专题09 圆的有关性质【四大题型】-【好题汇编】备战2024-2025学年九年级数学上学期期中真题分类汇编（北京专用，人教版）

专题09 圆的有关性质【四大题型】 垂径定理及其应用 1．（2023•东城区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，直径AB⊥CD垂足为E，如果AB＝10，CD＝8，那么线段AE的长为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（2023•东城区校级期中）如图，A，B，E为⊙O上的点，⊙O的半径OC⊥AB于点D，若∠CEB＝30°，OD＝1，则AB的长为（　　） A． B．4 C．2 D．6 3．（2023•朝阳区校级期中）如图，在⊙O中，弦AB的长为2，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为（　　） A．4 B．2 C． D．1 4．（2023•西城区校级期中）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，点D是AB的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（　　） A．25m B．24m C．30m D．60m 5．（2023•朝阳区校级期中）《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥DC于E，ED＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长．”则CD＝（　　） A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸 6．（2023•西城区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连接OC，若OC＝10，AE＝4，则CD等于 　 　． 7．（2023•西城区校级期中）如图，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP＝4，∠APO＝30°，则弦AB的长为　 　． 8．（2023•西城区校级期中）如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是　 　． 9．（2023•西城区校级期中）如图所示大桥可以近似地看作半径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为300m，那么这些钢索中最长的一根长度为 　 　m． 10．（2023•丰台区校级期中）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，EB＝1寸，CD＝10寸，则直径AB长为 　 　寸． 11．（2023•东城区校级期中）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是AB的中点，连接OC并延长交劣弧AB于点D，连接OB，DB．若AB＝4，CD＝1，求△BOD的面积． 12．（2023•朝阳区校级期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度． 圆心角、弧、弦的关系 13．（2023•朝阳区校级期中）如图，点A，B在⊙O上，直径MN⊥AB于点C，下列结论中不一定成立的是（　　） A．AC＝CB B．OC＝CN C． D． 14．（2023•西城区校级期中）如图，⊙O的半径为9，AB，CD是两条弦，AB＝CD，∠AOB＝120°，则的长为（　　） A．3π B．6π C．18π D．27π 15．（2023•西城区校级期中）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么所对的圆心角的大小是（　　） A．60° B．75° C．80° D．90° 16．（2023•朝阳区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，，若∠AOE＝75°，则∠BOC＝　 　°． 17．（2023•西城区校级期中）如图，CD是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，B是弧的中点，P点为直线CD上的一个动点，当CD＝4时，AP+BP的最小值为　 　． 18．（2023•海淀区校级期中）如图，⊙O的动弦AB，CD相交于点E，且AB＝CD，∠BED＝α（0°＜α＜90°）．在①∠BOD＝α，②∠OAB＝90°﹣α，③∠ABCα中，一定成立的是　 　（填序号）． 圆周角定理 19．（2023•海淀区校级期中）如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若∠ABC＝50°，则∠BDC的度数为（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 20．（2023•朝阳区校级期中）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB＝25°．则∠AOC的度数为（　　） A．30° B．45° C．50° D．55° 21．（2023•西城区校级期中）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且CO⊥AB于点O，弦CD与AB相交于点E，若∠BEC＝70°，则∠ABD的度数为（　　） A．20° B．30° C．25° D．35° 22．