第15章 轴对称图形与等腰三角形易错训练与压轴训练（单元复习 3类易错+3类压轴）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记•巧练（沪科版）

第十五章 轴对称图形与等腰三角形易错训练与压轴训练 01 思维导图 目录 易错题型一　对线段的垂直平分线的判定理解不清 1 易错题型二　求等腰三角形角时漏解 4 易错题型三　作角平分线时，考虑不全 7 压轴题型一　平面直角坐标系中的轴对称变化 13 压轴题型二　等腰三角形与等边三角形的性质与判定 15 压轴题型三　等腰三角形中的思想和方法 17 02 易错题型 易错题型一　对线段的垂直平分线的判定理解不清 例1． （22-23八年级上·广西梧州·期末）如图，，则有（　　）    A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．平分 巩固训练 1．（22-23八年级上·全国·单元测试）下列说法中，正确的是（   ） A．过线段中点的直线，叫做这条线段的垂直平分线 B．若直线是线段的垂直平分线，则也是的垂直平分线 C．线段的中垂线平分线段 D．线段的中垂线有无数条 2．（23-24八年级下·四川眉山·期中）到三角形各顶点距离相等的点是（　　） A．三条边垂直平分线交点 B．三个内角平分线交点 C．三条中线交点 D．三条高交点 3．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．则下列说法正确的是（    ）    A． B．直线是的垂直平分线 C．若，则直线是的垂直平分线 D．若，则直线是的垂直平分线 易错题型二　求等腰三角形角时漏解 例2．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）若等腰中，，有一个内角等于，那么的度数为（    ） A． B．或 C．或 D．或 巩固训练 1．（24-25八年级上·山东潍坊·阶段练习）等腰三角形的一个外角是，则其底角是（    ） A． B． C． D．或 2．（24-25八年级上·山东威海·阶段练习）等腰三角形的一个内角是，它的另外两个角的度数是（   ） A．和或和 B．和或和 C．和或 和 D．和或 和 3．（江苏省扬州市梅岭中学教育集团2024-2025学年八年级上学期10月月考数学试题）已知等腰三角形的一个内角等于，则该三角形的一个底角是（   ） A． B．或 C． D．或 易错题型三　作角平分线时，考虑不全 例3. （23-24七年级下·全国·单元测试）数学课上，小明用尺规在黑板上作的平分线，并进行简单的说理，下面是小明的解答过程，则符号“、☺、、”代表的内容错误的是（ ） 已知：． 求作：射线，使． 作法：以点为圆心，在和上分别截取，，使； 分别以点，为圆心、以☺为半径作弧，两弧在内交于点； 作射线．就是的平分线． 理由：连接，，则，易知，理由； 所以，理由． A．表示“” B．☺表示“大于的长” C．表示“” D．表示“全等三角形的对应角相等” 巩固训练 1.（2024·贵州贵阳·模拟预测）某旅游景区内有一块三角形绿地，现要在绿地内建一个休息点，使它到，，三边的距离相等，下列作法正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·浙江宁波·三模）如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，可知（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·河北保定·期中）对于题目“作的平分线”给出如下两种方案． 方案1： 以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于C，D两点，分别以点C，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，即为所求． 方案2：   以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于C，D两点，过C，D两点按如图所示的方式分别作的垂线和的垂线，与交于点P，作射线，即为所求． 关于这两个方案，下列说法正确的是（   ） A．只有方案1可行 B．只有方案2可行 C．两个方案都可行 D．两个方案都不可行 03 压轴题型 压轴题型一　平面直角坐标系中的轴对称变化 例1. （24-25八年级上·宁夏银川·阶段练习）如图，在直角坐标平面内，已知点，，，点，平行于轴． (1)求出点的坐标； (2)作出关于轴对称的； (3)作出关于轴对称的； (4)求的面积． 巩固训练 1.（23-24八年级上·内蒙古·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知三角形的三个顶点坐标分别为，，满足 (1)在平面直角坐标系中作出； (2)以轴为对称轴，作出的轴对称图形； (3)求的面积． 2．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图． (1)在网格中画出关于轴对称的． (2)写出关于轴对称的的各顶点坐标． (3)在轴上确定一点，使最短．（只需作图保留作图痕迹） 3．（21-22八年级上·安徽淮南·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)画出关于x轴对称的； (2)直接写出点，，的坐标； (3)在中，，求边上的高与所夹角的度数． 压轴题型二　等腰三角形与等边三角形的性质与判定 例2. （22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知，，，点在线段上，点在线段上，设，． (1)如果，，那么是等边三角形？请说明理由； (2)若，试求与之间的关系． 巩固训练 1.（23-24七年级下·山东济宁·期末）如图，在中，，是上的一点，，过点作的垂线交于点，连接，相交于点． (1)求证：． (2)若，试判断的形状，并说明理由． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，的平分线交于点，过作，垂足为，延长交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)已知，，求的长． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）四边形中，点为线段的中点． (1)，平分． ①如图1，若，，则_______； ②如图2，若，求证：平分； (2)和不平行时，，求证：． 