第15章 轴对称图形与等腰三角形知识归纳与题型突破（单元复习 11类题型清单）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记•巧练（沪科版）

第十五章 轴对称图形与等腰三角形 知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、轴对称图形 轴对称和轴对称图形之间有区别也有联系， 1、 区别是:轴对称是两个图形的位置关系，轴对称图形是某一个图形具有轴对称这一特征. 2、 联系是:把成轴对称的两个图形看成一个图形时是轴对称图形;将轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条对称轴成轴对称. 二、线段的垂直平分线 线段的垂直平分线的性质和判定是互逆的，角平分线的性质和判定也是互逆的，经常配合三角形全等进行运用. 三、对称变换 1、关于坐标轴对称的点的坐标的特征:关于x轴对称，横坐标相同，纵坐标互为相反数;关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标相同. 2、等腰三角形是一个轴对称图形，等腰三角形的性质:(1)等边对等角;(2)三线合一.等腰三角形的判定与性质是互逆的， 判定有:(1)等角对等边;(2)三线中只要有两线合一就能判定. 3、 等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的所有的性质， 独特的性质:(1)三个角都相等，且都等于60°;(2)任意一边上的高、中线、对应的角平分线都合一 03 题型归纳 题型一　轴对称图形 例1. （23-24七年级下·全国·课后作业）下列各组图形中，右边的图形与左边的图形成轴对称的有（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的定义，熟练掌握轴对称的定义是关键，根据轴对称的定义：“如果两个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，则这两个图形成轴对称”，进行逐一判断即可． 【详解】解：②③是轴对称，①④不是轴对称， 故选：． 巩固训练 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）下列语句：成轴对称的两个图形一定全等两个全等图形一定成轴对称两个图形关于某条直线成轴对称，对称点一定在该直线的两旁成轴对称的是一个图形如果与成轴对称，那么它们的周长一定相等其中，正确的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了轴对称图形的性质，熟练掌握其性质是解题关键．分别根据轴对称图形的性质判断得出即可． 【详解】解：①成轴对称的两个图形一定全等，此选项正确； ②两个全等图形不一定成轴对称，此选项错误；   ③两个图形关于某条直线成轴对称，对称点不一定在该直线的两旁，也可能在对称轴上，此选项错误； ④成轴对称的是两个图形，故此选项错误； 如果与成轴对称，那么它们的周长一定相等，此选项正确． 故选：B． 2．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，与关于直线l对称，且，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质，根据成轴对称的个图形对应角相等的性质，即可进行解答． 【详解】解：∵与关于直线l对称，， ∴， 故选：A． 3．（21-22八年级上·全国·单元测试）如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射线，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的（    ） A．号袋 B．号袋 C．号袋 D．号袋 【答案】C 【分析】根据题意画出图示可直接得到答案． 【详解】解：如图所示：球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的C号袋中， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了生活中的轴对称现象，解题的关键是掌握每次的入射角总是等于反射角． 题型二　平面直角坐标系中的轴对称图形 例2．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了关于轴的对称点坐标的特征．根据“横坐标不变，纵坐标互为相反数”即可得到答案． 【详解】解：点关于轴的对称点坐标是， 故选：D． 巩固训练 1．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）如果点与关于y轴对称，则m，n的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了点关于坐标轴的对称问题；关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数， 根据已知条件，P点和点关于y轴对称，可知，，即可得到m和． 【详解】解：点P和点关于y轴对称， 根据题意，有，； 故选：C 2．（24-25八年级上·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值是（　　） A． B．4 C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形，轴对称的性质，掌握关于轴对称点的坐标性质是解题关键．根据关于轴对称点的坐标性质“横坐标相等，纵坐标互为相反数”，求解即可． 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， ，， ， 故选：A． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知点和关于轴对称，则值为（     ） A．0 B． C．1 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了关于轴对称的点的坐标，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题的关键．根据点和关于轴对称，可得，，求出和的值，进一步计算即可． 【详解】解：点和关于轴对称， ，， 解得，， ， 故选：B 题型三　证明线段的垂直平分线 例3. （23-24八年级下·贵州毕节·阶段练习）如图所示，相交于点． (1)求证：； (2)说明点O在的垂直平分线上． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定是解题的关键． （1）在和中，利用定理判定即可． （2）根据，证出，即可证明； 【详解】（1）证明：∵， ∴和都是直角三角形， 在和中， ， ； （2）证明：∵， ， ∴， ∴点O在的垂直平分线上． 巩固训练 1．（22-23七年级下·四川达州·期末）如图，已知：，，，相交于点M，有． (1)试说明：； (2)若平分，试说明：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、垂直平分线的判定．熟知平行线的性质、垂直平分线的判定是解答此题的关键． （1）先根据得出，再由可知，故可得出结论； （2）先由平分得出，再根据可知，得，再由，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴． 又∵，则 ∴， ∴； （2）∵平分， ∴． 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴垂直平分． 2．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）如图，已知中，，点，分别为，上的点，．    (1)与全等吗？为什么？ (2)连接，求证：垂直平分． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据，可得，利用，进而证明； （2）由则在的中垂线上，再证明可得，故在的中垂线上，则垂直平分． 本题考查三角形全等的判定和性质定理、中垂线的判定定理，理解题意是解决问题的关键． 【详解】（1）解： 与全等； 理由：，， 即， 在与中， ， ； （2）解：如图：连接，    由（1）， 在的中垂线上， ， ， 在与中， ， ， ， 在的中垂线上， 垂直平分． 3．（22-23八年级上·广东珠海·期中）如图，中，，平分，于E． (1)若，求的度数； (2)求证：直线是线段的垂直平分线． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握相关的知识 （1）根据角平分线的定义求的度数，利用垂线和三角形内角和定理求解即可； （2）利用角平分线和垂线的性质准备条件，根据证明，利用全等三角形的性质，结合线段垂直平分线的判定即可证明． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴，平分线段， 即直线是线段的垂直平分线． 题型四　利用线段的垂直平分线的性质求线段的长 例4. （24-25八年级上·山东潍坊·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点D，的垂直平分线交于点N，交于点E，与相交于点0，分别连接，若周长是6，周长是16，求OA的长． 【答案】5 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、三角形的周长等知识点，掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等成为解题的关键． 根据线段的垂直平分线的性质可得、，、，则；再根据三角形的周长公式及等量代换可得，进而得到，再结合即可解答． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点M，交于点D， ∴，， ∵的垂直平分线交于点N，交于点E， ∴，， ∴， ∵的周长为6， ∴， ∴，即； ∵的周长为16，， ∴， ∴． 巩固训练 1．（23-24八年级上·山东滨州·期中）如图，中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，则的长为多少？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质： （1）根据线段垂直平分线的性质可得，，等量代换可得； （2）先根据已知条件得出，再通过等量代换得出，进而得出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 2．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线m交于点D，P是直线m上的一动点． (1)连结，，求证：； (2)连结，若，，，求的周长的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2)周长的最小值是． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，轴对称-最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置． （1）根据线段垂直平分线的性质即可得出结论； （2）根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，值的最小，即可求解． 【详解】（1）证明：∵m是的垂直平分线，P是直线m上的一动点， ∴； （2）解：∵直线m垂直平分， ∴B、C关于直线m对称， 设直线m交于D，如图： ∵， ∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长， 周长的最小值是： ． 3．（22-23八年级上·广西贵港·期末）如图，在中，，分别垂直平分边和边，交边于、两点，与相交于点． (1)若，求的周长． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理的应用，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案； （2）根据三角形内角和定理求出，进而求出，结合图形计算即可． 【详解】（1）解：、分别垂直平分和， ，， 的周长， 故的周长为； （2）， ， ，， ， ， ，， ，， ， 故的度数为． 题型五　利用线段的垂直平分线的性质探究角的关系 例5. （23-24八年级上·北京西城·期中）如图，四边形中，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)求证：； (2)测量与、与，你有何猜想？证明你的猜想． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定和性质进行证明即可； （2）测量得出、，故猜想：、，根据垂直平分线的判定和性质即可得出证明． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， （2）猜想：、，证明如下： ∵， ∴在的垂直平分线上， ∴，平分， ∴，， ∴，． 巩固训练 1．