第15章 轴对称图形与等腰三角形（单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记•巧练（沪科版）

第十五章 轴对称图形与等腰三角形 单元重点综合测试 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共10个小题，共40分.每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．下列运动图标中，是轴对称图形的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，不符合题意； D．不轴对称图形，不符合题意． 故选B． 2．已知a，b，c为的三边长，且，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值非负数，算术平方根非负数的性质，等边三角形的判定；根据绝对值的性质及算术平方根的性质求出、，的关系，即可得解． 【详解】解：根据题意得，， 解得，， 所以，， 所以，的形状是等边三角形． 故选：B． 3．等腰三角形的两边长分别为4和8，则这个三角形的周长为（　　） A．16 B．20 C．12 D．16或20 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分腰长为4和腰长为8两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当腰长为4时，，不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为8时，三角形的周长为：； 故选B． 4．如图，在中，是的垂直平分线．若，则的周长是（    ） A．13 B．5 C．8 D．26 【答案】A 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质，得到，进而推出的周长是，计算即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长是． 故选A． 5．如图，OC平分，在OC上取一点P，过点P作，若，则点P到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点P做于点M，根据角平分线的性质即可求解． 本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：过点P做于点M，    ∵，平分， ∴， 故选：D． 6．如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，将分成两个角，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设，则，再根据线段垂直平分线的性质，得出，再根据等边对等角，得出，再根据三角形的外角的性质，得出，再根据直角三角形两锐角互余，得出关于的方程，解出即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 在中，， 解得：， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边对等角、三角形的外角的性质、直角三角形两锐角互余，解本题的关键在熟练掌握线段垂直平分线的性质． 7．如图，在中，平分，以点A为圆心，以任意长为半径画弧交射线于两点，分别以这两点为圆心，以适当的定长为半径画弧，两弧交于点E，作射线，交于点I，连接，以下说法错误的是（   ） A．I到边的距离相等 B．平分 C．I到三点的距离相等 D．I是三角形三条角平分线的交点 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图，三角形的角平分线的性质，根据作图先判断平分，再由三角形角平分线的性质解答即可，解题的关键是掌握基本的尺规作图和角平分线的性质． 【详解】解：由作图可知，是的平分线， 到，边的距离相等，故选项A正确，不符合题意； 平分，三角形三条角平分线交于一点，故选项D正确，不符合题意； 平分，故选项B正确，不符合题意； 到边，，的距离相等，不是到，，三点的距离相等，故选项C错误，符合题意； 故选：C． 8．如图，的平分线，与的外角的平分线相交于点F，过点F作交于点D，交于点E，若，，则的长为（    ）． A．4.5 B．5 C．5.5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是证明等腰三角形； 根据角平分线的性质和平行线的性质证明和为等腰三角形即可求解． 【详解】∵的平分线，与的外角的平分线相交于点F， ， ∵， ， ， ， 和为等腰三角形， ， ， 故选：C． 9．如图，已知平分，于，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．熟练掌握角平分线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 如图，在上取点使，证明，则，，由，可得，进而可得，则，，可判断③的正误；由，可得，进而可得，可判断②的正误；，可判断①的正误；由，，可得，可判断④的正误． 【详解】解：如图，在上取点使， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，③正确，故符合题意； ∵， ∴， ∴，②正确，故符合题意； ∴，①正确，故符合题意； ∵，， ∴，④错误，故不符合题意； 综上：正确的有①②③，共3个， 故选：C． 10．如图，在中，，为的角平分线．与相交于点F，平分，有下列四个结论：①；②；③；④若，．其中正确的是（　　） A．①③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据可对①进行判断；根据三角形全等的判定方法中必须有边的参与可对②进行判断；根据“”证明可对③进行判断；根据等边三角形的判定及性质得出，利用证明△BDF≌△CEF可对④进行判断． 【详解】解：∵，为三角形ABC的角平分线， ∴， ∴，故①正确； 在和中，，但没有相等的边，则和不一定全等， ∴，故②错误； ∵， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴，故③正确，符合题意； 若， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在和中，， ∴，故④正确； 综上，正确的结论是①③④． 故选：C． 二、填空题（本大题共4个小题，共20分，答案写在答题卡上） 11．如图，垂直平分于点D，垂直平分于点F，点E在上，，则 ． 【答案】/20厘米 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得出，求出即可． 【详解】∵垂直平分于点F， ∴， ∵， ∴， 即， ∵垂直平分于点D， ∴， 故答案为：． 