压轴题型三　等腰三角形中的思想和方法 例3. （24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）在中，，点是直线上一点（不与、点重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，当点在线段上时，如果，则______； (2)如图2，当点在线段上时，如果，请你求出的度数．（写出求解过程）； (3)探索发现，设，． ①如图2，当点在线段上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论：________． ②当点在线段的延长线上时，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论：__________． 巩固训练 1.（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）综合与实践 数学社团的同学以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺”为主题开展数学活动，已知点E，F不可能同时落在直线和之间． 探究：（1）如图1，把三角尺的角的顶点E，G分别放在，上，若，直接写出的度数； 类比：（2）如图2，把三角尺的锐角顶点G放在上，且保持不动，若点E恰好落在和之间，且与EF所夹锐角为，求的度数； 迁移：（3）把三角尺的锐角顶点G放在上，且保持不动，旋转三角尺，若存在，直接写出射线与所夹锐角的度数． 2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）（1）如图①，点C在上，，，，．则______； （2）如图②，在中，，，过点C作，且，试求的面积； （3）如图③，在四边形中，，的面积为12，且的长为6，求的面积． 3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）已知，在中，，，点D为直线上一动点，连接，以为一边在右侧作等边． (1)_______度； (2)如图，当点D，E恰好同时在边上时，请说明． (3)在点D移动过程中，当为等腰三角形时，直接写出的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十五章 轴对称图形与等腰三角形易错训练与压轴训练 01 思维导图 目录 易错题型一　对线段的垂直平分线的判定理解不清 1 易错题型二　求等腰三角形角时漏解 4 易错题型三　作角平分线时，考虑不全 7 压轴题型一　平面直角坐标系中的轴对称变化 13 压轴题型二　等腰三角形与等边三角形的性质与判定 15 压轴题型三　等腰三角形中的思想和方法 17 02 易错题型 易错题型一　对线段的垂直平分线的判定理解不清 例1． （22-23八年级上·广西梧州·期末）如图，，则有（　　）    A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．平分 【答案】A 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，根据证明，根据全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：∵，    ∴， 在与中， ， ， ， ∴垂直平分，故A正确， 无法得出，故不能垂直平分，故B和C错误， 也无法得出，故不能平分，故D错误， 故选：A． 巩固训练 1．（22-23八年级上·全国·单元测试）下列说法中，正确的是（   ） A．过线段中点的直线，叫做这条线段的垂直平分线 B．若直线是线段的垂直平分线，则也是的垂直平分线 C．线段的中垂线平分线段 D．线段的中垂线有无数条 【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线具备的两个条件：①垂直这条线段；②平分这条线段逐项进行分析即可得到结论．本题主要考查了线段垂直平分线的定义，掌握段垂直平分线具备的两个条件：①垂直这条线段；②平分这条线段是解决问题的关键． 【详解】解：A．经过线段中点且与这条线段垂直的直线是这条线段的垂直平分线，故本选项不符合题意； B．直线是线段的垂直平分线，则不一定是的垂直平分线，故本选项不符合题意； C．线段的中垂线平分线段，故本选项符合题意； D．线段的中垂线只有一条，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．（23-24八年级下·四川眉山·期中）到三角形各顶点距离相等的点是（　　） A．三条边垂直平分线交点 B．三个内角平分线交点 C．三条中线交点 D．三条高交点 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等．利用线段垂直平分线的性质可确定三角形中到各顶点距离相等的点满足的条件． 【详解】解：三角形三条边垂直平分线交点到各顶点距离相等． 故选：A． 3．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．则下列说法正确的是（    ）    A． B．直线是的垂直平分线 C．若，则直线是的垂直平分线 D．若，则直线是的垂直平分线 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，则点P在直线的垂直平分线上，若有，则直线是的垂直平分线，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴点P在直线的垂直平分线上， ∴若，则直线是的垂直平分线，故C说法正确，符合题意 根据先有条件无法证明A、B、D中的结论，故A、B、D说法错误，不符合题意； 故选：C． 易错题型二　求等腰三角形角时漏解 例2．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）若等腰中，，有一个内角等于，那么的度数为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键．根据等腰三角形的性质得到，再运用三角形的内角和定理即可求解，注意分类讨论． 【详解】解：∵， ∴， 当顶角为，即，则， 当底角为，即， ∴的度数为或， 故选：D． 巩固训练 1．（24-25八年级上·山东潍坊·阶段练习）等腰三角形的一个外角是，则其底角是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形性质，三角形外角性质和三角形内角和，根据等腰三角形性质、三角形内角和与外角性质，分两种情况进行讨论即可得到答案． 