解】由题可得，， 因为直线是函数的切线， 所以，解得， 所以，所以切点为， 又因为切点在切线上，所以， 所以， 故答案为:5. 5-2．（2024高二下·山东枣庄·阶段练习）已知函数在处的切线与函数的图象相切，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用导数求出函数在处的切线方程，设直线与函数的图象相切于，再由斜率相等及在处的函数值相等联立求解. 【详解】由，得，则， 又， 函数在处的切线方程为， 设直线与函数的图象相切于， 则，， 联立解得，. 故选：A 5-3．（2024高二下·陕西咸阳·阶段练习）已知曲线在处的切线与直线垂直，则的值是 【答案】/ 或/ 或 【分析】 利用导数的几何意义求解即可. 【详解】设曲线在处的切线斜率为， 因为切线与直线垂直，所以，解得， 令，则， 所以，解得， 故答案为： 5-4．（2024高二下·河南周口·阶段练习）已知曲线在处的切线过点，则实数（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】由导数的几何意义知，曲线在处的切线的斜率为，结合题意可得，解方程即可得出答案. 【详解】因为，所以， 曲线在处的切线的斜率为， 又因为，曲线在处的切线过点， 故，则． 故选：B． 题型6：利用切线求距离最值 6-1．（2024高二下·江西赣州·期中）设点A在直线上，点B在函数的图象上，则的最小值为 . 【答案】 【分析】 设函数与直线平行的切线为，利用导数的几何意义得出切点，再由距离公式得出的最小值. 【详解】 设函数与直线平行的切线为，则的斜率为， 由，得，所以切点为， 则点到直线的距离就是的最小值，即. 故答案为：. 6-2．（2024高二下·湖北·阶段练习）若点是曲线上任意一点，点是直线上任意一点，则的最小距离为 . 【答案】/ 【分析】利用导数的几何意义处理即可. 【详解】 令，则，即曲线在处的切线方程为：， 即, 如下图所示，当时的最小值为点到直线的距离（为垂足）. 故. 故答案为： 6-3．（2024高三上·贵州黔东南·阶段练习）已知点P在函数的图象上，点Q在函数的图象上，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据函数在某点处的切线斜率，利用两点间距离，两直线位置关系，结合图象，可得答案. 【详解】       由函数，求导可得：，则， 在处的切线方程为，整理可得：； 由函数，求导可得：，则， 在处的切线方程为，整理可得； 由直线的斜率，易知：直线分别与两条切线垂直.. 故答案为：. 6-4．（2024高二上·广东广州·期末）若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与直线平行的直线的方程为，当直线与曲线相切，且点为切点时，，两点间的距离最小，根据导数的几何意义求出直线的方程，再利用平行线间的距离公式即可求得结果. 【详解】设与直线平行的直线的方程为， ∴当直线与曲线相切，且点为切点时，，两点间的距离最小， 设切点， ，所以， ，，， 点，直线的方程为， 两点间距离的最小值为平行线和间的距离， 两点间距离的最小值为. 故选：. 6-5．（2024高二下·江西吉安·期末）若动点在曲线上，则动点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】转化为在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最小，利用导数的几何意义求出切点的坐标，再根据点到直线的距离公式可求出结果. 【详解】设，由题意知， 则在点处的切线斜率为， 当在点处的切线与直线平行时，点到直线的距离最小， 由，得，则， 所以点到直线的距离. 所以动点到直线的距离的最小值为. 故选：A 6-6．（2024高二下·陕西安康·期中）若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】先分析出当切线与直线平行时，点到直线距离最小，设出切点，求导后利用斜率得到切点坐标，求出答案. 【详解】过点作曲线的切线，当切线与直线平行时，点到直线距离最小. 设切点为， 所以切线斜率为，由题知，解得或（舍）， ，此时点到直线距离. 故选：D 一、单选题 1．（2024高三上·河北保定·阶段练习）函数的图象在处切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 求导，利用导数的几何意义直接求解. 【详解】 因为，， 所以， 故选：B. 2．（2024高三上·广东江门·阶段练习）若曲线在点处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】由切线与直线垂直可得切线斜率为2，再对曲线求导，根据导数的几何意义结合条件即得. 【详解】直线的斜率为， 由题设知：在处的切线的斜率为，而， ∴，可得. 故选：C. 3．