12．已知等腰三角形的一边长为，且它的周长为，则它的底边长为 ． 【答案】7或4 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系的应用．熟练掌握等腰三角形的性质，三角形三边关系的应用是解题的关键． 分腰长为，底边长为两种情况，计算求解，然后根据三角形三边关系判断作答即可． 【详解】解：当腰长为时，底边长为， 4、4、7满足三角形三边关系； 当底边长为时，腰长为， 、、满足三角形三边关系； 综上所述，它的底边长为7或4， 故答案为：7或4． 13．如图，，，分别为，上的点，，，分别为，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查轴对称最短路线问题，能用一条线段的长表示出三条线段的和的最小值是解题的关键． 作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接、，，根据轴对称的性质，得到的最小值为，推出△为等边三角形，进一步得出结果． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接、，， 则，， ， 的最小值为的长． ，，，， ，， ， △为等边三角形， ， 即 的值最小为3； 故答案为：3 14．如图，都是等边三角形，E，F分别是上两个动点，满足．与交于点G，连接． （1）的度数是 ； （2）若，，则 ． 【答案】 /60度 8 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，等边三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质得出，进而证明，得出，然后根据三角形的外角的性质即可得出答案． （2）延长到点，使，连接，先证明都是等边三角形，再得出，证明，得出即可得出答案． 【详解】解：（1）∵都是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：延长到点，使，连接， ， ∴是等边三角形， ， ∵都是等边三角形， ， ，故， ， ， ∴的长为8． 故答案为：；8． 三、解答题（本大题共9个小题，15~18小题各8分，19~20小题各10分，21~小题12分，23小题14分，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．如图，中，，平分，于． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】（1）在中，求出即可解决问题； （2）利用等腰三角形的性质得出，，根据线段垂直平分线的判定即可证明． 本题考查了线段垂直平分线的判定、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． 【详解】（1）解：，平分， ， ， ， ； （2）证明：， ， 又平分， ， 在和中， ， ， ，， 点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，（两点确定一条直线）， ． 16．等腰三角形周长为，底边长为，腰长为．解答下列各题： (1)直接写出y关于x的函数关系式； (2)当腰长为时，求底边的长； (3)请直接写出x、y的取值范围． 【答案】(1)； (2)当腰长为时，底边的长为； (3)自变量x的取值范围是：，y的取值范围是：． 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）根据：底边长+两腰长=周长，建立等量关系，变形即可； （2）将代入函数关系式，即可求解； （3）根据三角形两边之和大于第三边，即可确定自变量的取值范围，根据函数解析式，可得y的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意，得：，则． 故y随x变化的函数关系式为； （2）解：当时，； 故当腰长为时，底边的长为； （3）解：根据三角形的三边关系得：． ∵， ∴， 解得：， ∴，， 即． 故自变量x的取值范围是：，y的取值范围是：． 17．已知，如图，在中，，，，交于点，，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形．过点作，垂足为，利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形内角和定理可得，再根据垂直定义可得，从而可得，进而利用等角对等边可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得和的长，从而可得的长，最后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得的长，从而利用三角形的面积公式进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ，， ， 在中，， ， 的面积 ． 18．如图，在的内部找出一点P，使得，且满足点P到与的距离相等． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查的是角平分线和线段的垂直平分线的尺规作图，根据角平分线和线段的垂直平分线的尺规作图方法作图即可． 【详解】解：连接，作线段的垂直平分线，作的平分线交于点P，如图所示，点P即为所求． 19．如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，运用了恒等变换的思想，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，等量代换证明结论； （2）根据三角形的周长公式得到，根据，计算，得到答案； 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴的长为． 20．在等腰中，，一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成12和6两部分，求这个等腰三角形的腰长． 【答案】 【分析】设，，，根据题意可的，然后分当、和、两种情况讨论，分别列方程组并求解，结合三角形三边关系即可获得答案． 【详解】解：设，， ∵为一腰上的中线， ∴， ∵中线将这个三角形的周长分成和两部分， ∴有两种情况： ①当，时，则有 ，解得， ∴三边长分别为，，，且， ∴此时能构成三角形，符合题意 ∴等腰三角形的腰长为； ②当，时，则有 ，解得， ∴三边长分别为，，，且， ∴此时不能构成三角形，不符合题意 综上所述，这个等腰三角形的腰长为． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形中线、二元一次方程组的应用、三角形三边关系等知识，解题关键是运用分类讨论的思想分析问题，避免遗漏． 21．