（2023•西城区校级期中）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，则CD的长为 　 　． 23．（2023•东城区校级期中）如图，在⊙O中AB是直径，CD⊥AB，∠BAC＝30°，OD＝2，那么DC的长等于 　 　． 24．（2023•西城区校级期中）如图，CD是⊙O的直径，CD＝8，∠ACD＝20°，点B为弧AD的中点，点P是直径CD上的一个动点，则PA+PB的最小值为 　 　． 25．（2023•西城区校级期中）如图，△ABC中，CA＝CB，以BC为直径的半圆与AB交于点D，与AC交于点E． （1）求证：点D为AB的中点； （2）求证：AD＝DE． 26．（2023•朝阳区校级期中）如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC． （1）求证：∠CAO＝∠BCD； （2）若BE＝3，CD＝8，求⊙O的直径． 圆内接四边形的性质 27．（2023•西城区校级期中）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，若∠D＝70°，则∠B的度数为（　　） A．100° B．110° C．70° D．109° 28．（2023•朝阳区校级期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝130°，则∠BOD的度数为（　　） A．50° B．100° C．130° D．150° 29．（2023•西城区校级期中）如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，如果∠DCE＝75°，那么∠BAD的度数是（　　） A．65° B．75° C．85° D．105° 30．（2023•西城区校级期中）如图，点A，B，C，D都在⊙O上，C是的中点，AB＝CD．若∠ODC＝50°，则∠ABC的度数为　 　°． 31．（2023•西城区校级期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点M在AD的延长线上，∠AOC＝142°，则∠CDM＝　 　． 32．（2023•海淀区校级期中）如图，点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接AC，BD．请写出图中任意一组互补的角为 　 　和 　 　（不添加辅助线，不添加数字角标和字母）． 33．（2023•昌平区校级期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝130°，求∠OAC的度数． 34．（2023•西城区校级期中）已知四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°． （1）如图1，连接BD，若⊙O的半径为6，AD＝AB，求AB的长； （2）如图2，连接AC，若AD＝5，AB＝3，对角线AC平分∠DAB，求AC的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 圆的有关性质【四大题型】 垂径定理及其应用 1．（2023•东城区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，直径AB⊥CD垂足为E，如果AB＝10，CD＝8，那么线段AE的长为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 解：连接OC，如图，∵直径AB＝10， ∴OA＝OC＝5， ∵CD⊥AB， ∴CE＝DECD＝4， 在Rt△OCE中，∵OC＝5，CE＝4， ∴OE3， ∴AE＝OA﹣OE＝5﹣3＝2． 答案：D． 2．（2023•东城区校级期中）如图，A，B，E为⊙O上的点，⊙O的半径OC⊥AB于点D，若∠CEB＝30°，OD＝1，则AB的长为（　　） A． B．4 C．2 D．6 解：连接OB， ∵AB是⊙O的一条弦，OC⊥AB， ∴AD＝BD，即AB＝2BD， ∵∠CEB＝30°， ∴∠COB＝60°， ∵OD＝1， ∴BD＝1×tan60°， ∴AB＝2， 答案：C． 3．（2023•朝阳区校级期中）如图，在⊙O中，弦AB的长为2，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为（　　） A．4 B．2 C． D．1 解：连接OD，如图， ∵CD⊥OC， ∴∠DCO＝90°， ∴CD， 当OC的值最小时，CD的值最大， 而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合， ∴CD＝CBAB2＝1， 即CD的最大值为1， 答案：D． 4．（2023•西城区校级期中）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，点D是AB的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（　　） A．25m B．24m C．30m D．60m 解：∵点C是的中点，点D是AB的中点， ∴OC⊥AB， ∵AB＝40 m， ∴AD＝DB＝20 m， 在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2， 设半径为r得：r2＝（r﹣10）2+202， 解得：r＝25（m）， ∴这段弯路的半径为25 m 答案：A． 5．（2023•朝阳区校级期中）《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥DC于E，ED＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长．”