【详解】解：等腰三角形的一个外角是，则有一个内角是， ②当这个角为底角时，此三角形底角为； ②当这个角为顶角时，底角， 所以其底角为或， 故选D． 2．（24-25八年级上·山东威海·阶段练习）等腰三角形的一个内角是，它的另外两个角的度数是（   ） A．和或和 B．和或和 C．和或 和 D．和或 和 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与三角形内角和定理，解题的关键是注意分情况进行讨论，的角可作底角，也可作顶角，故分两种情况分别进行计算即可． 【详解】解：①当的角是顶角时，则两个底角为； ②当的角是底角时，则顶角为． 故它的其余两个角的度数为或，． 故选：B． 3．（江苏省扬州市梅岭中学教育集团2024-2025学年八年级上学期10月月考数学试题）已知等腰三角形的一个内角等于，则该三角形的一个底角是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，分类讨论是正确解答本题的关键． 分已知内角是底角和顶角两种情况讨论即可． 【详解】解：当的角是底角时，三角形的底角就是； 当的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理可得底角是． 故选：D． 易错题型三　作角平分线时，考虑不全 例3. （23-24七年级下·全国·单元测试）数学课上，小明用尺规在黑板上作的平分线，并进行简单的说理，下面是小明的解答过程，则符号“、☺、、”代表的内容错误的是（ ） 已知：． 求作：射线，使． 作法：以点为圆心，在和上分别截取，，使； 分别以点，为圆心、以☺为半径作弧，两弧在内交于点； 作射线．就是的平分线． 理由：连接，，则，易知，理由； 所以，理由． A．表示“” B．☺表示“大于的长” C．表示“” D．表示“全等三角形的对应角相等” 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的作法以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握角平分线的作法及全等三角形的判定与性质． 根据作的角平分线的方法求解即可． 【详解】作法：以点为圆心，在和上分别截取，，使； 分别以点，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点； 作射线．就是的平分线． 理由：连接，，则， 又∵， ∴，理由； 所以，理由全等三角形的对应角相等． ∴错误的是表示“”． 故选：C． 巩固训练 1.（2024·贵州贵阳·模拟预测）某旅游景区内有一块三角形绿地，现要在绿地内建一个休息点，使它到，，三边的距离相等，下列作法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查作图-基本作图，角平分线的性质等知识．根据三角形角平分线的性质判断即可． 【详解】解：∵点O到三边的距离相等， ∴点O是角平分线的交点， 故选：D． 2．（2024·浙江宁波·三模）如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，可知（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形外角性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．掌握基本性质是解题的关键． 先用三角形内角和求出，再用角平分线求出，由线段垂直平分线知，然后求出，最后用外角性质求出． 【详解】解：，， ， 根据尺规作图痕迹知：平分，垂直平分， ，， ， ， ， 故选：C． 3．（23-24八年级下·河北保定·期中）对于题目“作的平分线”给出如下两种方案． 方案1： 以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于C，D两点，分别以点C，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线，即为所求． 方案2：   以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于C，D两点，过C，D两点按如图所示的方式分别作的垂线和的垂线，与交于点P，作射线，即为所求． 关于这两个方案，下列说法正确的是（   ） A．只有方案1可行 B．只有方案2可行 C．两个方案都可行 D．两个方案都不可行 【答案】C 【分析】本题主要考查了尺规作图，三角形全等的判定和性质，解题的关键是掌握尺规作图的方法和步骤，全等三角形对应角相等． 根据方案1作图可知，用证明，即可求证平分；根据方案2作图可知，，即可用证明，即可求证平分． 【详解】解：方案1： 连接， 由作图可知：， ∵， ∴， ∴，即平分； 方案2：由作图可知：， ∵分别为的垂线， ∴， ∵， ∴， ∴，即平分； 综上：方案1、方案2均正确， 故选：C． 03 压轴题型 压轴题型一　平面直角坐标系中的轴对称变化 例1. （24-25八年级上·宁夏银川·阶段练习）如图，在直角坐标平面内，已知点，，，点，平行于轴． (1)求出点的坐标； (2)作出关于轴对称的； (3)作出关于轴对称的； (4)求的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】本题考查作图—轴对称变换，三角形的面积，图形与坐标，解题的关键是： （1）由平行于轴，可得，进而求得的值即可求解； （2）利用轴对称变换的性质作出，，的对应点，，，再依次连接即可； （3）利用轴对称变换的性质作出，，的对应点，，，再依次连接即可； （4）用割补法求解即可． 【详解】（1）解：∵，点，平行于轴 ∴， 解得：， 则， ∴； （2）解：如图，即为所求， （3）解：如图，即为所求， （4）解：的面积． 巩固训练 1.（23-24八年级上·内蒙古·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知三角形的三个顶点坐标分别为，，满足 (1)在平面直角坐标系中作出； (2)以轴为对称轴，作出的轴对称图形； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，轴对称变换作图，利用网格求三角形面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据算术平方根的非负性得到，在坐标系中描点，再依次连接即可； （2）分别作出点，，关于轴的对称点，再首尾顺次连接即可； （3）根据三角形面积等于矩形面积减去周围直角三角形面积计算即可． 