（2024高三上·江苏连云港·阶段练习）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数几何意义可求得切线斜率，由此可得切线方程. 【详解】，所求切线斜率， 所求切线方程为：，即. 故选：A. 4．（2024高三上·陕西汉中·阶段练习）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据初等函数的求导公式和导数四则运算公式直接求导即可. 【详解】，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确． 故选：D． 5．（2024高三上·江苏南京·阶段练习）下列求导正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本函数的求导公式，及导数的运算法则和复合函数的求导法则，进行运算即可判断选项. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，根据复合函数的求导法则， ，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 6．（2024高三上·陕西汉中·阶段练习）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本函数的求导公式以及四则运算即可求解. 【详解】，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 故选:D. 7．（2024高三上·广东揭阳·阶段练习）已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则（     ） A． B． C．-2 D． 【答案】A 【分析】利用导数的几何意义，即可求解. 【详解】，由题意可知，切线的斜率，则 ，解得：，， 所以. 故选：A 8．（2024高二下·重庆渝北·阶段练习）已知函数，过点作该函数曲线的切线，则该切线方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程作答. 【详解】函数，求导得：，设切点坐标为， 于是，解得，则， 所以所求切线方程为，即. 故选：D 9．（2024高二下·河南洛阳·阶段练习）点P在曲线上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（    ） A．[0， B． C． D．[0， 【答案】D 【分析】结合导数的几何意义求出切线的斜率的取值范围，进而根据斜率与倾斜角的关系以及倾斜角的范围即可求出结果. 【详解】因为，所以，因为，所以，又，所以， 故选：D. 10．（2024高二下·陕西宝鸡·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先求得，然后求得. 【详解】，， ，， 所以. 故选：C 11．（2024高二上·江苏盐城·期中）已知函数（是的导函数），则（ ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】先对函数求导，代入，求出的值，进而求解的值即可. 【详解】因为 所以定义域为. 所以 当时，，，则 故选：A 12．（2024高二下·四川雅安·阶段练习）已知函数，则（    ） A．－1 B．0 C．1 D． 【答案】C 【分析】求出导函数，代入，计算即可得出答案. 【详解】由已知可得，， 所以，， 所以，. 故选：C. 13．（2024高二下·江西·期末）在可导函数，中，已知，，，，则在时的导数值是（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【分析】 令，根据导数的运算法则求出，再代入计算可得. 【详解】令，则， 则. 故选：A 14．（2024高二上·浙江宁波·期中）函数在处的导数是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】先对函数求导后，再将代入导函数中可求得结果. 【详解】由，得， 所以函数在处的导数是， 故选：A 15．（2024·四川攀枝花·一模）已知函数，则（    ） A． B． C．6 D．14 【答案】C 【分析】求导，代入，求得，然后将代入原函数求得函数值. 【详解】，则， 则， 故选：C 16．（2024高二下·吉林长春·期中）若，则等于（    ） A．2 B．0 C．-2 D．-4 【答案】D 【分析】先求导，算出，然后即可求出 【详解】因为，所以 所以，得 所以，所以 故选：D 【点睛】本题考查的是导数的计算，较简单. 17．（2024高二下·浙江·阶段练习）若点，，则、两点间距离的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据切线方程的求解，转化成两条直线间的距离即可求解. 