在中，，平分，于，，点是边的中点，连接，交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由等腰三角形的性质得，再证，然后利用证明，得，由等腰三角形的性质得，得，即可得出结论； （2）由等腰三角形的性质得，，则，再由直角三角形的性质得的度数． 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵，点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 22．如图，在中，点D 在边上，，的平分线交于点E．过点E作， 垂足为F，且，连 接． (1)求证：平分； (2)若， 且， 求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形的高．熟练掌握：角平分线上的点到角的两边距离相等，到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． （1）过点E作于G，于H，先通过计算得出，根据角平分线的判定与性质得，则，由到角两边距离相等的点在角的平分线上结论得证； （2）设，则，根据，即：，求得，，根据，计算求解即可． 【详解】（1）证明：如图，过点E作于G，于H，      ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的平分线， 又， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴点E在的平分线上， ∴平分； （2）设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴的面积为． 23．如图，在中，为边上的高，是的角平分线，点F为上一点，连接，．    (1)求证：平分； (2)连接交于点G，若，求证：； (3)在（2）的条件下，当，时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)7.5 【分析】（1）根据是的角平分线和得，再结合为边上的高得出即可证明； （2）过点F作于点M，于点N，证明，得出，再根据，解出即可证明； （3）根据及为边上的高证明，得出，再根据，解得，结合即可求出； 【详解】（1）证明： 是的角平分线， . ， . . 为边上的高， . .    平分. （2）过点F作于点M，于点N， 平分，且，， . ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ，    （3）， ，， ， 为边上的高， ， ， . 在和中， . ， ， ， ， . 【点睛】本题主要考查了全等三角形的证明以及性质运用，角平分线的判定以及基本性质，熟练掌握全等三角形的几种判定方法以及角平分线的判定是解答该题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十五章 轴对称图形与等腰三角形 单元重点综合测试 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共10个小题，共40分.每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．下列运动图标中，是轴对称图形的是（   ） A．   B．   C．   D．   2．已知a，b，c为的三边长，且，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 3．等腰三角形的两边长分别为4和8，则这个三角形的周长为（　　） A．16 B．20 C．12 D．16或20 4．如图，在中，是的垂直平分线．若，则的周长是（    ） A．13 B．5 C．8 D．26 5．如图，OC平分，在OC上取一点P，过点P作，若，则点P到的距离为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，将分成两个角，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，平分，以点A为圆心，以任意长为半径画弧交射线于两点，分别以这两点为圆心，以适当的定长为半径画弧，两弧交于点E，作射线，交于点I，连接，以下说法错误的是（   ） A．I到边的距离相等 B．平分 C．I到三点的距离相等 D．I是三角形三条角平分线的交点 8．如图，的平分线，与的外角的平分线相交于点F，过点F作交于点D，交于点E，若，，则的长为（    ）． A．4.5 B．5 C．5.5 D．6 9．如图，已知平分，于，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，在中，，为的角平分线．与相交于点F，平分，有下列四个结论：①；②；③；④若，．其中正确的是（　　） A．①③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题（本大题共4个小题，共20分，答案写在答题卡上） 11．如图，垂直平分于点D，垂直平分于点F，点E在上，，则 ． 12．已知等腰三角形的一边长为，且它的周长为，则它的底边长为 ． 13．如图，，，分别为，上的点，，，分别为，上的动点，则的最小值为 ． 14．如图，都是等边三角形，E，F分别是上两个动点，满足．与交于点G，连接． （1）的度数是 ； （2）若，，则 ． 三、解答题（本大题共9个小题，15~18小题各8分，19~20小题各10分，21~小题12分，23小题14分，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．如图，中，，平分，于． (1)若，求的度数； (2)求证：． 16．等腰三角形周长为，底边长为，腰长为．解答下列各题： (1)直接写出y关于x的函数关系式； (2)当腰长为时，求底边的长； (3)请直接写出x、y的取值范围． 17．已知，如图，在中，，，，交于点，，求的面积． 18．如图，在的内部找出一点P，使得，且满足点P到与的距离相等． 19．如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求长． 20．在等腰中，，一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成12和6两部分，求这个等腰三角形的腰长． 21．在中，，平分，于，，点是边的中点，连接，交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数． 22．如图，在中，点D 在边上，，的平分线交于点E．过点E作， 垂足为F，且，连 接． (1)求证：平分； (2)若， 且， 求的面积． 23．如图，在中，为边上的高，是的角平分线，点F为上一点，连接，．    (1)求证：平分； (2)连接交于点G，若，求证：； (3)在（2）的条件下，当，时，求线段的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$