（23-24八年级上·广西南宁·期中）综合与实践 综合实践课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动 (1)【操作发现】对折，使点C落在边上的点处，得到折痕，把纸片展平，如图1．小明根据以上操作发现：四边形满足，．查阅相关资料得知，像这样的有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”．请写出图1中筝形的一条性质______． (2)【探究证明】已知：如图2，在筝形中，，，对角线、交于点O．求证： (3)【迁移应用】如图3，在中，，，点D、E分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，的度数为多少？ 【答案】(1)筝形是轴对称图形，对称轴是直线；（答案不唯一） (2)见详解 (3)或 【分析】本题主要考查轴对称图形的性质及线段垂直平分线的判定，解题的关键是理解“筝形”的性质； （1）根据“筝形”定义即可解决问题； （2）根据筝形是轴对称图形及线段垂直平分线的判定可直接进行求解； （3）根据筝形是轴对称图形可直接进行求解． 【详解】（1）解：答案不唯一，以下任意一条均可， ①筝形是轴对称图形，对称轴是直线； ②筝形的两条对角线互相垂直； ③筝形的对角线平分一组对角； ④筝形的对角线是对角线的垂直平分线； 故答案为筝形是轴对称图形，对称轴是直线； （2）证明：，， 为线段的垂直平分线， ∴． （3）解：∵，， ∴， 当四边形为筝形时，由题意可分①如图，    ∵四边形为筝形， ∴由筝形的性质可知：， ∴； ②如图，    根据题意可知：筝形是轴对称图形，即， ∴． 综上，的度数为或． 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，四边形中，，.我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.    概念理解 (1)根据上面教材的内容，请写出“筝形”的一条性质：____________________； (2)如图1，在中，，垂足为，与关于所在直线对称，与关于所在直线对称，延长，相交于点.请写出图中的“筝形”： ____________________；（写出一个即可） 应用拓展 (3)如图2，在（2）的条件下，连接，分别交，于点，，连接，求证：.    【答案】(1)垂直平分线段 (2)四边形（答案不唯一） (3)证明见解析 【分析】（1）根据线段的垂直平分线的判定可得结论； （2）根据“筝形”的定义判断即可； （3）利用同角的余角相等证明即可； 【详解】（1）, 垂直平分线段 故答案为：垂直平分线段 （2）由翻折变换的性质可知， , ∴四边形是“筝形”， 故答案为： 四边形（答案不唯一） （3）由关于直线对称可知，，，， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题． 3．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，边，的垂直平分线交于点．    (1)求证：点在的垂直平分线上； (2)若，求的度数； (3)求证：为定值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由边，的垂直平分线交于点P，根据线段垂直平分线的性质，可得，即可证得点P在垂直平分线上； （2）由，可得，，可求出，进而可求出的度数； （3）由等腰三角形的性质得，由三线合一得，继而可得． 【详解】（1）边，的垂直平分线交于点， ，， ， 点在的垂直平分线上； （2）， 为三边垂直平分线的交点， ，， ， ； （3）， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， 即为定值． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 题型六　利用等腰三角形的性质求角的度数 例6．（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）如图，在中，，，D为延长线上一点，点E在边上，且，连接，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先证明出，再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，，证明出为等腰直角三角形，得出，再由三角形外角的定义及性质得出，即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 巩固训练 1．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）已知：如图1，在和中，，，． (1)请证明； (2)如图2，连接和，，与分别交于点M和N，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题综合考查了三角形的相关定理与证明，熟练掌握三角形的内角和定理，外角定理，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由，则 ，即，即可根据证明； （2）证明，则，故 ，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ， 在和中， ∵，， 又∵， ∴ ∴， ∵， ， ． 2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，． (1)如图1，如果，是的中线，，则______；如图2，如果，是的中线，，则______； (2)通过以上两题，你发现与数量之间有什么关系？请用式子表示______； (3)如图3，如果不是的中线，，是否仍有上述关系？请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)仍有，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质是解题的关键． （1）由，可得，图1中是的中线，则，，即，由，可得，则；同理，可求图2中的度数； （2）同理（1）可得，，，，则； （3）同理（1）可得，，，设，，，，，如图，则，，，可求，进而可得，即． 【详解】（1）解：∵， ∴， 图1中是的中线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 同理，图2中， 故答案为：，； （2）解：同理（1）可得，，，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：仍有，理由如下； 同理（1）可得，，， 设，，，，，如图， ∴，，， ∴，整理得，，即， ∴， ∴． 