则CD＝（　　） A．13寸 B．20寸 C．26寸 D．28寸 解：连接OA，∵AB⊥CD，且AB＝10， ∴AE＝BE＝5， 设圆O的半径OA的长为x寸，则OC＝OD＝x寸， ∵DE＝1， ∴OE＝x﹣1， 在直角三角形AOE中，根据勾股定理得： x2﹣（x﹣1）2＝52，化简得：x2﹣x2+2x﹣1＝25， 即2x＝26， 解得：x＝13 所以CD＝26（寸）． 答案：C． 6．（2023•西城区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，连接OC，若OC＝10，AE＝4，则CD等于 　16　． 解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， ∴E为CD的中点，∠OEC＝90°， ∵OC＝10，AE＝4， ∴OE＝10﹣4＝6， 在Rt△OEC中，CE2＝OC2﹣OE2， ∴， ∴CD＝2CE＝16． 答案：16． 7．（2023•西城区校级期中）如图，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP＝4，∠APO＝30°，则弦AB的长为　2　． 解：连接OB，过O作OC⊥AB于C， 则∠OCP＝90°， ∵OP＝4，∠APO＝30°， ∴OCOP＝2， 在Rt△OCB中，由勾股定理得：BC， ∵OC⊥AB，OC过O， ∴AB＝2BC＝2， 答案：2． 8．（2023•西城区校级期中）如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是　3≤OM≤5　． 解：过点O作OD⊥AB于点D，连接OA，由垂线段最短可知当M于点D重合时OM最短，当OM是半径时最长， ∵，⊙O的直径为10， ∴OA＝5， ∵弦AB的长为8，OD⊥AB， ∴ADAB＝4， 在Rt△OAD中， OD3， ∴当OM＝3时最短， ∴OM长的取值范围是：3≤OM≤5． 答案：3≤OM≤5． 9．（2023•西城区校级期中）如图所示大桥可以近似地看作半径为250m的圆弧，桥拱和路面之间用数根钢索垂直相连，其正下方的路面AB长度为300m，那么这些钢索中最长的一根长度为 　50　m． 解：设圆弧的圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交于D，连接OA，如图所示： 则OA＝OD＝250m，AC＝BCAB＝150m， ∴OC200（m）， ∴CD＝OD﹣OC＝250﹣200＝50（m）， 即这些钢索中最长的一根为50m， 答案：50． 10．（2023•丰台区校级期中）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，EB＝1寸，CD＝10寸，则直径AB长为 　26　寸． 解：∵弦CD⊥AB，AB为⊙O的直径， ∴E为CD的中点， 又∵CD＝10寸， ∴CE＝DECD＝5寸， 设OC＝OA＝x寸， 则AB＝2x寸，OE＝（x﹣1）寸， 由勾股定理得：OE2+CE2＝OC2， 即（x﹣1）2+52＝x2， 解得x＝13， ∴AB＝26寸， 答案：26． 11．（2023•东城区校级期中）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是AB的中点，连接OC并延长交劣弧AB于点D，连接OB，DB．若AB＝4，CD＝1，求△BOD的面积． 解：设⊙O的半径是r， ∵点C是AB的中点，OC过圆心O， ∴OC⊥AB， ∵AB＝4，CD＝1， ∴BCAB＝2，OC＝OD﹣CD＝r﹣1， ∵OB2＝OC2+BC2， ∴r2＝（r﹣1）2+22， ∴r， ∴OD， ∴△BOD的面积OD•BC2． 12．（2023•朝阳区校级期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度． 解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图， ∴AE＝BEAB8＝4（m）， 在Rt△AEO中，OE3（m）， ∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2（m）， 答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m． 圆心角、弧、弦的关系 13．（2023•朝阳区校级期中）如图，点A，B在⊙O上，直径MN⊥AB于点C，下列结论中不一定成立的是（　　） A．AC＝CB B．OC＝CN C． D． 解：∵点A，B在⊙O上，直径MN⊥AB于点C，， ∴AC＝CB，，，故选项A，C，D不符合题意， OC和CN不一定相等，故选项B符合题意． 答案：B． 14．（2023•西城区校级期中）如图，⊙O的半径为9，AB，CD是两条弦，AB＝CD，∠AOB＝120°，则的长为（　　） A．3π B．6π C．18π D．27π 解：∵AB＝CD， ∴， ∵∠AOB＝120°， ∴∠COD＝∠AOB＝120°， ∴弧CD的长为6π． 答案：B． 15．（2023•西城区校级期中）如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么所对的圆心角的大小是（　　） A．60° B．75° C．80° D．90° 解：作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，如图， 它们都经过Q，所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心． 