【详解】（1）解：，， ，，即， 因此如下图即为所求： （2）解：分别作出点，，关于轴的对称点，，，再首尾顺次连接可得， 如下图即为所求： （3）解：由（1）图可知 的面积的面积为3． 2．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图． (1)在网格中画出关于轴对称的． (2)写出关于轴对称的的各顶点坐标． (3)在轴上确定一点，使最短．（只需作图保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)，， (3)见解析 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中几何图形的变换，对称最短路径的作图方法，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． （1）先确定点的位置，然后连接各点即可求解； （2）根据题意，分别写出点的坐标，再根据点关于轴对称的点的特点，即可求出的坐标； （3）根据对称求最短路径的方法即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，，，， ∵点关于轴对称的点的特点是横坐标变为原来的相反数，纵坐标不变， ∴，，，如图所示，连接，    ∴即为所求图形． （2）解：由（1）可知，，，， ∵点关于轴对称的点的特点是横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数， ∴，，． （3）解：如图所示，作点关于轴对称的点，连接，则与轴交于点， ∴根据对称可得，， ∴， ∵点两点之间线段最短， ∴最短，即的值最小， ∴如图所示，点的位置即为所求点的位置． 3．（21-22八年级上·安徽淮南·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，． (1)画出关于x轴对称的； (2)直接写出点，，的坐标； (3)在中，，求边上的高与所夹角的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3) 【分析】本题考查作图轴对称的变换，三角形的高和等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，正确作出三角形的高，利用角作差． （1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点，，，依次连接即可； （2）根据坐标系写出坐标即可； （3）正确作高得到等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质，借助角作差求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求． ； （2）解：根据坐标系得，，； （3）解：作． ∵， ∴， ∴． 压轴题型二　等腰三角形与等边三角形的性质与判定 例2. （22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知，，，点在线段上，点在线段上，设，． (1)如果，，那么是等边三角形？请说明理由； (2)若，试求与之间的关系． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质、三角形外角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据已知得△ABC是等腰三角形，从而可得，进而可得，然后利用三角形的外角定义可得，从而利用三角形内角和定理求出，即可解答； （2）利用等腰三角形的性质可得，然后利用三角形的外角定义，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： 理由：，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形； （2）若时，则， 证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 巩固训练 1.（23-24七年级下·山东济宁·期末）如图，在中，，是上的一点，，过点作的垂线交于点，连接，相交于点． (1)求证：． (2)若，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析; (2)是等边三角形，理由见解析． 【分析】（）先证明，再推出是等腰三角形，由三线合一可证； （）先证明，再根据，即可证明是等边三角形； 本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的判定，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴是等腰三角形， ∴， ∴； （2）解：是等边三角形，理由如下： ∵，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 2．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，的平分线交于点，过作，垂足为，延长交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】（1）根据三角形的内角和求出，即可得出结论； （2）连接，证明垂直平分，得到，证明，得到，根据，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：连接， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形的外角，角平分线，中垂线的判定和性质，熟练掌握相关知识点，利用等角对等边，证明三角形是等腰三角形，是解题的关键． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）四边形中，点为线段的中点． (1)，平分． ①如图1，若，，则_______； ②如图2，若，求证：平分； (2)和不平行时，，求证：． 【答案】(1)①；②证明见解析； (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）①根据平行线的性质，证明，得到，，再根据等边对等角的性质以及角平分线的定义，得出，即可求出的度数； ②延长交的延长线于点，证明，，根据等边对等角的性质以及角平分线的定义，得到，进而得到，再结合等腰三角形三线合一的性质证明即可； （2）延长至点，使得，证明，得到，再根据垂直平分线的性质，得到，最后利用三角形的三边关系证明即可． 