3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）填空及解答： (1)【教材例题展示】 如图1，在中，，点在上，且，求各角度数． 解：，，，（等边对等角）， 设，则 ，从而，于是在中，有，解得，所以，在中，，．    (2)【教材习题展示】 ①如图2，在中，，若，则 ； ②如图3，在中，，，延长至，使，延长至，使，连接，．则 ． (3)【教材习题变式】 ①如图4，在中，，，，则 ． ②如图5，在中，，，点，分别为边，上的点，，若，则 ．    (4)【边角规律再探】     如图，中，，在外，，于，交于，求证：是等边三角形． 【答案】(1)；； (2)①；② (3)①；② (4)见解析 【分析】（1）结合条件以及部分解答内容，根据等边对等角，得，设，则，从而．结合三角形内角和即可列式作答； （2）①根据等边对等角以及三角形内角和,得 ，结合三角形外角性质，求出即可； 同理，当，，即； ②根据三角形内角和定理求出，根据等边对等角以及三角形外角性质，求出，，根据求出结果即可； （3）①设，则，根据，得出，结合三角形外角性质，，根据三角形内角和，列式，根据，得出，即，即，故； ②根据，得出，结合三角形外角性质，得，根据三角形内角和，得出，根据，得出，根据求出结果即可； （4）根据等腰三角形的性质得出，，根据三角形内角和得出，，，证明，得出，根据，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴，（等边对等角）． 设， ， ， 在中，． 解得． ∴在中，，； （2）解：①∵在中，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； ②∵在中，，， ∴， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； （3）解：①设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴； ②∵，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）证明：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质． 题型七　利用等腰三角形的性质证明角的关系 例7. （24-25八年级上·陕西西安·开学考试）小明同学在学习完全等三角形后，发现可以通过添加辅助线构造全等三角形来解决问题． (1)如图（1），是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为________． (2)如图（2），在中，点在上，且，过作，且．求证：平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握倍长中线法构造全等三角形，是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定方法，进行作答即可； （2）延长至，使得，连接，先证明，得到，，平行线的性质，得到，等量代换结合等边对等角，得到，再利用等量代换，得到，即可． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图，延长至，使得，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵． ∴， ∴， ∴， ∴平分 巩固训练 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，平分，于点，交于点，交于点． 求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质等，由全等得到，再由线段垂直平分线得到，最后根据平行线的性质即可证明． 【详解】 平分 在和中 是的垂直平分线 2．（20-21八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，点D，E，F分别在边上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：； (3)当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定与性质，熟知等腰三角形的两个底角相等是解答此题的关键． （1）首先根据条件证明，根据全等三角形的性质可得，进而可得到是等腰三角形； （2）根据，可知，即可得出结论； （3）由（2）知，再根据等腰三角形的性质即可得出的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）证明：∵， ∴， ∴； （3）解：由（2）知， ∵， ∴． 3．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，点在上，连接，，的垂直平分线与交于点，连接交于点．以为腰，在的右侧作等腰直角三角形，，连接． (1)试探究：与的数量关系，并说明理由； (2)若，用含、的代数式表示的面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，推出，根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理得到，再根据，求出，由三角形外角的性质即可得到结论； （2）过点作于点M，在上，取点，使得，连接，由（1）可得，可证是等腰三角形，推出，，由（1）可得，再根据是等腰直角三角形，得到，易证，推出，，由的面积为即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下， 的垂直平分线与交于点， ， ， ， ， ，， ， ； （2）解：过点作于点M，在上，取点，使得，连接， 由（1）可得， 是等腰三角形， ， ，， ， 是等腰三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ，， 由（1）可得， ， ， ， ，， 的面积为， 的面积为． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形判定与性质，正确作出辅助线，构造三角形全等是解题的关键． 题型八　含30度角的直角三角形的性质 例8. （23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，D为延长线上一点，且于点E，交于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，若，，，求的长． 