连接AQ，CQ， 在△APQ与△QNC中 ， ∴△APQ≌△QNC（SAS）， ∴∠AQP＝∠QCN，∠PAQ＝∠CQN， ∵∠AQP+∠PAQ＝90°， ∴∠AQP+∠CQN＝90°， ∴∠AQC＝90°， 即所对的圆心角的大小是90°， 答案：D． 16．（2023•朝阳区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，，若∠AOE＝75°，则∠BOC＝　35　°． 解：∵∠AOE＝75°， ∴∠EOB＝105°． ∵， ∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD∠EOB105°＝35°． 答案：35． 17．（2023•西城区校级期中）如图，CD是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，B是弧的中点，P点为直线CD上的一个动点，当CD＝4时，AP+BP的最小值为　2　． 解：作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，交CD于点P，则PA+PB最小， 连接OA′，AA′． ∵点A与A′关于CD对称，点A是半圆上的一个三等分点， ∴∠A′OD＝∠AOD＝60°，PA＝PA′， ∵点B是弧AD的中点， ∴∠BOD＝30°， ∴∠A′OB＝∠A′OD+∠BOD＝90°， 又∵OA＝OA′＝2， ∴A′B＝2． ∴PA+PB＝PA′+PB＝A′B＝2． 答案：2． 18．（2023•海淀区校级期中）如图，⊙O的动弦AB，CD相交于点E，且AB＝CD，∠BED＝α（0°＜α＜90°）．在①∠BOD＝α，②∠OAB＝90°﹣α，③∠ABCα中，一定成立的是　①③　（填序号）． 解：如图，连接OC，设OB交CD于K． ∵AB＝CD，OD＝OC＝OB＝OA， ∴△AOB≌△COD（SSS）， ∴∠CDO＝∠OBA， ∵∠DKO＝∠BKE， ∴∠DOK＝∠BEK＝α， 即∠BOD＝α，故①正确， 不妨设，∠OAB＝90°﹣α， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA， ∴∠OBE+∠BEK＝90°， ∴∠BKE＝90°， ∴OB⊥CD，从条件上看，AB＝CD，推不出OB⊥CD这样的位置关系，故②错误， ∵CD＝AB， ∴， ∴， ∴∠ABC∠DOBα，故③正确． 答案：①③． 圆周角定理 19．（2023•海淀区校级期中）如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若∠ABC＝50°，则∠BDC的度数为（　　） A．120° B．130° C．140° D．150° 解：∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠ABC＝50°， ∴∠A＝90°﹣50°＝40°， ∴∠BDC的度数为：180°﹣40°＝140° 答案：C． 20．（2023•朝阳区校级期中）如图，在⊙O中，OA⊥BC，∠ADB＝25°．则∠AOC的度数为（　　） A．30° B．45° C．50° D．55° 解：∵OA⊥BC，∠ADB＝25°， ∴， ∴∠AOC＝2∠ADB＝50°． 答案：C． 21．（2023•西城区校级期中）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且CO⊥AB于点O，弦CD与AB相交于点E，若∠BEC＝70°，则∠ABD的度数为（　　） A．20° B．30° C．25° D．35° 解：∵OC⊥AB， ∴∠COB＝90°， ∴∠D∠COB＝45°， ∵∠CEB＝∠D+∠ABD， ∴∠ABD＝70°﹣45°＝25°， 答案：C． 22．（2023•西城区校级期中）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，则CD的长为 　4　． 解：∵AB⊥CD， ∴CE＝DE，∠OEC＝90°， ∵∠BOC＝2∠A＝2×22.5°＝45°， ∴△OCE为等腰直角三角形， ∴CE＝OEOC＝2， ∴CD＝2CE＝4． 答案：4． 23．（2023•东城区校级期中）如图，在⊙O中AB是直径，CD⊥AB，∠BAC＝30°，OD＝2，那么DC的长等于 　2　． 解：∵AB是直径，CD⊥AB， ∴，DH＝CH， ∴∠BOD＝2∠A＝2×30°＝60°， ∴∠D＝90°﹣∠BOD＝30°， ∴OHOD2＝1， ∴DH， ∴CD＝2DH＝2． 答案：2． 24．（2023•西城区校级期中）如图，CD是⊙O的直径，CD＝8，∠ACD＝20°，点B为弧AD的中点，点P是直径CD上的一个动点，则PA+PB的最小值为 　4　． 解：作A关于CD的对称点Q，连接CQ，BQ，BQ交CD于P，此时AP+PB＝QP+PB＝QB， 根据两点之间线段最短，PA+PB的最小值为QB的长度， 连接OQ，OB， ∵点B为弧AD 的中点， ∴∠BOD＝∠ACD＝20°， ∴∠QOD＝2∠QCD＝2×20°＝40°， ∴∠BOQ＝20°+40°＝60°． ∵OB＝OQ， ∴△BOQ是等边三角形， ∴BQ＝OBCD＝4，即PA+PB的最小值为4． 答案：4． 25．（2023•西城区校级期中）如图，△ABC中，CA＝CB，以BC为直径的半圆与AB交于点D，与AC交于点E． （1）求证：点D为AB的中点； （2）求证：AD＝DE． 证明：（1）连接CD，如图， ∵BC为直径， ∴∠BDC＝90°， ∴CD⊥AB， ∵CA＝CB， ∴AD＝BD，即点D为AB的中点； （2）∵四边形BCED为⊙O的内接四边形， ∴∠B+∠DEC＝180°， 而∠AED+∠DEC＝180°， ∴∠AED＝∠B， ∵CA＝CB， ∴∠A＝∠B， ∴∠A＝∠AED， ∴AD＝DE． 