【详解】点在直线，点在上，，设的切线的切点为，令 ，所以在点处的切线为,此时切线与直线平行， 直线与之间的距离为的最小值， 故选：B 18．（2024高二下·北京·阶段练习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本初等函数的求导公式以及复合函数的求导法则，即可求得答案. 【详解】由可得， 故选：A 19．（2024高二下·甘肃天水·阶段练习）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的运算公式，准确计算，即可求解. 【详解】对于A中，由，所以A错误； 对于B中，由，所以B正确； 对于C中，由，所以C错误； 对于D中，由，所以D错误. 故选：B. 20．（2024高二下·陕西渭南·阶段练习）下列求导数运算中正确的是（    ） A． B．​ C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数求导法则可知A错误；由乘法运算求导公式可知B正确；利用除法法则计算可知C错误；由加法运算法则计算可知D错误. 【详解】对于A选项，，故A错误； 对于B选项，，故B正确； 对于C选项，，故C错误； 对于D选项，，故D错误； 故选：B 21．（2024·四川绵阳·模拟预测）若曲线与直线相切，则实数（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】求导，根据导数的几何意义结合直线方程列式求解. 【详解】直线，即， 对于，则， 设切点坐标为，切线斜率， 则切线方程为，即， 由题意可得，解得. 故选：B. 22．（2024高二下·重庆南岸·期中）已知点为函数的图象上一点，则点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出直线与函数的图象，利用平行于直线且与函数的图象相切的直线，可以求得相应的最小距离. 【详解】设直线平行于直线，则直线的斜率为2，        当直线与函数的图象相切，点为切点时，点到直线的距离的最小， 设切点坐标为， 因为，则，解得， 又在函数的图象上，则， 则切点坐标为，到直线的距离为， 则点到直线的距离的最小值为. 故选：A. 23．（2024高二下·上海浦东新·阶段练习）若直线是曲线和的公切线，则实数k的值是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】 设直线与曲线、分别相切于点、，利用导数求出曲线在点处的切线方程，以及曲线在点处的切线方程，可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可求得的值． 【详解】 设直线与曲线、分别相切于点、， 对函数求导得，则， 曲线在点处的切线方程为，即， 对函数求导得，则， 曲线在点处的切线方程为，即， 所以，，化简可得． 故选：D. 24．（2024高二下·浙江·阶段练习）已知函数，下列直线不可能是曲线的切线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 求得，根据斜率的范围求确定C不成立，对ACD都可以找到相应的切点满足所给定的切线方程. 【详解】，，，所以的切线斜率的最小值为， 对A：在点处的切线方程的斜率为，切点为，切线方程为，故A满足； 对B：在点处的切线方程的斜率为，切点为，切线方程为，故B满足； 对C：直线的斜率为，故C不可能为的切线. 对D：在点处的切线方程的斜率为，切点为，切线方程为，故D满足； 故选：C 25．（2024高三上·广东揭阳·期中）设，函数的导函数为，若是偶函数，则曲线在原点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数求导，利用偶函数性质求得，再根据导数的几何意义求切线方程. 【详解】由题设是偶函数， ∴，解得， ∴， ∴曲线在原点处的切线方程为. 故选：A 26．（2024高三上·河南·阶段练习）已知，过作曲线的切线，切点在第一象限，则切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设切点坐标为，写出切线的方程，求出即得解. 【详解】解：由，得， 设切点坐标为，则切线方程为， 把点代入并整理，得， 解得或（舍去）， 故切线斜率为． 故选：C． 27．（2024·海南省直辖县级单位·一模）函数（b＞0，a∈R）在点处的切线斜率的最小值是（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据题意求出导数，求出切线的斜率为，再由基本不等式可得答案． 【详解】， 所以在点处的切线斜率是， 因为b＞0，所以，当且仅当即时等号成立， 故选：C． 28．（2024高二下·安徽滁州·阶段练习）已知函数，则（    ） A．4 B．2 C．-2 D．