【答案】(1)答案见解析 (2)4 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质与判定及直角三角形的性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，然后根据直角三角形的性质，即可逐步证明，再根据等腰三角形的判定，即可证明结论； （2）先证明，得到，再根据直角三角形的性质，即得答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ，， ， ， ， ， 即是等腰三角形； （2）解：，， ， ， ， ， ， ． 巩固训练 1．（22-23八年级上·广东汕头·期末）如图，在中，，，点D是的中点，点E为边上一点，连接，，以为边在的左侧作等边三角形，连接．    (1)求证：为等边三角形； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由，，可得出，，结合已知可得出，即可得出为等边三角形； （2）根据，可得出，再结合即可得出，根据全等三角形的性质即可得出． 【详解】（1）证明：∵在中，，， ∴，， 又∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， 又∵， ∴为等边三角形； （2）证明：由（1）可知为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴ ， 即， 在和中， ， ∴ ， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形、直角三角形斜边上的中线．解题的关键是证明三角形全等． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在 中，，，， 相交于 点， 于 ，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角性质，直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． （1）根据等边三角形的判定与性质，结合三角形全等的判定定理证明即可． （2）根据全等三角形的性质，三角形外角性质，直角三角形的性质，证明即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（22-23八年级上·江苏南通·阶段练习）如图， 为等边三角形，，、相交于点，于． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，解题关键是灵活运用相关知识解决问题． （1）根据等边三角形的性质，易证，利用全等三角形的对应角相等和三角形外角的性质求得的度数； （2）利用（1）的结果求得，所以由“30度角所对的直角边是斜边的一半”得到，根据线段的和差及全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，， 在与中， ， ， ，， ， ． （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型九　角平分线的性质 例9. （24-25八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）已知点是平分线上一点，的两边、分别与射线、相交于，两点，且．过点作，垂足为． (1)如图1，当点在线段上时，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，探究线段、与之间的等量关系 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查角平分线的定义和性质定理，三角形全等的判定和性质，补角的性质，正确作出辅助线是解题关键． （1）过点C作于点F，由角平分线的性质定理可得出，再根据补角的性质可得出，即易证，得出； （2）过点C作于点F，分别证明， ，得出，．再结合，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图1，过点C作于点F， ∴． ∵点是平分线上一点， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图2，过点C作于点F， ∴． ∵点是平分线上一点， ∴，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． 巩固训练 1．（22-23八年级上·山西朔州·期末）如图，中，，，的平分线与边的垂直平分线相交于点，过点分别作，，垂足分别为、，求的长度．    【答案】 【分析】连接，，由角平分线定理得到，，，由是的垂直平分线得到，由此证明，推出，再根据，即可求出答案． 【详解】解：如图，连接，，    ∵是的平分线，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定及性质，等角的余角相等，角平分线性质定理的运用，此题辅助线的连接是解题的关键． 2．（22-23八年级上·江苏·期中）如图，在的两边上分别取点M，N，连接．若平分，平分． (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是16和24，求线段与的长度之和． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线．添加垂线，熟练掌握角平分线的判定与性质，三角形面积面积公式求三角形面积，是解题的关键． （1）过点P作，垂足为C，过点P作，垂足为D，过点P作，垂足为E，先利用角平分线的性质定理可得，再利用角平分线判定定理，即可解答； （2）根据，，可求出，从而可得，然后再利用，进行计算即可解答． 【详解】（1）如图，过点P作，垂足为C，过点P作，垂足为D，过点P作，垂足为E． ∵平分，，， ∴， ∵平分，，， ∴． ∴， ∴平分； （2）∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， 即． ∴， 故线段与的长度之和为20． 3．（23-24七年级下·广东佛山·期末）综合探究：如题图1是一种用刻度尺画角平分线的方法，在、上分别取点、、、，使得，，连接、，交点为，则射线为的角平分线． 【验证】（1）试说明平分，且； 【应用】（2）如题图2，若、、、分别为、上的点，且，，试用（1）中的原理说明平分； 【猜想】（3）如题图3，是角平分线上一点，、分别为、上的点，且，请补全图形，并直接写出与的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）补全图形见解析，或 【分析】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型． （1）先证明，得，再证，得，然后证，得，即可得出结论； （2）先证明，可得，由（1）可得平分； （3）过点分别作于，于，分两种情况进行求解即可． 