26．（2023•朝阳区校级期中）如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC． （1）求证：∠CAO＝∠BCD； （2）若BE＝3，CD＝8，求⊙O的直径． （1）证明：∵AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E， ∴， ∴∠CAO＝∠BCD； （2）解：设⊙O的半径为R，则OE＝OB﹣BE＝R﹣3， ∵AB⊥CD，CD＝8， ∴CECD8＝4， 在Rt△CEO中，由勾股定理可得OC2＝OE2+CE2， ∴R2＝（R﹣3）2+42， 解得R， ∴⊙O的直径为． 圆内接四边形的性质 27．（2023•西城区校级期中）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，若∠D＝70°，则∠B的度数为（　　） A．100° B．110° C．70° D．109° 解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠B+∠D＝180°， ∵∠D＝70°， ∴∠B＝180°﹣70°＝110°， 答案：B． 28．（2023•朝阳区校级期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C＝130°，则∠BOD的度数为（　　） A．50° B．100° C．130° D．150° 解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠A+∠C＝180°，而∠C＝130°， ∴∠A＝180°﹣∠C＝50°， ∴∠BOD＝2∠A＝100°． 答案：B． 29．（2023•西城区校级期中）如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，如果∠DCE＝75°，那么∠BAD的度数是（　　） A．65° B．75° C．85° D．105° 解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠BAD＝∠DCE＝75°， 答案：B． 30．（2023•西城区校级期中）如图，点A，B，C，D都在⊙O上，C是的中点，AB＝CD．若∠ODC＝50°，则∠ABC的度数为　100　°． 解：∵C是的中点，AB＝CD． ∴， ∵∠ODC＝50°， ∴∠A＝∠ACB∠COD（180°﹣2∠ODC）（180°﹣50°×2）＝40°， ∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣40°×2＝100°． 答案：100． 31．（2023•西城区校级期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点M在AD的延长线上，∠AOC＝142°，则∠CDM＝　71°　． 解：∵∠AOC＝142°， ∴∠B∠AOC＝71°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠CDM＝∠B＝71°， 答案：71°． 32．（2023•海淀区校级期中）如图，点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接AC，BD．请写出图中任意一组互补的角为 　∠ADC　和 　∠ABC　（不添加辅助线，不添加数字角标和字母）． 解：∵点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等， ∴点A、B、C、D在⊙O上，如图， ∴∠ADC+∠ABC＝180°， 答案：∠ADC，∠ABC；（答案不唯一）． 33．（2023•昌平区校级期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝130°，求∠OAC的度数． 解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC+∠ABC＝180°， ∵∠ABC＝130°， ∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝50°， ∴∠AOC＝2∠ADC＝100°． ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∴∠OAC（180°﹣∠AOC）＝40°． 34．（2023•西城区校级期中）已知四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°． （1）如图1，连接BD，若⊙O的半径为6，AD＝AB，求AB的长； （2）如图2，连接AC，若AD＝5，AB＝3，对角线AC平分∠DAB，求AC的长． 解：（1）∵∠DAB＝90° ∴BD是直径， ∴BD＝12， ∴2AB2＝144， ∴AB； （2）如图2，连接BD， ∵∠DAB＝90°，AD＝5，AB＝3， ∴BD， ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠CAB， ∴， ∴DC＝CB， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∵∠DAB＝90°， ∴∠DCB＝90°， ∴BC， 作BH⊥AC， ∵∠CAB＝45°， ∴AH＝BH，CH， ∴AC． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$