-4 【答案】A 【分析】根据导数运算求解，结合导数定义即可得所求. 【详解】当时，，所以， 又，则，解得， 由定义可知，． 故选：A． 29．（2024高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，，即求. 【详解】设， 即，则， ， 故选：D. 二、多选题 30．（山西省晋中市太谷区职业中学校2023-2024学年高二普高班下学期3月月考数学试题）下列函数求导正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据题意，由基本初等函数的求导公式，逐一判断，即可得到结果. 【详解】，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，故D正确； 故选：BD 31．（2024高二下·江苏苏州·阶段练习）下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】 利用导数的四则运算法则和复合函数的求导法则求解. 【详解】对于,，则A正确； 对于,，则B错误； 对于,，则C正确； 对于,，则D错误, 故选：AC. 32．（2024高二下·贵州黔东南·阶段练习）已知函数，则过点且与曲线相切的直线方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】设切点坐标，利用导数求得切线方程，代入已知点的坐标，求解切点横坐标，则答案可求. 【详解】由，得， 设切点坐标为，则， 则过切点的切线方程为， 把点代入，可得， 整理得：，即或. 当时，切线方程为; 当时，切线方程为. 故选：BC. 33．（2024高二下·吉林长春·阶段练习）下列各式中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】 根据基本初等函数和积的导数、商的导数、复合函数的求导公式进行求导即可． 【详解】解：对于A，因为，故正确； 对于B，因为，故错误； 对于C，因为，故正确； 对于D，因为，故错误． 故选：． 34．（2024高二上·江苏扬州·阶段练习）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据导数的计算公式以及导数运算法则，逐项判断即可得出结果. 【详解】由基本初等函数的求导公式以及导数运算法则可得： 对A，，A正确； 对B，，B错误； 对C，，C错误； 对D，，D正确. 故选：AD 35．（2024高三·全国·专题练习）（多选）下列导数的运算中正确的是（    ） A． B． C．＝ D． 【答案】ABD 【分析】根据导数运算法则计算即可； 【详解】,正确； ，正确； ，正确； 因为，所以C项错误，其余都正确. 故选： ABD 36．（2024高二下·湖北武汉·阶段练习）下列求函数的导数正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用复合函数的求导法则可判断各选项的正误. 【详解】选项A:正确； 选项B: 错误； 选项C：正确； 选项D：，正确； 故选：ACD 三、填空题 37．（2024高二下·河北沧州·阶段练习）已知函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】对函数求导，将带入，即可求解. 【详解】∵，∴， ∴∴． 故答案为：. 38．（2024高二下·上海黄浦·期中）函数的导函数为 ． 【答案】 【分析】根据复合函数的导函数运算求解. 【详解】由题意可知：， 所以. 故答案为：. 39．（2024高三上·贵州黔西·阶段练习）曲线在处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得解. 【详解】， 则当时，， 所以曲线在处的切线方程为，即. 故答案为：. 40．（2024高三上·山东滨州·阶段练习）已知函数，则= . 【答案】3 【分析】运用复合函数求导公式计算即可. 【详解】由题意知，， 所以. 故答案为：3. 41．（2024高三上·广东惠州·阶段练习）已知函数，则 . 【答案】 【分析】求出给定函数的导数，再代入求值即得. 【详解】函数，求导得， 当时，，所以. 故答案为： 42．（2024高三·全国·专题练习）曲线上的点到直线的距离的最小值为 【答案】 【分析】求出曲线的斜率为的切线与曲线相切的切点坐标，再根据点到直线的距离公式可求出结果. 【详解】的定义域为， 求导得，令，解得，则，故切点坐标为， 故曲线上的点到直线的距离的最小值即为切点到直线的距离，即为. 故答案为： 43．（2024高二下·内蒙古赤峰·阶段练习）已知曲线与曲线在处的切线互相垂直，则 ． 【答案】 【分析】 根据切线垂直列方程，化简求得. 【详解】对于，； 对于，； 由于两条曲线在处的切线互相垂直， 所以， ，解得（负根舍去）. 故答案为： 44．（2024高二下·宁夏银川·阶段练习）若直线与曲线相切于点，则 ． 