【详解】解：（1），，， ，， ， ，， ， ， ，，， ， ， 即， 射线平分； （2）， ， ， ， ， 由（1）可得平分； （3）补全图形如下，过点分别作于，于， 是的平分线， ，， 当时， 在和中， ， ， ； 当时， 同理得， ； ， ， 综上所述，与的数量关系为或； 题型十　角平分线的判定 例10. （24-25八年级上·天津宁河·阶段练习）已知，如图，点B、C分别在射线、上，，的面积等于的面积，求证：平分． 【答案】证明见详解 【分析】本题主要考查角平分线的判定，作于E，于F，则，结合垂直即可判定平分． 【详解】证明：作于E，于F，如图， ∵的面积等于的面积，， ∴， ∵，，， ∴平分． 巩固训练 1．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、角平分线的性质定理等知识，熟练掌握角平分线的判定与性质定理是解题关键． （1）首先解得的值，结合，即可获得答案； （2）过点作于，于，利用角平分线的性质定理证明，然后证明结论即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）证明：过点作于，于，如下图， ∵，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分． 2．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）如图，点、、在一条直线上，，均为等边三角形，连接和，分别交、于点，，交于点，连接，证明： (1)； (2)； (3)平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的判定； （1）根据等边三角形的性质得出，，即可证明； （2）根据（1）的结论可得，根据等边三角形的性质结合图形得出，进而证明得出，根据，即可得证； （3）过点作，，垂足分别为点、，证明，根据全等三角形的性质得出，进而根据角平分线的判定即可得证． 【详解】（1）证明：，为等边三角形， ，，， ，， 在和中， ， ， （2）， ，即 ，均为等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ∴， ，即， （3）过点作，，垂足分别为点、， ，， ， ， ， 为等边三角形， ， 在和中， ， ， 平分． 3．（23-24八年级上·重庆长寿·期末）如图，在中，，于点E，，交于点F，的延长线交于点G，求证： (1)； (2)平分． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理． （1）由平行线的公理可得出，先证明，再证明，即可得结论； （2）证明，得，然后根据角平分线的判定即可解决问题． 【详解】（1）证明：， ， ∵， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：在和中， ， ， ∴． 平分． 题型十一　尺规作图 例11. （24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，． 画出下列图形： ①边上的高； ②的角平分线．（此小题要求尺规作图） 【答案】①作图见详解；②作图见详解 【分析】本题主要考查画三角形的高，尺规作角平分线， （1）根据题意，可得是钝角三角形，过点作延长线于点，即可求解； （2）根据尺规作角平分线的方法“以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点，连接，分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接，则即为所求交的角平分线”，由此即可求解． 【详解】解：在中，， ∴是钝角三角形， ①过点作延长线于点，则即为边上的高，如图所示， ②根据尺规作角平分线的方法作图如下， ∵， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 巩固训练 1．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，已知，用直尺和圆规作的角平分线．    【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图—作角平分线，以点为圆心，任意长度为半径画弧交于，于，分别以、为圆心，大于为半径画弧交于点，作射线交于，即为所作． 【详解】解：如图：的角平分线即为所作，    2．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）借助尺规，在图中画出的高和角平分线．（保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查作图复杂作图，解题的关键是掌握过直线外一点作已知直线的垂线及角平分线的尺规作图．根据过直线外一点作已知直线的垂线及角平分线的尺规作图可得． 【详解】解：如图，即为的高．即为的角平分线． 3．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，求作一点，使，并且点到两边距离相等．（保留作图痕迹） 【答案】见解析． 【分析】本题主要考查了尺规作图——作角平分线，使，即作的垂直平分线，并且点到两边距离相等，即作角的平分线，两线的交点就是点的位置，正确理解垂直平分线线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等和角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 【详解】连接， 作的垂直平分线， 作得平分线，两线的交点就是点的位置， ∴点即为所求． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十五章 轴对称图形与等腰三角形 知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、轴对称图形 轴对称和轴对称图形之间有区别也有联系， 1、 区别是:轴对称是两个图形的位置关系，轴对称图形是某一个图形具有轴对称这一特征. 2、 联系是:把成轴对称的两个图形看成一个图形时是轴对称图形;将轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条对称轴成轴对称. 二、线段的垂直平分线 线段的垂直平分线的性质和判定是互逆的，角平分线的性质和判定也是互逆的，经常配合三角形全等进行运用. 