【详解】（1）解：①， ，，， ， ， 点为线段的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：； ② 如图，延长交的延长线于点， ， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， ， ， 是的中点， 平分； （2）证明：如图，延长至点，使得， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ． 压轴题型三　等腰三角形中的思想和方法 例3. （24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）在中，，点是直线上一点（不与、点重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，当点在线段上时，如果，则______； (2)如图2，当点在线段上时，如果，请你求出的度数．（写出求解过程）； (3)探索发现，设，． ①如图2，当点在线段上移动，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论：________． ②当点在线段的延长线上时，则，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论：__________． 【答案】(1) (2) (3)①② 【分析】（1）由条件可证得，可得，利用条件可求得，可求得； （2）同（1）可证得，在中由等腰三角形的性质可求得，从而可求得； （3）①同（1）可证得，在中由等腰三角形的性质可求得，从而可求得；②过程同①． 【详解】（1）解：， ， 在和中 ， ， ，， ， ， 故答案为：； （2）， ， 在和中 ， ， ，， ， ； （3）①， ， 在和中 ， ， ，， ， ， 故答案为：； ②如图， ， ， 在和中 ， ， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题为三角形的综合应用，涉及知识点有等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等，把后面的问题都转化为第（1）问中的问题是解题的关键，即利用三角形全等证得角相等． 巩固训练 1.（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）综合与实践 数学社团的同学以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺”为主题开展数学活动，已知点E，F不可能同时落在直线和之间． 探究：（1）如图1，把三角尺的角的顶点E，G分别放在，上，若，直接写出的度数； 类比：（2）如图2，把三角尺的锐角顶点G放在上，且保持不动，若点E恰好落在和之间，且与EF所夹锐角为，求的度数； 迁移：（3）把三角尺的锐角顶点G放在上，且保持不动，旋转三角尺，若存在，直接写出射线与所夹锐角的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，或 【分析】1）根据平行线的性质可得，即可求解． （2）过点E作，得到，求出的度数即可求解． （3）根据题意分两种情况进行讨论，点E在上方和在下方两种情况求解即可． 本题考查平行线的性质和等腰直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题关键． 【详解】解：∵， ， ， ； （2）过点E作，如图， ∴， ， ， ， ； （3）存在，有两种情况； ①当点E在上方时，如图； ∴， ， ， 射线与所夹锐角的度数为； ②当点E在下方时，如图； ， ， 即， ， 射线与所夹锐角， 综上所述射线与所夹锐角的度数为或． 2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）（1）如图①，点C在上，，，，．则______； （2）如图②，在中，，，过点C作，且，试求的面积； （3）如图③，在四边形中，，的面积为12，且的长为6，求的面积． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质与判定、四边形、三角形面积等知识． （1）由，得，可证明，即得，故； （2）过D作交延长线于E，由，得，即得，可证明，得，故； （3）过A作于E，过B作交延长线于F，由面积为12且的长为6，得，又，，得是等腰直角三角形，即得，根据，可得，，即有，即可证明，从而，故． 【详解】解：（1）∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）过D作交延长线于E，如图2： ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）过A作于E，过B作交延长线于F，如图3： ∵面积为12且的长为6， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）已知，在中，，，点D为直线上一动点，连接，以为一边在右侧作等边． (1)_______度； (2)如图，当点D，E恰好同时在边上时，请说明． (3)在点D移动过程中，当为等腰三角形时，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或或 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质即可求解； （2）根据等边三角形的性质可得，，再根据等腰直角三角形的性质可得，证得，即可得证； （3）当时，则，若点B与点D重合时，则，即可求解；若点C与点D重合时，利用求解即可；当点D在的延长线上时，，根据垂直平分线的判定即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：①当时， ∵，， ∴， 即B、D两点重合， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当点D、C两点重合， ∵是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ③当点D在的延长线上时， 在等腰中，， ∴直线垂直平分， ∴， 综上所述，的度数为或或． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的判定，运用分类思想、数形结合思想是解决问题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$