【答案】 【分析】 将代入得到关于，的方程，当时，导函数的值为，联立解方程即可． 【详解】 直线与曲线相切于点， 则，故． 又，当时，，所以，则． 故答案为：3 45．（2024高二下·广东汕头·阶段练习）若直线是曲线在某点处的切线，则实数 ． 【答案】2 【分析】欲求的值，设切点为，利用导数求出在切点A处的导数值，再结合切点A在切线上，又在的图象上，联立方程组即可求出的值，从而问题解决． 【详解】设切点为，由，得，则①， 又切点既在切线上也在的图象上， 代入可得联立①可得. 故答案为：2. 46．（2024高三上·山西·阶段练习）过点与曲线相切的切线方程为 ． 【答案】 【分析】根据求曲线过某点的切线方程的步骤，先设出切点坐标，再根据两点求斜率即可求解. 【详解】设切点为，则， 得，则切点为， 切线方程为，即． 故答案为：. 47．（2024高二下·山东威海·期末）写出曲线过坐标原点的一条切线方程 . 【答案】或（任写一个即可） 【分析】设出切点坐标，利用导数列方程，求得切点和斜率，进而求得切线方程. 【详解】，设切点为， 故切线方程为， 由于切线过原点，故， 整理得，解得或. 当时，切线方程为，即. 当时，切线方程为，即. 故答案为：或（任写一个即可） 48．（2024高三上·四川成都·阶段练习）已知函数，则的图象在处的切线方程为 【答案】 【分析】对求导可以算出，即可以算出的图象在处的切线斜率，又可以求出，由此即可得解. 【详解】由题意，所以且，所以， 因此的图象在处的切线斜率为，所以的图象在处的切线方程为，化简得. 故答案为：. 49．（2024高三上·浙江·阶段练习）已知函数，曲线在点处的切线方程是 ． 【答案】 【分析】根据导数的几何意义即可求解切线方程. 【详解】，，， 所以曲线在点处的切线方程是， 即. 故答案为： 50．（2024高二下·山东·阶段练习）已知函数，是的导函数，则 ． 【答案】24 【分析】先求导数，再分别计算、、后可求解答案. 【详解】因为，所以，所以，即， ，， 故． 故答案为： 51．（2024·广东佛山·一模）已知曲线与曲线（）相交，且在交点处有相同的切线，则 . 【答案】 【分析】可先设交点为，利用利用两函数在该点处的函数值和切线斜率相同列方程，可求的值. 【详解】易知：必有. 设两曲线的交点为，，，由题意：， 两式相除得：，∵，∴. 代入得： 解得. 故答案为： 52．（2024高二下·广东佛山·阶段练习）已知函数，直线．若A，B分别是曲线和直线l上的动点，则的最小值是 【答案】 【分析】求出与平行的切线为，从而得到与的距离即为的最小值，得到答案. 【详解】，设在点处的切线与平行，即斜率为-2， 所以，解得， 则在点处的切线方程为，即 则与的距离即为的最小值， 即，故的最小值为. 故答案为： 53．（2024高二下·辽宁铁岭·期末）已知点A在函数的图象上，点B在直线上，则A，B两点之间距离的最小值是 ． 【答案】 【分析】分析函数单调性得图象，确定A，B两点之间距离的最小值的情况，利用导数的几何意义可得切线方程，从而求得最小距离. 【详解】由题意可得，令得 所以当，，函数单调递减，当，，函数单调递增，所以， 所以的图象如下图：    要使得A，B两点之间距离最小，即直线与平行时，当直线与曲线相切时， 与的距离即为A，B两点之间最小的距离， 令，解得．由， 所以直线的方程为，即 则与的距离的距离， 则A，B两点之间的最短距离是． 故答案为：． 54．（2024高二下·四川绵阳·阶段练习）已知函数，若曲线在处的切线也与曲线相切，则 ． 【答案】 【分析】 求出曲线的切线方程，设曲线的切点坐标为，求出切线斜率，切线方程后，利用两切线重合可得参数值． 【详解】由已知，，又，所以切线方程为， 又，设上切点坐标为， 则，，由得，， 所以， 故答案为：． 55．（2024高二下·四川眉山·期末）已知函数，则曲线所有的切线中斜率最小的切线方程为 ． 【答案】 【分析】由函数解析式求其导函数，利用基本不等式求得斜率最小值以及切点，结合点斜式方程，可得答案. 【详解】由，，由，当且仅当时，等号成立， 曲线所有的切线中斜率最小的切线的斜率，切点为， 所以切线方程为，整理可得. 故答案为：. 56．（2024高三上·安徽·阶段练习）已知函数，过原点作曲线的切线，则切线的斜率为 ． 【答案】 【分析】利用导数的几何意义运算即可. 【详解】由题意得，，设切点为， 则切线方程为， 因为切线过原点， 所以， 解得，所以． 故答案为： 57．（2024高二下·北京大兴·阶段练习）函数，则 . 【答案】 【分析】 根据导数的四则运算和简单的复合函数求导即可求解. 【详解】因为， 则， 故答案为：. 58．（2024高二下·山东菏泽·阶段练习）已知，则函数的图像过点的切线方程为 . 【答案】或 【分析】根据题意，设切点为，然后结合导数的几何意义，代入计算，即可得到结果. 【详解】设切点为，由可得，， 由导数的几何意义可得，切线的斜率， 因为，所以切线方程为， 将点代入，得， 即，得， 解得或， 当时，切点坐标为，相应的切线方程为； 当时，切点坐标为，相应的切线方程为，即， 所以切线方程为或. 