三、对称变换 1、关于坐标轴对称的点的坐标的特征:关于x轴对称，横坐标相同，纵坐标互为相反数;关于y轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标相同. 2、等腰三角形是一个轴对称图形，等腰三角形的性质:(1)等边对等角;(2)三线合一.等腰三角形的判定与性质是互逆的， 判定有:(1)等角对等边;(2)三线中只要有两线合一就能判定. 3、 等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的所有的性质， 独特的性质:(1)三个角都相等，且都等于60°;(2)任意一边上的高、中线、对应的角平分线都合一 03 题型归纳 题型一　轴对称图形 例1. （23-24七年级下·全国·课后作业）下列各组图形中，右边的图形与左边的图形成轴对称的有（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 巩固训练 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）下列语句：成轴对称的两个图形一定全等两个全等图形一定成轴对称两个图形关于某条直线成轴对称，对称点一定在该直线的两旁成轴对称的是一个图形如果与成轴对称，那么它们的周长一定相等其中，正确的个数为（    ） A． B． C． D． 2．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，与关于直线l对称，且，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（21-22八年级上·全国·单元测试）如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射线，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的（    ） A．号袋 B．号袋 C．号袋 D．号袋 题型二　平面直角坐标系中的轴对称图形 例2．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）如果点与关于y轴对称，则m，n的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25八年级上·广东广州·期中）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值是（　　） A． B．4 C．5 D． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知点和关于轴对称，则值为（     ） A．0 B． C．1 D．无法确定 题型三　证明线段的垂直平分线 例3. （23-24八年级下·贵州毕节·阶段练习）如图所示，相交于点． (1)求证：； (2)说明点O在的垂直平分线上． 巩固训练 1．（22-23七年级下·四川达州·期末）如图，已知：，，，相交于点M，有． (1)试说明：； (2)若平分，试说明：垂直平分． 2．（23-24八年级上·江苏泰州·期中）如图，已知中，，点，分别为，上的点，．    (1)与全等吗？为什么？ (2)连接，求证：垂直平分． 3．（22-23八年级上·广东珠海·期中）如图，中，，平分，于E． (1)若，求的度数； (2)求证：直线是线段的垂直平分线． 题型四　利用线段的垂直平分线的性质求线段的长 例4. （24-25八年级上·山东潍坊·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点D，的垂直平分线交于点N，交于点E，与相交于点0，分别连接，若周长是6，周长是16，求OA的长． 巩固训练 1．（23-24八年级上·山东滨州·期中）如图，中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，则的长为多少？ 2．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线m交于点D，P是直线m上的一动点． (1)连结，，求证：； (2)连结，若，，，求的周长的最小值． 3．（22-23八年级上·广西贵港·期末）如图，在中，，分别垂直平分边和边，交边于、两点，与相交于点． (1)若，求的周长． (2)若，求的度数． 题型五　利用线段的垂直平分线的性质探究角的关系 例5. （23-24八年级上·北京西城·期中）如图，四边形中，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． (1)求证：； (2)测量与、与，你有何猜想？证明你的猜想． 巩固训练 1．（23-24八年级上·广西南宁·期中）综合与实践 综合实践课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动 (1)【操作发现】对折，使点C落在边上的点处，得到折痕，把纸片展平，如图1．小明根据以上操作发现：四边形满足，．查阅相关资料得知，像这样的有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”．请写出图1中筝形的一条性质______． (2)【探究证明】已知：如图2，在筝形中，，，对角线、交于点O．求证： (3)【迁移应用】如图3，在中，，，点D、E分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，的度数为多少？ 2．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，四边形中，，.我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.    概念理解 (1)根据上面教材的内容，请写出“筝形”的一条性质：____________________； (2)如图1，在中，，垂足为，与关于所在直线对称，与关于所在直线对称，延长，相交于点.请写出图中的“筝形”： ____________________；（写出一个即可） 应用拓展 (3)如图2，在（2）的条件下，连接，分别交，于点，，连接，求证：.    3．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，边，的垂直平分线交于点．    (1)求证：点在的垂直平分线上； (2)若，求的度数； (3)求证：为定值． 题型六　利用等腰三角形的性质求角的度数 例6．（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）如图，在中，，，D为延长线上一点，点E在边上，且，连接，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 巩固训练 1．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）已知：如图1，在和中，，，． (1)请证明； (2)如图2，连接和，，与分别交于点M和N，，求的度数． 2．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，． (1)如图1，如果，是的中线，，则______；如图2，如果，是的中线，，则______； (2)通过以上两题，你发现与数量之间有什么关系？请用式子表示______； (3)如图3，如果不是的中线，，是否仍有上述关系？请说明理由． 3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）填空及解答： (1)【教材例题展示】 如图1，在中，，点在上，且，求各角度数． 解：，，，（等边对等角）， 设，则 ，从而，于是在中，有，解得，所以，在中，，．    (2)【教材习题展示】 ①如图2，在中，，若，则 ； ②如图3，在中，，，延长至，使，延长至，使，连接，．则 ． (3)【教材习题变式】 ①如图4，在中，，，，则 ． ②如图5，在中，，，点，分别为边，上的点，，若，则 ．    (4)【边角规律再探】     如图，中，，在外，，于，交于，求证：是等边三角形． 题型七　利用等腰三角形的性质证明角的关系 例7. （24-25八年级上·陕西西安·开学考试）小明同学在学习完全等三角形后，发现可以通过添加辅助线构造全等三角形来解决问题． (1)如图（1），是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为________． (2)如图（2），在中，点在上，且，过作，且．求证：平分． 巩固训练 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，在中，平分，于点，交于点，交于点． 求证：． 2．（20-21八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，点D，E，F分别在边上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：； (3)当时，求的度数． 3．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，点在上，连接，，的垂直平分线与交于点，连接交于点．以为腰，在的右侧作等腰直角三角形，，连接． (1)试探究：与的数量关系，并说明理由； (2)若，用含、的代数式表示的面积． 题型八　含30度角的直角三角形的性质 例8. （23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，D为延长线上一点，且于点E，交于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，若，，，求的长． 巩固训练 1．（22-23八年级上·广东汕头·期末）如图，在中，，，点D是的中点，点E为边上一点，连接，，以为边在的左侧作等边三角形，连接．    (1)求证：为等边三角形； (2)求证：． 2．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在 中，，，， 相交于 点， 于 ，求证： (1)； (2)． 3．（22-23八年级上·江苏南通·阶段练习）如图， 为等边三角形，，、相交于点，于． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 题型九　角平分线的性质 例9. （24-25八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）已知点是平分线上一点，的两边、分别与射线、相交于，两点，且．过点作，垂足为． (1)如图1，当点在线段上时，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，探究线段、与之间的等量关系 巩固训练 1．（22-23八年级上·山西朔州·期末）如图，中，，，的平分线与边的垂直平分线相交于点，过点分别作，，垂足分别为、，求的长度．    2．（22-23八年级上·江苏·期中）如图，在的两边上分别取点M，N，连接．若平分，平分． (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是16和24，求线段与的长度之和． 3．（23-24七年级下·广东佛山·期末）综合探究：如题图1是一种用刻度尺画角平分线的方法，在、上分别取点、、、，使得，，连接、，交点为，则射线为的角平分线． 【验证】（1）试说明平分，且； 【应用】（2）如题图2，若、、、分别为、上的点，且，，试用（1）中的原理说明平分； 【猜想】（3）如题图3，是角平分线上一点，、分别为、上的点，且，请补全图形，并直接写出与的数量关系． 题型十　角平分线的判定 例10. （24-25八年级上·天津宁河·阶段练习）已知，如图，点B、C分别在射线、上，，的面积等于的面积，求证：平分． 巩固训练 1．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，在中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分． 2．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）如图，点、、在一条直线上，，均为等边三角形，连接和，分别交、于点，，交于点，连接，证明： (1)； (2)； (3)平分． 3．（23-24八年级上·重庆长寿·期末）如图，在中，，于点E，，交于点F，的延长线交于点G，求证： (1)； (2)平分． 题型十一　尺规作图 例11. （24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，． 画出下列图形： ①边上的高； ②的角平分线．（此小题要求尺规作图） 巩固训练 1．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，已知，用直尺和圆规作的角平分线．    2．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）借助尺规，在图中画出的高和角平分线．（保留作图痕迹） 3．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，求作一点，使，并且点到两边距离相等．（保留作图痕迹） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$