故答案为：或 四、解答题 59．（2024高二下·四川雅安·阶段练习）求下列函数的导数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据基本初等函数的求导公式求导即可； （2）根据导数的四则运算求导公式求导. 【详解】（1） （2） 60．（2024高三上·黑龙江·阶段练习）已知函数. (1)若曲线在点处的切线与轴，轴分别交于点，，求的面积（为坐标原点）； (2)求与曲线相切，并过点的直线方程. 【答案】(1)6 (2). 【分析】（1）由导数的几何意义先计算切线方程再求三角形面积即可； （2）设切点坐标结合导数的几何意义计算即可. 【详解】（1）∵，∴，又， ∴在处的切线方程为：，即， ∴可得，， ∴； （2）设过点的直线与相切于点， 由，∴，∴切线方程为： 又切线过点， ∴，解得：， ∴所求切线方程为：，即. 61．（2024高二下·新疆和田·期中）已知函数，点在曲线上. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线过点的切线方程. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）应用导数几何意义求曲线上一点处的切线方程即可； （2）令所求切线在曲线上的切点为，由导数几何意义写出切线方程，结合点在切线上求参数，即可得切线方程. 【详解】（1）由题意，故， 所以，而， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）令所求切线在曲线上的切点为，则， 所以切线方程为， 又在切线上，故或， 所以切线方程为或. 62．（2024高二下·安徽滁州·阶段练习）已知函数． (1)用导数的定义，求函数在处的导数； (2)过点作的切线，求切线方程． 【答案】(1)12 (2)或 【分析】（1）根据导数的定义即可求解； （2）根据导数的几何意义可求得切线的斜率，根据点斜式可写出方程，从而可解. 【详解】（1）因为， 所以， 则． （2）， 设切点，则切线的斜率为， 故切线方程为， 将点代入得， 即，得，解得或， 所以切线方程为或． 63．（2024高二下·河南南阳·期中）已知函数． (1)若曲线在其上一点Q处的切线与直线平行，求Q的坐标； (2)求曲线的过坐标原点O的切线的方程． 【答案】(1)或（2，0） (2)或． 【分析】（1）根据平行关系确定切线斜率，设出切点坐标，利用导数的几何意义确定切点Q横坐标，代入函数得纵坐标，从而得到切点坐标； （2）设出切点，利用导数的几何意义表示出切线的斜率，从而设出切线方程，再根据过原点，代入原点坐标得出切点横坐标，再回代得到切线方程． 【详解】（1）， 设，因为直线的斜率为4， 所以， 解得或2． ，． 所以点Q的坐标为或（2，0）． （2）设切点为，则，， 所以在该点处的切线方程为． 因为切线过原点，所以， 解得或1． 又因为，， 所以切线方程为或． 64．（2024高二下·河北邯郸·阶段练习）求下列函数的导数： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）利用导数的除法公式和复合函数的求导法则即可； （2）三角恒等变换化简后，利用导数的乘法公式和复合函数的求导法则即可. 【详解】（1） （2）因为， 所以 65．（2024高二·全国·课堂例题）求下列函数的导数： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复合函数的求导公式化简即可得出结论； （2）根据复合函数的求导公式化简即可得出结论； 【详解】（1）可由及复合而成， 所以． （2）可由及复合而成， 所以． 66．（2024高二·全国·随堂练习）写出下列函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则分别求出函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， (5)， (6)， 【分析】利用复合函数求导法则，若，令，，则求解. 【详解】（1）令，因为， 所以. （2）令，因为， . （3）令，因为， . （4）令，因为， . （5）令，因为， . （6）令，因为， . 67．（2024高二上·全国·课后作业）在函数的图象上求一点P，使P到直线的距离最短，并求这个最短的距离． 【答案】/ 【分析】设，利用导数的几何意义得到过点的切线斜率，当过点的切线平行于直线时，点到直线的距离最短，求得，从而得到点的坐标，再由点到直线的距离公式即可求解. 【详解】设， 又，则过点的切线斜率， 当过点的切线平行于直线时，点到直线的距离最短， 即，解得：，此时， 它到直线的距离， 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$